Сентябрь 2016 – Far Above The World

Геометрия и движение [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/MotionExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Измерение энергии различными наблюдателями

В основной статье, посвященной геометрии и движению, мы определили вектор энергии-импульса данного тела как вектор, который направлен по касательной к соответствующей мировой линии и имеет длину, равную массе тела. Очевидно, что на любой кривой существуют два различных направления, поэтому мы добавили следующее правило: угол между вектором тела и временной осью описывающего его наблюдателя не должен превышать 90°.

Так вот, данная схема полезна в том случае, если вы собираетесь описывать все происходящие события в единой системе отсчета. Если же у вас имеются два наблюдателя, движущихся относительно друг друга, то в ряде случаев правило о наклоне вектора заставит их выбрать для вектора энергии-импульса противоположные направления вдоль мировой линии, а значит, их описания окажутся несовместимыми друг с другом.

В лоренцевой Вселенной подобная проблема не возникает, поскольку обычные наблюдатели, даже находясь в движении относительно друг друга, всегда соглашаются насчет знака временной компоненты любого вектора. Мы, конечно, можем вообразить наблюдателей, движущихся назад во времени, но они составляют отдельный класс, в котором все временные компоненты по сравнению с нашими имеют отрицательный знак. В римановой Вселенной все обстоит иначе: если вы, ориентируясь на положительное направление вашей временной оси, пометили стрелкам некоторый набор мировых линий, соответствующих телам, движущимся с различными скоростями, а я двигаюсь относительно вас достаточно быстро, то направление моих стрелок в некоторых случаях будет согласовано с вашим, а в других – нет. Если каждый из нас посчитает сумму векторов энергии-импульса, то результирующие векторы окажутся совершенно не связанными друг с другом. Мы, конечно же, будем пользоваться различными системами координат, но проблема отнюдь не в этом; преобразовать вектор из одной системы в другую довольно легко. Но если оставить этот вопрос в стороне и просто рассмотреть отдельные векторы энергии-импульса P_i в качестве геометрических объектов, независимых от выбора системы координат, то ваш результирующий вектор может оказаться равным P₁ + P₂ + P₃ + P₄, в то время как мой P₁ + P₂ – P₃ – P₄; иными словами, мы получим два совершенно разных вектора.

Так как в действительности нет никакой физической причины [*] для выбора определенного направления на мировой линии, вектор энергии-импульса в 4-пространстве имеет неопределенный знак. К счастью тензор энергии-импульса, содержащий информацию о плотности и потоке энергии и импульса данного тела, не зависит от выбора направления вдоль мировой линии. Координатная матрица тензора энергии-импульса для данного тела плотности ρ в покоящейся относительно него системе отсчета имеет следующий вид:

$T^{ab} = \rho u^a u^b$ ,

где u – это 4-скорость тела. Очевидно, что изменение знака u никак не влияет на значение тензора! Следовательно, если один из наблюдателей рассчитает тензор энергии-импульса в своей системе координат, а другой – соответственно в своей, то полученные ими результаты будут связаны обычными геометрическими правилами преобразования тензоров.

Сохранение энергии и импульса в этом случае выражается тем фактом, что дивергенция тензора энергии-импульса (для любого объекта, включая материю и излучение), равна нулю.

Принимая сказанное во внимание, заметим, что нет никакой ошибки в том, чтобы зафиксировав систему отсчета, рассчитать в ней полную энергию и импульс интересующей нас системы. Мы можем производить физические выкладки в рамках описанного ниже гамильтонова формализма, при котором, выбрав временную координату, мы можем определить положительную полную энергию, играющую роль гамильтониана. В этом формализме полная энергия и импульс будут сохраняться. Единственной ошибкой было бы объединить эти сохраняющиеся величины в 4-вектор, рассчитывая на то, что подобные 4-векторы, полученные разными наблюдателями, будут связаны друг с другом простым поворотом системы координат.

[*] Если тело обладает электрическим зарядом, симметрия между двумя направлениями на соответствующей мировой линии нарушается. Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в разделе, посвященном риманову электромагнетизму.

Симметрии

Давайте для простоты предположим, что четырехмерная риманова Вселенная является плоской и бесконечной во всех направлениях. Эта модель, несмотря на свою идеализированность, довольно полезна; аналогичная идеализация нашей собственной Вселенной, известная как пространство-время Минковского, составляет основу специальной теории относительности и большей части релятивистской квантовой физики.Поскольку такая идеализированная Вселенная подчиняется постулатам евклидовой геометрии, мы будем называть ее евклидовым 4-пространством.

[NB: в физической литературе термин “евклидов” зачастую применяется к вариациям физических законов, полученных с помощью поворота Вика. Эти законы не имеют отношения к законам Ортогональной Вселенной.]

Выберем некое событие O в качестве начала отсчета, четыре взаимно перпендикулярных направления в качестве координатных осей x, y, z и t, а также систему единиц измерения. Теперь любое событие в этой Вселенной можно обозначить четверкой действительных чисел (x, y, z, t). Множество всех таких четверок в математике известно как R⁴.

R⁴ – это векторное пространство, в котором длину |v| произвольного вектора v = (v^x, v^y, v^z, v^t) в R⁴ можно выразить с помощью стандартного скалярного произведения:

$|\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (v^x)^2 + (v^y)^2 + (v^z)^2 + (v^t)^2$

Если Вселенная искривлена, то мы, вообще говоря, не можем складывать или вычитать координаты двух событий, но в данном случаи эти операции дают вполне осмысленный результат, так как рассматриваемая нами Вселенная является плоской. Вектор, направленный от события a = (a^x, a^y, a^z, a^t) к событию b = (b^x, b^y, b^z, b^t), выражается простой формулой b–a = (b^x–a^x, b^y–a^y, b^z–a^z, b^t–a^t), а расстояние между двумя событиями равно |b–a|.

Теперь предположим, что наше евклидово 4-пространство заполнено различными телами, которые следует законам в сущности геометрической природы (примером может служить закон сохранения энергии и импульса). Чтобы глубже понять, о каких геометрических законах может идти речь, мы можем рассмотреть множество симметрий пространства – операций, меняющих расположение или ориентацию тел, но оставляют неизменными характерные геометрические свойства, такие как расстояния между событиями, углы между мировыми линиями или промежутки между соседними волновыми фронтами.

Строго говоря, функция f:R⁴→R⁴ называется симметрией, если для любых событий a и b, расстояние между f(a) и f(b) совпадает с расстоянием между a и b:

$|f(\mathbf{b}) - f(\mathbf{a})| = |\mathbf{b} - \mathbf{a}|$

С интуитивной точки зрения несложно представить три вида функций, удовлетворяющих данному условию и описанных в терминах геометрических операций:

параллельные переносы, которые сдвигают все точки на фиксированное расстояние в фиксированном направлении;
повороты, при которых как минимум одна точка остается без изменений, а все остальные жестко поворачиваются вокруг нее;
отражения, которые меняют ориентацию фигур на противоположную, но оставляют неизменными расстояния и углы.

Параллельный перенос легко определить математически. Положим для произвольного вектора s:

$T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} + \mathbf{s}$

T_s очевидно является симметрией, так как:

$T_{\mathbf{s}}(\mathbf{b}) - T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{b} - \mathbf{a}$

Так как параллельные переносы могут переместить начало отсчета в любое другое событие, мы сосредоточим внимание на поворотах и отражения, которые не меняют начало координат. Чтобы получить симметрию наиболее общего вида, их всегда можно скомбинировать с параллельными переносами.

Симметрия R, которая оставляет без изменения начало отсчета, будет линейной функцией в R⁴; следовательно, мы можем складывать, вычитать и умножать на число как до, так и после ее применения, ожидая получить одинаковый результат:

$R(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = R(\mathbf{v}) + R(\mathbf{w})&fg=000000$
$R(s \mathbf{v}) = s R(\mathbf{v})$

Каждой линейной функции в пространстве R⁴ соответствует 4×4-матрица Rⁱ_j, такая, что:

$R(\mathbf{v}) = R(v^j\mathbf{e}_j)=R^{i}_{j}v^{j}\mathbf{e}_i$ ,

где компоненты вектора v^j и компоненты матрицы Rⁱ_j относятся к стандартному базису {e_x, e_y, e_z, e_t}, а к повторяющимсяиндексам применено соглашение Эйнштейна о суммировании. Иными словами, любую линейную функцию в векторном пространстве R⁴ можно воспроизвести с помощью матрицы, умножаемой на компоненты вектора.

Если симметрия R оставляет неизменным начало отсчета, то она сохраняет стандартное скалярное произведение в пространстве R⁴, поэтому для любых векторов v и w:

$R(\mathbf{v}) \cdot R(\mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

Это перефразированное утверждение о том, что R оставляет неизменными длины векторов и углы между ними (в силу того, что эти величины выражаются через скалярное произведение).

Предположим, что v = e_i и w = e_j, где e_i – это i-ый вектор стандартного базиса в R⁴, а именно четверка чисел, в которой i-ая компонента равна 1, а все остальные – нули. В этом случае:

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}$

Но поскольку стандартный базис является ортонормированным, то e_i · e_j = δ_i_j (дельта-символ Кронекера, равный 1, если i=j, и 0, если i≠j) … что также верно и в отношении i, j-компоненты единичной матрицы размера 4×4, I₄.

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}=(I_4)^{i}_{j}$

Более того,

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = R^{k}_{i}R^{k}_{j}=(R^{T})^{i}_{k}R^{k}_{j}=(R^{T}R)^{i}_{j}$ ,

где R^T – транспонированная матрица R, полученная из R заменой строк на столбцы. Поскольку соответствующие компоненты R^T R и I₄ равны, матрицы должны совпадать:

$R^{T}R=I_4$ ,

и, следовательно, матрица R^T обратна R.

Это позволяет нам охарактеризовать все линейные функции, представляющие собой симметрии евклидова 4-пространства: транспонированная матрица такой функции должна совпадать с обратной. Множество всех таких матриц размера 4×4 обозначается O(4) и называется ортогональной группой степени 4.

Перейдем к конкретным примерам. Следующая матрица:

$\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)$

осуществляет поворот на угол θ в плоскости xy и угол φ в плоскости zt. Умножив ее на соответствующую транспонированную матрицу, имеем:

$\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&\sin\theta&0&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&\sin\varphi\\ 0&0&-\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

В качестве более простого примера можно привести матрицу отражения, которая меняет знак x-координаты:

$\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

Умножив ее на транспонированную матрицу (которая в данном случае совпадает с исходной), получаем:

$\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

Отличить чистый поворот от отражения можно по определителю матрицы. Матрицы поворота имеют определитель, равный 1, а отражения – определитель, равный –1. Множество всех матриц размера 4×4, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4) и называется специальной ортогональной группой степени 4.

Группа преобразований, получаемых путем комбинирования произвольных элементов ортогональной группы O(4) с параллельными переносами, называется евклидовой группой степени 4, E(4). Данная группа описывает все симметрии четырехмерного евклидова пространства. Если мы ограничиваемся только поворотами и параллельными переносами – исключая тем самым отражения – то получаем SE(4), или специальную евклидову группу.

Иногда произвольную симметрию евклидовой группы, включая параллельные переносы, удобно представить в матричном виде. Для этого можно ввести соглашение о дополнительной единице, которую мы будем дописывать в конце четверки, обозначающей координаты события в R⁴. В данных обозначениях мы можем представить линейную операцию R и параллельный перенос на вектор s в виде общей матрицы:

$\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)$

Это матрица размера 5×5; символ R в данном случае заменяет матрицу размера 4×4, символ s – первые 4 компонента последнего столбца, а 0 – первые четыре компонента последней строки. Принимая во внимание умножение векторов с дополнительной компонентой-единице, имеем:

$\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R \mathbf{v} + \mathbf{s}\\ 1\end{array}\right)$

Перемножая матрицы, мы видим, как соответствующие им симметрии взаимодействуют друг с другом при последовательном применении; при этом матрица первой симметрии в произведении должна стоять справа:

$\left(\begin{array}{cc}R_2&\mathbf{s_2}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}R_1&\mathbf{s_1}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R_{1}R_{2}&R_{2}\mathbf{s_1} + \mathbf{s_2} \\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)$

Гамильтониан и лагранжиан свободной классической частицы

В вводном разделе, посвященном вектору энергии-импульса, мы рассмотрели свободную частицу со скоростью v и вывели формулы для ее полной энергии E и импульса p, которые по определению представляют собой t– и x-компоненты вектора энергии-импульса:

(1) $\begin{equation*} E=\cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} p=\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} E^2 = m^2 - p^2 \end{equation*}$

Теперь нашей целью будет описание той же самой частицы в терминах гамильтоновой и лагранжевой механик. Это не даст нам никакой новой информации о поведении частицы, которая, как мы уже знаем, просто следует вдоль прямой мировой линии в четырехмерном евклидовом пространстве, но позволит договориться о знаках и соглашениях, необходимых для получения правильных результатов, что, в свою очередь, существенно облегчит использование гамильтонова и лагранжева формализмов для решения более сложных задач.

Во-первых, мы будем исходить из предположения о выборе некой системы прямоугольных координат x, y, z и t. Во-вторых, мы упростим анализ, дополнительно условившись, что частица движется исключительно вдоль оси x, т. е. нам достаточно рассмотреть только одну пространственную координату; этот случай легко обобщается на трехмерное пространство.

В гамильтоновой механике гамильтониан H представляет собой полную энергию системы, выраженную в виде функции от n обобщенных координат qⁱ, i=1,…n, описывающих степени свободы системы, n импульсов p_i, сопряженных этим координатам, и времени t. В этом случае уравнения Гамильтона позволяют вычислить скорости изменения импульсов и координат^[1]:

(4) $\begin{equation*} \cfrac{dp_i}{dp} = -\cfrac{\partial H}{\partial q^i} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \cfrac{dq^i}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_i} \end{equation*}$

В случае с частицей, движущейся в направлении оси x, единственной координатой будет x, а соответствующим сопряженным импульсом будет p. Таким образом, на первый взгляд может показаться, что достаточно подставить H(x, p, t) = E из уравнения (3):

(6) $\begin{equation*} H(x, p, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}$

считая, что импульс, сопряженный координате x, совпадает с x-компонентой вектора энергии-импульса.

Но это предположение неверно! Применив его к уравнению (5), получаем:

(7) $\begin{equation*} \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2 - p^2}}{\partial p} = -\cfrac{p}{\sqrt{m^2 - p^2}} = -v \end{equation*}$

Это неверный результат! Ошибкой было предположить, что импульс, определенный геометрически как x-компонента вектора энергии-импульса, обязательно равен импульсу, сопряженному координате x в рамках гамильтонова формализма.

Исправить ее, впрочем, довольно легко. Ошибка исчезает, если ввести “гамильтонов импульс”

(8) $\begin{equation*} p_H = -p = -\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

в качестве импульса, сопряженного координате x:

(9) $\begin{equation*} H(x, p_H, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_H} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2-p_{H}^2}}{\partial p_H} = -\cfrac{p_H}{\sqrt{m^2 - p_{H}^2}} = v \end{equation*}$

Теперь все правильно! Этот вывод может показаться тривиальным, однако верно расставить знаки проще на данном этапе, пока мы не столкнулись с особенностями римановой термодинамики, в которой температура может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и выбор правильного знака может оказаться уже не столь очевидным.

Воспользовавшись первым уравнением Гамильтона, (4), получаем:

(11) $\begin{equation*} \cfrac{dp_H}{dt} = -\cfrac{\partial H}{\partial x} = 0 \end{equation*}$

Этот результат всего лишь выражает тот факт, что импульс частицы не меняется во времени.

Теперь мы рассмотрим лагранжиан свободной частицы. Лагранжиан, или функция Лагранжа, L, – это величина, обладающая следующим свойством: ее интеграл по времени – называемый действием, S – достигает максимума или минимума при варьировании траектории частицы^[2]. Это сразу же дает нам подсказку: если мы сделаем L dt пропорциональным длине сегмента мировой линии частицы за интервал времени dt, то действие S = ∫L dt будет пропорционально длине мировой линии. Поскольку кратчайшей линией, соединяющей две заданные точки, является прямая, минимальное значение действия будет достигаться на прямых мировых линиях – именно это и является нашей целью в случае свободной частицы.

Формально лагранжиан L определяется как функция обобщенных координат системы qⁱ, скоростей их изменения во времени q^•ⁱ = dqⁱ / dt и времени t. В случае нашей системы, обладающей единственной координатой x, скорость изменения которой совпадает с v, имеем:

(12) $\begin{equation*} \begin{aligned} L(x, v, t)dt = Cds \\ L(x, v, t) = \cfrac{Cds}{dt} \end{aligned} \end{equation*}$

где s – четырехмерное расстояние, измеренное вдоль мировой линии частицы, а C – константа, значение которой нам предстоит определить.

Если частица движется со скоростью v в выбранной нами системе отсчета, четырехмерное расстояние s вдоль ее мировой линии можно получить непосредственно из теоремы Пифагора: его квадрат равен сумме квадратов затраченного времени t, и расстояния, пройденного частицей, в трехмерном пространстве, x = vt:

(13) $\begin{equation*} s(t) = \sqrt{t^2 + v^2t^2} = t\sqrt{1 + v^2} \end{equation*}$

Воспользовавшись этим равенством совместно с (12), получаем:

(14) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cfrac{ds}{dt} = \sqrt{1 + v^2} \\ L(x, v, t) = C \sqrt{1 + v^2} \end{aligned} \end{equation*}$

В общем случае уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид^[2]:

(15) $\begin{equation*} \cfrac{d}{dt} \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} = \cfrac{\partial L}{\partial q^i} \end{equation*}$

Применив их к нашей системе, получаем:

(16) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial v} = \cfrac{\partial L}{\partial x} \\ \cfrac{d}{dt}\cfrac{Cv}{\sqrt{1+v^2}} = 0 \\ \cfrac{C}{m}\cfrac{dp}{dt} = 0 \end{aligned} \end{equation*}$

Иначе говоря, независимо от выбора константы C, это уравнение опять-таки говорит нам о том, что импульс частицы не меняется со временем. Мы однако же можем найти подходящее значение C, воспользовавшись взаимосвязью гамильтоновой и лагранжевой механик, выражающей сопряженные гамильтоновы импульсы через функцию Лагранжа^[3]:

(17) $\begin{equation*} p_i = \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \end{equation*}$

Для нашей системы с учетом (8) и (14), получаем:

$p_H = \cfrac{\partial L}{\partial v}$
$-\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} = \cfrac{Cv}{\sqrt{1 + v^2}}$
$C = -m$

Таким образом, окончательное выражение для нашего лагранжиана выглядит следующим образом:

(18) $\begin{equation*} L(x, v, t) = -m \sqrt{1 + v^2} \end{equation*}$

В качестве перекрестной проверки можно убедиться в том, что гамильтониан и лагранжиан удовлетворяют соотношению, которое в общем случае имеет вид^[1]:

(19) $\begin{equation*} H = p_i \dot{q}^{i} - L \end{equation*}$

В случае нашей системы имеем:

(20) $\begin{equation*} \begin{split} H &= \\ & = p_H v - L = \\ & = v\cfrac{-mv}{\sqrt{1 + v^2}} - (-m\sqrt{1 + v^2}) = \\ & = m\left(\sqrt{1 + v^2} - \cfrac{v^2}{\sqrt{1 + v^2}}\right) = \\ & = \cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{split} \end{equation*}$

что согласуется с уравнением (1).

Таким образом, при использовании гамильтонова и лагранжева формализмов в контексте римановой физики необходимо учитывать следующее:

Гамильтониан H свободной частицы равен ее полной энергии, выраженной через “гамильтонов импульс” p_H, противоположный обычному геометрическому импульсу.
Действие S свободной частицы массой m равно произведению –m и обычной евклидовой длины соответствующей мировой линии; лагранжиан L частицы представляет собой производную данного действия по времени.

Литература

[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т.Т. 1. Механика. – 5 изд. стереот. – М. Физматлит, 2004. § 40.

[2] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 2.

[3] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 7.

Геометрия и движение

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/Motion.html

Лоренцева и риманова геометрии

Названия, которые мы даем пространственным направлениям в нашей Вселенной – вверх, вниз, налево, направо, вперед, назад, север, юг – всегда определяются по отношению к конкретным объектам, будь то наше тело или планета, на которой мы находимся. Мы поступаем так из соображений удобства, однако выбора у нас в сущности и нет – мы вынуждены ориентироваться по окружающим нас объектам, поскольку с точки зрения фундаментальной геометрии пространства все направления равноценны.

Менее очевиден тот факт, что говоря о “будущем” или “прошлом”, мы неявно подразумеваем будущее или прошлое конкретного объекта или группы объектов. Говоря, к примеру, о движении на один час “в будущее”, мы обычно имеем в виду, что сами остаемся неподвижными по отношению к окружающим нас улицам и зданиям. Однако направление, которому в пространстве-времени следует проносящийся мимо нас автомобиль, годится на роль “будущего” ничуть не хуже направления, вдоль которого движется фонарный столб на обочине – с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени все подобные направления являются равноценными.

Направление, которое я называю “вперед”, вам может показаться направление “влево”; или же вы могли бы подумать, что “находитесь в состоянии покоя, то есть движетесь только в будущее”, хотя с моей точки зрения в межзвездном пространстве проноситесь мимо меня на скорости тысяча километров в секунду. Тем не менее, далеко не все направления в пространстве-времени неотличимы друг от друга. В конечном счете мы всегда будем придерживаться одного и того же мнения насчет деления направлений на времениподобные, пространственноподобные и изотропные.

Времениподобные направления описывают движение обыкновенных предметов, которые нас окружают. Мы могли бы сказать, что “машина движется на восток”, но при этом, разумеется, понимаем, что одновременно она движется и в будущее, поэтому на пространственно-временной диаграмме ее движение будет представлять собой прямую, которая движется в сторону будущего, слегка отклоняясь на восток.

Пространственноподобное направление “восток” можно изобразить на диаграмме, однако ни один реально существующий объект не может двигаться в пространстве-времени таким образом, чтобы перемещаясь на восток, не перемещаться при этом во времени.

Промежуточное положение между времени- и пространственноподобными направлениями занимают направления, описывающие движение света; такие направления называются светоподобными или изотропными.

