Геометрия и движение [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/MotionExtra.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит «концептуальные спойлеры»: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету «Ортогональной Вселенной», освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Измерение энергии различными наблюдателями

В основной статье, посвященной геометрии и движению, мы определили вектор энергии-импульса данного тела как вектор, который направлен по касательной к соответствующей мировой линии и имеет длину, равную массе тела. Очевидно, что на любой кривой существуют два различных направления, поэтому мы добавили следующее правило: угол между вектором тела и временной осью описывающего его наблюдателя не должен превышать 90°.

Так вот, данная схема полезна в том случае, если вы собираетесь описывать все происходящие события в единой системе отсчета. Если же у вас имеются два наблюдателя, движущихся относительно друг друга, то в ряде случаев правило о наклоне вектора заставит их выбрать для вектора энергии-импульса противоположные направления вдоль мировой линии, а значит, их описания окажутся несовместимыми друг с другом.

В лоренцевой Вселенной подобная проблема не возникает, поскольку обычные наблюдатели, даже находясь в движении относительно друг друга, всегда соглашаются насчет знака временной компоненты любого вектора. Мы, конечно, можем вообразить наблюдателей, движущихся назад во времени, но они составляют отдельный класс, в котором все временные компоненты по сравнению с нашими имеют отрицательный знак. В римановой Вселенной все обстоит иначе: если вы, ориентируясь на положительное направление вашей временной оси, пометили стрелкам некоторый набор мировых линий, соответствующих телам, движущимся с различными скоростями, а я двигаюсь относительно вас достаточно быстро, то направление моих стрелок в некоторых случаях будет согласовано с вашим, а в других — нет. Если каждый из нас посчитает сумму векторов энергии-импульса, то результирующие векторы окажутся совершенно не связанными друг с другом. Мы, конечно же, будем пользоваться различными системами координат, но проблема отнюдь не в этом; преобразовать вектор из одной системы в другую довольно легко. Но если оставить этот вопрос в стороне и просто рассмотреть отдельные векторы энергии-импульса Pi в качестве геометрических объектов, независимых от выбора системы координат, то ваш результирующий вектор может оказаться равным P1 + P2 + P3 + P4, в то время как мой P1 + P2P3P4; иными словами, мы получим два совершенно разных вектора.

Так как в действительности нет никакой физической причины [*] для выбора определенного направления на мировой линии, вектор энергии-импульса в 4-пространстве имеет неопределенный знак. К счастью тензор энергии-импульса, содержащий информацию о плотности и потоке энергии и импульса данного тела, не зависит от выбора направления вдоль мировой линии. Координатная матрица тензора энергии-импульса для данного тела плотности ρ в покоящейся относительно него системе отсчета имеет следующий вид:

T^{ab} = \rho u^a u^b,

где u — это 4-скорость тела. Очевидно, что изменение знака u никак не влияет на значение тензора! Следовательно, если один из наблюдателей рассчитает тензор энергии-импульса в своей системе координат, а другой — соответственно в своей, то полученные ими результаты будут связаны обычными геометрическими правилами преобразования тензоров.

Сохранение энергии и импульса в этом случае выражается тем фактом, что дивергенция тензора энергии-импульса (для любого объекта, включая материю и излучение), равна нулю.

Принимая сказанное во внимание, заметим, что нет никакой ошибки в том, чтобы зафиксировав систему отсчета, рассчитать в ней полную энергию и импульс интересующей нас системы. Мы можем производить физические выкладки в рамках описанного ниже гамильтонова формализма, при котором, выбрав временную координату, мы можем определить положительную полную энергию, играющую роль гамильтониана. В этом формализме полная энергия и импульс будут сохраняться. Единственной ошибкой было бы объединить эти сохраняющиеся величины в 4-вектор, рассчитывая на то, что подобные 4-векторы, полученные разными наблюдателями, будут связаны друг с другом простым поворотом системы координат.

[*] Если тело обладает электрическим зарядом, симметрия между двумя направлениями на соответствующей мировой линии нарушается. Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в разделе, посвященном риманову электромагнетизму.

Симметрии

Давайте для простоты предположим, что четырехмерная риманова Вселенная является плоской и бесконечной во всех направлениях. Эта модель, несмотря на свою идеализированность, довольно полезна; аналогичная идеализация нашей собственной Вселенной, известная как пространство-время Минковского, составляет основу специальной теории относительности и большей части релятивистской квантовой физики.Поскольку такая идеализированная Вселенная подчиняется постулатам евклидовой геометрии, мы будем называть ее евклидовым 4-пространством.

[NB: в физической литературе термин «евклидов» зачастую применяется к вариациям физических законов, полученных с помощью поворота Вика. Эти законы не имеют отношения к законам Ортогональной Вселенной.]

Выберем некое событие O в качестве начала отсчета, четыре взаимно перпендикулярных направления в качестве координатных осей x, y, z и t, а также систему единиц измерения. Теперь любое событие в этой Вселенной можно обозначить четверкой действительных чисел (x, y, z, t). Множество всех таких четверок в математике известно как R4.

R4 — это векторное пространство, в котором длину |v| произвольного вектора v = (vx, vy, vz, vt) в R4 можно выразить с помощью стандартного скалярного произведения:

|\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (v^x)^2 + (v^y)^2 + (v^z)^2 + (v^t)^2

Если Вселенная искривлена, то мы, вообще говоря, не можем складывать или вычитать координаты двух событий, но в данном случаи эти операции дают вполне осмысленный результат, так как рассматриваемая нами Вселенная является плоской. Вектор, направленный от события a = (ax, ay, az, at) к событию b = (bx, by, bz, bt), выражается простой формулой ba = (bxax, byay, bzaz, btat), а расстояние между двумя событиями равно |ba|.

Теперь предположим, что наше евклидово 4-пространство заполнено различными телами, которые следует законам в сущности геометрической природы (примером может служить закон сохранения энергии и импульса). Чтобы глубже понять, о каких геометрических законах может идти речь, мы можем рассмотреть множество симметрий пространства — операций, меняющих расположение или ориентацию тел, но оставляют неизменными характерные геометрические свойства, такие как расстояния между событиями, углы между мировыми линиями или промежутки между соседними волновыми фронтами.

Строго говоря, функция f:R4→R4 называется симметрией, если для любых событий a и b, расстояние между f(a) и f(b) совпадает с расстоянием между a и b:

|f(\mathbf{b}) - f(\mathbf{a})| = |\mathbf{b} - \mathbf{a}|

С интуитивной точки зрения несложно представить три вида функций, удовлетворяющих данному условию и описанных в терминах геометрических операций:

  • параллельные переносы, которые сдвигают все точки на фиксированное расстояние в фиксированном направлении;
  • повороты, при которых как минимум одна точка остается без изменений, а все остальные жестко поворачиваются вокруг нее;
  • отражения, которые меняют ориентацию фигур на противоположную, но оставляют неизменными расстояния и углы.

Параллельный перенос легко определить математически. Положим для произвольного вектора s:

T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} + \mathbf{s}

Ts очевидно является симметрией, так как:

T_{\mathbf{s}}(\mathbf{b}) - T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{b} - \mathbf{a}

Так как параллельные переносы могут переместить начало отсчета в любое другое событие, мы сосредоточим внимание на поворотах и отражения, которые не меняют начало координат. Чтобы получить симметрию наиболее общего вида, их всегда можно скомбинировать с параллельными переносами.

Симметрия R, которая оставляет без изменения начало отсчета, будет линейной функцией в R4; следовательно, мы можем складывать, вычитать и умножать на число как до, так и после ее применения, ожидая получить одинаковый результат:

R(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = R(\mathbf{v}) + R(\mathbf{w})&fg=000000
R(s \mathbf{v}) = s R(\mathbf{v})

Каждой линейной функции в пространстве R4 соответствует 4×4-матрица Rij, такая, что:

R(\mathbf{v}) = R(v^j\mathbf{e}_j)=R^{i}_{j}v^{j}\mathbf{e}_i,

где компоненты вектора vj и компоненты матрицы Rij относятся к стандартному базису {ex, ey, ez, et}, а к повторяющимсяиндексам применено соглашение Эйнштейна о суммировании. Иными словами, любую линейную функцию в векторном пространстве R4 можно воспроизвести с помощью матрицы, умножаемой на компоненты вектора.

Если симметрия R оставляет неизменным начало отсчета, то она сохраняет стандартное скалярное произведение в пространстве R4, поэтому для любых векторов v и w:

R(\mathbf{v}) \cdot R(\mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}

Это перефразированное утверждение о том, что R оставляет неизменными длины векторов и углы между ними (в силу того, что эти величины выражаются через скалярное произведение).

Предположим, что v = ei и w = ej, где ei — это i-ый вектор стандартного базиса в R4, а именно четверка чисел, в которой i-ая компонента равна 1, а все остальные — нули. В этом случае:

R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}

Но поскольку стандартный базис является ортонормированным, то ei · ej = δij (дельта-символ Кронекера, равный 1, если i=j, и 0, если ij) … что также верно и в отношении i, j-компоненты единичной матрицы размера 4×4, I4.

R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}=(I_4)^{i}_{j}

Более того,

R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = R^{k}_{i}R^{k}_{j}=(R^{T})^{i}_{k}R^{k}_{j}=(R^{T}R)^{i}_{j},

где RTтранспонированная матрица R, полученная из R заменой строк на столбцы. Поскольку соответствующие компоненты RT R и I4 равны, матрицы должны совпадать:

R^{T}R=I_4,

и,  следовательно, матрица RT обратна R.

Это позволяет нам охарактеризовать все линейные функции, представляющие собой симметрии евклидова 4-пространства: транспонированная матрица такой функции должна совпадать с обратной. Множество всех таких матриц размера 4×4 обозначается O(4) и называется ортогональной группой степени 4.

Перейдем к конкретным примерам. Следующая матрица:

\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)

осуществляет поворот на угол θ в плоскости xy и угол φ в плоскости zt. Умножив ее на соответствующую транспонированную матрицу, имеем:

\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&\sin\theta&0&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&\sin\varphi\\ 0&0&-\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)

В качестве более простого примера можно привести матрицу отражения, которая меняет знак x-координаты:

\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)

Умножив ее на транспонированную матрицу (которая в данном случае совпадает с исходной), получаем:

\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)

Отличить чистый поворот от отражения можно по определителю матрицы. Матрицы поворота имеют определитель, равный 1, а отражения — определитель, равный –1. Множество всех матриц размера 4×4, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4) и называется специальной ортогональной группой степени 4.

Группа преобразований, получаемых путем комбинирования произвольных элементов ортогональной группы O(4) с параллельными переносами, называется евклидовой группой степени 4, E(4). Данная группа описывает все симметрии четырехмерного евклидова пространства. Если мы ограничиваемся только поворотами и параллельными переносами — исключая тем самым отражения — то получаем SE(4), или специальную евклидову группу.

Иногда произвольную симметрию евклидовой группы, включая параллельные переносы, удобно представить в матричном виде. Для этого можно ввести соглашение о дополнительной единице, которую мы будем дописывать в конце четверки, обозначающей координаты события в R4. В данных обозначениях мы можем представить линейную операцию R и параллельный перенос на вектор s в виде общей матрицы:

\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)

Это матрица размера 5×5; символ R в данном случае заменяет матрицу размера 4×4, символ s — первые 4 компонента последнего столбца, а 0 — первые четыре компонента последней строки. Принимая во внимание умножение векторов с дополнительной компонентой-единице, имеем:

\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R \mathbf{v} + \mathbf{s}\\ 1\end{array}\right)

Перемножая матрицы, мы видим, как соответствующие им симметрии взаимодействуют друг с другом при последовательном применении; при этом матрица первой симметрии в произведении должна стоять справа:

\left(\begin{array}{cc}R_2&\mathbf{s_2}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}R_1&\mathbf{s_1}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R_{1}R_{2}&R_{2}\mathbf{s_1} + \mathbf{s_2} \\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)

Гамильтониан и лагранжиан свободной классической частицы

В вводном разделе, посвященном вектору энергии-импульса, мы рассмотрели свободную частицу со скоростью v и вывели формулы для ее полной энергии E и импульса p, которые по определению представляют собой t— и x-компоненты вектора энергии-импульса:

(1)   \begin{equation*}  E=\cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}  p=\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}

(3)   \begin{equation*}  E^2 = m^2 - p^2 \end{equation*}

Теперь нашей целью будет описание той же самой частицы в терминах гамильтоновой и лагранжевой механик. Это не даст нам никакой новой информации о поведении частицы, которая, как мы уже знаем, просто следует вдоль прямой мировой линии в четырехмерном евклидовом пространстве, но позволит договориться о знаках и соглашениях, необходимых для получения правильных результатов, что, в свою очередь, существенно облегчит использование гамильтонова и лагранжева формализмов для решения более сложных задач.

Во-первых, мы будем исходить из предположения о выборе некой системы прямоугольных координат x, y, z и t. Во-вторых, мы упростим анализ, дополнительно условившись, что частица движется исключительно вдоль оси x, т. е. нам достаточно рассмотреть только одну пространственную координату; этот случай легко обобщается на трехмерное пространство.

В гамильтоновой механике гамильтониан H представляет собой полную энергию системы, выраженную в виде функции от n обобщенных координат qi, i=1,…n, описывающих степени свободы системы, n импульсов pi, сопряженных этим координатам, и времени t. В этом случае уравнения Гамильтона позволяют вычислить скорости изменения импульсов и координат[1]:

(4)   \begin{equation*}  \cfrac{dp_i}{dp} = -\cfrac{\partial H}{\partial q^i} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*}  \cfrac{dq^i}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_i} \end{equation*}

В случае с частицей, движущейся в направлении оси x, единственной координатой будет x, а соответствующим сопряженным импульсом будет p. Таким образом, на первый взгляд может показаться, что достаточно подставить H(x, p, t) = E из уравнения (3):

(6)   \begin{equation*}  H(x, p, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}

считая, что импульс, сопряженный координате x, совпадает с x-компонентой вектора энергии-импульса.

Но это предположение неверно! Применив его к уравнению (5), получаем:

(7)   \begin{equation*}  \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2 - p^2}}{\partial p} = -\cfrac{p}{\sqrt{m^2 - p^2}} = -v \end{equation*}

Это неверный результат! Ошибкой было предположить, что  импульс, определенный геометрически как x-компонента вектора энергии-импульса, обязательно равен импульсу, сопряженному координате x в рамках гамильтонова формализма.

Исправить ее, впрочем, довольно легко. Ошибка исчезает, если ввести «гамильтонов импульс»

(8)   \begin{equation*}  p_H = -p = -\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}

в качестве импульса, сопряженного координате x:

(9)   \begin{equation*}  H(x, p_H, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}

(10)   \begin{equation*}  \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_H} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2-p_{H}^2}}{\partial p_H} = -\cfrac{p_H}{\sqrt{m^2 - p_{H}^2}} = v \end{equation*}

Теперь все правильно! Этот вывод может показаться тривиальным, однако верно расставить знаки проще на данном этапе, пока мы не столкнулись с особенностями римановой термодинамики, в которой температура может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и выбор правильного знака может оказаться уже не столь очевидным.

Воспользовавшись первым уравнением Гамильтона, (4), получаем:

(11)   \begin{equation*}  \cfrac{dp_H}{dt} = -\cfrac{\partial H}{\partial x} = 0 \end{equation*}

Этот результат всего лишь выражает тот факт, что импульс частицы не меняется во времени.

Теперь мы рассмотрим лагранжиан свободной частицы. Лагранжиан, или функция Лагранжа, L, — это величина, обладающая следующим свойством: ее интеграл по времени — называемый действием, S — достигает максимума или минимума при варьировании траектории частицы[2]. Это сразу же дает нам подсказку: если мы сделаем  L dt пропорциональным длине сегмента мировой линии частицы за интервал времени dt, то действие S = ∫L dt будет пропорционально длине мировой линии. Поскольку кратчайшей линией, соединяющей две заданные точки, является прямая, минимальное значение действия будет достигаться на прямых мировых линиях — именно это и является нашей целью в случае свободной частицы.

Формально лагранжиан L определяется как функция обобщенных координат системы qi, скоростей их изменения во времени qi = dqi / dt и времени t. В случае нашей системы, обладающей единственной координатой x, скорость изменения которой совпадает с v, имеем:

(12)   \begin{equation*}  \begin{aligned} L(x, v, t)dt = Cds \\ L(x, v, t) = \cfrac{Cds}{dt} \end{aligned} \end{equation*}

где s — четырехмерное расстояние, измеренное вдоль мировой линии частицы, а C — константа, значение которой нам предстоит определить.

Если частица движется со скоростью v в выбранной нами системе отсчета, четырехмерное расстояние s вдоль ее мировой линии можно получить непосредственно из теоремы Пифагора: его квадрат равен сумме квадратов затраченного времени t, и расстояния, пройденного частицей, в трехмерном пространстве, x = vt:

(13)   \begin{equation*}  s(t) = \sqrt{t^2 + v^2t^2} = t\sqrt{1 + v^2} \end{equation*}

Воспользовавшись этим равенством совместно с (12), получаем:

(14)   \begin{equation*}  \begin{aligned} \cfrac{ds}{dt} = \sqrt{1 + v^2} \\ L(x, v, t) = C \sqrt{1 + v^2} \end{aligned} \end{equation*}

В общем случае уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид[2]:

(15)   \begin{equation*}  \cfrac{d}{dt} \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} = \cfrac{\partial L}{\partial q^i} \end{equation*}

Применив их к нашей системе, получаем:

(16)   \begin{equation*}  \begin{aligned} \cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial v} = \cfrac{\partial L}{\partial x} \\ \cfrac{d}{dt}\cfrac{Cv}{\sqrt{1+v^2}} = 0 \\ \cfrac{C}{m}\cfrac{dp}{dt} = 0 \end{aligned} \end{equation*}

Иначе говоря, независимо от выбора константы C, это уравнение опять-таки говорит нам о том, что импульс частицы не меняется со временем. Мы однако же можем найти подходящее значение C, воспользовавшись взаимосвязью гамильтоновой и лагранжевой механик, выражающей сопряженные гамильтоновы импульсы через функцию Лагранжа[3]:

(17)   \begin{equation*}  p_i =  \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \end{equation*}

Для нашей системы с учетом (8) и (14), получаем:

p_H =  \cfrac{\partial L}{\partial v}
-\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} =  \cfrac{Cv}{\sqrt{1 + v^2}}
C = -m

Таким образом, окончательное выражение для нашего лагранжиана выглядит следующим образом:

(18)   \begin{equation*}  L(x, v, t) =  -m \sqrt{1 + v^2} \end{equation*}

В качестве перекрестной проверки можно убедиться в том, что гамильтониан и лагранжиан удовлетворяют соотношению, которое в общем случае имеет вид[1]:

(19)   \begin{equation*}  H =  p_i \dot{q}^{i} - L \end{equation*}

В случае нашей системы имеем:

(20)   \begin{equation*}  \begin{split} H &= \\ & = p_H v - L = \\ & = v\cfrac{-mv}{\sqrt{1 + v^2}} - (-m\sqrt{1 + v^2}) = \\ & = m\left(\sqrt{1 + v^2} - \cfrac{v^2}{\sqrt{1 + v^2}}\right) = \\ & = \cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{split} \end{equation*}

что согласуется с уравнением (1).

Таким образом, при использовании гамильтонова и лагранжева формализмов в контексте римановой физики необходимо учитывать следующее:

  • Гамильтониан H свободной частицы равен ее полной энергии, выраженной через “гамильтонов импульс” pHпротивоположный обычному геометрическому импульсу.
  • Действие S свободной частицы массой m равно произведению –m и обычной евклидовой длины соответствующей мировой линии; лагранжиан L частицы представляет собой производную данного действия по времени.

Литература

[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т.Т. 1. Механика. — 5 изд. стереот. — М. Физматлит, 2004. § 40.

[2] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 2.

[3] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 7.

Геометрия и движение

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/Motion.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит «концептуальные спойлеры»: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету «Ортогональной Вселенной», освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Лоренцева и риманова геометрии

Названия, которые мы даем пространственным направлениям в нашей Вселенной — вверх, вниз, налево, направо, вперед, назад, север, юг — всегда определяются по отношению к конкретным объектам, будь то наше тело или планета, на которой мы находимся. Мы поступаем так из соображений удобства, однако выбора у нас в сущности и нет — мы вынуждены ориентироваться по окружающим нас объектам, поскольку с точки зрения фундаментальной геометрии пространства все направления равноценны.