Предположим, что некто, использующий систему единиц, в которой скорость света равна 1 (например, единицей времени служит год, а единицей расстояния – световой год), измерив расстояние и временной интервал между двумя событиями в пространстве-времени, получает соответственно x и t. В этом случае о векторе, соединяющем два события, можно сказать следующее:

если x²–t² меньше нуля, то вектор является времениподобным (например, векторы AB и AC на диаграмме);
если x²–t² больше нуля, то вектор является пространственноподобным (например, вектор AE на диаграмме);
если x²–t² равно нулю, то вектор является светоподобным (например, вектор AD на диаграмме).

ortnt_02_01

В основе специальной теории относительности лежит открытие того факта, что все наблюдатели, которые, двигаясь с постоянной скоростью, измеряют величину x²–t², получат одно и то же значение и, следовательно, будут придерживаться одной и той же классификации векторов на времениподобные, пространственноподобные и светоподобные. Разновидность пространственно-временной геометрии, в которой x²–t² является инвариантом – то есть величиной, со значением которой согласны все наблюдатели – называется лоренцевой геометрией.

Во Вселенной с римановой геометрией, напротив, величиной, не зависящей от наблюдателя, является x²+t². По сути это квадрат расстояния между двумя точкам евклидова пространства, выраженный посредством теоремы Пифагора.

(Если геометрия искривлена, то это будет верно лишь при измерении x и t в достаточно малом масштабе; аналогичным образом и искривленная поверхность Земли подчиняется евклидовой геометрии только в том случае, если интересующий нас ее фрагмент достаточно мал.)

Этот квадрат расстояния, x²+t², всегда больше нуля (если не считать тривиальный случай, когда и x, и t равны нулю). Таким образом, упомянутые выше различия между времениподобными, пространственноподобными и светоподобными направлениями исчезают; в римановой Вселенной, все направления по сути равноправны. Между направлением, которое некий наблюдатель мог бы назвать “востоком” и направлением, которое этот же наблюдатель мог бы назвать “будущим”, нет никакого фундаментального различия.

ortnt_02_02

В случае лоренцевой геометрии мы использовали скорость света, чтобы выбрать подходящие единицы измерения для x и t. В римановой Вселенной единой, универсальной скорости света не существует. Как же нам в таком случае выбрать правильные единицы измерения для расстояния и времени? Мы просто в порядке эксперимента подбираем такое соотношение между единицами длины и времени, при котором теорема Пифагора становится верной во всех случаях – даже если мы применяем ее к объединенному пространству-времени. Все уравнения римановой физики, приводимые в данных заметках, будут опираться именно на такой выбор единиц измерения.

Пока что мы несколько упрощали ситуацию, предполагая, что интересующие нас векторы охватывают лишь два измерения нашей системы координат. К тому же векторы, которые мы рассматривали до настоящего моменты, представляли собой векторы сдвига, который можно сравнить с воображаемыми стрелками, направленными от события A к событию B. В данных заметках мы будем говорить о произвольных векторах, компоненты которых имеют отношение к четырем измерениям, но при этом могут выражать какие-либо величины помимо расстояния. Таким образом, в общем случае для описания вектора v мы будем использовать компоненты v^x, v^y, v^z и v^t. (Заметим, что верхние индексы в данном случае используются для идентификации отдельных компонент вектора и не имеют никакого отношения к возведению в степень.) Квадрат длины четырехмерного вектора v в этом случае выражается с помощью обобщения двумерной теоремы Пифагора на случай четырех измерений:

|v|² = (v^x)² + (v^y)² + (v^z)² + (v^t)²

Длина вектора |v| будет одинаковой для всех наблюдателей, даже если они пользуются различными системами координат и в ходе измерения фиксируют различные значения для отдельных компонент v^x, v^y, v^z и v^t.

Скалярные произведения

В рамках римановой геометрии наблюдатели, использующие различные системы координат, придут к соглашению не только относительно длин векторов, но и углов между векторами. Благодаря этому, мы можем определить инвариантную величину, объединяющую в себе как углы, так и расстояния.

Скалярное произведение векторов v и w определяется следующим образом: для каждого из четырех измерений x, y, z и t нужно перемножить соответствующие компоненты двух векторов, а затем сложить полученные произведения. Мы будем обозначать эту величину как v·w. Таким образом,

v·w = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z + v^t w^t (Риманово скалярное произведение)

Из этого определения следует, что квадрат длины вектора – это просто результат скалярного умножения на самого себя:

|v|² = v·v

Скалярное произведение остается неизменным при повороте системы координат. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим треугольник, две из сторон которого представляют собой векторы v и w; третья сторона будет равна v – w (как на приведенной ниже диаграмме). Квадрат ее длины составит:

|v – w|² = (v – w)·(v – w) = |v|² + |w|² – 2 v·w

Поскольку v · w = (|v|² + |w|² – |v – w|²) / 2 и ни одна из упомянутых длин не меняется при повороте, величина скалярного произведения также остается неизменной.

003

Если угол между v и w равен θ, то:

v·w = |v||w|cosθ

Это утверждение неочевидно, но его легко доказать. Рассмотрим вначале простейший случай, когда w лежит на положительной полуоси x (следовательно, w^y=w^z=w^t=0 и w^x>0), а v находится в плоскости xt (т.е. v^y=v^z=0).

В силу нулевых компонент получаем:

v·w = v^xw^x
|w| = w^x

Кроме того, по определению косинуса

v^x = |v|cosθ

Следовательно, в данном конкретном случае

v·w = |v||w|cosθ

Но каковы бы ни были векторы v и w, вышеупомянутым ограничениям всегда можно удовлетворить за счет поворотов системы координат. Это не изменит ни длины векторов, ни угол θ между ними, ни величину скалярного произведения, поэтому если наше утверждение справедливо после поворота, оно должно быть верным и в общем случае.

Косинус угла положителен, когда угол меньше 90°, обращается в нуль, если угол точно равен 90°, и отрицателен, если угол заключен между 90° и 180°. Следовательно,

если v·w > 0, то v и w направлены указывают примерно в одну и ту же сторону (угол между ними меньше 90°);
если v·w = 0, то v и w перпендикулярны;
если v·w < 0, то v и w, грубо говоря, указывают в противоположные стороны (угол между ними больше 90°).

Предположим, что u – единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна 1. Любой другой вектор v всегда можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен u, а другой ему перпендикулярен. Та составляющая v, которая параллельна u, называется проекцией вектора v на u. Обе составляющие вектора v можно явно выразить следующим образом:

v = (u·v) u + (v – (u·v)u)

Первое слагаемое, очевидно, параллельно u, так как представляет собой вектор u, умноженный на число u·v. Скалярное произведение u·v почти совпадает с длиной проекции v на u; единственное отличие состоит в том, что u·v будет отрицательным, если два вектора, грубо говоря, направлены в противоположные стороны – в этом случае скалярное произведение будет равно длине проекции, взятой с обратным знаком.

Второе слагаемое перпендикулярно u; чтобы это доказать, достаточно вычислить его скалярное произведение с u:

u·(v – (u·v)u)
= (u·v) – (u·v) (u·u)
= (u·v) – (u·v)
= 0

ortnt_02_04

Единичные векторы, направленные вдоль четырех координатных осей, мы будем обозначать как e_x, e_y, e_z и e_t; каждый из этих четырех векторов называется базисным вектором системы координат. В этом случае компоненты любого вектора v в данной системе координат определяются его скалярными произведениями с базисными векторами.

vⁱ = e_i · v, где i=x, y, z, t

В римановой Вселенной эта векторная геометрия устроена довольно просто: по сути она представляет собой привычную евклидову геометрию пространства с одним дополнительным измерением для времени. В лоренцевой Вселенной нам, напротив, всегда нужно помнить о разнице в знаках в случае временного измерения. Так, скалярное произведение двух четырехмерных векторов (или “4-векторов”) в лоренцевой Вселенной содержит произведение временных координат со знаком “минус”:

v·w = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z – v^t w^t (Лоренцево скалярное произведение)

Время без времениподобных направлений

Идея Вселенной, геометрия которой лишена какой-либо концепции времени, может вызвать в воображении нечто вроде снимка нашей собственной Вселенной – один момент, застывший и неизменный. Но по должном размышлении оказывается, что такая картина попросту лишена смысла. В четырех измерениях наша Вселенная тоже кажется неизменной; для нас суть изменения заключается в том, что последовательные трехмерные срезы четырехмерной Вселенной отличаются друг от друга. И если законы, управляющие поведением римановой Вселенной, также допускают различия между последовательными трехмерными срезами, в ней найдется место и для аналога явления, которое будет восприниматься как изменение.

Теория относительности утверждает, что нет никакого “единственно верного” способа разрезать нашу Вселенную на отдельные моменты времени. С точки зрения различных люди, движущихся относительно друг друга, эти разрезы, как правило, будут отличаться, причем каждый будет воспринимать собственную мировую линию – маршрут или историю, вдоль которой они следует в пространстве-времени – как ось времени, а любое перпендикулярное ей направление – как направление в пространстве.

Хотя нам, вероятно, не так просто предположить, какие именно объекты могут существовать в римановой Вселенной, оказывается, что она, помимо всего прочего, будет заполнена мировыми линиями. (Детальное обоснование этого факта требует привлечения квантовой механики, однако в следующей статье, посвященной волнам, мы вкратце затронем особенности возникновения мировых линий.) Главное отличие состоит в том, что если в лоренцевой Вселенной мировые линии должны следовать вдоль времениподобных направлений, то в римановой Вселенной никаких ограничений касательно их направления нет.

Обычно мы воспринимаем время как некое универсальное явление, а отнюдь не как свойство нашей собственной мировой линии, поскольку в повседневной жизни окружающие нас люди и предметы по отношению друг к другу движутся крайне медленно, а наши мировые линии образуют узкий пучок, в пределах которого они едва заметно колеблются из стороны в сторону, но в целом, можно сказать, остаются параллельными. В большинстве практических ситуаций именно отсюда и возникает представление о едином, универсальном времени. В нашем повседневном опыте ключевую роль играет именно общее движение, а отнюдь не тот факт, что некое (гораздо более обширное!) множество направлений с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени выделяется в особую времениподобную категорию. В римановой Вселенной аналогичный пучок почти параллельных линий будет способствовать формированию точно такого же ощущения, в соответствии с которым практически полезное, общее представление о времени ассоциируется с осью пучка.

Итак, давайте примем на веру, что мы в состоянии представить себя на месте обитателей римановой Вселенной, с нашими собственными мировыми линиями. По аналогии с нашей собственной Вселенной, мы, как правило, будем использовать временную координату с осью которой сонаправлена нашей мировой линии, а пространственные координаты будем выбирать так, чтобы их оси были перпендикулярны оси времени. Мы также предположим, что можем однозначно выбрать на своей мировой линии направление “будущего”. Как и в нашей Вселенной, этот выбор сводится к вопросу об энтропии: будущее – это направление увеличения энтропии.

Любое тело, мировая линия которого параллельна нашей собственной, покажется нам неподвижным, так как в нашей системе отсчета его положение в пространстве с течением времени будет оставаться неизменным. Тело, мировая линия которого наклона по отношению к нашей, мы будем считать движущимся.

У нас есть своя временная координата t, однако в соответствии с теорией относительности ход времени для конкретного тела должен измеряться вдоль его мировой линии. Время, измеренное таким образом, называется собственным временем, τ. В римановой Вселенной собственное время между двумя событиями – это просто длина мировой линии интересующего нас тела, которая с точностью до выбора единиц измерения совпадает с длиной, измеренной вдоль любой другой кривой.

Теперь рассмотрим единичный вектор u, направленный по касательной к мировой линии тела. Такой вектор мы будем называть 4-скоростью, поскольку он имеет 4 измерения и описывает состояние движения тела в конкретный момент времени. Обычную (трехмерную) скорость тела v в конкретной системе отсчета можно получить, разделив пространственные компоненты u на соответствующую временную компоненту; если рассмотреть диаграмму, на которой движение ограничено плоскостью xt, то:

v^x = u^x / u^t,

так как если бы тело продолжило движение вдоль касательной, параллельной вектору u, оно бы переместилось на расстояние u^x за время u^t.

Тело, изображенное на диаграмме, конечно же, не поддерживает свою скоростью постоянной,, а движется с ускорением. 4-устроением, которое мы будем обозначать a, называется скорость изменения 4-скорости тела относительно его собственного времени τ. Это можно записать в виде:

a = ∂_τu

Пусть вас не беспокоят эти обозначения. Символ “∂” – это все лишь лаконичный способ записи “скорости изменения чего-либо”, в то время как индекс τ указывает на то, что речь идет об изменении u в ответ на изменение τ.

Так как 4-скорость u всегда является единичным вектором, то она может менять только свое направление, но никак не длину. Это, в свою очередь, означает, что 4-ускорение a должно быть перпендикулярно u.

ortnt_02_06

Предположим, что тело изначально покоится в нашей системе отсчета, а затем подвергается постоянному ускорению в направлении оси x. Говоря точнее, мы требуем, чтобы модуль ускорения, a, был постоянным, а вектор 4-ускорения оставался в плоскости xt. Вначале мировая линия тела будет параллельна нашей оси t, но затем станет постепенно наклонятся в сторону оси x.

ortnt_02_07

В лоренцевой Вселенной тело будет двигаться все быстрее и быстрее, но никогда не достигнет скорости света.

В ньютоновской Вселенной скорость тела не ограничена сверху, но в любой конечный момент времени будет выражаться конечной величиной.

В римановой Вселенной мировая линия тела будет представлять собой дугу окружности. Этот результат не должен вас удивлять, поскольку геометрия и математика этого процесса нам уже знакомы. В общем и целом, они соответствуют движению в условиях центробежной силы: постоянное усилие, тянущее тело в сторону, заставляет его двигаться по окружности.

Координаты тела (x, t), а также его 4-скорость и 4-ускорение можно записать в виде явных функций его собственного времени:

x(τ) = 1/a (1 – cos a τ, sin a τ)
u(τ) = ∂_τx(τ) = (sin a τ, cos a τ)
a(τ) = ∂_τu(τ) = a (cos a τ, –sin a τ)

Таким образом, спустя конечное время – 1/a с нашей точки зрения, или π/(2a) с точки зрения самого тела – 4-скорость тела окажется параллельной нашей оси x, а его скорость с нашей точки зрения станет бесконечной. После этого в нашей системе отсчета тело начнет двигаться назад во времени!

Заметим, что условия, при которых такое постоянное ускорение можно поддерживать на практике, в римановой Вселенной зависят от механизма, оказывающего на тело необходимое воздействие; кроме того, любой подобный процесс, так же, как и в нашей Вселенной, должен следовать строгим правилам, касающимся количества энергии и энтропии. Тем не менее, если сосредоточиться на чистой кинематике, данная диаграмма показывает, что произойдет с телом, если ему удастся достичь равноускоренного движения.

Векторы энергии-импульса

Предположим, что каждому окружающему нас телу сопоставлена стрелка, которая направлена по касательной к его мировой линии, и имеет длину, равную массе тела. Мы всегда будем выбирать эти стрелки так, чтобы их направление в целом соответствовало направлению нашего персонального “будущего”; говоря точнее, мы будем выбирать их направление таким образом, чтобы их угол с нашей осью времени не превышал 90°.

Такая стрелка называется вектором энергии-импульса, который мы будем обозначать символом P. Мы уже определили единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела, его 4-скорость u, поэтому можем записать:

P = mu

Для простоты предположим вначале, что мировая линия тела целиком лежит в плоскости xt, тем самым ограничившись двумя измерениями. t-компоненту вектора энергии-импульса мы будем называть полной энергией E, а соответствующую x-компоненту – импульсом p. Тогда:

P^t = E
P^x = p
m² = |P|² = (P^t)² + (P^x)² = E² + p²

ortnt_02_08

Далее, скорость тела v будет равна u^x / u^t, т. е. отношению между x- и t-компонентами соответствующей 4-скорости:

v = p/E

Воспользовавшись двумя последними уравнениями, получаем:

p = Ev
E² = m² – p² = m² – E²v²
E² (1 + v²) = m²,

что позволяет нам выразить E и p через m и v:

E = m / √(1 + v²)
p = mv / √(1 + v²)

В этих выражениях вы, вероятно, узнаете слегка видоизмененные релятивистские формулы, в которых 1 – v² заменено на 1 + v².

Разложив 1 / √(1 + v²) в ряд Тейлора, мы можем аппроксимировать эти формулы для малых значений v:

1 / √(1 + v²) ≈ 1 – (1/2) v²
E ≈ m – (1/2) mv²
p ≈ mv

В данном случае приближенное значение импульса, mv, совпадает с импульсом тела в обычной физике Ньютона. В этой физике кинетическая энергия тела имеет вид:

K_Newtonian = (1/2) mv²,

поэтому полную энергию можно приближенно выразить как

E ≈ m – K_Newtonian

Мы считаем, что в нашей Вселенной тело обладает энергией массы покоя mc² (= m, если единицы измерения выбраны так, что c=1), а полная энергия получается из нее добавлением кинетической энергии тела. В римановой Вселенной кинетическую энергию приходится вычитать из энергии массы покоя. Точное значение римановой кинетической энергии K определяется следующим образом:

K = m – E = m (1 – 1 / √(1 + v²))

Как в ньютоновской, так и в лоренцевой физике кинетическая энергия неограниченно возрастает с увеличением скорости. В ньютоновской физике скорость неограниченна, поэтому величину K_Newtonian можно сделать сколь угодно большой. В лоренцевой физике v<1, но по мере приближения к скорости света (которая при соответствующем выборе единиц измерения равна 1) кинетическая энергия

K_Lorentzian = m (1 / √(1 – v²) – 1)

также возрастает без каких-либо ограничений. В римановой физике, так же, как и в физике Ньютона, измеряемая скорость тела не ограничена; если мировая линия тела перпендикулярна вашей собственной, его скорость будет бесконечной. Но какова бы ни была скорость тела, его кинетическая энергия никогда не превзойдет массу покоя m.

ortnt_02_09

Как быть с потенциальной энергией? Потенциальную энергию можно определить привычным образом, в терминах сил, действующих на интересующие нас частицы – в этом случае сумма кинетической и потенциальной энергии будет сохраняться. Далее мы затронем тему электромагнетизма в римановой физике и увидим, какую форму примет потенциальная энергия электростатического поля. Тем не менее, уже сейчас мы можем отметить один любопытный факт. Система из двух связанных частиц, как правило, обладает меньшей потенциальной энергией по сравнению с аналогичной системой свободных частиц, поскольку в связанном состоянии частицы находятся “на дне потенциальной ямы” и со всех сторон окружены отлогой стеной. В лоренцевой физике это приводит к “дефекту массы”: масса связанной системы меньше, чем сумма масс ее частей, взятых по отдельности. В римановой физике кинетическая и потенциальная энергии противоположны энергии массы покоя, поэтому дефект массы действует наоборот: масса связанной системы превышает сумму масс ее частей.

При небольших скоростях риманова физика практически не отличается от физики Ньютона, и тот факт, что кинетическая энергия “перевернута вверх ногами”, может оказаться отнюдь не очевидным. Если количество частиц фиксировано, а их взаимодействие ограничивается упругими соударениями, то кинетическая энергия либо передается от одной частицы к другой, либо преобразуется в потенциальную энергию. Но если ситуация допускает создание новых частиц, соотношение между кинетической энергией и энергией массы покоя может приводить к поразительным последствиям: создание новой частицы будет уравновешено не снижением потенциальной или кинетической энергии порождающей системы, а наоборот, ее увеличением. Мы уже обращали внимание на то, что в римановой физике масса системы взаимосвязанных компонентов превышает суммарную массу ее отдельных частей, поэтому материя, которая, находясь в связанном состоянии, скажем, обладает способностью к излучению света, рискует обратить в свет излишек своей массы и в процессе распасться на части! В трилогии последствия этого факта – а также загадочная способность материи сохранять стабильность в подобных условиях – исследуются гораздо подробнее.

Законы сохранения

Имея определение вектора энергии-импульса, мы должны быть в состоянии описать сохранение энергии и импульса в процессе взаимодействия римановых тел. Мы могли бы настоять на выборе конкретной системы отсчета, в которой каждому интересующему нас телу сопоставлен вектор энергии-импульса – таким образом, что по отношению к данной системе отсчета все они будут направлены в будущее – а затем сказать, что закон сохранения соблюдается в том случае, когда сумма всех векторов энергии-импульса, соответствующих различным телам, до взаимодействия совпадает с аналогичной суммой, взятой после взаимодействия.

Существует, впрочем, гораздо более изящное решение, которое в принципе не зависит от выбора конкретной системы отсчета. Мы просто чертим стрелку вдоль мировой линии тела, полагаем ее длину равной массе и выбираем направление стрелок таким образом, чтобы все они были направлены от взаимодействия. Если энергия и импульс сохраняются, сумма всех этих стрелок должна быть равна нулю.

ortnt_02_10

Приняв эту симметричную формулировку закона сохранения, мы теперь можем выяснить, в чем заключается ее смысл с точки зрения конкретного наблюдателя, который, став свидетелем взаимодействия, приписывает телам векторы энергии-импульса “до” и “после” соответствующего события.

Исходные стрелки направлены от события взаимодействия, поэтому наблюдателю придется инвертировать те из них, которые, по его мнению, имеют отношение к телам до взаимодействия, чтобы ориентировать их в направлении собственного будущего. Но так как сумма исходных стрелок равна нулю, то сумма инвертированных стрелок будет равна сумме остальных.Таким образом, с точки зрения наблюдателя энергия и импульса в процессе взаимодействия будут сохраняться, независимо от того, какое направление он выберет в качестве “будущего”.

Как наблюдателю поступить с мировой линией, которая в точности перпендикулярна выбранной им оси времени? По сути единственный выход в такой ситуации – произвольным образом решить: либо мы считаем, что все подобные объекты возникают в результате взаимодействия, а их стрелки, соответственно, остаются без изменений и интерпретируются как векторы энергии-импульса после взаимодействия, либо что все они, наоборот, вовлекаются во взаимодействие, поэтому соответствующие им стрелки меняют направление на противоположное и впоследствии интерпретируются как векторы энергии-импульса до взаимодействия. Можно показать, что и в том, и в другом случае энергия и импульс будут сохраняться.

ortnt_02_11

Странные соударения

Предположим, что два точечных тела в римановой Вселенной испытывают лобовое столкновение. Предположим, что речь идет об абсолютно упругом ударе, при котором энергия не переходит в другую форму, а тела не распадаются на части и не прилипают друг к другу.