Менее очевиден тот факт, что говоря о «будущем» или «прошлом», мы неявно подразумеваем будущее или прошлое конкретного объекта или группы объектов. Говоря, к примеру, о движении на один час «в будущее», мы обычно имеем в виду, что сами остаемся неподвижными по отношению к окружающим нас улицам и зданиям. Однако направление, которому в пространстве-времени следует проносящийся мимо нас автомобиль, годится на роль «будущего» ничуть не хуже направления, вдоль которого движется фонарный столб на обочине — с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени все подобные направления являются равноценными.

Направление, которое я называю «вперед», вам может показаться направление «влево»; или же вы могли бы подумать, что «находитесь в состоянии покоя, то есть движетесь только в будущее», хотя с моей точки зрения в межзвездном пространстве проноситесь мимо меня на скорости тысяча километров в секунду. Тем не менее, далеко не все направления в пространстве-времени неотличимы друг от друга. В конечном счете мы всегда будем придерживаться одного и того же мнения насчет деления направлений на времениподобные, пространственноподобные и изотропные.

Времениподобные направления описывают движение обыкновенных предметов, которые нас окружают. Мы могли бы сказать, что «машина движется на восток», но при этом, разумеется, понимаем, что одновременно она движется и в будущее, поэтому на пространственно-временной диаграмме ее движение будет представлять собой прямую, которая движется в сторону будущего, слегка отклоняясь на восток.

Пространственноподобное направление «восток» можно изобразить на диаграмме, однако ни один реально существующий объект не может двигаться в пространстве-времени таким образом, чтобы перемещаясь на восток, не перемещаться при этом во времени.

Промежуточное положение между времени- и пространственноподобными направлениями занимают направления, описывающие движение света; такие направления называются светоподобными или изотропными.

Предположим, что некто, использующий систему единиц, в которой скорость света равна 1 (например, единицей времени служит год, а единицей расстояния — световой год), измерив расстояние и временной интервал между двумя событиями в пространстве-времени, получает соответственно x и t. В этом случае о векторе, соединяющем два события, можно сказать следующее:

  • если x2t2 меньше нуля, то вектор является времениподобным (например, векторы AB и AC на диаграмме);
  • если x2t2 больше нуля, то вектор является пространственноподобным (например, вектор AE на диаграмме);
  • если x2t2 равно нулю, то вектор является светоподобным (например, вектор AD на диаграмме).

ortnt_02_01

В основе специальной теории относительности лежит открытие того факта, что все наблюдатели, которые, двигаясь с постоянной скоростью, измеряют величину x2t2, получат одно и то же значение и, следовательно, будут придерживаться одной и той же классификации векторов на времениподобные, пространственноподобные и светоподобные. Разновидность пространственно-временной геометрии, в которой x2t2 является инвариантом — то есть величиной, со значением которой согласны все наблюдатели — называется лоренцевой геометрией.

Во Вселенной с римановой геометрией, напротив, величиной, не зависящей от наблюдателя, является x2+t2. По сути это квадрат расстояния между двумя точкам евклидова пространства, выраженный посредством теоремы Пифагора.

(Если геометрия искривлена, то это будет верно лишь при измерении x и t в достаточно малом масштабе; аналогичным образом и искривленная поверхность Земли подчиняется евклидовой геометрии только в том случае, если интересующий нас ее фрагмент достаточно мал.)

Этот квадрат расстояния, x2+t2, всегда больше нуля (если не считать тривиальный случай, когда и x, и t равны нулю). Таким образом, упомянутые выше различия между времениподобными, пространственноподобными и светоподобными направлениями исчезают; в римановой Вселенной, все направления по сути равноправны. Между направлением, которое некий наблюдатель мог бы назвать «востоком» и направлением, которое этот же наблюдатель мог бы назвать «будущим», нет никакого фундаментального различия.

ortnt_02_02

В случае лоренцевой геометрии мы использовали скорость света, чтобы выбрать подходящие единицы измерения для x и t. В римановой Вселенной единой, универсальной скорости света не существует. Как же нам в таком случае выбрать правильные единицы измерения для расстояния и времени? Мы просто в порядке эксперимента подбираем такое соотношение между единицами длины и времени, при котором теорема Пифагора становится верной во всех случаях — даже если мы применяем ее к объединенному пространству-времени. Все уравнения римановой физики, приводимые в данных заметках, будут опираться именно на такой выбор единиц измерения.

Пока что мы несколько упрощали ситуацию, предполагая, что интересующие нас векторы охватывают лишь два измерения нашей системы координат. К тому же векторы, которые мы рассматривали до настоящего моменты, представляли собой векторы сдвига, который можно сравнить с воображаемыми стрелками, направленными от события A к событию B. В данных заметках мы будем говорить о произвольных векторах, компоненты которых имеют отношение к четырем измерениям, но при этом могут выражать какие-либо величины помимо расстояния. Таким образом, в общем случае для описания вектора v мы будем использовать компоненты vx, vy, vz и vt. (Заметим, что верхние индексы в данном случае используются для идентификации отдельных компонент вектора и не имеют никакого отношения к возведению в степень.) Квадрат длины четырехмерного вектора v в этом случае выражается с помощью обобщения двумерной теоремы Пифагора на случай четырех измерений:

|v|2 = (vx)2 + (vy)2 + (vz)2 + (vt)2

Длина вектора |v| будет одинаковой для всех наблюдателей, даже если они пользуются различными системами координат и в ходе измерения фиксируют различные значения для отдельных компонент vx, vy, vz и vt.


Скалярные произведения

В рамках римановой геометрии наблюдатели, использующие различные системы координат, придут к соглашению не только относительно длин векторов, но и углов между векторами. Благодаря этому, мы можем определить инвариантную величину, объединяющую в себе как углы, так и расстояния.

Скалярное произведение векторов v и w определяется следующим образом: для каждого из четырех измерений x, y, z и t нужно перемножить соответствующие компоненты двух векторов, а затем сложить полученные произведения. Мы будем обозначать эту величину как v·w. Таким образом,

v·w = vx wx + vy wy + vz wz + vt wt      (Риманово скалярное произведение)

Из этого определения следует, что квадрат длины вектора — это просто результат скалярного умножения на самого себя:

|v|2 = v·v

Скалярное произведение остается неизменным при повороте системы координат. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим треугольник, две из сторон которого представляют собой векторы v и w; третья сторона будет равна vw (как на приведенной ниже диаграмме). Квадрат ее длины составит:

|vw|2 = (vw)·(vw) = |v|2 + |w|2 – 2 v·w

Поскольку v · w = (|v|2 + |w|2 – |vw|2) / 2  и ни одна из упомянутых длин не меняется при повороте, величина скалярного произведения также остается неизменной.

003

Если угол между v и w равен θ, то:

v·w = |v||w|cosθ

Это утверждение неочевидно, но его легко доказать. Рассмотрим вначале простейший случай, когда w лежит на положительной полуоси x (следовательно, wy=wz=wt=0 и wx>0), а находится в плоскости xt (т.е. vy=vz=0).

В силу нулевых компонент получаем:

v·w = vxwx
|w| = wx

Кроме того, по определению косинуса

vx = |v|cosθ

Следовательно, в данном конкретном случае

v·w = |v||w|cosθ

Но каковы бы ни были векторы v и w, вышеупомянутым ограничениям всегда можно удовлетворить за счет поворотов системы координат. Это не изменит ни длины векторов, ни угол θ между ними, ни величину скалярного произведения, поэтому если наше утверждение справедливо после поворота, оно должно быть верным и в общем случае.

Косинус угла положителен, когда угол меньше 90°, обращается в нуль, если угол точно равен 90°, и отрицателен, если угол заключен между 90° и 180°. Следовательно,

  • если v·w > 0, то v и w направлены указывают примерно в одну и ту же сторону (угол между ними меньше 90°);
  • если v·w = 0, то v и w перпендикулярны;
  • если v·w < 0, то v и w, грубо говоря, указывают в противоположные стороны (угол между ними больше 90°).

Предположим, что uединичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна 1. Любой другой вектор v всегда можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен u, а другой ему перпендикулярен. Та составляющая v, которая параллельна u, называется проекцией вектора v на u. Обе составляющие вектора v можно явно выразить следующим образом:

v = (u·v) u + (v – (u·v)u)

Первое слагаемое, очевидно, параллельно u, так как представляет собой вектор u, умноженный на число u·v. Скалярное произведение u·v почти совпадает с длиной проекции v на u; единственное отличие состоит в том, что u·v будет отрицательным, если два вектора, грубо говоря, направлены в противоположные стороны — в этом случае скалярное произведение будет равно длине проекции, взятой с обратным знаком.

Второе слагаемое перпендикулярно u; чтобы это доказать, достаточно вычислить его скалярное произведение с u:

u·(v – (u·v)u)
= (u·v) – (u·v) (u·u)
= (u·v) – (u·v)
= 0

ortnt_02_04

Единичные векторы, направленные вдоль четырех координатных осей, мы будем обозначать как ex, ey, ez и et; каждый из этих четырех векторов называется базисным вектором системы координат. В этом случае компоненты любого вектора v в данной системе координат определяются его скалярными произведениями с базисными векторами.

vi = ei · v, где i=x, y, z, t

В римановой Вселенной эта векторная геометрия устроена довольно просто: по сути она представляет собой привычную евклидову геометрию пространства с одним дополнительным измерением для времени. В лоренцевой Вселенной нам, напротив, всегда нужно помнить о разнице в знаках в случае временного измерения. Так, скалярное произведение двух четырехмерных векторов (или «4-векторов») в лоренцевой Вселенной содержит произведение временных координат со знаком «минус»:

v·w = vx wx + vy wy + vz wzvt wt      (Лоренцево скалярное произведение)


Время без времениподобных направлений

Идея Вселенной, геометрия которой лишена какой-либо концепции времени, может вызвать в воображении нечто вроде снимка нашей собственной Вселенной — один момент, застывший и неизменный. Но по должном размышлении оказывается, что такая картина попросту лишена смысла. В четырех измерениях наша Вселенная тоже кажется неизменной; для нас суть изменения заключается в том, что последовательные трехмерные срезы четырехмерной Вселенной отличаются друг от друга. И если законы, управляющие поведением римановой Вселенной, также допускают различия между последовательными трехмерными срезами, в ней найдется место и для аналога явления, которое будет восприниматься как изменение.

Теория относительности утверждает, что нет никакого «единственно верного» способа разрезать нашу Вселенную на отдельные моменты времени. С точки зрения различных люди, движущихся относительно друг друга, эти разрезы, как правило, будут отличаться, причем каждый будет воспринимать собственную мировую линию — маршрут или историю, вдоль которой они следует в пространстве-времени — как ось времени, а любое перпендикулярное ей направление — как направление в пространстве.

Хотя нам, вероятно, не так просто предположить, какие именно объекты могут существовать в римановой Вселенной, оказывается, что она, помимо всего прочего, будет заполнена мировыми линиями. (Детальное обоснование этого факта требует привлечения квантовой механики, однако в следующей статье, посвященной волнам, мы вкратце затронем особенности возникновения мировых линий.) Главное отличие состоит в том, что если в лоренцевой Вселенной мировые линии должны следовать вдоль времениподобных направлений, то в римановой Вселенной никаких ограничений касательно их направления нет.

Обычно мы воспринимаем время как некое универсальное явление, а отнюдь не как свойство нашей собственной мировой линии, поскольку в повседневной жизни окружающие нас люди и предметы по отношению друг к другу движутся крайне медленно, а наши мировые линии образуют узкий пучок, в пределах которого они едва заметно колеблются из стороны в сторону, но в целом, можно сказать, остаются параллельными. В большинстве практических ситуаций именно отсюда и возникает представление о едином, универсальном времени. В нашем повседневном опыте ключевую роль играет именно общее движение, а отнюдь не тот факт, что некое (гораздо более обширное!) множество направлений с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени выделяется в особую времениподобную категорию. В римановой Вселенной аналогичный пучок почти параллельных линий будет способствовать формированию точно такого же ощущения, в соответствии с которым практически полезное, общее представление о времени ассоциируется с осью пучка.

ORTNT_02_05.png

Итак, давайте примем на веру, что мы в состоянии представить себя на месте обитателей римановой Вселенной, с нашими собственными мировыми линиями. По аналогии с нашей собственной Вселенной, мы, как правило, будем использовать временную координату с осью которой сонаправлена нашей мировой линии, а пространственные координаты будем выбирать так, чтобы их оси были перпендикулярны оси времени. Мы также предположим, что можем однозначно выбрать на своей мировой линии направление «будущего». Как и в нашей Вселенной, этот выбор сводится к вопросу об энтропии: будущее — это направление увеличения энтропии.

Любое тело, мировая линия которого параллельна нашей собственной, покажется нам неподвижным, так как в нашей системе отсчета его положение в пространстве с течением времени будет оставаться неизменным. Тело, мировая линия которого наклона по отношению к нашей, мы будем считать движущимся.

У нас есть своя временная координата t, однако в соответствии с теорией относительности ход времени для конкретного тела должен измеряться вдоль его мировой линии. Время, измеренное таким образом, называется собственным временем, τ. В римановой Вселенной собственное время между двумя событиями  — это просто длина мировой линии интересующего нас тела, которая с точностью до выбора единиц измерения совпадает с длиной, измеренной вдоль любой другой кривой.

Теперь рассмотрим единичный вектор u, направленный по касательной к мировой линии тела. Такой вектор мы будем называть 4-скоростью, поскольку он имеет 4 измерения и описывает состояние движения тела в конкретный момент времени. Обычную (трехмерную) скорость тела v в конкретной системе отсчета можно получить, разделив пространственные компоненты u на соответствующую временную компоненту; если рассмотреть диаграмму, на которой движение ограничено плоскостью xt, то:

vx = ux / ut,

так как если бы тело продолжило движение вдоль касательной, параллельной вектору u, оно бы переместилось на расстояние ux за время ut.

Тело, изображенное на диаграмме, конечно же, не поддерживает свою скоростью постоянной,, а движется с ускорением. 4-устроением, которое мы будем обозначать a, называется скорость изменения 4-скорости тела относительно его собственного времени τ. Это можно записать в виде:

a = ∂τu

Пусть вас не беспокоят эти обозначения. Символ “∂” — это все лишь лаконичный способ записи “скорости изменения чего-либо”, в то время как индекс τ указывает на то, что речь идет об изменении u в ответ на изменение τ.

Так как 4-скорость u всегда является единичным вектором, то она может менять только свое направление, но никак не длину. Это, в свою очередь, означает, что 4-ускорение a должно быть перпендикулярно u.

ortnt_02_06

Предположим, что тело изначально покоится в нашей системе отсчета, а затем подвергается постоянному ускорению в направлении оси x. Говоря точнее, мы требуем, чтобы модуль ускорения, a, был постоянным, а вектор 4-ускорения оставался в плоскости xt. Вначале мировая линия тела будет параллельна нашей оси t, но затем станет постепенно наклонятся в сторону оси x.

ortnt_02_07

В лоренцевой Вселенной тело будет двигаться все быстрее и быстрее, но никогда не достигнет скорости света.

В ньютоновской Вселенной скорость тела не ограничена сверху, но в любой конечный момент времени будет выражаться конечной величиной.

В римановой Вселенной мировая линия тела будет представлять собой дугу окружности. Этот результат не должен вас удивлять, поскольку геометрия и математика этого процесса нам уже знакомы. В общем и целом, они соответствуют движению в условиях центробежной силы: постоянное усилие, тянущее тело в сторону, заставляет его двигаться по окружности.

Координаты тела (x, t), а также его 4-скорость и 4-ускорение можно записать в виде явных функций его собственного времени:

x(τ) = 1/a (1 – cos a τ, sin a τ)
u(τ) = ∂τx(τ) = (sin a τ, cos a τ)
a(τ) = ∂τu(τ) = a (cos a τ, –sin a τ)

Таким образом, спустя конечное время — 1/a с нашей точки зрения, или π/(2a) с точки зрения самого тела — 4-скорость тела окажется параллельной нашей оси x, а его скорость с нашей точки зрения станет бесконечной. После этого в нашей системе отсчета тело начнет двигаться назад во времени!

Заметим, что условия, при которых такое постоянное ускорение можно поддерживать на практике, в римановой Вселенной зависят от механизма, оказывающего на тело необходимое воздействие; кроме того, любой подобный процесс, так же, как и в нашей Вселенной, должен следовать строгим правилам, касающимся количества энергии и энтропии. Тем не менее, если сосредоточиться на чистой кинематике, данная диаграмма показывает, что произойдет с телом, если ему удастся достичь равноускоренного движения.


Векторы энергии-импульса

Предположим, что каждому окружающему нас телу сопоставлена стрелка, которая направлена по касательной к его мировой линии, и имеет длину, равную массе тела. Мы всегда будем выбирать эти стрелки так, чтобы их направление в целом соответствовало направлению нашего персонального «будущего»; говоря точнее, мы будем выбирать их направление таким образом, чтобы их угол с нашей осью времени не превышал 90°.

Такая стрелка называется вектором энергии-импульса, который мы будем обозначать символом P. Мы уже определили единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела, его 4-скорость u, поэтому можем записать:

P = mu

Для простоты предположим вначале, что мировая линия тела целиком лежит в плоскости xt, тем самым ограничившись двумя измерениями. t-компоненту вектора энергии-импульса мы будем называть полной энергией E, а соответствующую x-компоненту — импульсом p. Тогда:

Pt = E
P
x = p
m2 = |P|2 = (Pt)2 + (Px)2 = E2 + p2

ortnt_02_08

Далее, скорость тела v будет равна ux / ut, т. е. отношению между x- и t-компонентами соответствующей 4-скорости:

v = p/E

Воспользовавшись двумя последними уравнениями, получаем:

p = Ev
E2 = m2 – p2 = m2 – E2v2
E2 (1 + v2) = m2
,

что позволяет нам выразить E и p через m и v:

E = m / √(1 + v2)
p = mv / √(1 + v2)

В этих выражениях вы, вероятно, узнаете слегка видоизмененные релятивистские формулы, в которых 1 — v2 заменено на 1 + v2.

Разложив 1 / √(1 + v2) в ряд Тейлора, мы можем аппроксимировать эти формулы для малых значений v:

1 / √(1 + v2) ≈ 1 – (1/2) v2
Em – (1/2) mv2
pmv

В данном случае приближенное значение импульса, mv, совпадает с импульсом тела в обычной физике Ньютона. В этой физике кинетическая энергия тела имеет вид:

KNewtonian = (1/2) mv2,

поэтому полную энергию можно приближенно выразить как

E mKNewtonian

Мы считаем, что в нашей Вселенной тело обладает энергией массы покоя mc2 (= m, если единицы измерения выбраны так, что c=1), а полная энергия получается из нее добавлением кинетической энергии тела. В римановой Вселенной кинетическую энергию приходится вычитать из энергии массы покоя. Точное значение римановой кинетической энергии K определяется следующим образом:

K = mE = m (1 – 1 / √(1 + v2))

Как в ньютоновской, так и в лоренцевой физике кинетическая энергия неограниченно возрастает с увеличением скорости. В ньютоновской физике скорость неограниченна, поэтому величину KNewtonian можно сделать сколь угодно большой. В лоренцевой физике v<1, но по мере приближения к скорости света (которая при соответствующем выборе единиц измерения равна 1) кинетическая энергия

KLorentzian = m (1 / √(1 – v2) – 1)

также возрастает без каких-либо ограничений. В римановой физике, так же, как и в физике Ньютона, измеряемая скорость тела не ограничена; если мировая линия тела перпендикулярна вашей собственной, его скорость будет бесконечной. Но какова бы ни была скорость тела, его кинетическая энергия никогда не превзойдет массу покоя m.

ortnt_02_09

Как быть с потенциальной энергией? Потенциальную энергию можно определить привычным образом, в терминах сил, действующих на интересующие нас частицы — в этом случае сумма кинетической и потенциальной энергии будет сохраняться. Далее мы затронем тему электромагнетизма в римановой физике и увидим, какую форму примет потенциальная энергия электростатического поля. Тем не менее, уже сейчас мы можем отметить один любопытный факт. Система из двух связанных частиц, как правило, обладает меньшей потенциальной энергией по сравнению с аналогичной системой свободных частиц, поскольку в связанном состоянии частицы находятся «на дне потенциальной ямы» и со всех сторон окружены отлогой стеной. В лоренцевой физике это приводит к «дефекту массы»: масса связанной системы меньше, чем сумма масс ее частей, взятых по отдельности. В римановой физике кинетическая и потенциальная энергии противоположны энергии массы покоя, поэтому дефект массы действует наоборот: масса связанной системы превышает сумму масс ее частей.