В рамках этих допущений мы, зная один из векторов энергии-импульса для каждой из частиц, участвующих в соударении, сможем найти все остальные векторы, используя законы сохранения. Рассмотрим, к примеру следующую диаграмму; зная начальные векторы энергии-импульса P_{i, 1} и P_{i, 2} (для первой и второй частицы соответственно), мы можем рассчитать конечные векторы энергии-импульса P_{f, 1} и P_{f, 2}. В случае соударения, показанного на этой диаграмме, энергия и импульс сохраняются, поэтому любой наблюдатель, который, находясь в римановой Вселенной, сможет создать условия для подобного столкновения, может рассчитывать на то, что его исход в общих чертах будет выглядеть именно так, как на нашем рисунке.

012

На следующей диаграмме мы изобразили то же самое соударение, повернув его примерно на 60 градусов – в данном случае нам пришлось инвертировать направление стрелки P_{f, 2}, чтобы ее энергия в новой системе отсчета была положительной. Это соударение по-прежнему является совершенно корректным и удовлетворяет законам сохранения…, однако с позиции наблюдателя, использующего показанную на диаграмме ось времени, теперь вместе сходятся три мировых линии, а остается после соударения только одна. С этой точки зрения вторая частица сталкивается с соответствующей античастицей, после чего они аннигилируют, и выделившаяся при этом энергия передается первой частице, которая в результате теряет значительную часть своей скорости (полная энергия по своему смыслу противоположна кинетической).

ortnt_02_13

Тот факт, что одни и те же события могут по-разному восприниматься различными наблюдателями, для теории относительности явление типичное, однако настоящая неожиданность поджидает нас в том случае, когда мы пытаемся представить, как происходящее будет выглядеть с точки зрения наблюдателя, который попытается создать условия для подобного соударения. В первом случае мы можем сказать, что любой наблюдатель, проводящий эксперимент, в котором начальные векторы энергии-импульса имеют соответствующий вид, сумеет предсказать исход, используя законы сохранения. Но во втором случае та же самая диаграмма говорит нам, что тот, кто сумеет добиться столкновения частиц с векторами энергии-импульса P_{i, 1} и P_{i, 2}, добьется цели только в том случае, если перед столкновением появится античастица-близнец частицы №2, которая также примет участие в процессе соударения. В отсутствие третьей составляющей никто и никогда не сможет добиться столкновения первых двух частиц при выбранных скоростях.

Наша интуиция, основанная на восприятии окружающего мира, может возразить, что эксперимент, в котором на момент соударения присутствуют только две части, в действительности должен быть физически возможным. Однако законы сохранения такую возможность полностью исключают. Мы привыкли к тому, что в нашей Вселенной законы сохранения ограничивают наши действия, но явно не таким образом!

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Дуальная теорема Пифагора [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/01/DualPythagoreanExtra.html

Дуальные векторы

Предположим, что V – n-мерное векторное пространство, а f – линейная функция, отображающая V на множество действительных чисел R.

Ядром функции f – обозначается ker f – называется подпространство V, в котором f обращается в нуль. ker f имеет размерность не менее n – 1 (а если функция f не равна тождественно нулю, то эта размерность точно совпадает с n – 1). Например, если n = 2 и f ≠ 0, то f будет обращаться в нуль на прямой, проходящей через нулевую точку V. Если n = 3 и f ≠ 0, то f будет обращаться в нуль на плоскости, проходящей через нулевую точку и так далее. Этот результат является следствием одной из базовых теорем линейной алгебры – «теоремы о ранге и дефекте».

На рисунке показан пример с двумя измерениями; в данном случае функция f обращается в нуль на прямой, проходящей через начало координат параллельно вектору k.

007

Если мы выберем некий вектор v, для которого f(v) отлично от нуля, то в пространстве V найдется такая прямая, проходящая не через начало координат, а через конец вектора v, на которой f всюду равна f(v). Получить эту прямую можно, прибавляя к v векторы, кратные k:

$f(\mathbf{v} + s \mathbf{k}) = f(\mathbf{v}) + sf(\mathbf{k}) = f(\mathbf{v}) = 1$

Последнее равенство имеет место лишь в силу нашего выбора v, при котором f(v) = 1. Однако любое множество, в пределах которого f сохраняет постоянное значение, будет иметь аналогичный вид: прямая, параллельная вектору k. По аналогии с тем, как на этой диаграмме мы изобразили различные векторы в виде стрелок разной длины и направления, различные линейные функции можно изобразить в виде набора параллельных прямых, варьируя расстояние между соседними прямыми и их ориентацию.

Чем больше вектор, тем длиннее соответствующая ему стрелка; при этом увеличение функции в наших обозначениях выражается не в увеличении промежутков между прямыми, а, наоборот, в более плотном их расположении. Например, чтобы изобразить функцию g = 2f нужно вставить дополнительную прямую между каждыми двумя соседними линиями сетки f, поскольку g достигает 1, когда f равна всего лишь 1/2.

008

Значение f по сути определяет количество промежутков между параллельными прямыми, покрываемыми данным вектором. Так, стрелка, соответствующая вектору w, покрывает два целых промежутка в наборе прямых, соответствующем f, поэтому f(w) = 2. Нам потребуется также учесть стрелки, которые пересекают прямые f в обратном направлении, что дает отрицательное количество промежутков (как в случае p), а также стрелки, которые не покрывают целое число промежутков (например, q), так что в данном случае мы скорее полагаемся на геометрическую интуицию, нежели строгое математическое определение. Но вы, вероятно, уже понимаете, как эта идея соотносится с примерами, приведенными в основной статье, где обсуждалось, сколько борозд на поле или линий равной высоты на карте мы могли бы насчитать, пройдя заданное расстояние в определенном направлении.

Если V содержит более двух измерений, то вместо набора параллельных линий V мы получим набор параллельных плоскостей или гиперплоскостей размерности n–1.

Теперь рассмотрим множеств всех линейных функций из V в R. Это множество также можно представить в виде особого n-мерного векторного пространства, которое называется сопряженным по отношению к V и обозначается V*. Элементы пространства V*, такие как f, мы будем называть дуальными векторами.

Чтобы превратить множество в вещественное векторное пространство, мы должны уметь складывать его элементы друг с другом и умножать их на вещественные числа. В случае множества линейных функций, определенных на V, добиться этого можно весьма очевидным образом; если f и g – элементы V*, v – элемент V, а s – вещественное число, то сумму f + g и результат скалярного умножения s f мы определим, указав значения соответствующих им функций:

$(f + g)(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}) + g(\mathbf{v})$
$(sf)(\mathbf{v}) = sf(\mathbf{v})$

Как и в случае с любым другим векторным пространством мы можем выбрать в V* базис, состоящий из n линейных функций, через которые можно выразить любую функцию в V*. Обозначив элементы этого базиса {e¹,e², … eⁿ}, мы можем записать:

$f = f_1\mathbf{e}^1 + f_2\mathbf{e}^2 + \dots + f_n\mathbf{e}^n$ ,

где f₁ и т. д. представляют собой компоненты f относительно выбранного базиса. Если для обозначения компонентов вектора в данных заметках мы будем пользоваться верхними индексами, то для компонентов дуального вектора – наоборот, нижними. Аналогичным образом отдельные векторы базиса будут обозначаться нижними индексами, в то время как векторы дуального базиса – верхними.

Если в пространстве V задан конкретный базис {e₁, e₂, … e_n}, то базис {e¹, e², … eⁿ} в пространстве V* мы будем называть дуальным по отношению к базису V, если выполняется следующее условие:

$\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta^i_j$ ,

где δⁱ_j, известный также как символ Кронекера, равен 1, когда i=j, и 0, когда i≠j. С геометрической точки зрения это означает, что функцию eⁱ при заданном i можно представить в виде такого набора параллельных линий или плоскостей в пространстве V, что вектор e_i покрывает ровно один его промежуток, в то время как все остальные векторы базиса e_j находятся на прямой или плоскости, проходящей через начало координат и не пересекают его вообще. Так, на следующем чертеже вектор e₂ лежит на прямой e¹ = 0, а вектор e₁ – на прямой e² = 0.

ortnt_01x_03

При заданном в V базисе {e₁, e₂, … e_n} мы можем найти компоненты произвольной линейной функции f из V* относительно соответствующего дуального базиса, просто передав в функцию f каждый из векторов e_i в исходном базисе. Поскольку два базиса дуальны друг другу, все базисные функции, кроме eⁱ, обратятся в нуль на векторе e_i, поэтому в итоговой сумме останется только соответствующий ей множитель f_i.

$f(\mathbf{e}_i) = (f_1\mathbf{e}^1 + f_2\mathbf{e}^2 + \dots + f_n\mathbf{e}^n)(\mathbf{e}_i) = f_i$ ,

Если компоненты вектора v в пространстве V в некотором фиксированном базисе равны vⁱ, а компоненты дуального вектора f в пространстве V* в соответствующем дуальном базисе равны f_i, то:

$f(\mathbf{v}) = f(v^i \mathbf{e}_i) = f_i v^i$ ,

где для сокращенной записи суммы по повторяющимся индексам (например, $v^i \mathbf{e}_i = v^1 \mathbf{e}_1 + v^2 \mathbf{e}_2 + \dots + v^n \mathbf{e}_n$ ) мы воспользовались соглашением Эйнштейна.

Предположим, что в пространстве V определено скалярное произведение. Тогда для любого вектора w из V, мы можем определить линейную функцию f_w из V*:

$f_{\mathbf{w}}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

Аналогичным образом, если f – произвольная линейная функция в пространстве V*, то существует такой вектор w_f, что f(v) = v · w_f для любого v из V. Выберем для V ортонормированный базис {e₁, e₂, … e_n}, а затем, вновь воспользовавшись соглашением Эйнштейна, определим w_f как

$\mathbf{w}_f = f_i \mathbf{e}_i$

Компоненты f_i определяются по отношению к тому базису V*, который является дуальным к выбранному нами ортонормированному базису в пространстве V. Тогда:

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}_f = \mathbf{v} \cdot [f_i \mathbf{e}_i] = f_i [\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_i] = f_i v^i = f(\mathbf{v})$

Таким образом, каждом элементу пространства V можно взаимно однозначно сопоставить элемент сопряженного пространства V*, и наоборот.

Вектор f_i e_i, который мы таким образом сопоставляем f, ортогонален любому вектору k, принадлежащему ядру f, поскольку скалярное произведение k и f_i e_i совпадает с f(k) = 0. Так как все прямые (или плоскости и т.д.) в наборе, который мы используем в качестве изображения f, параллельны прямой (плоскости и т. д.), проходящей через начало координат, т.е. ядру функции f, то данный набор будет целиком ортогонален вектору f_i e_i.

Мы можем определить скалярное произведение в пространстве V*, если условимся, что любой базис, дуальный по отношению к некоторому ортонормированному базису в V, сам является ортонормированным. Это позволяет определить “длину” или модуль дуального вектора f посредством его квадрата:

$|f|^2 = f \cdot f = (f_1 \mathbf{e}^1 + f_2 \mathbf{e}^2 + \cdots + f_n \mathbf{e}^n) = \cdots (f_1 \mathbf{e}^1 + f_2 \mathbf{e}^2 + \cdots + f_n \mathbf{e}^n) = (f_1)^2 + (f_2)^2 + \cdots + (f_n)^2$

Здесь f_i – компоненты f в базисе {e¹, e², … eⁿ} пространства V*, который дуален ортонормированному базису пространства V.

В соответствии с нашей геометрической интерпретацией f, каждая компонента f_i = f(e_i) представляет собой количество “промежутков в наборе параллельных прямых”, покрытых базисным вектором e_i. Иными словами, эти компоненты являются аналогами количеств осцилляций волны, которые укладываются в одном метре вдоль осей x и y соответственно (см. рисунок).

ortnt_01_06

Предположим теперь, что мы пересекаем сетку линий по перпендикуляру – направив единичный вектор параллельно f_i e_i – иначе говоря, вектор f_i e_i / |f_i e_i| – который, как нам известно, ортогонален всем прямым сетки. Количество промежутков, покрытых таким ортогональным вектором, будет равно:

$f\left(\cfrac{f_i \mathbf{e}_i}{|f_i \mathbf{e}_i|}\right) = \cfrac{f_i f(\mathbf{e}_i)}{|f_i \mathbf{e}_i|} = \cfrac{f_i f_i}{|f_i \mathbf{e}_i|} = \cfrac{|f|^2}{|f|} = |f|$

Это альтернативная формулировка дуальной теоремы Пифагора! Измерив количество промежутков, покрываемых единичным вектором, направленным по перпендикуляру к сетке, мы получаем число |f|, квадрат которого, как мы только что убедились, равен сумме квадратов аналогичных измерений, выполненных при помощи единичных векторов, ориентированных вдоль каждого из n взаимно перпендикулярных направлений.

Заводная ракета. Глава 13

Джорджо устроил для Ялды прощальную вечеринку у себя дома, в нескольких проминках к западу от университета. Несмотря на то, что последние шесть лет Ялда на полную ставку работала в Бесподобной, Джорджо до сих не освободил ее от должности, которую она занимала на физическом факультете, так что у вечеринки был и другой повод – отметить ее увольнение. Зосимо, единственный из ее однокурсников решивший продолжить свою научную карьеру, выступил с забавной речью, посвященной ее ранним открытиям. – Раньше, встретив человека, который читая научный журнал, постоянно переворачивал его то вбок, то вверх ногами, мы могли с уверенностью сказать, что он не имеет ни малейшего понятия о том, что читает. Теперь же, благодаря Ялде, это доказывает, что перед нами специалист по вращательной физике.

Ялда бродила среди гостей, изо всех сил стараясь не дать своим чувствам превратиться в печаль и жалость к самой себе. Возможно, лучше было бы просто исчезнуть без всяких церемоний, но даже если сейчас думать об этом было слишком поздно, она все же могла попытаться сделать расставание как можно менее болезненным. За день до этого она написала Лючио, Клавдио и Аврелио свое последнее, прощальное письмо – короткое и простое, ведь Лючио так и не научился читать столь же хорошо, как и его ко, – но даже без этой прощальной записки они бы не рассчитывали увидеть ее снова. Когда Джусто умер, а Ялда так и не навестила семью, чтобы разделить с ними бремя траура, они должны были понять, что она уже никогда не вернется. Она по-прежнему желала добра своему брату и кузенам, но уже не могла быть частью их жизни. А теперь ей точно так же придется оставить позади и своих друзей в Зевгме.

Дария нашла ее во дворе, но не стала предлагать ей отвлекающую светскую беседу, а решила сразу перейти к главному. – В старину, – сказала она, – раз в дюжину поколений семьи разделялись, и путешественники уходили от дома на целую пропасть. А поскольку механического транспорта тогда не было, на этом все контакты прекращались – никаких походов в гости и никакой возможности вернуться домой.

– Почему? – Ялда слышала об этом обычае, но никогда не понимала, в чем его цель.

– Считалось, что это полезно для здоровья – наделять детей новыми веяниями.

– А разве одного края было недостаточно? – Именно такое расстояние отделяло ферму, купленную ее отцом, от той, где прошло ее детство.

– Тогда меньше путешествовали, меньше контактировали с другими людьми – по другим причинам, – сказала Дария. – А так процесс можно было форсировать.

Ялда прожужжала тоном скептика. – И оно того стоило? Дети действительно были здоровее?

– Я не знаю, – призналась Дария. – Изучать такие вещи непросто. Но любой биолог согласится с тем, что веяния передаются от человека к человеку; от одних мы заболеваем, от других становимся сильнее. Я рада, что в вашей команде будут люди из разных городов; так у них хотя бы в начале выйдет неплохая смесь.

– Так что же делать, если эта смесь застоится? – поинтересовалась Ялда.

– Придется изучить веяния настолько хорошо, чтобы создать свои собственные, – без запинки ответила Дария.

– А, только и всего. – Было ли веяние разновидностью… газа? Или пыли? Как оно покидало тело и проникало внутрь? Что именно происходило, когда оно вступало в контакт с плотью? Все это было тайной за семью печатями.

– Если Бесподобная вернется домой, так и не освоив этот фокус, мне остается только ждать и не сдаваться, пока я не разгадаю его сама.

– А чего ты ждешь? – напустилась на нее Ялда. – Бесподобная – это еще не повод устраивать всеобщий выходной и все четыре года сидеть сложа руки. Тебе надо относиться к этому, как к своеобразному соревнованию; надо пытаться превзойти путешественников, совершив как можно больше новых открытий. Может, мы и опережаем вас в плане запаса времени, зато у вас всегда будет преимущество в численности.

Дария была изумлена этой идеей, но отнеслась к ней без пренебрежения. – Было бы неплохо в знак приветствия похвастаться перед ними хотя бы одной собственной победой, – согласилась она, – чтобы не ударить в грязь лицом.

Во двор вошла Лидия в сопровождении Валерии и Валерио.

– Ты пропустила все речи, – сообщила им Дария.

– Рада это слышать, – сказала в ответ Лидия. Она обняла Ялду. – А это правда, что ты станешь Советником на летающей горе?

– Диктатором, я полагаю, – поправила ее Дария.

– Скорее уж супервайзером на заводе, – заметила Ялда, – что касается меня, то моя основная обязанность – заботиться о соблюдении норм безопасности при эксплуатации оборудования ракеты. Первый год-два эта задача, скорее всего, будет преобладать над всеми остальными, но как только нам удастся взять под контроль техническую сторону дела, придется заняться организацией… действующего правительства.

– Звучит многообещающе, – с восторгом сказала Лидия. – В городе беглянок все будут стремиться к справедливому распределению власти – на меньшее никто не согласится.

– А не хочешь полететь со мной и заняться всей этой организацией? – взмолилась Ялда. – Прямо сейчас я надеюсь, что любые горячие споры можно отложить до моей смерти.

Лидия сделала вид, что приняла приглашение всерьез, хотя ее настоящий ответ не оставлял места для сомнений.

Дети стояли в нерешительности, дожидаясь, пока Лидия закончит свое приветствие. Валерио неуклюже обнял Ялду, после чего отправился на поиски еды, но Валерия осталась.

– Ну как, по душе тебе учеба? – спросила у нее Ялда.

– Мне нравится конструирование линз, – ответила Валерия.

– Это важный предмет. – Евсебио пообещал дать Валерии работу в проекте пожарной охраны; дешевые, легкие телескопы с широким обзором войдут в перечень оборудования, необходимого каждому поселку.

– Я принесла тебе подарок, – сказала Валерия. Она вручила Ялде деревянный тубус.

– Спасибо. – Ялда сняла крышку и вытащила лист бумаги.

clw_13_01

Ялда была одновременно тронута и заинтригована. – Как красиво, – сказала она. – А что это?

– Ты помнишь уравнение Нерео? – спросила Валерия.

– Конечно. – Ялде ужасно хотелось и дальше развивать его идеи насчет взаимодействия света и материи, но времени на оригинальные исследования по оптике у нее не было уже несколько лет – а сам Нерео скончался вскоре после ее визита в Красные Башни.

– Ты объясняла его мне, – сказала Валерия, – три года назад, когда я только поступила в университет. А еще ты показала мне решение для случая точечного источника – так называемый «светород».

– Я помню. – Ялда пыталась объяснить, насколько малоизученным на тот момент был этот вопрос и вместе с тем дать ей возможность заглянуть в одну из трещин их невежества – трещину, которая могла стать шире со временем.

– Вскоре после этого, – продолжила Валерия, – мы стали изучать гравитацию. И я узнала, что отгадав вид потенциальной энергии для случая точечной массы, Витторио первым делом рассчитал ее значение для массы, распределенной в пределах сферической оболочки.

– Вот как. – Ялда снова изучила листок, и ее переполнило чувство гордости и восторга. – А это, стало быть, ее эквивалент для светового поля?

– Да.

Ялда изучила результаты. – А размеры, которые ты указала, – это радиусы каждой оболочки?

– Да, – ответила Валерия. – Как показал Витторио, потенциальная энергия тяготения имеет точно такой же вид, как если бы вся масса была сосредоточена в центре сферы, и я надеялась, что точно такому же правилу будет подчиняться и свет. Когда оказалось, что это не так, я решила, что допустила ошибку, так что мне пришлось подождать, пока я не освоила другой метод, которым можно было бы воспользоваться для перекрестной проверки.

Ялда все еще пыталась переварить последствия увиденного. – При определенных размерах оболочки… внешнее поле полностью исчезает?

– Именно, – подтвердила Валерия. – Это происходит каждый раз, когда радиус кратен половине минимальной длины волны. А когда в нем содержится нечетное количество четвертинок длин волн, исчезает внутреннее поле.

Ялда бы ни за что не догадалась, что волнообразные поля, созданные мириадами точечных источников, могут в точности скомпенсировать друг друга в какой-то протяженной – не говоря уж о бесконечной – области пространства, да еще и в силу такой простой геометрии. Не удивительно, что Валерия усомнилась в первоначальных расчетах; с тем же успехом можно было заявить, что гросс звенящих колокольчиков можно заставить замолчать, просто составив из них круг подходящего размера.

– А Зосимо и Джорджо ты это уже показывала?

– Я хотела, чтобы ты увидела первой, – ответила Валерия.

Ялда отвела листок в сторону и обняла ее. – Это замечательный подарок. Спасибо тебе. – Твоей матери стоило бы самой это увидеть, – подумала она, не решившись, однако произнести столь странные слова вслух.

– Не хочу показаться вам назойливой, – сказала Лидия, – но все-таки… то, что здесь нарисовано имеет какое-то отношение к реальному миру?

Ялда начала было рассказывать про световое поле, окружающее гипотетическую частицу, которую Нерео назвал светородом, и о том, как Валерии удалось просуммировать поля, образованные множеством светородов, расположенных в виде сферической оболочки, но Лидия заставила ее замолчать. – Я имела в виду то, что мы все можем увидеть и потрогать.

Ялда задумалась. Какой смысл несет утверждение о том, что рельеф светового поля вокруг светородов, в обычных условиях представляющий собой серию борозд, при определенных условиях может принять идеально плоскую форму?

– А как насчет того, что мы можем почувствовать, но не можем увидеть? – предложила она.

– Воздух что ли? – пошутила Лидия.

– Именно. – Ялда обменялась взглядами с Валерией; сначала она выглядела озадаченной, но затем поняла.

– Нерео надеялся, что световое поле сможет объяснить все свойства материи, – объяснила Ялда. – Не только горение топлива и свечение лепестков, но и то, почему камни остаются единым целым вместо того, чтобы рассыпаться в пыль, или как сопротивляются давлению, которое могло бы ужать их до размеров песчинки. Почему пыль такая липкая, и чем она меньше, тем сильнее выражена ее липкость… в то время как инертный газ наподобие воздуха, который все считают тончайшей пылью из всех возможных, не приклеивается ни к другим материалам, ни даже к самому себе.

– И эти картинки дают ответ? – смущенно спросила Лидия.

– Не на все вопросы, – ответила Ялда, – но, возможно, в них есть ключ к последней загадке. Нетрудно представить, как сконструировать из светородов твердое тело: каждая частица должна находиться в канавке зигзагообразного поля, созданного другими частицами – благодаря этому они будут удерживаться на определенном расстоянии друг от друга, образуя некое подобие решетки. Два камня, подобранных с земли, не приклеятся друг к другу – даже если их идеально отшлифовать – ведь мы не можем рассчитывать на то, что такое колоссальное количество частиц сложатся в единую решетку без какого-либо изъяна. Пылинка, с другой стороны, весит меньше и достаточно мала, чтобы в ее внутренней геометрии было меньше неразберихи; вероятность того, что частицы займут правильное положение и склеят пылинки вместе, будет выше. Но если газы тоже состоят из светородов – и невидимы, благодаря крайне малому размеру своих частиц – то почему они не приклеиваются друг к другу еще сильнее?

Лидии по-прежнему не видела решения; Ялда взглядом попросила Валерию помочь.

– Представь, что светороды образуют сферическую оболочку нужного размера, – сказала Валерия. – В этом случае сила, под действием которой удерживается большая часть регулярных светородных структур, обращается в нуль за пределами оболочки. Такие оболочки уже ни к чему не приклеятся – так что, возможно, именно из них и состоят газы. Она замялась, а потом повернулась к Ялде. – Мне, правда, кажется, что это не совсем так. Если ты обратишь внимание на кривые потенциальной энергии по краям оболочек, лишенных внешнего поля, то увидишь, что их наклон всегда будет порождать силу, направленную от центра оболочки – так не должна ли она разорвать сферу на части?

Ялда сверилась с графиками. – Да, ты права, – сказала она. – Похоже, что решение не лежит на поверхности.

– Вот видишь, у нас до сих пор нет ответов, – шутя, заметила Дария. – Нам нужна Бесподобная, которая привезет их из космоса.

– Но ведь почти получилось, – не унималась Ялда. – Даже если на деле все обстоит сложнее, эта подсказка выглядит многообещающе.

Ялда могла бы всю ночь провести за разговорами об оптике вместе с Валерией, но расставание от этого стало бы только тягостнее. – Ты в последнее время видела своего брата? – спросила она.

– Два дня назад, – ответила Валерия. – Я присматривала за детьми, пока он был на заводе.

– Но тебе же нужно учиться! – Ялда не хотела ругать ее вот так, ни с того ни с сего, но мысль о том, что Валерия ставит под угрозу собственное будущее, была для нее невыносимой. – Заниматься этим все время – для тебе непозволительная роскошь, – добавила она.

– Я не занимаюсь этим все время; Валерио тоже помогает. К тому же мы не единственные друзья Амелио. – Теперь Валерия выглядела стесненной, и Ялда оставила эту тему. Если бы Амелио позволил, Дария и Лидия помогли бы ему с детьми, но он до сих пор злился на них за попытки убедить его и Амелию повременить. Ялда уже никогда не увидит внуков Туллии, но подозревала, что рано или поздно Амелио сменит гнев на милость и положит конец разладу с двумя другими почтенными тетушками.

– Я конечно рада, что пропустила речи, но надеюсь, что еда на мне не закончилась. – Ялда впустила их внутрь, где дети Джорджо продолжали бегать в кладовую за съестным, чтобы никто из гостей не ушел голодным.

Ялда попыталась удержать разговор от перехода на чересчур серьезные темы; у нее не было намерения делать какое-то убедительное заявление перед каждым из своих друзей, подводя итог и стараясь привести в порядок все, что произошло между ними – как будто они были деловыми партнерами, сводящими друг с другом счеты. Она достаточно часто извинялась перед Лидией за неравное разделение обязанностей по воспитанию детей, благодарила Джорджо и Дарию, принимая от них помощь, и поддерживала Валерию с Валерио всякий раз, когда ее слова имели неплохие шансы встретить одобрение. Достичь чего-то большего с помощью горстки сказанных наспех слов она не могла; и меньше всего ей хотелось произвести впечатление человека, который пытается загладить вину, лежа на смертном одре.

Около полуночи гости начали откланиваться. Несколько дюжин людей из университета и Клуба Соло – знакомые, с которыми Ялда играла в кости или обсуждала какой-нибудь вопрос из области физики или философии – пожелали ей удачного полета и ушли без лишнего шума.

Когда дом почти опустел, к ней подошел Джорджо.

– Не против, если мы проводим тебя до вокзала?

– Конечно нет.

Багажа у Ялды не было; все ее имущество уже находилось в Плацдарме, а все, что ей было нужно – внутри самой горы. Вшестером они шли по тихим улочкам; высоко в небе Гемма освещала их путь.

На платформе, когда до отправления оставался всего один мах, Валерио зарокотал и расплакался. Его поступок ошеломил Ялду; они не были близки с тех пор, как ему исполнилось три года. Она наклонилась и обняла его, стараясь утешить, пока к нему не присоединился кто-нибудь еще.

– Я же еще не при смерти, – пошутила она. – Подождите год и еще один день, тогда и будете меня оплакивать. Только не забывайте, что к тому моменту я проживу долгую жизнь.

Валерио мало что понял из ее слов, но все-таки собрался с духом. – Прости, тетя. Счастливого пути.

– Приглядывай за своим братом, – сказала она. – И постарайся не следовать его примеру.

Задним зрением она видела, как хмурится на нее кондуктор; двигатель уже работал, и в воздух поднимались искры. Она отпустила Валерио, подняла руку в знак прощания со всеми остальными и запрыгнула в пустой вагон как раз в тот момент, когда поезд пришел в движение.

Она села на пол и закрыла глаза, собравшись с силами перед надвигающейся болью расставания.

Издалека казалось, что гора Бесподобная ничуть не утратила своего первозданного облика. Подъезжая к ней на поезде, Ялда силилась найти хоть какое-то отличие помимо слегка поредевшей растительности с тех пор, как впервые побывала на вершине. Дороги, ведущие к горе, стали шире и длиннее, но с земли их было по-прежнему не видно, и даже кучи валунов, появившиеся вслед за рытьем новой траншеи, терялись где-то во мгле.

Плацдарм был конечной станцией. Когда Ялда покинула вокзал, на главной площади было пусто; там, где еще две череды назад находился рынок, теперь была лишь голая, пыльная земля. Строители и торговцы покинули город, и хотя несколько дюжин рабочих Евсебио, скорее всего, еще оставались в городе для заключительной подготовки и уборки, единственными людьми, которые ей повстречались по дороге в офис, были другие путешественники. Помимо жутковатого ощущения, будто она уже навсегда попрощалась со всем остальным миром, это обстоятельство заставляло задуматься о том, что примерно из шести гроссов путешественников – по результатам последней переписи – ей удалось запомнить лишь малую долю их имен.

– Привет, Ялда! – обратилась к ней женщина с противоположной стороны улицы.

– Привет! – от того, что лицо женщины было ей знакомо, Ялде стало еще более неловко.

– Уже скоро, – весело сказала женщина.

– Да. – Ялда устояла перед соблазном сказать в ответ «Пора сказать своему ко, чтобы покупал телескоп!». Каковы бы ни были шансы, что эта фраза покажется собеседнице остроумной и будет встречена одобрением, риск оттолкнуть от себя сокомандницу, которая, вполне возможно, отправлялась в полет вместе со своим ко, того не стоил.

Евсебио был в офисе и сосредоточенно изучал отчеты вместе с Амандо и Сильвио; Ялда не стала их беспокоить. На ее столе было почти пусто; перед уходом она занималась перепроверкой навигационных маневров, которые придется выполнять Бесподобной, если у нее на пути возникнет неожиданное препятствие. На первый взгляд, им удалось найти идеальный маршрут для своего путешествия – пустой коридор, ведущий сквозь пустоту, ориентированный в нужном направлении и достаточно длинный, чтобы по нему можно было двигаться целый век, не приближаясь ни к одной из звезд – но стоит им выйти за пределы атмосферы, как новые наблюдения могут выявить угрозу, от которой придется как-то уворачиваться.

Она еще раз прокрутила в голове детали. Если препятствие окажется не слишком большим, то они смогут его обогнуть и все равно достигнут бесконечной скорости – правда, солярита на дальнейшее путешествие у них останется меньше, чем планировалось. Гарантировать триумфальное возвращение Бесподобной было невозможно, но если путешественники не смогут выйти на ортогональную траекторию – утихомирив тем самым гремучие звезды и остановив время на родной планете – то никакого преимущества они не получат.

Когда его ассистенты ушли, Евсебио подошел к Ялде. – Как все прошло с твоими друзьями в Зевгме? – спросил он.

– Неплохо. – Ялда не хотела, чтобы он всеми силами старался проникнуться ее эмоциями и говорил ей, что понимает ее чувства. – Думаю, нам понадобятся именные жетоны, – добавила она.

– Именные жетоны?

– Для путешественников. Нечто, что можно носить в виде ожерелья – так мы будем знать, кто есть кто.

Евсебио выглядел измученным. – Не бери в голову, – сказала Ялда, – я сама этим займусь.

– В мастерских пусто, – сказал он, разводя руками, чтобы охватить весь город-призрак. – Нет ни людей, ни инструментов с материалами.

– Но внутри самой Бесподобной-то они есть, я надеюсь.

Своим предложением она, по-видимому, застала Евсебио врасплох, но он не нашел каких-либо оснований для возражения. – Думаю, в этом есть смысл. – Он сверился с графиком на стене. – Мастерская №7?

– Да.

Ялда нашла лишнюю копию списка, в котором были перечислены завербованные члены команды. Когда они с Евсебио только собирались регистрировать добровольцев, Ялда не могла и представить, что ей придется заполнить их именами несколько дюжин листов бумаги, но даже эта финальная перепись по своему размеру уступала населению ее родного поселка.

Между Плацдармом и Бесподобной по-прежнему курсировали грузовики с интервалом в одну склянку, но большим спросом они уже не пользовались; оказавшись в кабине наедине с водителем, которого толком и не знала, Ялда пристроилась на заднем сидении и наблюдала, как город растворяется в пыльной дымке. Она задумалась, что произойдет, если сейчас она подойдет к Евсебио и скажет: Я передумала, я остаюсь. Все ее обязанности могли взять на себя и другие люди, обладающие необходимыми навыками; проект не развалится на части прямо здесь и сейчас. Но она знала, что уже попалась в ту самую ловушку, в которую и сама заманивала многих людей – она была достаточно самонадеянной, чтобы верить, будто ее присутствие может стать решающим фактором в выборе между успехом и неудачей. И если мысль о бегстве с Бесподобной и последующих четырех годах праздной жизни, проведенной в ожидании, что мировые проблемы будут решены за нее, была захватывающе преступной фантазией, то вероятность, что четыре года ожидания закончатся тишиной, пугала ее еще больше, чем предстоящее путешествие в пустоту.

Грузовик высадил ее у ближайшего пешеходного моста. Траншея, окружавшая гору, была шире расселины, которая рассекла Зевгму пополам, но самодельная структура из веревок и дерева не шла ни в какое сравнение с Большим мостом. Крепко ухватившись за веревочный поручень, Ялда нетвердой походкой двинулась вперед по раскачивающимся доскам.

Северный ветер нес прямо в ее сторону пыль с одной из выкопанных куч, впиваясь в кожу и глаза. На полпути она остановилась, как парализованная. Она переходила этот мост и при более сильном ветре, но воспоминания о всех этих прошлых злоключениях здесь были бесполезны.

До запуска оставалось пять дней. Ей потребуется целый день, чтобы подняться в мастерскую и еще как минимум два, чтобы изготовить именные жетоны. К этому моменту к ней присоединятся все остальные путешественники и начнется заключительный этап эвакуации Плацдарма. Если сейчас она войдет в гору, то уже никогда не выйдет наружу.

Она тихо рокотала и пыталась представить, как Туллия стоит рядом и подбадривает ее. И чего она испугалась? Смерть могла настичь ее где угодно; в мире не осталось безопасных мест. Она могла продолжать зацикливаться на опасностях, которыми грозило путешествие, и горечи изгнания, или же отнестись к этому, как к просчитанному риску, который, быть может, подарит ей чуть ли не идеальное убежище – место, в котором целые поколения смогут размышлять и учиться, планировать и экспериментировать, проверять собственные идеи на практике и оттачивать свои методы до тех пор, пока им не удастся найти способ устранить грозящую опасность и вернуться домой.

Если бы Бесподобная была просто городом в пустыне – городом ученых, городом бесплатного холина, городом, в котором не было вооруженных ножами головорезов, которые могли бы склеить ей руки и бросить в тюрьму – возможно ли, что она не смогла бы провести всю жизнь в его четырех стенах, никогда не выходя наружу? Возможно ли, чтобы она не объявила со счастливым видом: это то место, где я встречу свою смерть?

Она заставила себя успокоиться и перешла через мост.

Конференц-зал был спроектирован с таким расчетом, чтобы вместить аудиторию, вдвое превышающую текущее население Бесподобной; Ялда, впрочем, не могла точно сказать, насколько хорошо этот изящно многоярусный пол впоследствии проявит себя в условиях невесомости. Она стояла у входа, приветствуя входящих шеренгой людей и раздавала именные жетоны, которые предварительно рассортировала по двенадцати ведрам, вместе с ожерельями – из отдельного контейнера. Путешественники выглядели на удивление спокойно; для продолжительных разговоров с кем-нибудь из них время не было, но даже во время записи добровольцев в Зевгме люди порой проявляли больше тревоги.

К назначенному времени осталось менее двух дюжин бесхозных жетонов, но был шанс, что некоторые из отставших просто задерживались. Ялда была удивлена; лишь каждый трехдюжинный доброволец передумал и отказался участвовать в полете. Если бы год назад ее попросили оценить вероятность собственного бегства, она бы ответила, что ее шансы один к трем.

Евсебио ждал у сцены. Сверившись с часами, он подошел к Ялде.

– Ну что, начинать? – спросил он.

– Подожди еще курант – может, кто-то опаздывает, – предложила она. – Вряд ли кто-то из присутствующих будет беспокоиться о няньках, которые потребуют платы за сверхурочные.

Евсебио поморщился; некий мужчина, посетивший одно из их бесплатных выступлений в Зевгме, загнал их в угол и именно на таком основании потребовал возместить ему убытки. – Не напоминай, – сказал он. – Через пару черед я снова буду крутиться в Варьете-Холле, набирая персонал для пожарной охраны.

– Набирая персонал? – удивился Ялда. – Разве тебе обязательно этим заниматься? Я думала, у проекта полно других кураторов.

– Есть немало людей, которые распространяют эту новость, – согласился Евсебио, – но нам еще нужное много сделать, чтобы укрепить свои позиции, иначе вся эта система будет слишком фрагментарной, чтобы заработать на практике.

Ялда задумалась, стоит ли просто пожелать ему удачи в новом проекте и на этом оставить его в покое, но потом решила, что терять ей все равно нечего.

– А разве тебе не хочется стать одним из нас? – спросила она. – Никто не сможет пройти этот путь с начала до конца, но ты мог еще немного присмотреть за Бесподобной.

На мгновение по лицу Евсебио пробежало выражение неловкости, которое, ожесточившись, приняло настороженный вид. – Я всегда четко давал понять, в чем именно будет заключаться моя роль. Мои обещания ограничивались постройкой ракеты, не более того.

– Я знаю, – кротко произнесла Ялда.

– Я мог бы оставить своих детей, если бы не было иного выхода, – признался он. – Все равно их воспитанием занимается в основном мой отец. Правда и то, что другие люди смогли бы отстоять пожарную охрану. – Он умолк.

Ялда боролась с желанием заполнить возникшую паузу, сказать ему, что понимает его выбор, что у нее нет причин для упреков в его адрес. Она не хотела ранить его или поставить в неловкое положение. Но его ответ ей хотелось выслушать до конца.

– Если я присоединюсь к вашей команде, – продолжал Евсебио, – а Бесподобная потерпит неудачу… сомневаюсь, что у кого-то хватит решимости повторить все с самого начала. У нас по-прежнему не будет другого шанса на спасение, но в глазах большинства людей идея как таковая будет дискредитирована. Вот почему я остаюсь. Я должен быть в состоянии бороться за будущее проекта, – он обвел жестом окружающую их гору, – с самого начала, если потребуется.

Ялде не видела ошибки в его рассуждениях, но от описанной им картины по коже пробежал холодок. Ей стоило бы радоваться, представляя, что у людей, которых она оставляла на земле, есть второй шанс, однако мысль о том, что даже Бесподобная в конечном счете не была чем-то незаменимым, едва ли говорила в пользу оправдания, которое она приписывала собственному выбору.

Но отвечать ей так и не пришлось; к ней подошел пожилой мужчина с виноватым выражением лица. – Я не туда свернул, – объяснил он. – Это место – настоящий лабиринт.

– Могу я узнать ваше имя, сэр?

– Макарио.

Пока Ялда доставала жетон Макарио, Евсебио отошел от нее и направился к сцене. Когда опоздавший надел свое ожерелье, в зале уже воцарилась тишина.

– И снова добро пожаловать на Бесподобную, – обратился к ним Евсебио. – Прошло уже почти семь лет с тех пор, как я решил обсудить с Ялдой, моим другом и учителем, возможные решения проблемы гремучих звезд. На тот момент казалось, что шансы нашего спасения исчезающе малы. Мы едва понимали, с чем нам довелось столкнуться – а наши знания по большей части говорили лишь о нашей беспомощности. И вот теперь мы на пути к решению. Весь наш мир обрел надежду в лице Бесподобной и ее команды.

По всему залу были расположены лампы, и ни одного светотехника, который мог бы их погасить и направить прожектор на сцену. Задним зрением Ялда следила за аудиторией, пока Евсебио выражал признательность за их смелость и преданность. Кое-где она замечала признаки тревожного настроения – нервно ссутулившиеся тела, опущенные взгляды – но большинство людей выглядели уверенными, смирившимися со своим решением.

– Я и мои коллеги прилагали все усилия, чтобы начало вашего путешествия было максимально безопасным и комфортным. Но как я не обманывал вас прежде, так не стану лгать и теперь: обещать что-либо не в наших силах. Несмотря на наш упорный труд, уже погибли семь человек – шесть строителей и один доброволец, участвовавший в испытательном полете. Я не могу дать гарантию, что через пару дней вся эта гора не превратится в груду пылающих обломков. Если среди присутствующих есть те, кто считает, что это невозможно, им следует уйти и вернуться в свои дома, потому что сюда их привело собственное заблуждение.

– Помимо этого мы с коллегами постарались предусмотреть то, что потребуется вам и вашим детям, чтобы выжить и достичь процветания, пока Бесподобная будет продолжать свой путь сквозь пустоту. Но вы первые, кому предстоит совершить это путешествие. Никаких готовых знаний по этим вопросам у нас нет; территория, которая лежит перед вами, не ведома ни одному специалисту. Если кто-то заблуждается на этот счет – если кто-то решил, что мы можем гарантировать необходимые для жизни условия в течение дюжины поколений, – то вам тоже следует уйти и поискать уверенности в другом месте, потому что на Бесподобной вы ее не найдете.

Ялда понимала, что Евсебио был вынужден говорить открыто, и все-таки задумалась, не заходит ли он слишком далеко. Многие люди после его слов явно чувствовали себя не в своей тарелке, а некоторые были заметно встревожены. Ничего нового они, конечно, не узнали, однако с одной и той же непростой истиной каждый справлялся по-своему.

– Через два дня, если все пройдет гладко, вы покинете наш мир, – продолжал Евсебио. – С этого момента вы, а не я станете хозяевами своей судьбы. Но Бесподобная – сложный механизм и, несмотря на то, что каждый из вас был со всей тщательностью подготовлен к выполнению соответствующих обязанностей, целостным понимание этого механизма обладают лишь некоторые члены команды. Процесс обучения будет продолжаться и дальше – и я надеюсь, что в течение одного-двух поколений каждый взрослый на борту Бесподобной сможет освоить все эти премудрости лучше меня самого. Но на ближайшее время принятие решений о том, как лучше управлять этим механизмом, как следует искать выход из любого кризиса, как разрешать возникающие среди вас споры и как справиться с любыми другими трудностями и разногласиями, – становится обязанностью Ялды. Ялда, ее заместитель Фридо и все, кого она назначит в качестве помощников и советников, будут нести ответственность за вашу безопасность, и их решения не должны оспариваться. Не мне решать, какие формы примет власть на Бесподобной в грядущих эрах, но на данный момент – и до тех пор, пока она сочтет необходимым – вашим единственным лидером должна оставаться Ялда. Если вы не можете обещать ей абсолютной преданности и поддержки, уходите немедленно, потому что вы представляете опасность для всех в этом зале.

Лишь несколько человек оказались настолько бесцеремонными, что в ответ на это воззвание повернулись к Ялде и стали рассматривать ее оценивающим взглядом; ей в голову закрались подозрения, что меньше прочих такой расклад удовлетворял именно ее. Но раз уж ее всемогущество включало в себя право делегирования, то Фридо, скорее всего, приходилось тяжелее всего.

– Тем, кого я убедил покинуть Бесподобную этой ночью, – добавил Евсебио. – Будьте уверены, что вы уже заслужили мою признательность и уважение, и не потеряете их, даже отказавшись от своего места. Но этом с предупреждениями и демотивацией покончено. Всем, кто решил остаться – осознавая опасности и тяготы, которые ждут вас впереди – я хочу дать обещание. Общими силами мы создали это прекрасное, филигранное семя, и теперь, когда мы готовимся отправить его в пустоту космоса, я верю, что в нем есть не только силы для выживания, но и все необходимые задатки новой, незаурядной цивилизации. Уже сейчас я смиряюсь перед вашей отвагой и выдержкой, и покидаю вас с надеждой на то, что достижения ваших потомков станут чудом на все времена. Удачи – и добро пожаловать домой.