При небольших скоростях риманова физика практически не отличается от физики Ньютона, и тот факт, что кинетическая энергия «перевернута вверх ногами», может оказаться отнюдь не очевидным. Если количество частиц фиксировано, а их взаимодействие ограничивается упругими соударениями, то кинетическая энергия либо передается от одной частицы к другой, либо преобразуется в потенциальную энергию. Но если ситуация допускает создание новых частиц, соотношение между кинетической энергией и энергией массы покоя может приводить к поразительным последствиям: создание новой частицы будет уравновешено не снижением потенциальной или кинетической энергии порождающей системы, а наоборот, ее увеличением. Мы уже обращали внимание на то, что в римановой физике масса системы взаимосвязанных компонентов превышает суммарную массу ее отдельных частей, поэтому материя, которая, находясь в связанном состоянии, скажем, обладает способностью к излучению света, рискует обратить в свет излишек своей массы и в процессе распасться на части! В трилогии последствия этого факта  — а также загадочная способность материи сохранять стабильность в подобных условиях — исследуются гораздо подробнее.


Законы сохранения

Имея определение вектора энергии-импульса, мы должны быть в состоянии описать сохранение энергии и импульса в процессе взаимодействия римановых тел. Мы могли бы настоять на выборе конкретной системы отсчета, в которой каждому интересующему нас телу сопоставлен вектор энергии-импульса — таким образом, что по отношению к данной системе отсчета все они будут направлены в будущее — а затем сказать, что закон сохранения соблюдается в том случае, когда сумма всех векторов энергии-импульса, соответствующих различным телам, до взаимодействия совпадает с аналогичной суммой, взятой после взаимодействия.

Существует, впрочем, гораздо более изящное решение, которое в принципе не зависит от выбора конкретной системы отсчета. Мы просто чертим стрелку вдоль мировой линии тела, полагаем ее длину равной массе и выбираем направление стрелок таким образом, чтобы все они были направлены от взаимодействия. Если энергия и импульс сохраняются, сумма всех этих стрелок должна быть равна нулю.

ortnt_02_10

Приняв эту симметричную формулировку закона сохранения, мы теперь можем выяснить, в чем заключается ее смысл с точки зрения конкретного наблюдателя, который, став свидетелем взаимодействия, приписывает телам векторы энергии-импульса «до» и «после» соответствующего события.

Исходные стрелки направлены от события взаимодействия, поэтому наблюдателю придется инвертировать те из них, которые, по его мнению, имеют отношение к телам до взаимодействия, чтобы ориентировать их в направлении собственного будущего. Но так как сумма исходных стрелок равна нулю, то сумма инвертированных стрелок будет равна сумме остальных.Таким образом, с точки зрения наблюдателя энергия и импульса в процессе взаимодействия будут сохраняться, независимо от того, какое направление он выберет в качестве «будущего».

Как наблюдателю поступить с мировой линией, которая в точности перпендикулярна выбранной им оси времени? По сути единственный выход в такой ситуации — произвольным образом решить: либо мы считаем, что все подобные объекты возникают в результате взаимодействия, а их стрелки, соответственно, остаются без изменений и интерпретируются как векторы энергии-импульса после взаимодействия, либо что все они, наоборот, вовлекаются во взаимодействие, поэтому соответствующие им стрелки меняют направление на противоположное и впоследствии интерпретируются как векторы энергии-импульса до взаимодействия. Можно показать, что и в том, и в другом случае энергия и импульс будут сохраняться.

ortnt_02_11


Странные соударения

Предположим, что два точечных тела в римановой Вселенной испытывают лобовое столкновение. Предположим, что речь идет об абсолютно упругом ударе, при котором энергия не переходит в другую форму, а тела не распадаются на части и не прилипают друг к другу.

В рамках этих допущений мы, зная один из векторов энергии-импульса для каждой из частиц, участвующих в соударении, сможем найти все остальные векторы, используя законы сохранения. Рассмотрим, к примеру следующую диаграмму; зная начальные векторы энергии-импульса Pi, 1 и Pi, 2 (для первой и второй частицы соответственно), мы можем рассчитать конечные векторы энергии-импульса Pf, 1 и Pf, 2. В случае соударения, показанного на этой диаграмме, энергия и импульс сохраняются, поэтому любой наблюдатель, который, находясь в римановой Вселенной, сможет создать условия для подобного столкновения, может рассчитывать на то, что его исход в общих чертах будет выглядеть именно так, как на нашем рисунке.

012

На следующей диаграмме мы изобразили то же самое соударение, повернув его примерно на 60 градусов — в данном случае нам пришлось инвертировать направление стрелки Pf, 2, чтобы ее энергия в новой системе отсчета была положительной. Это соударение по-прежнему является совершенно корректным и удовлетворяет законам сохранения…, однако с позиции наблюдателя, использующего показанную на диаграмме ось времени, теперь вместе сходятся три мировых линии, а остается после соударения только одна. С этой точки зрения вторая частица сталкивается с соответствующей античастицей, после чего они аннигилируют, и выделившаяся при этом энергия передается первой частице, которая в результате теряет значительную часть своей скорости (полная энергия по своему смыслу противоположна кинетической).

ortnt_02_13

Тот факт, что одни и те же события могут по-разному восприниматься различными наблюдателями, для теории относительности явление типичное, однако настоящая неожиданность поджидает нас в том случае, когда мы пытаемся представить, как происходящее будет выглядеть с точки зрения наблюдателя, который попытается создать условия для подобного соударения. В первом случае мы можем сказать, что любой наблюдатель, проводящий эксперимент, в котором начальные векторы энергии-импульса имеют соответствующий вид, сумеет предсказать исход, используя законы сохранения. Но во втором случае та же самая диаграмма говорит нам, что тот, кто сумеет добиться столкновения частиц с векторами энергии-импульса Pi, 1 и Pi, 2, добьется цели только в том случае, если перед столкновением появится античастица-близнец частицы №2, которая также примет участие в процессе соударения. В отсутствие третьей составляющей никто и никогда не сможет добиться столкновения первых двух частиц при выбранных скоростях.

Наша интуиция, основанная на восприятии окружающего мира, может возразить, что эксперимент, в котором на момент соударения присутствуют только две части, в действительности должен быть физически возможным. Однако законы сохранения такую возможность полностью исключают. Мы привыкли к тому, что в нашей Вселенной законы сохранения ограничивают наши действия, но явно не таким образом!


Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Дуальная теорема Пифагора [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/01/DualPythagoreanExtra.html

Дуальные векторы

Предположим, что V – n-мерное векторное пространство, а f – линейная функция, отображающая V на множество действительных чисел R.

Ядром функции f – обозначается ker f – называется подпространство V, в котором f обращается в нуль. ker f имеет размерность не менее n – 1 (а если функция f не равна тождественно нулю, то эта размерность точно совпадает с n ­­­– 1). Например, если n = 2 и f ≠ 0, то f будет обращаться в нуль на прямой, проходящей через нулевую точку V. Если n = 3 и f ≠ 0, то f будет обращаться в нуль на плоскости, проходящей через нулевую точку и так далее. Этот результат является следствием одной из базовых теорем линейной алгебры – «теоремы о ранге и дефекте».

На рисунке показан пример с двумя измерениями; в данном случае функция f обращается в нуль на прямой, проходящей через начало координат параллельно вектору k.

007

Если мы выберем некий вектор v, для которого f(v) отлично от нуля, то в пространстве V найдется такая прямая, проходящая не через начало координат, а через конец вектора v, на которой f всюду равна f(v). Получить эту прямую можно, прибавляя к v векторы, кратные k:

f(\mathbf{v} + s \mathbf{k}) = f(\mathbf{v}) + sf(\mathbf{k}) = f(\mathbf{v}) = 1

Последнее равенство имеет место лишь в силу нашего выбора v, при котором f(v) = 1. Однако любое множество, в пределах которого f сохраняет постоянное значение, будет иметь аналогичный вид: прямая, параллельная вектору k. По аналогии с тем, как на этой диаграмме мы изобразили различные векторы в виде стрелок разной длины и направления, различные линейные функции можно изобразить в виде набора параллельных прямых, варьируя расстояние между соседними прямыми и их ориентацию.

Чем больше вектор, тем длиннее соответствующая ему стрелка; при этом увеличение функции в наших обозначениях выражается не в увеличении промежутков между прямыми, а, наоборот, в более плотном их расположении. Например, чтобы изобразить функцию g = 2f нужно вставить дополнительную прямую между каждыми двумя соседними линиями сетки f, поскольку g достигает 1, когда f равна всего лишь 1/2.

008

Значение f по сути определяет количество промежутков между параллельными прямыми, покрываемыми данным вектором. Так, стрелка, соответствующая вектору w, покрывает два целых промежутка в наборе прямых, соответствующем f, поэтому f(w) = 2. Нам потребуется также учесть стрелки, которые пересекают прямые f в обратном направлении, что дает отрицательное количество промежутков (как в случае p), а также стрелки, которые не покрывают целое число промежутков (например, q), так что в данном случае мы скорее полагаемся на геометрическую интуицию, нежели строгое математическое определение. Но вы, вероятно, уже понимаете, как эта идея соотносится с примерами, приведенными в основной статье, где обсуждалось, сколько борозд на поле или линий равной высоты на карте мы могли бы насчитать, пройдя заданное расстояние в определенном направлении.

Если V содержит более двух измерений, то вместо набора параллельных линий V мы получим набор параллельных плоскостей или гиперплоскостей размерности n–1.

Теперь рассмотрим множеств всех линейных функций из V в R. Это множество также можно представить в виде особого n-мерного векторного пространства, которое называется сопряженным по отношению к V и обозначается V*. Элементы пространства V*, такие как f, мы будем называть дуальными векторами.

Чтобы превратить множество в вещественное векторное пространство, мы должны уметь складывать его элементы друг с другом и умножать их на вещественные числа. В случае множества линейных функций, определенных на V, добиться этого можно весьма очевидным образом; если f и g — элементы V*, v — элемент V, а s — вещественное число, то сумму f + g и результат скалярного умножения s f мы определим, указав значения соответствующих им функций:

(f + g)(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}) + g(\mathbf{v})
(sf)(\mathbf{v}) = sf(\mathbf{v})

Как и в случае с любым другим векторным пространством мы можем выбрать в V* базис, состоящий из n линейных функций, через которые можно выразить любую функцию в V*. Обозначив элементы этого базиса {e1,e2, … en}, мы можем записать:

f = f_1\mathbf{e}^1 + f_2\mathbf{e}^2 + \dots + f_n\mathbf{e}^n,

где f1 и т. д. представляют собой компоненты f относительно выбранного базиса. Если для обозначения компонентов вектора в данных заметках мы будем пользоваться верхними индексами, то для компонентов дуального вектора — наоборот, нижними. Аналогичным образом отдельные векторы базиса будут обозначаться нижними индексами, в то время как векторы дуального базиса — верхними.