Когда со стороны аудитории раздались одобрительные возгласы, Ялда согласилась с тем, что Евсебио все-таки принял верное решение. Не напомни он им о предстоящих рисках – и вся его похвала прозвучала бы, как пустая лесть. Но теперь, даже если горстка людей решит пойти на попятную, оставшиеся смогут почерпнуть силы в том, что их решимость прошла очередную проверку.

Евсебио пригласил Фридо на сцену. – Я уверен, все знают, где находятся их пусковые станции, – сказал Фридо, – но я бы попросил вас не торопиться и вначале уточнить их либо у меня, либо у Рины с Лавинией – чуть позже они будут стоять справа от меня. Но сначала вот что: все, кто решил уйти, будьте добры выйти вперед и вернуть свои именные жетоны.

Несколько человек нерешительно двинулись в сторону сцены. Евсебио кратко переговорил с Фридо, а затем обнял его на прощание. Фридо сказал Ялде, что решил присоединиться к ней после того, как увидел собственных внуков; за работу в проекте он получил щедрое вознаграждение, так что нуждаться они ни в чем не будут, но какие бы перспективы не сулило тушение гремучих пожаров, лишь у Бесподобной был шанс справиться с ортогональными звездами.

Когда они расстались, Евсебио подошел к Ялде. – Мне пора идти, – сказал он. – График эвакуации довольно плотный. Не хочешь спуститься вместе со мной?

Пусковая станция Ялды находилась в трех путинах под залом, почти на уровне земли. Они могли провести в дороге целый день, вспоминая прошлое и обмениваясь своими последними мыслями.

– Мне надо остаться здесь, чтобы выяснить, скольких людей мы лишились, – сказала она.

– Фридо и его люди могут перераспределить свои обязанности, – возразил Евсебио. – В таких вопросах тебе придется на них положиться.

– Я им доверяю, – сказала Ялда. – Но я должна быть вместе с ними, пока мы во всем не разберемся.

– Ладно. – Ее ответ, по-видимому, смутил Евсебио, но он не собирался спорить с ней при стольких свидетелях. – Тогда счастливого пути, – пожелал он.

– И тебе, – нежно прожужжала она в ответ. – Нас обоих ждут четыре длинных года. Ты уж постарайся, чтобы мои потомки по возвращении не обнаружили планету с тремя солнцами.

– Постараюсь. – Евсебио встретился с ней взглядом, пытаясь оценить их взаимоотношения. Лицо Ялды не выражало ничего, кроме дружбы и сдержанной печали от их расставания. Дальше этот узел было не распутать, и даже признавать, будто есть что-то еще, было уже бессмысленно. Спустя мгновение Евсебио перестал искать в ее лице что-то большее.

– Удачи, – сказал он. Он опустил глаза и, пройдя мимо нее, покинул зал.

Ялда стояла, наблюдая за тем, как толпились ее новые соседи, пытаясь пробиться к Фридо и его помощникам. Внезапно она почувствовала вспышку гнева в адрес Дарии. Она ни перед кем не несла ответственность и вот-вот должна была выйти на пенсию – так почему бы не ей не преподавать здесь, на Бесподобной?

На краю толпы стояла молодая соло, из числа новичков, на глазах у которых погибла Бенедетта. Лишь двое из той группы не ушли из проекта.

Ялда подошла к ней. – Фатима?

– Здравствуйте, – смущенно сказала девушка. Они уже были знакомы, но после того, как Евсебио официально назначил Ялду лидером Бесподобной, она, вероятно, превратилась в фигуру столь же неприступную, как самый что ни на есть самодовольный Советник.

– Где ты работаешь? – спросила Ялда. – Мне следовало бы знать, но я забыла, куда тебя определила.

– В медицинском саду. Пропалываю сорняки, – судя по голосу Фатима была разочарована, но смирилась со своей судьбой.

– Но у тебя еще будут занятия. Если тебя это заинтересует, я могу стать твоим учителем.

– Ты расскажешь мне о свете?

– Да.

Фатима замешкалась, но потом, набравшись смелости, добавила: «Все, что сама знаешь?»

– Конечно, – пообещала Ялда. – А как иначе ты узнаешь вдвое больше меня? Но прямо сейчас давай поищем тех, кто работают в саду вместе с тобой, а потом мы все вместе отправимся вниз.

Часть 1. Дуальная теорема Пифагора

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/01/DualPythagorean.html

Значительную часть физики, действующей в Ортогональной Вселенной, можно понять, проследив ее развитие из ряда довольно простых геометрических идей. Несмотря на то, что их физические следствия порой сильно отличаются от следствий, имеющих место в нашей собственной Вселенной, геометрия по сути остается той же. В данной статье описан один простой пример, который, тем не менее, лежит в основе одного из наиболее важных научных открытий в романе. Этот результат также имеет определенное применение и в нашем мире, поэтому иметь о нем представление будет нелишним.

Начнем с геометрической задачи, которую практически каждый сможет решить, просто взглянув на чертеж. Предположим, что автомобиль движется по прямой дороге, которая не направлена ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. От исходной точки автомобиль удаляется на 3 км к северу и на 4 км к востоку. Какова длина пройденного им пути?

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов двух других сторон. Отсюда мы сразу получаем ответ: квадраты 3 и 4 равны соответственно 9 и 16, значит, их сумма равна 25, или 5². Таким образом, длина пути, проделанного автомобилем, равна 5 км.

ORTNT_01_01

Теперь представим себе вспаханное поле с равноотстоящими параллельными бороздами, которые не направлены ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. Если, выбрав в качестве начальной точки вбитый в землю столб, я натяну веревку в северном направлении, то увижу, что она пересекает ровно три целых борозды. Растянув тот же отрезок веревки в восточном направлении, я обнаружу, что количество пересекаемых им целых борозд равно 4. Вопрос состоит в следующем: сколько борозд пересечет веревка, если я натяну ее поперек борозд, под прямым углом к ним?

Если ответ “пять” напрашивается у вас сам собой по аналогии с предыдущей задачей, то вы абсолютно правы – но если вы решили, что это очередное банальное применение теоремы Пифагора, вас следует повнимательнее взглянуть на следующий чертеж. Никакого прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5, там нет!

ORTNT_01_02

И тем не менее, это совпадение отнюдь не вводящая в заблуждение случайность; если бы мы заменили количество борозд, пересекаемых в северном и восточном направлениях как n и e соответственно, то количество борозд f, пересекаемых по перпендикуляру тем же отрезком веревки, будет удовлетворять соотношению f ² = e² + n². Но если это не простой частный случай теоремы Пифагора, откуда же тогда берется эта зависимость?

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, вершина которого находится там же, где и столб, гипотенуза образована ближайшей бороздой, а катеты направлены строго на север и восток, то их длина будет равна соответственно r/3 и r/4, где r – длина веревки.

Длина перпендикуляра, опущенного из прямого угла на гипотенузу, будет равна r/5.

ORTNT_01_03

Теперь имеет смысл перейти к более общему случаю и рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c; длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла, обозначим d.

Теорема Пифагора дает нам соотношение между величинами a, b и c: c² = a² + b². Но как связаны между собой a, b и d?

ORTNT_01_04

Несмотря на то, что a, b и c являются сторонами треугольника, числа a, b и d сами по себе не образуют особую тройку. Их общая черта заключается в том, что все три числа являются высотами треугольника, т. е. длинами перпендикуляров, опущенных на стороны из противолежащих вершин. Благодаря этой подсказке, мы легко можем установить между ними взаимосвязь. Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту: иначе говоря, половине длины любой из сторон, умноженной на длину перпендикуляра, опущенного на нее из противолежащей вершины.

Исходя из этого факта, площадь треугольника можно представить в виде двух выражений, которые должны совпадать:

ab/2 = cd/2

Если удвоить обе части этого равенства, а затем возвести его в квадрат, то мы получим, что

a²b² = c²d²a²b² = (a² + b²)d²1/d² = (a² + b²)/a²b²,

где для перехода от первого равенства ко второму мы воспользовались теоремой Пифагора, а для перехода к третьему – поделили обе части на a²b²d². Поделив сумму в правой части на знаменатель дроби, мы получим:

Дуальная теорема Пифагора
1 / d² = 1 / a² + 1 / b²

Данное соотношение справедливо для любого прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно a и b, а высота, опущенная на гипотенузу – d.

Теперь становится понятна точная причина, по которой количество борозд, отмеренных одним и тем же отрезком веревки в северном и восточном направлениях, n и e, а также количество борозд, отмеренных напрямую, f, удовлетворяют соотношению f² = e² + n². В случае с треугольником соответствующие расстояния по отношению к столбу составляют:

a = r/e
b = r/n
d = r/f

Воспользовавшись дуальной теоремой Пифагора, получаем:

1/d² = 1/a² + 1/b²f²/r² = e²/r² + n²/r²f² = e² + n²

Почему этот результат играет такую важную роль в физики обеих Вселенных – и нашей, и “ортогональной”? Он говорит нам о том, что соотношению о сумме квадратов, упоминаемых в теореме Пифагора, удовлетворяют не только такие величины, как расстояние, но и также и “дуальные” им величины, выражающие количество чего-либо или величину некоего изменения в расчете на единицу длины.

Мы могли бы заменить борозды на вспаханном поле линиями постоянной высоты на топографической карте изолиний. В этом случае дуальная теорема Пифагора, в частности, говорит нам о том, что если мы находимся в местности, высота которой падает на 30 метров на каждый километр пути в северном направлении и на 40 метров на каждый километр пути в восточном направлении, то (во всяком случае, если рельеф местности в интересующем нас масштабе по форме достаточно близок к наклонной плоскости), то в направлении наиболее крутого склона, расположенном непосредственно по перпендикуляру к изолиниям, градиент составит 50 метров за каждый километр.

ortnt_01_05

Но, пожалуй, наиболее важное применение эта теорема находит в приложении к геометрии волн. Если мы заменим борозды волновыми фронтами (например, гребнями волн в океане или пиками электромагнитных волн), то количество фронтов, укладывающихся в пределах заданного расстояния называется пространственной частотой (в отличие от обычной временной частоты, которая показывает количество колебаний, совершаемых за определенный интервал времени).

Согласно дуальной теореме Пифагора, мы можем найти общую пространственную частоту волны – количество волновых фронтов в расчете на единицу длины, измеренных в направлении распространения волны, – исходя из того, что ее квадрат равен сумме квадратов двух аналогичных величин, измеренных в двух или более взаимно перпендикулярных направлениях.

ortnt_01_06

В нашей Вселенной это просто полезный факт. Однако в “Ортогональной Вселенной” он радикально меняет понимание самой физики.

Плюс, минус. Ненавязчивое введение в физику “Ортогональной Вселенной”

Оригинал статьи:
http://gregegan.customer.netspace.net.au/ORTHOGONAL/00/PM.html

В течение последнего года, или около того, большую часть своего бодрствования я проводил в мире, где законы, которым подчиняются свет, материя, энергия и время, отличаются от законов, управляющих нашей Вселенной. Изучая движение и взаимодействие объектов в условиях этих альтернативных законов, можно обнаружить и привычные нам закономерности, и странные или даже пугающе-прекрасные явления, и леденящие душу опасности.

Чтобы попасть в мир, который я называю римановой Вселенной, нужно всего-навсего поменять знак “-” на “+” в одном из уравнений, определяющих геометрию пространства-времени.И что любопытно, понимание фундаментальных законов этой Вселенной – несмотря на то, что их следствия зачастую выглядят весьма непривычно – оказывается более простым и интуитивным, чем в случае с законами реального мира.

Уже более ста лет нам известно, что лучший способ разобраться в природе нашего времени – это объединить его с тремя привычными пространственными измерениями, создав тем самым четырехмерное пространство-время, которое подчиняется особым геометрическим правилам. Если Ньютон воспринимал время как абсолютную, универсальную величину, которая неуклонно двигалась вперед с одной и той же скоростью вне зависимости от наблюдателя, то благодаря Эйнштейну мы поняли, что течение времени служит мерой некоего аспекта, который по отношению к нашей четырехмерной траектории в пространстве-времени играет ту же роль, что и длина – по отношению к маршруту в пространстве.

Никого не удивляет, что различные пространственные маршруты, соединяющие одну и ту же пару точек, могут иметь различную протяженность. Если я поеду на машине из Перта в Сидней по наиболее прямому маршруту, в то время как вы поедете в обход, чтобы по пути заглянуть в Дарвин, вы едва ли будете шокированы тем, что пройденные расстояния, согласно показаниям наших одометров, окажутся разными. Теперь мы понимаем, что объездные пути в пространстве-времени могут аналогичным образом влиять и на ход времени.Если накануне Нового 2050-го Года вы отправитесь в “путешествие” на 10 лет вперед, при этом все время оставаясь на земле, а я проделаю аналогичный маршрут, соверши путешествие до альфы Центавра и обратно, то к моменту возвращения постарею примерно на шесть лет, в то время как вы – на все десять.

Если объездной путь в пространстве увеличивает продолжительность маршрута, то в пространстве-времени – наоборот, уменьшает. Объясняется это довольно просто: при измерении временных интервалов в пространственно-временной версии теоремы Пифагора вместо суммы фигурирует разность – знак “+” меняется на “-“.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольник равен сумме квадратов его катетов. Например:

ORTNT_00_01

Однако в случае пространства-времени сумма квадратов меняется на разность:

ORTNT_00_02

В целях упрощения формулы, мы выбрали единицы измерения таким образом, чтобы время и пространство были равноправны: иначе говоря, время измеряется в годах, а расстояние – в световых годах. Воспользовавшись двумя аналогичными треугольниками, мы можем доказать приведенное выше утверждение о том, что путешествие до альфы Центавра, удаленной от Земли на расстояние около четырех световых лет, может привести к тому, что я состарюсь всего лишь на шесть лет, в то время как вы, оставшись на Земле, – на десять.

ORTNT_00_03

С нашей точки зрения эти треугольники, разумеется, выглядят некорректными: отрезок, изображающий гипотенузу, длина которой должна составлять “3 года”, явно короче вертикального отрезка, соответствующего “5 годам”. Но в этом-то все и дело: лоренцева геометрия пространства-времени отличается от геометрии пространства, поэтому мы не можем в точности изобразить каждую деталь на листе бумаги.

Теперь мы можем легко сформулировать, чем именно наша Вселенная отличается от исследуемого мною альтернативного мира. В римановой Вселенной привычная нам теорема Пифагора действует всегда, даже когда речь идет о пространственно-временных интервалах. Пространственно-временные диаграммы для этой Вселенной можно с абсолютной достоверностью изобразить на листе бумаги! А наивная интуиция, которая подсказывает вам, что треугольник, стороны которого равны соответственно “5 годам” и “4 световым годам”, должен выглядеть вот так

ORTNT_00_04

теперь абсолютно верна. В римановой Вселенной время, затраченное на путешествие к далекой звезде, с точки зрения путешественников, будет не меньше, а, наоборот, больше.

Тот факт, что в межзвездных перелетах путешественники тратят больше времени, чем все остальные, может показаться досадной помехой, но помимо этого существует целая масса других отличий, проистекающих из все той же простой перемены знака и влияющих буквально на все: от видимой картины звездного неба до стабильности материи.

В нашей Вселенной знак “минус” в пространственно-временной версии теоремы Пифагора означает, что как только расстояние (выраженное в световых годах) становится больше времени (выраженного в годах), разность квадратов становится отрицательным числом. Если мы, к примеру, представим, что расстояние в 5 световых лет можно покрыть за 4 года, то, согласно формуле, квадрат затраченного времени должен быть равен -9. Поскольку квадрат вещественного числа не может быть меньше нуля, подобное гипотетическое путешествие, по-видимому, обладает каким-то качественным отличием. Указывает оно, конечно же, на тот факт, что преодолеть такое большое расстояние за такое короткое время просто невозможно.

В римановой Вселенной аналогичное путешествие не вызывает никаких проблем. С точки зрения экипажа, путь длиной в 5 световых лет займет 6,4 года, хотя для того, кто остался дома, путешествие потребует всего лишь 4 лет, а наблюдаемая скорость корабля на четверть превысит скорость света. В римановой Вселенной скорость движения не ограничена.

Более того, в римановой Вселенной свет тоже не имеет фиксированной скорости, поэтому такие понятия, как “световой год” и “скорость света” по сути применимы лишь в нашей Вселенной. В римановой Вселенной “скорость света” нам придется заменить неким коэффициентом пропорциональности между временем и расстоянием, при котором теорема Пифагора принимает наиболее простой вид. Как вы можете заметить, теорема Пифагора не работает, если расстояние с севера на юг измерено в километрах, а с востока на запад – в милях; точно так же и в римановой Вселенной все сводится к экспериментальному подбору таких единиц измерения для времени и расстояния, при которых теорема становится верной.

Какого это – жить в мире, в котором свет может двигаться с разной скоростью? В нашей Вселенной это, конечно, тоже имеет место, когда свет проходит через прозрачные материалы вроде стекла, однако в римановой Вселенной скорость света может меняться даже в космическом вакууме. Разные длины световых волн в нашем восприятии соответствуют различным цветам; в римановой Вселенной световые волны различной длины всегда будут двигаться с различными скоростями.

Чтобы найти соотношение между длиной волны и скоростью света, достаточно заметить, что в пространстве-времени расстояние между волновыми фронтами световой волны всегда будет одним и тем же независимо от скорости, с которой движется свет. Почему? Мы предполагаем, что физика нашей Вселенной не делает различий между направлениями в трехмерном пространстве; если мы возьмем лазер и направим его на юго-восток, то ожидаем, что свойства созданного им света будут точно такими же, как если бы мы направили лазер на север или северо-запад. Аналогичным образом и фундаментальная физика римановой Вселенной не должна делать различий между пространственно-временными направлениями, характеризующими скорость света.

Предположим, что пространственно-временная диаграмма умеренно быстрого светового импульса выглядит следующим образом:

ORTNT_00_05

В данном случае “траектория”, которую мы изобразили для этого импульса, показывает в целом его движение в пространстве-времени. И подобно тому, как гребни волн на воде перпендикулярны направлению распространения самой волны, волновые фронты, соответствующие максимумам световой волны, перпендикулярны ее траектории.

Длина световой волны – это расстояние между волновыми фронтами в пространстве. Направление, которые мы выбираем в качестве пространственного, разумеется, зависит от характера нашего собственного движения, который, следовательно, будет влиять и на измеренную нами длину волны. В то же время расстояние между фронтами, измеренное вдоль перпендикулярного к ним направления, представляет собой свойство самого света, которое никоим образом не зависит от наблюдателя, производящего измерение.

Чтобы узнать длину волны в случае более медленного импульса, достаточно просто повернуть сетку волновых фронтов, изображенных на предыдущей диаграмме, не меняя расстояния между самим фронтами:

ORTNT_00_06

Иными словами, более медленный свет характеризуется большей длиной волны. Если мы переведем это вывод на язык цветов, которые в нашем восприятии соответствуют различным длинам волн, то сможем утверждать, что красный свет медленнее фиолетового.

Когда вы смотрите на ночное небо в римановой Вселенной, красный свет, излучаемый каждой звездой, будет добираться до вас на несколько лет или даже веков дольше, чем фиолетовый – поэтому если звезда совершает боковые движения, вам будет казаться, что точки, из которых исходят различные цвета, немного отличаются друг от друга. На месте звезд вы увидите не отдельные светящиеся точки, а протяженные спектры, или “цветные шлейфы”, причем угол между красным и фиолетовым цветами будет напрямую зависеть от боковой скорости звезды.

Что можно сказать о поведении материи в римановой Вселенной помимо отсутствия универсального предела скоростей? Для понимания самого поразительного отличия двух миров нам потребуется вначале обрисовать кое-какие простые идеи, касающиеся физики нашей собственной Вселенной.

Существуют две важные величины, которые мы приписываем любому движущемуся телу: импульс и кинетическая энергия. Пожалуй, наиболее простой способ описать эти величины – это представить себе пулю, выпущенную в некий барьер, сконструированный для того, чтобы остановить ее движение за счет постоянной противодействующей силы. В этом случае импульс определяет время, необходимое, чтобы остановить пулю, а кинетическая энергия – расстояние, которое пуля успеет преодолеть до полной остановки. Обе величины зависят только от массы пули и ее скорости.

С появлением теории относительности мы пришли к пониманию, что по аналогии с пространством и временем, которые разумнее всего воспринимать в качестве двух аспектов единой сущности, пространства-времени, энергия и импульс движущегося тела представляют собой две стороны единого геометрического объекта, называемого вектором энергии-импульса. Этот термин может показаться чересчур формальным, но в действительности изобразить его очень просто. В случае неподвижного тела вектор энергии-импульса – это всего-навсего стрелка, направленная в сторону временной оси пространства-времени, и имеющая длину, равную массе тела.

ORTNT_00_07

Если тело начинает двигаться, то первоначальную стрелку нужно повернуть на определенный угол, соответствующий количеству пространства, которое тело преодолевает за определенное время; чем больше скорость тела, тем сильнее наклон.

Может показаться, что на приведенной выше диаграмме стрелка мы не просто наклонили стрелку, а еще и увеличили ее длину. На самом деле это всего лишь иллюзия, вызванная изображением пространства-времени на листе бумаги; если мы вычислим длину наклонной стрелки с помощью пространственно-временной теоремы Пифагора, то окажется, что ее длина в точности совпадает с длиной вертикальной стрелки.

Для чего же нужны эти векторы энергии-импульса? Измерив протяженность такого вектора вдоль временной оси, вы получите энергию тела. А измерение протяженности вдоль пространственной оси даст вам его импульс.

ORTNT_00_08

Здесь есть одна небольшая хитрость – протяженность вектора энергии-импульса в направлении оси времени соответствует так называемой полной энергии, которая помимо кинетической энергии тела включает в себя энергию, связанную с его массой. Таким образом, хотя неподвижное тело обладает нулевым импульсом (как и ожидалось), его полная энергия нулю не равна; напротив, полная энергия в этом случае целиком определяется его массой (которая, как вы помните, есть ни что иное, как длина упомянутых стрелок). Когда тело приходит в движение, величина, на которую его полная энергия увеличивается по сравнению с “энергией массы покоя”, представляет собой его кинетическую энергию.