Если в пространстве V задан конкретный базис {e1, e2, … en}, то базис {e1, e2, … en} в пространстве V* мы будем называть дуальным по отношению к базису V, если выполняется следующее условие:

\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta^i_j,

где δij, известный также как символ Кронекера, равен 1, когда  i=j, и 0, когда ij. С геометрической точки зрения это означает, что функцию ei при заданном i можно представить в виде такого набора параллельных линий или плоскостей в пространстве V, что вектор ei покрывает ровно один его промежуток, в то время как все остальные векторы базиса ej  находятся на прямой или плоскости, проходящей через начало координат и не пересекают его вообще. Так, на следующем чертеже вектор e2 лежит на прямой e1 = 0, а вектор e1 — на прямой e2 = 0.

ortnt_01x_03

При заданном в V базисе {e1, e2, … en} мы можем найти компоненты произвольной линейной функции f из V* относительно соответствующего дуального базиса, просто передав в функцию f каждый из векторов ei в исходном базисе. Поскольку два базиса дуальны друг другу, все базисные функции, кроме ei, обратятся в нуль на векторе ei, поэтому в итоговой сумме останется только соответствующий ей множитель fi.

f(\mathbf{e}_i) = (f_1\mathbf{e}^1 + f_2\mathbf{e}^2 + \dots + f_n\mathbf{e}^n)(\mathbf{e}_i) = f_i,

Если компоненты вектора v в пространстве V в некотором фиксированном базисе равны vi, а компоненты дуального вектора f в пространстве V* в соответствующем дуальном базисе равны fi, то:

f(\mathbf{v}) = f(v^i \mathbf{e}_i) = f_i v^i,

где для сокращенной записи суммы по повторяющимся индексам (например, v^i \mathbf{e}_i = v^1 \mathbf{e}_1 + v^2 \mathbf{e}_2 + \dots + v^n \mathbf{e}_n) мы воспользовались соглашением Эйнштейна.

Предположим, что в пространстве V определено скалярное произведение. Тогда для любого вектора w из V, мы можем определить линейную функцию fw из V*:

f_{\mathbf{w}}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}

Аналогичным образом, если f — произвольная линейная функция в пространстве V*, то существует такой вектор wf, что f(v) = v · wf для любого v из V. Выберем для V ортонормированный базис {e1, e2, … en}, а затем, вновь воспользовавшись соглашением Эйнштейна, определим wf как

\mathbf{w}_f = f_i \mathbf{e}_i

Компоненты fi определяются по отношению к тому базису V*, который является дуальным к выбранному нами ортонормированному базису в пространстве V. Тогда:

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}_f = \mathbf{v} \cdot [f_i \mathbf{e}_i] = f_i [\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_i] = f_i v^i = f(\mathbf{v})

Таким образом, каждом элементу пространства V можно взаимно однозначно сопоставить элемент сопряженного пространства V*, и наоборот.

Вектор fi ei, который мы таким образом сопоставляем f, ортогонален любому вектору k, принадлежащему ядру f, поскольку скалярное произведение k и fi ei совпадает с f(k) = 0. Так как все прямые (или плоскости и т.д.) в наборе, который мы используем в качестве изображения  f, параллельны прямой (плоскости и т. д.), проходящей через начало координат, т.е. ядру функции f, то данный набор будет целиком ортогонален вектору fi ei.

Мы можем определить скалярное произведение в пространстве V*, если условимся, что любой базис, дуальный по отношению к некоторому ортонормированному базису в V, сам является ортонормированным. Это позволяет определить «длину» или модуль дуального вектора f посредством его квадрата:

|f|^2 = f \cdot f = (f_1 \mathbf{e}^1 + f_2 \mathbf{e}^2 + \cdots + f_n \mathbf{e}^n) = \cdots (f_1 \mathbf{e}^1 + f_2 \mathbf{e}^2 + \cdots + f_n \mathbf{e}^n) = (f_1)^2 + (f_2)^2 + \cdots + (f_n)^2

Здесь fi — компоненты f в базисе {e1, e2, … en} пространства V*, который дуален ортонормированному базису пространства V.

В соответствии с нашей геометрической интерпретацией f, каждая компонента fi = f(ei) представляет собой количество “промежутков в наборе параллельных прямых”, покрытых базисным вектором ei. Иными словами, эти компоненты являются аналогами количеств осцилляций волны, которые укладываются в одном метре вдоль осей x и y соответственно (см. рисунок).

ortnt_01_06

Предположим теперь, что мы пересекаем сетку линий по перпендикуляру — направив единичный вектор параллельно fi ei — иначе говоря, вектор fi ei / |fi ei| — который, как нам известно, ортогонален всем прямым сетки. Количество промежутков, покрытых таким ортогональным вектором, будет равно:

f\left(\cfrac{f_i \mathbf{e}_i}{|f_i \mathbf{e}_i|}\right) = \cfrac{f_i f(\mathbf{e}_i)}{|f_i \mathbf{e}_i|} = \cfrac{f_i f_i}{|f_i \mathbf{e}_i|} = \cfrac{|f|^2}{|f|} = |f|

Это альтернативная формулировка дуальной теоремы Пифагора! Измерив количество промежутков, покрываемых единичным вектором, направленным по перпендикуляру к сетке, мы получаем число |f|, квадрат которого, как мы только что убедились, равен сумме квадратов аналогичных измерений, выполненных при помощи единичных векторов, ориентированных вдоль каждого из n взаимно перпендикулярных направлений.

Часть 1. Дуальная теорема Пифагора

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/01/DualPythagorean.html

Значительную часть физики, действующей в Ортогональной Вселенной, можно понять, проследив ее развитие из ряда довольно простых геометрических идей. Несмотря на то, что их физические следствия порой сильно отличаются от следствий, имеющих место в нашей собственной Вселенной, геометрия по сути остается той же. В данной статье описан один простой пример, который, тем не менее, лежит в основе одного из наиболее важных научных открытий в романе. Этот результат также имеет определенное применение и в нашем мире, поэтому  иметь о нем представление будет нелишним.

Начнем с геометрической задачи, которую практически каждый сможет решить, просто взглянув на чертеж. Предположим, что автомобиль движется по прямой дороге, которая не направлена ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. От исходной точки автомобиль удаляется на 3 км к северу и на 4 км к востоку. Какова длина пройденного им пути?

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов двух других сторон. Отсюда мы сразу получаем ответ: квадраты 3 и 4 равны соответственно 9 и 16, значит, их сумма равна 25, или 52. Таким образом, длина пути, проделанного автомобилем, равна 5 км.

 ORTNT_01_01

Теперь представим себе вспаханное поле с равноотстоящими параллельными бороздами, которые не направлены ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. Если, выбрав в качестве начальной точки вбитый в землю столб, я натяну веревку в северном направлении, то увижу, что она пересекает ровно три целых борозды. Растянув тот же отрезок веревки в восточном направлении, я обнаружу, что количество пересекаемых им целых борозд равно 4. Вопрос состоит в следующем: сколько борозд пересечет веревка, если я натяну ее поперек борозд, под прямым углом к ним?

Если ответ «пять» напрашивается у вас сам собой по аналогии с предыдущей задачей, то вы абсолютно правы — но если вы решили, что это очередное банальное применение теоремы Пифагора, вас следует повнимательнее взглянуть на следующий чертеж. Никакого прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5, там нет!

ORTNT_01_02

И тем не менее, это совпадение отнюдь не вводящая в заблуждение случайность; если бы мы заменили количество борозд, пересекаемых в северном и восточном направлениях как n и e соответственно, то количество борозд f, пересекаемых по перпендикуляру тем же отрезком веревки, будет удовлетворять соотношению f 2 = e2 + n2. Но если это не простой частный случай теоремы Пифагора, откуда же тогда берется эта зависимость?

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, вершина которого находится там же, где и столб, гипотенуза образована ближайшей бороздой, а катеты направлены строго на север и восток, то их длина будет равна соответственно r/3 и r/4, где r — длина веревки.

Длина перпендикуляра, опущенного из прямого угла на гипотенузу, будет равна r/5.

ORTNT_01_03

Теперь имеет смысл перейти к более общему случаю и рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами и b, гипотенузой c; длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла, обозначим d.

Теорема Пифагора дает нам соотношение между величинами ab и cc2 = a2 + b2. Но как связаны между собой ab и d?

ORTNT_01_04

Несмотря на то, что ab и c являются сторонами треугольника, числа ab и d сами по себе не образуют особую тройку. Их общая черта заключается в том, что все три числа являются высотами треугольника, т. е. длинами перпендикуляров, опущенных на стороны из противолежащих вершин. Благодаря этой подсказке, мы легко можем установить между ними взаимосвязь. Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту: иначе говоря, половине длины любой из сторон, умноженной на длину перпендикуляра, опущенного на нее из противолежащей вершины.

Исходя из этого факта, площадь треугольника можно представить в виде двух выражений, которые должны совпадать:

ab/2 = cd/2

Если удвоить обе части этого равенства, а затем возвести его в квадрат, то мы получим, что

a2b2 = c2d2
a2b2 = (a2 + b2)d2
1/d2 = (a2 + b2)/a2b2,

где для перехода от первого равенства ко второму мы воспользовались теоремой Пифагора, а для перехода к третьему — поделили обе части на a2b2d2. Поделив сумму в правой части на знаменатель дроби, мы получим:

Дуальная теорема Пифагора
1 / d2 = 1 / a2 + 1 / b2

Данное соотношение справедливо для любого прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно и b, а высота, опущенная на гипотенузу — d.

Теперь становится понятна точная причина, по которой количество борозд, отмеренных одним и тем же отрезком веревки в северном и восточном направлениях, n и e, а также количество борозд, отмеренных напрямую, f, удовлетворяют соотношению f2 = e2 + n2. В случае с треугольником соответствующие расстояния по отношению к столбу составляют:

a = r/e
b = r/n
d = r/f

Воспользовавшись дуальной теоремой Пифагора, получаем:

1/d2 = 1/a2 + 1/b2
f2/r2 = e2/r2 + n2/r2
f2 = e2 + n2

Почему этот результат играет такую важную роль в физики обеих Вселенных — и нашей, и «ортогональной»? Он говорит нам о том, что соотношению о сумме квадратов, упоминаемых в теореме Пифагора, удовлетворяют не только такие величины, как расстояние, но и также и «дуальные» им величины, выражающие количество чего-либо или величину некоего изменения в расчете на единицу длины.

Мы могли бы заменить борозды на вспаханном поле линиями постоянной высоты на топографической карте изолиний. В этом случае дуальная теорема Пифагора, в частности, говорит нам о том, что если мы находимся в местности, высота которой падает на 30 метров на каждый километр пути в северном направлении и на 40 метров на каждый километр пути в восточном направлении, то (во всяком случае, если рельеф местности в интересующем нас масштабе по форме достаточно близок к наклонной плоскости), то в направлении наиболее крутого склона, расположенном непосредственно по перпендикуляру к изолиниям, градиент составит 50 метров за каждый километр.

ortnt_01_05

Но, пожалуй, наиболее важное применение эта теорема находит в приложении к геометрии волн. Если мы заменим борозды волновыми фронтами (например, гребнями волн в океане или пиками электромагнитных волн), то количество фронтов, укладывающихся в пределах заданного расстояния называется пространственной частотой (в отличие от обычной временной частоты, которая показывает количество колебаний, совершаемых за определенный интервал времени).

Согласно дуальной теореме Пифагора, мы можем найти общую пространственную частоту волны — количество волновых фронтов в расчете на единицу длины, измеренных в направлении распространения волны, — исходя из того, что ее квадрат равен сумме квадратов двух аналогичных величин, измеренных в двух или более взаимно перпендикулярных направлениях.

ortnt_01_06

В нашей Вселенной это просто полезный факт. Однако в «Ортогональной Вселенной» он радикально меняет понимание самой физики.

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Плюс, минус. Ненавязчивое введение в физику «Ортогональной Вселенной»

Оригинал статьи:
http://gregegan.customer.netspace.net.au/ORTHOGONAL/00/PM.html

В течение последнего года, или около того, большую часть своего бодрствования я проводил в мире, где законы, которым подчиняются свет, материя, энергия и время, отличаются от законов, управляющих нашей Вселенной. Изучая движение и взаимодействие объектов в условиях этих альтернативных законов, можно обнаружить и привычные нам закономерности, и странные или даже пугающе-прекрасные явления, и леденящие душу опасности.

Чтобы попасть в мир, который я называю римановой Вселенной, нужно всего-навсего поменять знак «-» на «+» в одном из уравнений, определяющих геометрию пространства-времени.И что любопытно, понимание фундаментальных законов этой Вселенной — несмотря на то, что их следствия зачастую выглядят весьма непривычно — оказывается более простым и интуитивным, чем в случае с законами реального мира.

Уже более ста лет нам известно, что лучший способ разобраться в природе нашего времени — это объединить его с тремя привычными пространственными измерениями, создав тем самым четырехмерное пространство-время, которое подчиняется особым геометрическим правилам. Если Ньютон воспринимал время как абсолютную, универсальную величину, которая неуклонно двигалась вперед с одной и той же скоростью вне зависимости от наблюдателя, то благодаря Эйнштейну мы поняли, что течение времени служит мерой некоего аспекта, который по отношению к нашей четырехмерной траектории в пространстве-времени играет ту же роль, что и длина — по отношению к маршруту в пространстве.

Никого не удивляет, что различные пространственные маршруты, соединяющие одну и ту же пару точек, могут иметь различную протяженность. Если я поеду на машине из Перта в Сидней по наиболее прямому маршруту, в то время как вы поедете в обход, чтобы по пути заглянуть в Дарвин, вы едва ли будете шокированы тем, что пройденные расстояния, согласно показаниям наших одометров, окажутся разными. Теперь мы понимаем, что объездные пути в пространстве-времени могут аналогичным образом влиять и на ход времени.Если накануне Нового 2050-го Года вы отправитесь в «путешествие» на 10 лет вперед, при этом все время оставаясь на земле, а я проделаю аналогичный маршрут, соверши путешествие до альфы Центавра и обратно, то к моменту возвращения постарею примерно на шесть лет, в то время как вы — на все десять.

Если объездной путь в пространстве увеличивает продолжительность маршрута, то в пространстве-времени — наоборот, уменьшает. Объясняется это довольно просто: при измерении временных интервалов в пространственно-временной версии теоремы Пифагора вместо суммы фигурирует разность — знак «+» меняется на «-«.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольник равен сумме квадратов его катетов. Например:

ORTNT_00_01

Однако в случае пространства-времени сумма квадратов меняется на разность:

ORTNT_00_02

В целях упрощения формулы, мы выбрали единицы измерения таким образом, чтобы время и пространство были равноправны: иначе говоря, время измеряется в годах, а расстояние — в световых годах. Воспользовавшись двумя аналогичными треугольниками, мы можем доказать приведенное выше утверждение о том, что путешествие до альфы Центавра, удаленной от Земли на расстояние около четырех световых лет, может привести к тому, что я состарюсь всего лишь на шесть лет, в то время как вы, оставшись на Земле, — на десять.

ORTNT_00_03

С нашей точки зрения эти треугольники, разумеется, выглядят некорректными: отрезок, изображающий гипотенузу, длина которой должна составлять «3 года», явно короче вертикального отрезка, соответствующего «5 годам». Но в этом-то все и дело: лоренцева геометрия пространства-времени отличается от геометрии пространства, поэтому мы не можем в точности изобразить каждую деталь на листе бумаги.

Теперь мы можем легко сформулировать, чем именно наша Вселенная отличается от исследуемого мною альтернативного мира. В римановой Вселенной привычная нам теорема Пифагора действует всегда, даже когда речь идет о пространственно-временных интервалах. Пространственно-временные диаграммы для этой Вселенной можно с абсолютной достоверностью изобразить на листе бумаги! А наивная интуиция, которая подсказывает вам, что треугольник, стороны которого равны соответственно «5 годам» и «4 световым годам», должен выглядеть вот так

ORTNT_00_04

теперь абсолютно верна. В римановой Вселенной время, затраченное на путешествие к далекой звезде, с точки зрения путешественников, будет не меньше, а, наоборот, больше.

Тот факт, что в межзвездных перелетах путешественники тратят больше времени, чем все остальные, может показаться досадной помехой, но помимо этого существует целая масса других отличий, проистекающих из все той же простой перемены знака и влияющих буквально на все: от видимой картины звездного неба до стабильности материи.

В нашей Вселенной знак «минус» в пространственно-временной версии теоремы Пифагора означает, что как только расстояние (выраженное в световых годах) становится больше времени (выраженного в годах), разность квадратов становится отрицательным числом. Если мы, к примеру, представим, что расстояние в 5 световых лет можно покрыть за 4 года, то, согласно формуле, квадрат затраченного времени должен быть равен -9. Поскольку квадрат вещественного числа не может быть меньше нуля, подобное гипотетическое путешествие, по-видимому, обладает каким-то качественным отличием. Указывает оно, конечно же, на тот факт, что преодолеть такое большое расстояние за такое короткое время просто невозможно.

В римановой Вселенной аналогичное путешествие не вызывает никаких проблем. С точки зрения экипажа, путь длиной в 5 световых лет займет 6,4 года, хотя для того, кто остался дома, путешествие потребует всего лишь 4 лет, а наблюдаемая скорость корабля на четверть превысит скорость света. В римановой Вселенной скорость движения не ограничена.

Более того, в римановой Вселенной свет тоже не имеет фиксированной скорости, поэтому такие понятия, как «световой год» и «скорость света» по сути применимы лишь в нашей Вселенной. В римановой Вселенной «скорость света» нам придется заменить неким коэффициентом пропорциональности между временем и расстоянием, при котором теорема Пифагора принимает наиболее простой вид. Как вы можете заметить, теорема Пифагора не работает, если расстояние с севера на юг измерено в километрах, а с востока на запад — в милях; точно так же и в римановой Вселенной все сводится к экспериментальному подбору таких единиц измерения для времени и расстояния, при которых теорема становится верной.


Какого это — жить в мире, в котором свет может двигаться с разной скоростью? В нашей Вселенной это, конечно, тоже имеет место, когда свет проходит через прозрачные материалы вроде стекла, однако в римановой Вселенной скорость света может меняться даже в космическом вакууме. Разные длины световых волн в нашем восприятии соответствуют различным цветам; в римановой Вселенной световые волны различной длины всегда будут двигаться с различными скоростями.

Чтобы найти соотношение между длиной волны и скоростью света, достаточно заметить, что в пространстве-времени расстояние между волновыми фронтами световой волны всегда будет одним и тем же независимо от скорости, с которой движется свет. Почему? Мы предполагаем, что физика нашей Вселенной не делает различий между направлениями в трехмерном пространстве; если мы возьмем лазер и направим его на юго-восток, то ожидаем, что свойства созданного им света будут точно такими же, как если бы мы направили лазер на север или северо-запад. Аналогичным образом и фундаментальная физика римановой Вселенной не должна делать различий между пространственно-временными направлениями, характеризующими скорость света.

Предположим, что пространственно-временная диаграмма умеренно быстрого светового импульса выглядит следующим образом:

ORTNT_00_05

В данном случае «траектория», которую мы изобразили для этого импульса, показывает в целом его движение в пространстве-времени. И подобно тому, как гребни волн на воде перпендикулярны направлению распространения самой волны, волновые фронты, соответствующие максимумам световой волны, перпендикулярны ее траектории.

Длина световой волны — это расстояние между волновыми фронтами в пространстве. Направление, которые мы выбираем в качестве пространственного, разумеется, зависит от характера нашего собственного движения, который, следовательно, будет влиять и на измеренную нами длину волны. В то же время расстояние между фронтами, измеренное вдоль перпендикулярного к ним направления, представляет собой свойство самого света, которое никоим образом не зависит от наблюдателя, производящего измерение.

Чтобы узнать длину волны в случае более медленного импульса, достаточно просто повернуть сетку волновых фронтов, изображенных на предыдущей диаграмме, не меняя расстояния между самим фронтами:

ORTNT_00_06

Иными словами, более медленный свет характеризуется большей длиной волны. Если мы переведем это вывод на язык цветов, которые в нашем восприятии соответствуют различным длинам волн, то сможем утверждать, что красный свет медленнее фиолетового.

Когда вы смотрите на ночное небо в римановой Вселенной, красный свет, излучаемый каждой звездой, будет добираться до вас на несколько лет или даже веков дольше, чем фиолетовый — поэтому если звезда совершает боковые движения, вам будет казаться, что точки, из которых исходят различные цвета, немного отличаются друг от друга. На месте звезд вы увидите не отдельные светящиеся точки, а протяженные спектры, или «цветные шлейфы», причем угол между красным и фиолетовым цветами будет напрямую зависеть от боковой скорости звезды.