Почему мы не привели здесь знаменитую формулу, связывающую энергию с массой покоя, E=mc². В выбранных нами единицах измерения скорость света c всегда будет равна единице (скажем 1 световой год/год), поэтому E=m и необходимость в c² отпадает.

А что же происходит в римановой Вселенной? Мы снова изобразим стрелку, длина которой совпадает массе тела, и повернем ее на угол, соответствующий скорости движения:

ORTNT_00_09

На этот раз поворот выглядит именно так, как и должен: мы собственными глазами видим, что обе стрелки имеют одинаковую длину. Теперь вместо специальной пространственно-временной теоремы Пифагора действует ее исходный вариант, поэтому можем не только изобразить римановы векторы энергии-импульса на обыкновенном листе бумаги, но и измерить их длину с помощью обыкновенной линейки.

Как это изменение повлияет на энергию и импульс движущегося тела?

ORTNT_00_10

В римановой Вселенной наклон стрелки приводит к тому, что ее проекция на ось времени становится короче, чем в случае неподвижного тела. Иначе говоря, у движущегося тела полная энергия меньше, чем у покоящегося! Мы по-прежнему можем определить кинетическую энергию тела как разность между этими двумя величинами, только теперь она будет обозначать не прирост энергии, а ее уменьшение.

Утверждение о том, что движущееся тело обладает меньшим количеством энергии по сравнению с неподвижным, звучит крайне необычно, но в действительности “перевернутый” характер кинетической энергии никак не проявляет себя в простейших ситуациях. Все положения классической ньютоновской механики, с которой мы знакомы в нашей собственной Вселенной, остаются в силе для тел, движущихся с небольшой скоростью: в римановой Вселенной вы могли бы сыграть в пул, не заметив никакой разницы. Приближенные формулы для импульса и кинетической энергии, действующие при небольших скоростях, справедливы в обеих Вселенных – за исключение знака “-” в случае кинетической энергии, однако обнаружить важность этого факта на бильярдном столе вам не удастся. Кинетическая энергия отрицательно по сравнению с энергией массы покоя, но в нашей Вселенной энергия массы покоя проявляет себя только в ходе ядерных реакций. Может быть, эта странная причуда римановой Вселенной останется незаметной в повседневной жизни и обнаружить ее позволят лишь замысловатые эксперименты из области высоких энергий?

Мы, однако же, упускаем из виду кое-что отнюдь не замысловатое – свет! В нашей Вселенной свет не обладает массой покоя, а его вектор энергии-импульса, благодаря пространственно-временной версии теоремы Пифагора, может иметь нулевую длину. Для этого полная энергия не обязательно должна быть равна нулю – достаточно, чтобы она была равна импульсу тела (при условии, что в выбранных единицах измерения скорость света равна единице). В этом случае протяженности вектора в направлении пространственной и временной осей компенсируют друг друга, когда мы вычисляем разность их квадратов:

ORTNT_00_11

В римановой Вселенной это невозможно; вектор может иметь нулевую длину только в том случае, когда он не имеет протяженности ни в одном из направлений. Без массы покоя нет ни энергии, ни импульса. Следовательно, в римановой Вселенной свет, как и любая другая материя, обладает массой покоя.

Далее, любой процесс, создающий свет, должен получить необходимую для этого энергию в какой-то другой форме – например, в виде кинетической или химической энергии. Но если кинетическая энергия отрицательна по сравнению с полной, “получить” – не вполне корректное слово. Создавая свет, нужно позаботиться о соблюдении закона сохранения энергии, но так как полная энергия света будет положительной, то полная энергия источника света – чем бы он ни был, – должна уменьшиться…а его кинетическая энергия, таким образом, должна увеличиться.

Иными словами, система, создающая свет, увеличивает свою кинетическую энергию – ее компоненты начинают двигаться быстрее.

В качестве простого, конкретного примера рассмотрим химическую реакцию, создающую свет. В самом начале, когда мы только смешиваем реагенты друг с другом, они остаются практически неподвижными (их кинетическая энергия будет отлична от нуля в силу присутствия тепла, но будем считать ее количество пренебрежимо малым). Для простоты мы также предположим, что массы реагентов совпадают. Таким образом, на диаграмме “До” их векторы энергии-импульса представляют собой всего лишь две одинаковые стрелки, направленные вдоль оси времени.
На диаграмме “После” нам нужно учесть векторы энергии-импульса, соответствующие созданному свету, а также продуктам химической реакции. Мы будем считать, что масса продуктов совпадает с массой реагентов; это вовсе не обязательно, но, как мы увидим, вполне возможно.

Чтобы уместить все векторы на диаграмме “После”, сохранив полную энергию неизменной, нам придется наклонить векторы продуктов. Иначе говоря, продукты реакции должны будут прийти в движение – чтобы компенсировать потребность в полной энергии созданного света, им придется избавиться от части собственной полной энергии и увеличить энергию кинетическую.

Кинетическая энергия, созданная в ходе химической реакции, проявляется в виде тепла, поэтому реакция будет проходить с выделением как тепла, так и света. В нашей Вселенной свет и тепло также являются результатом сгорания топлива с той разницей, что создаваться они будут за счет изменения химической энергии, которое можно обнаружить, благодаря (крайне малой) разнице между массой реагентов и продуктов. В нашем же примере нам удалось создать свет и тепло, совершенно не полагаясь на подобное изменение массы! Мы решили выбрать массу продуктов такой же, как и у реагентов, но реакция бы имела место, даже если бы мы сделали их массу чуть больше или чуть меньше.

В римановой Вселенной процесс создания света может сопровождаться выделением тепла как с сопутствующим изменением химической энергии, так и без него. А в некоторых случаях химическая энергия, очевидно, представляет собой более полезный продукт реакции, недели тепло. Вместо того, чтобы получать необходимую для фотосинтеза энергию за счет поглощения света, растения в римановой Вселенной стали бы излучать свет, чтобы запастись образующейся в результате химической энергией.

Тот факт, что создание света сопровождается увеличением кинетической энергии, превращает риманову Вселенную в место, полное опасностей. Чтобы безопасно извлекать энергию из этого процесса, живым существам придется освоить ряд искусных химических реакций, при этом , что распад угрожает даже простейшим строительным блокам материи.В нашей Вселенной атом или молекула, поглощая фотон, может перейти в состояние с более высокой энергией – при этом его связи становятся слабее. Например, ультрафиолетовое излучение, присутствующее в солнечном свете, может расщеплять некоторые молекулы. В римановой Вселенной аналогичный процесс не требует внешнего источника излучения: даже материя находится в сильно связанном состоянии, она сама может стать источником света и в результате приобрести кинетическую энергию, которая разорвет ее на части. В силу этого эффекта сохранять стабильность способны лишь некоторые структуры.

В чем ценность изучения Вселенной, законы которой отличаются от законов нашего собственного мира? Мы, конечно, можем допустить, что такая Вселенная действительно имеет шансы на существование – да еще и населена существами, которые задумываются над тем, как была бы устроена жизнь, если бы один из их плюсов превратился в минус. Но дело не только в этом: анализируя наши законы и изучая их работу в условиях новых допущений мы также начинаем лучше понимать физику собственного мира. Мы можем углубить понимание многих явлений – будь то человеческое общество, геология планеты, химия жизни или наиболее фундаментальные законы физики – пытаясь представить себе их альтернативы.

Риманова Вселенная полна опасностей и сюрпризов. В этом очерке мы коснулись лишь малой ее части, но я надеюсь, что даже это беглое знакомство с ее чудесами доставило вам удовольствие.

Заводная ракета. Глава 12

– Держитесь рядом со мной, – окликнула группу Ялда, когда они подошли к изгибу туннеля. – Кто-нибудь чувствует тошноту? Слабость? Головокружение?

В ответ раздался хор усталых отрицаний; эти вопросы им уже порядком надоели. Она строго следила за темпом экскурсии – к тому же внутри горы поддерживалось давление выше атмосферного, – но метаболизм у всех был разный, и Ялда решила, что лучше действовать всем на нервы, чем иметь дело с критической ситуацией. Чего ей точно не хотелось – так это чтобы у одного из потенциальных участников проекта гора стала ассоциироваться с болезнью.

– Ладно, теперь мы отправимся к одному из верхних топливопроводов. – Последние несколько проминок единственным источником света в туннеле служил красный мох, которым были облеплены стены, но из-за поворота уже пробивалось свечение садов, цветовая палитра которых была заметно богаче.

За поворотом их взгляду открылся громадный сводчатый зал – диск почти в полпутины диаметром и высотой где-то в пару долговязей. Три года тому назад его выдолбили в горе при помощи отбойных молотков, работающих на сжатом воздухе; в присутствии обнаженного солярита не использовались ни машины, ни лампы. Уже ставший привычным желтовато-серый мох и неприхотливые лианы с желтыми бутонами покрывали куполообразный свод, но между опорами располагался целый цветочный лабиринт, люминесцирующий всеми цветами спектра. Многие цветы были расположены случайным образом или образовывали небольшие локализованные узоры, однако длинные нити лазурного и нефритового цвета сплетали друг с другом сады, окружая зияющие черные жерла буровых скважин.

– Это место не всегда было таким красочным, – вспомнила Ялда, – но рабочие в течение нескольких лет приносили сюда разные растения.

– А вы сохраните сады после запуска двигателя? – спросил Нино.

– Нет – это помешает работе механизмов, а в долгосрочной перспективе корни могут даже повредить обшивку. Но уничтожать эти растения никто не будет; их перенесут в стационарный сад, который находится выше.

Ялда подвела дюжину своих подопечных к краю одной из буровых скважин и предложила заглянуть в темное отверстие. Где-то глубоко внизу темноту скрашивали четыре блика зеленого и желтого цвета; обвязавшись лианами и прильнув к веревочным лестницам, протянувшимся по всей длине скважины, рабочие осматривали твердолитовый слой, которым был покрыт окружавший их солярит.

– Во время работы двигателей, – объяснила Ялда, – эти отверстия снова закроются, но по краям будет просачиваться либератор. Если в защитном слое останутся прорехи, то возгорание топлива может произойти не там, где нужно.

– Это ведь верхний ярус ракеты, да? – спросил Доротео.

– Да.

– Значит, в ближайшем будущем пользоваться им никто не будет, – заметил он.

– Верно, и я уверена, что перед запуском его проверят еще раз, – сказала Ялда. – Но это вовсе не повод пренебрегать своими обязанностями прямо сейчас. В идеале ей хотелось подготовить все машины к тому, чтобы у путешественников была возможность в любой момент сделать разворот и безопасно вернуться домой – не прибегая к монтажу нового оборудования и тем более к каким-то радикальным инновациям. Но учитывая современную энергоотдачу солярита, этот верхний слой придется сжечь где-то на этапе торможения и разворота, то есть на середине пути. Так что полагаться на статус-кво все равно будет нельзя.

Когда Ялда подвела свою группу к лестничному пролету, идущему по периметру зала, они заглянули вверх и стали рассматривать высокие стены шахты, покрытой светящимся мхом. В центре висели четыре туго натянутых веревочных лестницы – их установили еще в начале строительства и оставили на случай, если они пригодятся в невесомости, – хотя на данный момент для подъема удобнее было воспользоваться винтообразным желобом в три поступи глубиной, который был вырезан в стене; его витки стыковались друг с другом на манер спиральной лестницы.

– Отсюда нам предстоит подняться на четыре проминки, – предупредила Ялда, – так что, пожалуйста, проявляйте осторожность и отдыхайте, когда потребуется.

– Я не чувствую слабости, но немного проголодалась, – сказала Фатима.

– Скоро будет обед, – пообещала Ялда. Фатима была соло, которой едва исполнилось девять лет; видя эту девушку, Ялда каждый раз испытывала тревогу. Какой отец позволил бы ей в одиночку отправиться в такую даль, чтобы стать участницей космического путешествия в один конец? Впрочем, чтобы попасть сюда, она могла ему соврать; может быть, он думал, что в Зевгме она она ищет себе супруга.

Пар и одиночек в группе было поровну; все одиночки, за исключением Нино, были женщинами. Ялда не стала выпытывать у Нино его подноготную, однако интуиция подсказывала ей, что он был представителем редкой и заклейменной позором братии – мужчиной-беглецом.

Они принялись взбираться вверх по лестнице; наклон, по всей видимости, был подобран таким образом, чтобы препятствовать бегу – появись у кого-нибудь такое желание. Их шаги и анекдоты, которые нашептывали где-то впереди Ассунта и Ассунто, отражаясь от нижней стороны лестницы, возвращались многократным эхом. Не считая их собственного присутствия, сверху до Ялды доносилась целая гамма странных вибраций, скрипов и шорохов. Сейчас внутри горы было гораздо меньше рабочих, чем на пике строительства, хотя их количество все равно достигало примерно дюжины гроссов, а работы по большей части велись в жилых помещениях, расположенных намного выше двигателей.

– А пассажиры смогут увидеть звезды? – спросила у Ялды Фатима, которая шла следом за ней на расстоянии в пару шагов.

– Конечно! – заверила ее Ялда, пытаясь отогнать любой намек на то, что пассажиры Бесподобной в конечном счете будут чувствовать себя узниками летающей темницы. – Здесь есть наблюдательные каюты с хрусталлитовыми окнами – и можно будет даже ненадолго выходить наружу.

– И стоять в пустоте? – спросила Фатима скептическим тоном, как будто это было настолько же нереально, как прогулки по Солнцу.

– Я была в гипобарической камере под минимальным давлением, какое только могли выдать насосы, – сказала Ялда. – Я чувствовала… небольшое покалывание, но это не больно, и совершенно безвредно, если не находиться там слишком долго.

– Хмм. – Фатима неохотно согласилась. – А звезды на небе – будут наши или те, чужие?

– Зависит от стадии путешествия. Иногда будут видны и те, и другие. Но об этом я всем расскажу позже. Освещенная мхом лестница была не самым подходящим местом для рисования четырехмерных диаграмм.

Лестница привела их к широкому горизонтальному туннелю; он был расположен по всему периметру горы, но ближайшая развилка находилась всего в нескольких шагах. Ялда не стала предупреждать о том, что находилось за поворотом; свет в какой-то мере служил подсказкой, но новичков это место всегда заставало врасплох.

В ширину этот зал был не больше нижнего, зато в шесть превосходил его по высоте – а широкие каменные колонны, поддерживающе сводчатый потолок, практически терялись среди деревьев. Высоко над ними, но гораздо ниже вершин деревьев, фиолетовые цветы, которыми была украшена сеть лиан, образовали прерывистый навес, разделивший лес по вертикали. Не имея возможности ориентироваться на солнечный свет, эти цветы поделились на две популяции с зигзагообразными суточными ритмами – когда открывалась одна группа, закрывалась другая. Сквозь щели, оставленные обвисшими, дремлющими бутонами, проникали колонны фиолетового света, отраженного от камней наверху – на их фоне виднелись клубящиеся облака пыли и пикирующие стайки насекомых. Здесь даже воздух двигался как-то иначе, подчиняясь сложным температурным градиентам, берущих начало в растительном покрове.

Ялда сделала несколько шагов вперед сквозь кусты, высаженные по краю зала, где потолок был слишком низким для деревьев. – Может показаться, будто это какая-то странная прихоть, – призналась она. – Зачем нужна вся эта дикая растительность, когда у нас есть фермы, плантации и медицинские сады? Но если наше выживание зависит от горстки растений, с которых мы научились регулярно снимать урожай, то в этом месте по-прежнему зашифровано больше знаний о свете и химии, чем во всех когда-либо написанных книгах. Каждый живой организм уже нашел решение проблем, связанных со стабильностью материи и энергетическим манипуляциями, которые мы только-только начинаем постигать. Поэтому я считаю, что будет разумным взять с собой как можно больше разнообразных представителей флоры и фауны.

– А какой именно фауны? – спросила Леония; ей не слишком улыбалась перспектива делить Бесподобную с многочисленным зоопарком.

– На данный момент здесь есть насекомые, ящерицы, полевки и землеройки. Скоро мы поселим здесь несколько древесников. – Задним зрением Ялда следила за реакцией группы; наконец, голос подал Эрнесто: «А разве древесники не опасны?».

– Только когда им угрожают, – с уверенностью заявила Ялда. – Рассказы о них – по большей части преувеличение. Как бы то ни было, они наши ближайшие родственники. Если нам нужно будет провести испытания новых методов лечения, то далеко не все можно будет узнать из одних только экспериментов на полевках. – В этом ее убедила Дария – та самая Дария, которая половиной своего состояния была обязана заявлениям импресарио о том, насколько свирепы упомянутые существа.

– А что произойдет, когда исчезнет гравитация? – спросила Фатима. – Разве все… не развалится на части?

Ялда присела на корточки и расчистила небольшой участок почвы, обнажив покрывающий его слой сетчатого материала. – Сеть прикрепляется к породе с помощью равномерно расположенных зубцов. Помимо этого, почву удерживает корневая система – да и сама по себе она довольно липкая. Пригоршня земли легко просочится сквозь пальцы, но лишиться гравитации вовсе не значит перевернуть все с ног на голову. Лично я склоняюсь к тому, что здесь и на фермах пыль образует в воздухе нечто вроде дымки, но одновременно установится равновесие, при котором пыль будет приклеиваться к почве так же часто, как отрываться от нее, поднимаясь в воздух.

Они поднялись по ступенькам на одну из ферм и подкрепились обедом, приготовленным из местных злаков. Пшеница прекрасно приспособилась к отсутствию солнечного света; теперь, когда Гемма практически полностью исторгла ночную темноту, внутри горы она росла быстрее, чем на фермах снаружи. Нарушение ритма, вызванное вторым солнцем, менялось в зависимости от сезона и года – в определенные периоды оно вставало и заходило примерно в то же время, что и первое, практически восстанавливая привычный порядок вещей, – но получив в прошлый раз весточку от Лючио, Ялда узнала, что ему и его двоюродным братьям уже надоело подстраиваться под этот чересчур сложный цикл, поэтому они просто начали закрывать свои поля навесами.

Далее шли кладовые, мастерские и заводы, школа, конференц-зал, жилые каюты. В завершение дня они посетили наблюдательную каюту рядом с вершиной горы, где наблюдали, как Солнце, заходящее над раскинувшейся внизу равниной, обнажает резко очерченную тень горы на фоне соперничающего с ним света с восточной стороны.

Рядом с наблюдательной каютой располагалась столовая. Посреди толпы строителей Ялда нашла на полу свободное место и всех усадила. Здесь наверху они находились достаточно далеко от солярита, так что можно было использовать лампы; место вполне могло сойти за какое-нибудь деятельное учреждение в Зевгме или Красных Башнях.

Ялда прекратила свои вербовочные разглагольствования и позволила новичкам поесть в тишине, если не считать шипения огневитовых ламп и болтовни других обедающих. Они не успели осмотреть всю Бесподобную, но все, что в ней находилось, увидели как минимум в одном экземпляре. Теперь они были в состоянии представить, что значит провести в этой горе всю жизнь.

Леония, которая находилась в напряжении в течение всей экскурсии, теперь не подавала почти никаких признаков волнения; Ялда подумала, что она решила найти более простой способ скрыться от своего ко, чем отправиться в пустоту в компании диких животных. Нино выглядел напуганным, но в равной мере готовым сделать противоположный выбор. В ретроспективе Ялда осознала, что все его вопросы касались лишь совершенно безобидных и тривиальных тем; он как будто хотел выглядеть заинтересованным из простой вежливости, хотя с самого начала был настолько предан своему плану, что предпочитал не касаться вопросов, которые могли бы поколебать его решимость.

Насчет остальных она не была уверена. Преуменьшить проблемы, с которыми предстояло столкнуться путешественникам, было так же легко, как и преувеличить. Тот, кто к концу экскурсии будет убежден, что проект с самого начала обречен на провал, просто уйдет – но точно так же и любой, кто верил, что Бесподобная обязательно вернется с победой, едва ли будет настолько мотивирован, чтобы присоединиться к команде. Вместо того, чтобы приговаривать своих потомков к бессрочному изгнанию, почему бы не пойти другим путем и, переждав каких-то четыре года, не умереть вдали от дома, а стать свидетелем грядущего возвращения союзников, наделенных силой, о которой можно только мечтать? Конечно, к тому времени их мир может испепелить гремучая звезда, но с момента возгорания Геммы прошло уже пять лет, и помыслить, что эта же удача будет сопутствовать им на протяжении еще пяти лет, было не так уж сложно.

Между этими крайностями находилась золотая середина, где потенциал миссии не вызывал сомнения, но гарантий успеха по-прежнему не было – благодаря чему сомневающийся новичок мог представить, что именно его вклад склонит чашу весов в нужную сторону. Именно к такому результату и стремилась Ялда; поступая так, она больше не чувствовала вину и перестала считать, будто манипулирует другими людьми. Говоря по правде, хоть они с Евсебио и распределили все обязанности, в необходимости которых были абсолютно уверены, привлечь в команду новых членов – расширив спектр умений, темпераментов и личного опыта – было отнюдь не лишним. По той же причине они решили устроить в ракете и леса, и фермы – на Бесподобной каждый сможет найти себе применение, даже если еще не знает, в чем именно оно заключается.

– Один вернулся! – в исступлении закричала Бенедетта. Она бежала по песчаной земле, отделявшей главный офис от грузового гаража. В руках у нее был свернутый лист бумаги. – Ялда! Один вернулся!

Ялда знаком велела группе ждать. Она собиралась отвести их на испытательный полигон, где они смогут понаблюдать за демонстрационным полетом, но если она правильно поняла смысл загадочного восклицания Бенедетты, задержка того стоила.

Ялда подбежала к ней. – Вернулся один из зондов?

– Да!

– Ты серьезно?

– Конечно серьезно! Посмотри, что ему удалось заснять.

Она развернула измятый лист.

clw_12_01

Ялда едва успела разглядеть брызги черных точек, как Бенедетта перевернула лист, чтобы показать ей обратную сторону. На ней были изображены три подписи, нанесенные красной краской – Бенедетты, Амандо и Ялды, – а также серийный номер, стрелка в углу, указывающая на расположение бумаги в светозаписывающем устройстве… и инструкции, предназначенные для того, кто найдет снимок по возвращении зонда.

Ялда хорошо помнила этот лист – если не считать изображения на его светочувствительной стороне. Он был одним из гросса, который Ялда два с половиной года тому назад подписала по просьбе Бенедетты, чтобы гарантировать их подлинность.