Что можно сказать о поведении материи в римановой Вселенной помимо отсутствия универсального предела скоростей? Для понимания самого поразительного отличия двух миров нам потребуется вначале обрисовать кое-какие простые идеи, касающиеся физики нашей собственной Вселенной.

Существуют две важные величины, которые мы приписываем любому движущемуся телу: импульс и кинетическая энергия. Пожалуй, наиболее простой способ описать эти величины — это представить себе пулю, выпущенную в некий барьер, сконструированный для того, чтобы остановить ее движение за счет постоянной противодействующей силы. В этом случае импульс определяет время, необходимое, чтобы остановить пулю, а кинетическая энергия — расстояние, которое пуля успеет преодолеть до полной остановки. Обе величины зависят только от массы пули и ее скорости.

С появлением теории относительности мы пришли к пониманию, что по аналогии с пространством и временем, которые разумнее всего воспринимать в качестве двух аспектов единой сущности, пространства-времени, энергия и импульс движущегося тела представляют собой две стороны единого геометрического объекта, называемого вектором энергии-импульса. Этот термин может показаться чересчур формальным, но в действительности изобразить его очень просто. В случае неподвижного тела вектор энергии-импульса — это всего-навсего стрелка, направленная в сторону временной оси пространства-времени, и имеющая длину, равную массе тела.

ORTNT_00_07

Если тело начинает двигаться, то первоначальную стрелку нужно повернуть на определенный угол, соответствующий количеству пространства, которое тело преодолевает за определенное время; чем больше скорость тела, тем сильнее наклон.

Может показаться, что на приведенной выше диаграмме стрелка мы не просто наклонили стрелку, а еще и увеличили ее длину. На самом деле это всего лишь иллюзия, вызванная изображением пространства-времени на листе бумаги; если мы вычислим длину наклонной стрелки с помощью пространственно-временной теоремы Пифагора, то окажется, что ее длина в точности совпадает с длиной вертикальной стрелки.

Для чего же нужны эти векторы энергии-импульса? Измерив протяженность такого вектора вдоль временной оси, вы получите энергию тела. А измерение протяженности вдоль пространственной оси даст вам его импульс.

ORTNT_00_08

Здесь есть одна небольшая хитрость — протяженность вектора энергии-импульса в направлении оси времени соответствует так называемой полной энергии, которая помимо кинетической энергии тела включает в себя энергию, связанную с его массой. Таким образом, хотя неподвижное тело обладает нулевым импульсом (как и ожидалось), его полная энергия нулю не равна; напротив, полная энергия в этом случае целиком определяется его массой (которая, как вы помните, есть ни что иное, как длина упомянутых стрелок). Когда тело приходит в движение, величина, на которую его полная энергия увеличивается по сравнению с «энергией массы покоя», представляет собой его кинетическую энергию.

Почему мы не привели здесь знаменитую формулу, связывающую энергию с массой покоя, E=mc2. В выбранных нами единицах измерения скорость света c всегда будет равна единице (скажем 1 световой год/год), поэтому E=m и необходимость в c2 отпадает.

А что же происходит в римановой Вселенной? Мы снова изобразим стрелку, длина которой совпадает массе тела, и повернем ее на угол, соответствующий скорости движения:

ORTNT_00_09

На этот раз поворот выглядит именно так, как и должен: мы собственными глазами видим, что обе стрелки имеют одинаковую длину. Теперь вместо специальной пространственно-временной теоремы Пифагора действует ее исходный вариант, поэтому можем не только изобразить римановы векторы энергии-импульса на обыкновенном листе бумаги, но и измерить их длину с помощью обыкновенной линейки.

Как это изменение повлияет на энергию и импульс движущегося тела?

ORTNT_00_10

В римановой Вселенной наклон стрелки приводит к тому, что ее проекция на ось времени становится короче, чем в случае неподвижного тела. Иначе говоря, у движущегося тела полная энергия  меньше, чем у покоящегося! Мы по-прежнему можем определить кинетическую энергию тела как разность между этими двумя величинами, только теперь она будет обозначать не прирост  энергии, а ее уменьшение.

Утверждение о том, что движущееся тело обладает меньшим количеством энергии по сравнению с неподвижным, звучит крайне необычно, но в действительности «перевернутый» характер кинетической энергии никак не проявляет себя в простейших ситуациях. Все положения классической ньютоновской механики, с которой мы знакомы в нашей собственной Вселенной, остаются в силе для тел, движущихся с небольшой скоростью: в римановой Вселенной вы могли бы сыграть в пул, не заметив никакой разницы. Приближенные формулы для импульса и кинетической энергии, действующие при небольших скоростях, справедливы в обеих Вселенных — за исключение знака «-» в случае кинетической энергии, однако обнаружить важность этого факта на бильярдном столе вам не удастся. Кинетическая энергия отрицательно по сравнению с энергией массы покоя, но в нашей Вселенной энергия массы покоя проявляет себя только в ходе ядерных реакций. Может быть, эта странная причуда римановой Вселенной останется незаметной в повседневной жизни и обнаружить ее позволят лишь замысловатые эксперименты из области высоких энергий?

Мы, однако же, упускаем из виду кое-что отнюдь не замысловатое — свет! В нашей Вселенной свет не обладает массой покоя, а его вектор энергии-импульса, благодаря пространственно-временной версии теоремы Пифагора, может иметь нулевую длину. Для этого полная энергия не обязательно должна быть равна нулю — достаточно, чтобы она была равна импульсу тела (при условии, что в выбранных единицах измерения скорость света равна единице). В этом случае протяженности вектора в направлении пространственной и временной осей компенсируют друг друга, когда мы вычисляем разность их квадратов:

ORTNT_00_11

В римановой Вселенной это невозможно; вектор может иметь нулевую длину только в том случае, когда он не имеет протяженности ни в одном из направлений. Без массы покоя нет ни энергии, ни импульса. Следовательно, в римановой Вселенной свет, как и любая другая материя, обладает массой покоя.

Далее, любой процесс, создающий свет, должен получить необходимую для этого энергию в какой-то другой форме — например, в виде кинетической или химической энергии. Но если кинетическая энергия отрицательна по сравнению с полной, «получить» — не вполне корректное слово. Создавая свет, нужно позаботиться о соблюдении закона сохранения энергии, но так как полная энергия света будет положительной, то полная энергия источника света — чем бы он ни был, — должна уменьшиться…а его кинетическая энергия, таким образом, должна увеличиться.

Иными словами, система, создающая свет, увеличивает свою кинетическую энергию — ее компоненты начинают двигаться быстрее.

В качестве простого, конкретного примера рассмотрим химическую реакцию, создающую свет. В самом начале, когда мы только смешиваем реагенты друг с другом, они остаются практически неподвижными (их кинетическая энергия будет отлична от нуля в силу присутствия тепла, но будем считать ее количество пренебрежимо малым). Для простоты мы также предположим, что массы реагентов совпадают. Таким образом, на диаграмме «До» их векторы энергии-импульса представляют собой всего лишь две одинаковые стрелки, направленные вдоль оси времени.
На диаграмме «После» нам нужно учесть векторы энергии-импульса, соответствующие созданному свету, а также продуктам химической реакции. Мы будем считать, что масса продуктов совпадает с массой реагентов; это вовсе не обязательно, но, как мы увидим, вполне возможно.

Чтобы уместить все векторы на диаграмме «После», сохранив полную энергию неизменной, нам придется наклонить векторы продуктов. Иначе говоря, продукты реакции должны будут прийти в движение — чтобы компенсировать потребность в полной энергии созданного света, им придется избавиться от части собственной полной энергии и увеличить энергию кинетическую.

Кинетическая энергия, созданная в ходе химической реакции, проявляется в виде тепла, поэтому реакция будет проходить с выделением как тепла, так и света. В нашей Вселенной свет и тепло также являются результатом сгорания топлива с той разницей, что создаваться они будут за счет изменения химической энергии, которое можно обнаружить, благодаря (крайне малой) разнице между массой реагентов и продуктов. В нашем же примере нам удалось создать свет и тепло, совершенно не полагаясь на подобное изменение массы! Мы решили выбрать массу продуктов такой же, как и у реагентов, но реакция бы имела место, даже если бы мы сделали их массу чуть больше или чуть меньше.

В римановой Вселенной процесс создания света может сопровождаться выделением тепла как с сопутствующим изменением химической энергии, так и без него. А в некоторых случаях химическая энергия, очевидно, представляет собой более полезный продукт реакции, недели тепло. Вместо того, чтобы получать необходимую для фотосинтеза энергию за счет поглощения света, растения в римановой Вселенной стали бы излучать свет, чтобы запастись образующейся в результате химической энергией.

Тот факт, что создание света сопровождается увеличением кинетической энергии, превращает риманову Вселенную в место, полное опасностей. Чтобы безопасно извлекать энергию из этого процесса, живым существам придется освоить ряд искусных химических реакций, при этом , что распад угрожает даже простейшим строительным блокам материи.В нашей Вселенной атом или молекула, поглощая фотон, может перейти в состояние с более высокой энергией — при этом его связи становятся слабее. Например, ультрафиолетовое излучение, присутствующее в солнечном свете, может расщеплять некоторые молекулы. В римановой Вселенной аналогичный процесс не требует внешнего источника излучения: даже материя находится в сильно связанном состоянии, она сама может стать источником света и в результате приобрести кинетическую энергию, которая разорвет ее на части. В силу этого эффекта сохранять стабильность способны лишь некоторые структуры.

В чем ценность изучения Вселенной, законы которой отличаются от законов нашего собственного мира? Мы, конечно, можем допустить, что такая Вселенная действительно имеет шансы на существование — да еще и населена существами, которые задумываются над тем, как была бы устроена жизнь, если бы один из их плюсов превратился в минус. Но дело не только в этом: анализируя наши законы и изучая их работу в условиях новых допущений мы также начинаем лучше понимать физику собственного мира. Мы можем углубить понимание многих явлений — будь то человеческое общество, геология планеты, химия жизни или наиболее фундаментальные законы физики — пытаясь представить себе их альтернативы.

Риманова Вселенная полна опасностей и сюрпризов. В этом очерке мы коснулись лишь малой ее части, но я надеюсь, что даже это беглое знакомство с ее чудесами доставило вам удовольствие.