– Кто тебе его прислал?

– Один человек из небольшой деревни вблизи горы Отдохновения, – ответила Бенедетта. – Чтобы выплатить ему вознаграждение, мне потребуется твое разрешение.

– А ты знаешь, в каком состоянии сам зонд?

– В своем письме он сказал, что от зонда мало что осталось, кроме каркаса с несколькими шестеренками, но даже эта находка оказалась слишком тяжелой, так что пересылка была ему не по карману.

– Добавь к его вознаграждению еще немного денег, чтобы покрыть доставку и раздобудь остатки зонда. – Ялда забрала у нее снимок. – Восьмерить меня налево, – пробормотала она. – У вас с Амандо и правда получилось. – Она подняла глаза. – Ты ему еще не говорила?

– Он в Зевгме, помогает Евсебио с каким-то делом.

– Я и не думала, что это сработает, – призналась Ялда.

– Я знаю! – весело прощебетала Бенедетта. – В этом-то вся прелесть.

Ялда все еще с трудом верила в реальность снимка. Она держала в руках лист бумаги, который покинул их мир, пересек космическую пустоту, уступая в скорости только гремучим звездам, сделал разворот и вернулся обратно…, а затем был доставлен сюда по почте с горы Отдохновения.

– На каком этапе сделан снимок?

Бенедетта указала ей на серийный номер.

– То есть…? – Ялда уже забыла, что обозначали эти номера.

– Нечетные числа относятся к первому этапу путешествия, во время которого зонд удалялся от нашего мира.

– Хорошо, – наконец, ошеломленно произнесла Ялда. Она задумалась. – Думаю, тебе стоит рассказать о своей находке моим новобранцам.

– Само собой.

Ялда представила Бенедетту своей группе, а затем вкратце рассказала им предысторию проблемы. Несколько лет тому назад ей удалось обнаружить незначительную асимметрию в шлейфах гремучих звезд, тем самым доказав, что их истории не находились строго под прямым углом к истории нашего мира. Благодаря этому, наконец-то, появилась возможность выяснить, с какой стороны двигались гремучие звезды; раньше светящиеся следы, оставленные этими раскаленными булыжниками, могли указывать на любое из двух возможных направлений. Однако оставался другой вопрос: в какую сторону направлена стрела времени самих гремучих звезды?

Доротео был озадачен. – А почему их стрела времени не направлена просто от исходной точки к месту назначений?

– Представьте, что проезжая через железнодорожный переезд, вы замечаете, что ваша дорога и рельсы не образуют идеальный прямой угол; и когда вы подъезжаете, рельсы приближаются к вам с левой стороны, – сказала Ялда. – Возможно, вы решите, что «начало» железной дороги – это станция, которая расположена позади вас, с левой стороны, но – если считать, что поезда ходят только в одном направлении, – это еще не дает вам повода утверждать, что сам поезд относительно вас будет двигаться слева направо.

Доротео попытался усвоить эту аналогию. – То есть… несмотря на то, что историю гремучей звезды в 4-пространстве геометрически можно представить в виде некоторой гладкой кривой, конкретное направление на этой кривой выбрать нельзя. Мы не можем предполагать, что обнаруженный вами наклон обязательно указывать на то, что стрела гремучей звезды слегка повернута в сторону нашего будущего; она вполне может быть слегка наклонена и в сторону прошлого.

– Именно, – подтвердила Ялда. – Во всяком случае, так было до настоящего момента.

Бенедетта поначалу стеснялась говорить в присутствии незнакомцев, но получив одобрение Ялды, взяла дальнейшие объяснения на себя.

Зонды были запущены два с половиной года тому назад – шесть дюжин ракет были заправлены добытым из горы соляритом, оборудованы одними и теми же инструментами и отправлены в космос, как рой мигрирующих комаров, в надежде на то, что один из них справится со своей задачей и сумеет вернуться домой. Их план полета представлял собой менее амбициозный вариант путешествия Бесподобной – ракеты должны были разогнаться всего лишь до 4/5 скорости голубого света, после чего затормозить и сделать разворот, пробыв в состоянии свободного падения буквально пару склянок. Синхронизация по времени обеспечивалась с помощью сжатого воздуха, часового механизма и распределительных валов, а добавление в конструкцию пары двигателей малой тяги позволило избежать вращения ракеты. Цель проекта состояла в том, чтобы придать светозаписывающему устройству как можно большую скоростью, направив его вдоль траектории гремучих звезд – сначала в одном, а затем в противоположном направлении.

– Бумага была обработана для придания ей чувствительности к ультрафиолетовому свету, который примерно в полтора раза быстрее голубого, – объяснила Бенедетта, показывая потрепанный в дороге листок. – Все ортогональные звезды расположены в нашем будущем, поэтому увидеть или заснять их при обычных условиях мы не можем. Однако само понятие «прошлого» и «будущего» зависит от характера движения наблюдателя.

Она изобразила у себя на груди ключевые линии истории.

clw_12_02

– Поскольку скорость зонда составляет 4/5 скорости голубого света, то инфракрасный свет, испущенный ортогональными звездами, должен был достичь его под углом, который в 4-пространстве соответствует ультрафиолетовому свету из прошлого. – Бенедетта снова продемонстрировала им подтверждение этого факта. – Таким образом, нам удалось получить снимок этих звезд – который с нашей точки зрения по-прежнему находятся в будущем – придав зонду такую скорость, при которой часть их истории оказалась в его прошлом.

– А откуда ты знаешь, что на снимке изображены не обычные, а именно ортогональные звезды? – спросила Фатима.

– Бенедетта указал на свою грудь. – Обрати внимание на угол между лучом света и историями обычных звезд. С их точки зрения свет движется назад во времени! Его источником могли быть только ортогональные звезды.

– А если бы будущее ортогональных звезд находилось на противоположной стороне, – добавила Ялда, – то зонд смог бы заснять их только на обратном пути, двигаясь в нашу сторону. В общем, теперь мы знаем направление стрелы времени – но не благодаря самим гремучим звездам, а благодаря свету ортогональных звезд, которые движутся вместе с ними. – Наконец-то было покончено со старыми опасениями Бенедетты – что Бесподобная может направиться прямиков в прошлое ортогонального скопления, а значит, ракете придется работать, одновременно сопротивляясь воздействию внешней энтропийной стрелы. Теперь стало ясно, что столкнуться с этой проблемой экипажу предстоит лишь на обратном пути.

– А насколько они далеко? – спросила Фатима. – Все эти ортогональные звезды?

Бенедетта опустила глаза и взглянула на снимки. – Точно сказать нельзя, потому что мы не знаем их яркости. Но если она примерно соответствует яркости наших звезд, то до ближайшей из них, наверное, не больше дюжины лет.

Группа проглотила эту новость, не проронив ни слова. По утреннему небу лениво тянулись пять гремучих звезд, и хотя сама Гемма еще не поднялась над горизонтом, будущее уже сейчас сулило встречу с незваными гостями куда больше тех безделушек, которые подожгли соседний мир.

Ялда уже начала подумывать, что эта новая неотвратимая угроза могла подтолкнуть часть сомневающихся к решению в пользу полета, но Леония сбила весь настрой. – В космос отправилось шесть дюжин зондов, – заметила она, – но найти удалось только этот? А что с остальными? От них только кратеры остались?

– Это вполне возможно, – согласилась Бенедетта. – Автоматическая посадка – дело непростое. Но главная проблема – попасть в этот крошечный камешек с такого огромного расстояния. Наш мир – это очень маленькая мишень; по нашим оценкам, точность, необходимая для регулировки тяги и ориентации в пространстве, была близка к пределам наших технических возможностей. Нам повезло, что удалось вернуть хотя бы один зонд.

– Но ведь Бесподобная отправится гораздо дальше, – с беспокойством заметила Серафина.

– Люди будут управлять ракетой изнутри, – ответила Ялда. – Чтобы вернуться домой, им не придется полагаться на одни только механизмы.

Леония была непоколебима. – Тем не менее, на шесть дюжин испытаний вашего грандиозного проекта – в его миниатюрной версии – приходится всего один успешный результат. И вы надеялись впечатлить нас, показав фокус с мышами?

В ходе демонстрационного запуска, организованного Ялдой, ракета должна была вывести шесть особей за пределы атмосферы, а затем вернуть их обратно на землю – в надежде на то, что мыши останутся в живых. Подобная демонстрация сама по себе была нетривиальным достижением, хотя назвать ее имитацией полета на Бесподобной было, конечно нельзя – к тому же некоторых людей успокаивал уже хотя бы тот факт, что ракеты Евсебио больше не взрывались во время запуска, а пассажиры не зажаривались насмерть из-за теплоотдачи двигателя.

– Что же вас тогда убедит? – раздраженного спросила Ялда. – Полномасштабный запуск Благолепной с экипажем древесников на борту?

По сравнению с этим насмешливо грандиозным проектом предложение Леонии было куда скромнее. – Если бы вы сами полетели на этой ракете вместо полевок, то, может быть, и был бы какой-то толк.

Прежде, чем Ялда успела дать ответ, Бенедетта сказала: «Я это сделаю».

Фатима издала взволнованный рокот. – Ты серьезно?

Бенедетта обернулась в ее сторону. – Абсолютно! Дайте мне только несколько дней, чтобы перепроверить ракету и заново настроить ее с учетом нового веса.

– Нам нужно это обсудить… – вмешалось было Ялда.

– Это будет гораздо убедительнее мышей! – восторженно заявил Ассунто. Его ко была согласна. – Как можно судить о полетных рисках по животному размером с мою ладонь? – возмутилась она. – Наши тела устроены совершенно иначе.

Ялда беспомощно посмотрела на свою группу, обсуждавшую предложение Бенедетты; вскоре большинство пришло к выводу, что все остальное им уже неинтересно. Только Фатима выразила нежелание наблюдать за столь рискованным предприятием, в то время как Нино изо всех сил делал вид, что ему не все равно.

Ялда не собиралась оспаривать решение Бенедетты перед всеми; она отпустила новичков, чтобы те убили немного времени на рынках Плацдарма.

Бенедетта уже раскаивалась в своих словах. – Я не подумала как следует, – призналась она. – Не стоило вываливать это на тебя вот так, ни с того ни с сего.

– Ладно, забудем про неподходящий момент. – Оказаться в глупом положении перед новичками было меньшей из ее проблем. – Зачем тебе вообще это делать?

– Мы это уже несколько лет обсуждаем, – ответила Бенедетта. – Ты, Евсебио, Амандо… все согласны, что было бы неплохо запустить кого-нибудь в космос, но когда-нибудь потом. А сколько осталось до запуска Бесподобной?

– Меньше года, я надеюсь.

– А мы до сих пор не посадили в ракету ни одного человека!

– Плоть есть плоть, – твердо сказала Ялда. – Из чего сделаны полевки? Из камня? Что касается Бесподобной, то там нам, в первую очередь, придется беспокоиться об охлаждении и управлении ориентацией ракеты – и то, и другое у нас идеально отработано: за последние четыре дюжины испытательных полетов к ним не было ни единого нарекания. Проблемы были только с приземлением.

– Да и то всего три раза, – заметила Бенедетта. – Так что шансы на успех в моем случае не так уж малы.

– Да…, но если ты это сделаешь, то что это нам даст? – сказала Ялда. – Выживешь ты или нет – как это повысит надежность Бесподобной?

Готового ответа у Бенедетты не было. – Ничего конкретного в голову не приходит, – наконец, сказала она. – Но мне все-таки кажется неправильным запускать в пустоту население целого города до того, как там побывает кто-нибудь из нас. Даже если это просто символический жест, он развеет чьи-то страхи, привлечет на нашу сторону еще несколько новичков и утихомирит кое-кого из наших врагов.

Ялда вгляделась в ее лицо. – Ну а почему именно сейчас? Ты видишь будущее – доказательство, что оно неизменно – и потом неожиданно предлагаешь отдать свою жизнь в руки судьбы?

Бенедетта прожужжала, подивившись такому заключению. Она подняла снимок, полученный с зонда. – Как думаешь, если я буду смотреть на него достаточно долго, то смогут увидеть себя, счастливо живущую посреди ортогональных звезд?

– А если я скажу тебе, что видела будущее, и там одни мыши? – сказала в ответ Ялда.

Бенедетта жестом указала в сторону рынков. – Тогда я с уверенностью могу предсказать, что большая часть твоих новобранцев разбегутся уже через пару дней.

Сильвио стоял в дверях кабинета Ялды. – Вам надо взглянуть на новый лагерь, – сказал он. – От города он довольно далеко.

Она опустила глаза к расчетам модифицированного испытательного полета, которые ей передала Бенедетта. Ялда перепроверяла их снова и снова, но до сих пор окончательно не решила, стоит ли давать ей добро.

– А вы уверены, что есть какие-то проблемы? – спросила она. Порой здесь появлялись торговцы, которые разбивали лагерь в каком-нибудь неподходящем месте, но обычно уже через несколько дней они понимали, что выгоднее переехать в Плацдарм.

Сильвио ничего не ответил; он уже дал ей совет и не собирался его повторять. Зарплату ему платил Евсебио, и если уж он поставил Ялду над всем проектом в свое отсутствие, значит, определенное уважение она заслужила – но не слишком большое.

– Хорошо, я иду, – сказала она.

Сильвио отвез ее на пять путин к северу, следуя вдоль грунтовой дороги, которая соединяла Плацдарм с одним из заброшенных входов внутрь горы. Ялда не знала, чем именно он там занимался; возможно, Евсебио поручил ему патрулирование всей территории.

Рядом с заброшенным городком строителей располагалось пять грузовиков, большая часть которых были загружены почвой и принадлежностями для ферм. В поле зрения находилась пара дюжин людей, раскапывающих пыльную землю. В определенном смысле выбор места для фермы был не таким уж плохим, – сообразила Ялда; вероятно, тень от горы могла бы достаточно долго блокировать свет Геммы, чтобы злаки сохранили привычный суточный ритм, не требуя сооружения громоздких навесов. Тот факт, что почву приходилось завозить на грузовиках, конечно, не слишком обнадеживал, но как только растения закрепятся на этой земле, их корни на пару с живущими посреди них червями, сами начнут разрушать нижележащую породу.

Выбравшись из кабины, Ялда подошла к фермерам.

– Здравствуйте, – весело окликнула она. – Может кто-нибудь уделить мне пару махов для разговора?

Она заметила, что несколько человек отвернулись, смутившись от осознания того, что к ним обратилась соло, но один мужчина опустил лопату и подошел к ней.

– Меня зовут Витторио, – сказал он. – Добро пожаловать.

– Меня – Ялда. – Ей очень хотелось пошутить насчет его знаменитого тезки, но она сдержалась; либо такие шутники ему и без того надоели, либо он просто не поймет, о чем идет речь. – Я работаю вместе с Евсебио из Зевгмы – владельцем местных шахт. – Это выражение стало традиционным эвфемизмом, за которым скрывался проект по строительству ракеты; все знали, что именно происходит внутри горы и зачем это нужно, однако некоторые люди, не проявлявшие особого оптимизма в отношении авантюры Евсебио, вели себя менее агрессивно, если им не напоминали о ней открытым текстом.

– Сомневаюсь, что ему принадлежит и вся эта земля, – настороженно заметил Витторио.

– Верно, – Ялда старалась сохранять как можно более дружелюбный тон. – Но если вы собираетесь торговать с его рабочими, то к югу отсюда есть целый город, где вас бы с удовольствием приняли. – Заключив договор на вполне разумных условиях, они могли бы получить под свои фермы столько же земли, сколько и здесь, продавать свою продукцию на рынках и без каких-либо затрат пользоваться бытовыми удобствами Плацдарма.

– Мы тщательно выбирали это место, – заверил ее Витторио.

– Правда? Оно довольно далеко от других поселений, не считая Плацдарма, но в то же время не так близко, как могло бы быть.

Витторио жестом изобразил безразличие. Остальные члены общины тайком наблюдали за ними, но Ялда не чувствовала с их стороны физической угрозы – лишь негодование из-за того, что она вмешивается в их дела.

– Я должна быть с вами честной, – сказала она. – Меньше, чем через год эта земля станет непригодной для фермерства. – Она старалась исходить из самых что ни на есть наивных предположений, какие только пришли ей в голову – якобы хаос, разразившийся в небе, согнал фермеров с их земли в поисках надежного источника ежесуточной темноты, и они просто не знали, как скоро Бесподобная перестанет отбрасывать свою весьма кстати подвернувшуюся тень.

– Вы нам угрожаете? – в голосе Витторио прозвучало неподдельное оскорбление.

– Вовсе нет, – сказала Ялда, – но я думаю, вы понимаете, что я имею в виду. Недостаток тени для посевов станет меньшей из ваших проблем.

– А, стало быть ваш хозяин Евсебио предаст всех нас огню? – с нескрываемым презрением произнес Витторио. – Осознанно пойдет на уничтожение нашей общины?

– Давайте не будем драматизировать, – обратилась к нему Ялда. – Вы едва начали вскапывать свои поля, а теперь знаете о грозящей вам опасности и не станете тратить время понапрасну, пуская здесь корни. Предавать вас огню никто не собирается.

– Значит, судьба Геммы вас ничему не научила?

Ялда смутилась. – Именно Гемма подвигла половину планеты поддержать работу Евсебио.

– Благодаря Гемме – возразил Витторио, – те, у кого есть глаза, поняли, что в огне может погибнуть целый мир. Но ваш хозяин так ничему и не научился и в своем слепом невежестве собирается навлечь ту же участь на всю нашу планету.

Своим «хозяином» Витторио уже начал злить Ялду, но он, по крайней мере, не называл Евсебио ее супругом – хоть какое-то разнообразие. Она оглянулась назад, в сторону грузовика; Сильвио делал вид, что спит.

– Вы думаете, что ракета станет причиной всемирного пожара? – Если он и правда в это верил, Ялде оставалось только восхищаться его решением сыграть роль живого щита перед лицом грозящего им пожарища, но для начала он вполне мог заглянуть в ее кабинет, чтобы задать несколько вопросов. – Гемма загорелась из-за удара гремучей звезды; пока такая звезда не столкнется с нашей планетой, ничего подобного с нами не случится, – заявила она.

– Гремучая звезда, без вариантов? – прожужжал Витторио, удивленный ее словами. – И с чего вы вообще это взяли?

– Я не знаю насчет других вариантов – зато я знаю, на что способна, а на что нет вот эта ракета, – сказала Ялда. – Под запасами солярита в горе расположен пассивитовый пласт; я была там, я касалась его собственными руками. Мы испытали эту комбинацию – поддерживали горение одного минерала поверх другого намного, намного дольше, чем продлится их контакт во время запуска. Под действием пламени пассивит переходит в газообразную форму, но за пределами соответствующей зоны реакция затухает. И прежде чем вы возразите, что пассивит, скорее всего, содержал примеси, мы дополнительно провели испытания на дюжинах других горных пород.

– И насколько большим было ваше пламя? – поинтересовался Витторио. – Размером с гору?

– Нет, но дело вовсе не в этом, – объяснила Ялда. – За счет более длительного удержания пламени в одном месте мы можем достичь точно таких же условий в пластине всего в несколько поступей шириной.

Но Витторио просто не мог с ней согласиться. – Вы поигрались с какими-то игрушечными фейерверками и решили, будто это что-то доказывает. Настоящее доказательство – вот оно, в небе.

– Если вас так впечатлил пример Геммы, то как вы предлагаете бороться с гремучими звездами, которые устроят то же самое в нашем мире? – спросила Ялда. – Мешая Евсебио, вы проблему не решите.

Витторио был по-прежнему невозмутим. – А как по-вашему, на Гемме были люди?

– Нет. – Все это начинало походить на какую-то небылицу. – А что это меняет?

– Люди могут справиться с небольшим пожаром, – ответил Витторио. – Если один минерал горит, то его можно потушить песком, сделанным из другого минерала. Будь на Гемме люди, они бы непременно так и поступили, и их мир бы не пал жертвой огня.

Ялда не знала, как на это ответить. Было бы абсурдным надеяться, что для победы над гремучими звездами хватит простой сообразительности и ведра с песком…, но если развить эту идею до более масштабной и организованной системы – с наблюдателями и графиками дежурств в каждом поселке и полными грузовиками инертных минералов, которыми можно будет воспользоваться в любой момент, то это, вероятно, позволит сдержать последствия небольшого удара.

– И насколько же велика гремучая звезда? – спросил у нее Витторио. Он показал два пальца, примерно на расстоянии мизера друг от друга – Вот такая? Побольше? Поменьше?

– Примерно такая, – согласилась Ялда.

– Значит, мне приходится выбирать между пожаром, который может устроить один камешек и пожаром, который может устроить вот это. – Витторио обернулся и указал на гору. – Только идиот согласится пойти на больший риск.

Стоя на верхушке ракеты, Ялды увидела, как ветер вздымает с равнины бурую пыль, повторяющую движение потоков и завихрений воздуха. – Еще не поздно передумать, – сказала она.

– Но ведь я уже завершила это путешествие, – безмятежно возразила Бенедетта. – Время – круг. Все уже случилось, все уже закончилось; выбирать больше не из чего.

Ялда надеялась, что всей этой фаталистической болтовней Бенедетта ее просто дразнила, но спорить об этом прямо сейчас было бессмысленно. Последняя троица новобранцев, которых она привела, чтобы те с вожделением осмотрели крошечную кабину, спускалась по лестнице на землю. Бенедетта была пристегнута ремнями к скамье, заменившей в первоначальном плане стойку для мышиных клеток; ее тело будут обдувать те же самые прохладные газы, которые во время предыдущих запусках защищали зверьков от перегрева. Окружавший ее замысловатый механизм, который отвечал за регулирование времени работы двигателей и выброса парашюта, проверялся трижды – Фридо, Ялдой и, наконец, самой Бенедеттой. Полевки были удостоены лишь двойной проверки.

– Тогда я не стану желать удачи; тебе она все равно не понадобится, – сказала Ялда.

– Вот именно.

Но Ялде этого было мало; она присела на корточки рядом со скамьей. – Знаешь, если этот полет сделает тебя знаменитой, твой ко, вероятно, станет тебя искать.

– Какой еще ко? – парировала Бенедетта. – Здесь никто не знает моего настоящего имени.

– Да, но много ли таких же чокнутых родилось в Нефритовом Городе?

Бенедетта приятно удивилась. – По-твоему, я из Нефритового Города?

– А разве нет? – В этой части ее истории Ялда никогда не сомневалась. – Твой акцент звучит вполне натурально.

– Тебе стоит послушать, как я имитирую еще шесть наречий.

Ялда сжала ее плечо. – Скоро увидимся. – Она распрямилась и выбралась из кабины; примостившись на выступе, нависавшем над лестницей, она плотно задвинула крышку люка. Через окно она увидела, как Бенедетта жестом указала на пусковой рычаг, а затем показала ей руку с четырьмя пальцами, что означало: она запустит ракеты, когда часы возле скамьи пробьют четыре куранта. Протокол был стандартным, однако в отличие от полевок инициировать процесс ей придется самой.

Ялда обычно не испытывала проблем с высотой, и все же, спускаясь по лестнице, ощутила нечто вроде взаимного головокружения при мысли о той высоте, на которой вскоре должна была подняться ракета.

Спустившись на землю, она потянула лестницу в сторону, позволив ей упасть набок. Теперь новобранцы вели себя тихо; даже Леония присмирела, когда они направились в сторону бункера.

Когда порыв ветра поднял с земли облако колючей пыли и обдул их лица, Фатима сказала: «Надо бы сделать грузовик, работающий на сжатом воздухе».

– Надо, – согласилась Ялда. В какой-то момент это, вероятно, выносилось на обсуждение, но впоследствии выпало из списка первоочередных задач; многие хорошие идеи постигла та же судьба. Неимоверная сложность проекта усугублялась еще и тем, что некоторые из соинвесторов Евсебио требовали ограничить непосредственное использование их вложений одной лишь ракетой, чтобы по возвращении будущих поколений путешественников не оказаться в роли второстепенных игроков. Ялде казалось забавным, что кто-то верил, будто подобными решениями можно гарантировать свое право на тот самый лакомый кусочек, которым, в конечном счете, должен был стать проект. Если Бесподобная действительно вернется домой, проведя целый век в пустоте, – вооруженная технологиями, способными победить не только гремучие звезды, но и все, что грозило последовать за ними – то они сами будут решать, с кем торговать и на каких условиях. Определенная доля сочувствия, которую путешественники могли проявить к своим далеким двоюродным братьям и сестрам, была пределом ее мечтаний; любой план, предполагающий строгое следование контрактам, подписанным их давно почившими предками, был не более, чем фантазией, которую Евсебио поддерживал ради того, чтобы, расставаясь с колоссальными суммами, плутократы имели возможность оставаться в стороне от ужасающей правды жизни – что их деньги в действительности расходуются на общее благо.

Фридо ждал ее рядом с бункером. – Как она? – обеспокоенно спросил он.

Держится спокойно, – ответила Ялда. – Подразнила меня напоследок.

Фридо оглянулся и пристально оглядел равнину. Ялда решила, что им двоим предстоит ощутить вкус настоящего космического детерминизма; решение стартовать или отступить по-прежнему было за Бенедеттой, но никакие поступки ее друзей повлиять на этот выбор уже не могли.

Все забрались в бункер. Последний раз ракета взрывалась во время испытаний несколько лет назад, однако подобные меры предосторожности не требовали больших усилий, и хотя пыли в бункере было еще больше, чем снаружи, возможность спрятаться от ветра была очень кстати.

Ялда лежала между Фридо и Фатимой, наблюдая за зеркальным отражением горизонта. На фоне бурой дымки ракеты было почти не видно. Она взглянула на часы; до старта оставалось еще три маха.

– А если она сначала засомневается, а потом снова соберется с духом? – спросила Леония. – Если эта штука рванет, когда мы выйдем из бункера –

– Этого не случится, – ответила Ялда. – Либо она приступит к запуску точно по графику, либо запуска вообще не будет.

– А если что-нибудь заклинит в топливопроводе? – спросила Эрнеста. – Разве можно спокойно закрыть на это глаза, если в любой момент топливопровод может расклиниться и запустить двигатели?

– На этот случай есть резервная система, закрывающая баки с либератором. А если и это не сработает, то Бенедетта сумеет разобрать топливопровод своими силами. – Неужели нельзя наблюдать молча и ни во что не вмешиваться? Она закрыла глаза; в голове у нее стучало.

Время прошло в молчании. Фатима осторожно коснулась ее руки. Ялда открыла глаза и посмотрела на часы. Фридо тихонько отсчитывал: «Три. Два. Один».

Сияние пылающего солярита прорвалось сквозь дымку и осветило равнину. Бенедетта не отступила; после удара часов она не замешкалась ни на один высверк. Когда ракета плавно поднялась в небо, стены бункера затряслись, но это был всего лишь легкий толчок. Ялда почувствовала, как ей передался восторг Бенедетты. Эта отважная женщина повернула рычаг, и ракета подчинилась ее воле. Ее кожу будет обдувать прохладный ветерок, ее вес увеличится не более, чем в полтора раза, а если она придаст своему тимпану необходимую жесткость, то и шум двигателя не причинит ей особых неудобств. Сама Ялда поступила точно так же, и когда до нее долетел звук старта, она его едва расслышала.

Когда ракета скрылась за краем зеркала, Ялда выбралась из бункера и стоя наблюдала, как она набирает высоту. Фридо последовал за ней, и хотя она не давала никаких указаний своим новобранцам, вскоре к ним присоединились и все остальные.

Не пройдет и куранта, а Бенедетта уже достигнет высоты в четыре стези над поверхностью земли – это почти в девять раз выше Бесподобной. Со своей скамьи она будет вглядываться в окно и наблюдать, как расширяется горизонт. Ялда опосредованно ощутила, как покалывает ее кожа от предвкушения еще более грандиозного путешествия: вознестись к звездам и вернуться, не испытав горечи вечного расставания со своим миром.

Рядом с бункером Фридо разместил треногу с теодолитом, но Ялда была готова ограничиться собственным невооруженным зрением, просто сверяясь с часами, которые висели у них за спиной. Вскоре расстояние превратило ракету в едва заметную белую точку, которая, тем не менее, была видна достаточно хорошо, чтобы по ней можно было безошибочно угадать момент отключения двигателей, когда ракета окончательно скроется из вида. Теперь Бенедетта окажется в состоянии невесомости, будто примерив на себя кожу кого-нибудь из своих потомков, для которых все остальное кажется совершенно неведомым.

Ракета успеет подняться еще на две стези, прежде чем остановится под действием гравитации. Спустя пять махов Ялда представила, как она замедляет свой ход, подбираясь к верхней точке траектории. Сможет ли Бенедетта понять, что достигла середины пути, кроме как взглянув на показания своих часов? Насколько точно можно оценить собственную скорость, если ландшафт – единственный доступный ориентир – находился на таком большом расстоянии? Ялда попыталась представить вид, который открывался с такой высоты, но задача оказалась ей не по силам. Придется проявить терпение и узнать об этом со слов самой путешественницы.

Еще пять махов она проведет в свободном падении, затем двигатели снова заработают и разгорятся еще яростнее, нежели во время подъема, чтобы сбить ее скорость до той отметки, когда можно будет переключиться на парашют, который смягчит приземление. Ялда не сводила задних глаз с часов, а передними наблюдала за зенитом, стараясь не отвлекаться на гремучие звезды.

Где же эта святящаяся точечка? Она мельком взглянула на Фридо, но он тоже ничего не заметил. Она заставила себя успокоиться; ветер взбивал вокруг них пыль, к тому же заметить остановку двигателей было проще, чем их повторное зажигание.

Вот она! Ниже и западнее того места, где ее искала Ялда – бледная, но, без сомнения, та самая. Боковой ветер должен был придать ракете непредсказуемый толчок в горизонтальной плоскости, помешав ей вернуться по той же самой траектории. К тому же Ялда подозревала, что слегка дезориентировалась – убеждала себя в том, что наблюдает за одной и той же точкой, а сама в это время периферийным зрением следила за разноцветной полосой, медленно дрейфующей по небу.

Что-то не так, – сказал Фридо, обращаясь к ней одной. – Она спускается слишком быстро.

Ялда не могла согласиться. Он видел больше запусков, чем она, но ведь и его мучило беспокойство; его восприятие было искажено.

Пламя приблизилось, на него уже стало больно смотреть; мысленно Ялда проследила его спуск вплоть до точки на расстоянии всего нескольких путин от места старта. Бенедетта встретит их на полпути через равнину, победоносно крича и размахивая руками.

Она ждала, когда огонь погаснет, и следила за часами по мере того, как приближался нужный момент. Но когда он прошел, двигатели все еще продолжали ярко полыхать.

– Что-то не так, – тихо повторил Фридо. – Похоже, двигатели заработали с опозданием.

Пока он говорил, пламя погасло. Ялда мысленно зафиксировала показания часов: отставание от графика – шесть пауз. Если зажигание произошло на шесть пауз позже, то в момент остановки двигателей и развертывания парашюта скорость ракеты превышала намеченную более, чем на десять дюжин поступей в паузу. Ракета падала быстрее и с меньшей высоты.

– Что ты сейчас видишь? – спросила его Ялда. Новобранцы уже стали замечать их перешептывания, но Ялда, не обращая на них внимания, смотрела, как Фридо обыскивает небо с помощью небольшого телескопа, встроенного в теодолит. Разглядеть неосвещенную ракету с такого расстояния невозможно, но если парашют раскрылся, его белая ткань должна была отразить солнечный свет.

Ялда увидела это первой – у нее был более широкой обзор, который к тому же не требовал телескопа. Не трепет солнечного света на куске ткани – перед ней снова пылал настоящий соляритовый огонь. Она коснулась плеча Фридо; он посмотрел вверх и в изумлении выругался.

– Что она делает? – спросил он онемевшим голосом.

– Берет управление на себя, – ответила Ялда. Двигатели не были предназначены для ручного управления, но Бенедетта, скорее всего, вытащила бесполезный часовый механизм и заново открыла систему подачи либератора собственными руками.

Фатима подошла к ним. – Я не понимаю, – возмутилась она.

Ялда обратилась к новобранцам, объяснив им то, что, по ее мнению, сейчас происходило с ракетой. По-видимому, таймер заклинило на несколько пауз, когда ракета находилась в состоянии свободного падения, и после этого в работе механизма появилась задержка. Парашют, скорее всего, сорвало ветром после того, как он раскрылся на такой большой скорости. Теперь оставался только один способ замедлить падение ракеты – пустить в ход двигатели. Бенедетта попытается выполнить серию зажиганий, которые позволят ей безопасно опуститься на землю.

Больше она не сказала ни слова; теперь им всем оставалось только смотреть и надеяться. Даже при идеальных знаниях и точности управления посадка с работающими двигателем требовала идти на компромисс. Прежде, чем заглушить двигатели, нужно было опуститься как можно ниже, чтобы уберечь себя от падения с высоты – однако чем ниже опускалась ракета, тем большее количество тепла от ракетного выхлопа успеет скопиться над поверхностью земли.

К тому же идеальных знаний у Бенедетты не было – она могла откалибровать силу тяги двигателей, исходя из ощущения собственного веса и оценить высоту и скорость, ориентируясь по наклонному виду окружающего ландшафта, но не более того. Ялда заметила, что зажигание, которое должно было замедлить падение ракеты, продолжалось слишком долго; на мгновение пронзительно яркий свет завис над равниной, а затем снова вознесся в небо.

Пламя погасло, и ракета снова исчезла из вида. Ялда попыталась мысленно проникнуть в кабину в надежде заново обрести чувство сопереживания, которое сопровождало ее в момент запуска. Бенедетта уже продемонстрировала решительность и быстроту ума, но ее главной потребностью была информация.

Двигатели снова оживились, и ракета появилась гораздо ниже, чем раньше. С опасением, что торможение окажется недостаточно быстрым, Ялда наблюдала, как ракета приближается к линии горизонта, но когда корабль вошел в пылевую дымку, окатив всю равнину рябью световых лучей, она воспряла духом. Теперь оценить траекторию ракеты было проще, и она была настолько же близка к идеалу, насколько этого можно было пожелать. Если Бенедетта остановит двигатели в нижней точке, ей, вероятно, удастся пережить падение.

Пламя слегка ослабло, но полностью не исчезло. Ялда всматривалась в пыль и слепящий свет, стараясь различить хоть какие-то признаки движения. Фридо протянул руку и дотронулся ей до руки Ялды; он наблюдал за происходящим через теодолит. – Она пытается спуститься ниже, – сказал он. – Она знает, что уже близко, но думает, что этого еще недостаточно.

– А этого достаточно?

– Думаю, да, – ответил Фридо.

Тогда глуши двигатели, – стала умолять ее Ялда. – Глуши двигатели и падай.

Свет стал ярче, но с места не двинулся. Ялда была в замешательстве, но затем поняла: Бенедетта не увеличила тягу двигателей, однако ракета опустилась так низко, что под действием ее выхлопа земля раскалилась и уже начала светиться.

Из тимпана Фридо вырвался тревожный рокот. – Поднимайся! – взмолился он. – Ты упустила свой шанс; дай ей время остыть.

Свет ярко вспыхнул и рассеялся. Ветер переменился, расчистив дымку, и Ялда, наконец, увидела подлинную картину происходящего. Земля пылала, в то время как ракета, поддерживая пламя, медленно двигалась в ее сторону.

Ялда прокричала «Ложись!» и успела толкнуть Фатиму в направлении бункера прежде, чем споткнулась, ослепленная вспышкой света. Она лежала там, где упала, лицом в грязи, прикрыв задние глаза рукой.

Земля содрогнулась, но сильного взрыва не последовало; большая часть солярита и либератора уже была израсходована. Она ждала, что на них посыплются обломки, но даже если они и были, то явно упали в другом месте. Расслабив свой тимпан, она не услышала ничего, кроме ветра.

Ялда поднялась на ноги и огляделась по сторонам. Фридо прижался к земле рядом с ней, обхватив голову руками. Нино стоял – по-видимому, невредимый, – остальные новобранцы все еще пытались встать на ноги. Фатима выглянула из бункера, тихонько рокоча от горя.

В отдалении над землей задрожал бело-голубой всполох. Ялда не смогла разобрать, было ли это рассыпанное топливо или пыль и камни самой равнины. Она молча продолжала смотреть, пока огонь окончательно не погас.

– Когда Бенедетта хотела запустить свои светозаписывающие зонды, – вспомнил Евсебио, – она буквально взяла меня измором. Шесть дюжин она хотела – шесть дюжин и получила. И если бы я был здесь во время испытательного полета, ничего бы не изменилось. Каковы бы ни были мои опасения, она бы все равно меня переубедила.

– Жаль, что мы не знаем, как связаться с ее семьей, – сказала Ялда. – Или хотя бы с друзьями. Должен же быть кто-то, кому она хотела бы передать эту новость.

Евсебио жестом выразил беспомощность. – Она была беглянкой. Если бы у нее оставались прощальные слова, она бы сказала их давным-давно.

В ответ на его слова Ялда почувствовала вспышку гнева, хотя и не знала точно почему. Манипулировал ли он людьми, помогая им сбежать от своих ко? Предложить выход – не преступление, при условии, что ты честно предупреждаешь о возможных последствиях.

Хижину освещала единственная лампа, стоявшая на полу. Евсебио оглядел пустую комнату оценивающим взглядом, но воздержался от каких-либо комментариев. Ялда провела здесь последние десять дней, изо всех сил пытаясь извлечь хоть какую-то пользу из бессмысленной смерти Бенедетты.

– Нам нужно проявить большую осторожность во всем, что мы делаем, – сказала она. Мы всегда должны думать о наихудших сценариях.

Евсебио отрывисто прожужжал. – Их довольно много; может уточнишь?

– Возгорание планеты.

– А, синдром Геммы, – устало произнес он. – Ты думаешь, фермеры, которые в спешном порядке стали выращивать злаки в зоне удара, пришли сюда сами? У Ачилио есть люди, которые распространяют эти идеи и организуют платные переселения.

– Как-то многовато хлопот ради одного только желания тебе досадить, – заметила Ялда. – Может быть, он действительно верит в то, что есть риск?

– Риск по сравнению с чем? – парировал Евсебио. – По сравнению с ничегонеделанием, с ожиданием, когда на нас налетит скопление ортогональных звезд? Я видел снимок с зонда; это уже не какие-то безумные догадки, это факт.

– Худший вариант, – продолжала настаивать Ялда, – это сбой, из-за которого двигатели Бесподобной не смогут обеспечить необходимую подъемную силу. Но будут продолжать работать курант за курантом – может быть, даже склянка за склянкой или день за днем, если в живых не останется никого, кто смог бы их заглушить. Должен наступить определенный момент, после которого здесь повторится то же самое, что и с Геммой. Мы провели испытания, чтобы исключить такой вариант, если все сложится удачно – но мы не можем проверить крайний случай; нет такой масштабной модели, которая бы предсказала нам, что произойдет, если целая гора солярита будет несколько дней подгорать снизу, продолжая стоять на месте.

Евсебио протер глаза. – Хорошо, предположим я дам тебе то, что ты просишь… каков твой план?

– Воздушный зазор по всему периметру горы.

– Воздушный зазор?

– Траншея, – объяснила Ялда. – До глубины самых нижних двигателей и шириной где-то в путину. Затем мы выроем под двигателями каналы для отводы выхлопных газов. Это намного лучше, чем позволить теплу накапливаться внутри породы – если двигатели будут работать, а гора так и не взлетит.

– В путину шириной? – Евсебио закрыл глаза и откинулся назад, стараясь воздержаться от нецензурных выражений.

– Посмотри на это с другой стороны: такая широкая траншея избавит нас от назойливых фермеров – по причинам, которые они просто не смогут оспорить. Ты даже мог бы попросить у Ачилио помощи с оплатой расходов, раз уж он так заботится о противопожарной защите.

Евсебио открыл глаза и с сожалением посмотрел на Ялду. – Ну да, необходимость занять разумную и последовательную позицию моментально переманит его на нашу сторону.

– А разве нет?

– У каждого есть своя собственная форма тщеславия, – сказал он. – Нам с тобой нравится быть правыми – мы хотим разобраться в том, как устроен мир, а затем унизить своих врагов, доказав ложность их догадок. Как… у тебя с Людовико.

– Хмм. – Со смерти Людовико прошла уже пара лет, но Ялда не могла не согласиться с тем, что его поражение в вопросе о природе гремучих звезд доставило ей немалое удовольствие.

– Это в не характере Ачилио, – продолжил Евсебио. – Да и воспитывали его наверняка совсем по-другому. В глазах его семьи все меркнет перед тем фактом, что мой дед обманом завладел неким перспективным коммерческим направлением, которое они считали принадлежащим себе по праву. И теперь мое унижение – дело их чести. И для этого Ачилио вовсе не обязательно быть в чем-то правым; все, что ему нужно – это увидеть, как я потерплю неудачу.

Ялда уже устала от всей этой глупой вражды, но если Ачилио был готов столь ревностно чинить им препятствия, им ничего не оставалось, кроме как пытаться их преодолеть. – Может быть, Паоло оплатит строительство траншеи, – сказала она.

Евсебио встал. – Дай мне об этом подумать.

– Нам нужно сделать кое-что еще, – предупредила она.

– Ну конечно нужно, – он снова сел.

– Нам нужен план, – сказала она, – который даст людям шанс пережить столкновение с гремучей звездой, пока Бесподобная будет в пути. Потребуются наблюдательные посты в каждом поселке, снаряжение для тушения огня…

Ялда замолчала; Евсебио колотила дрожь. Она подошла к нему и, присев рядом на корточки, обняла его за плечи.

– Моя ко родила, – произнес Евсебио, с трудом выдавливая из себя слова. – Поэтому я и ездил в Зевгму; повидаться с детьми.

– Она – ?

– Без меня, – сказал он. – Не по своей воле. Если бы она захотела, мы бы сделали это вместе. Но мы решили повременить, а меня не было рядом, и ее тело просто… приняло решение за нее.

– Сочувствую. – Ялда не знала, как его утешить. Она хотела рассказать ему, что и сама проходила через подобный шок, однако любое сравнение с Туллией его бы только оскорбило.

– Мой отец сказал, что все это случилось из-за того, что меня долго не было дома, – продолжал Евсебио. – Если бы я оставался рядом с ней, ее тело осознало бы, что мы ждем подходящего момента. Но оставшись без ко, оно потеряло всякую надежду на то, что у детей будет отец.

Ялда точно не знала, была ли здесь замешана подлинная биология, или все это было лишь смесью старых народных поверий вкупе с попытками замять разговоры о холине. Одно дело – предоставить препарат экипажу корабля, но Евсебио ни за что бы не признал, что холином пользуются члены его собственной семьи.

– И все-таки отец у них есть, – сказала она.

– Увы, это не так, – прямо ответил Евсебио. – Конечно, я люблю их несмотря ни на что, но мы не связаны обетом. Когда я их вижу, я не… – Он ударил себя кулаком в грудь.

Ялда знала, о чем он говорит. Она всеми силами заботилась о детях Туллии, но несмотря на все моменты подлинного счастья, которые ей довелось испытать в их присутствии, знала, что ее чувства не могли сравниться с любовью родного отца.

Когда Евсебио ушел, Ялда погасила лампу и осталась сидеть в темноте. Определенность можно было найти лишь в волнах, опоясывающих космос, как морщинки на ее тюремном рукаве – совершив полный оборот, они вернутся к своему началу, вместе со всем, что сотворили по пути. Ни на что другое положиться нельзя. На самом деле никто не имел контроля над собственным телом; никто не властвовал даже над малейшей частью этого мира.

И все же… каждый человек в силу своей природы продолжал верить в то, что его воля, поступки и их последствия все-таки могут находиться в гармонии друг с другом. Ни о каких гарантиях речь, конечно же, не шла, но, с другой стороны, не настолько редкое это явление, чтобы видеть в нем лишь бессмысленный фарс. Воля, тело и окружающий мир никогда не достигнут полного единения, но благодаря знаниям, связку этих трех нитей можно сделать прочнее. Будь у Туллии и Евсебии нужные знания, они бы лучше контролировали собственное тело; будь у Бенедетты нужные знания, она бы вернулась на землю живой и невредимой.

Ялда устала от траура; ни мертвым, ни прошедшим через деление помочь было нельзя. И не было иного пути отдать должное их памяти, кроме как разыскать те знания, которые избавят грядущие поколения от тех же самых страхов и рисков.