Оригинал статьи:
http://gregegan.customer.netspace.net.au/ORTHOGONAL/00/PM.html
В течение последнего года, или около того, большую часть своего бодрствования я проводил в мире, где законы, которым подчиняются свет, материя, энергия и время, отличаются от законов, управляющих нашей Вселенной. Изучая движение и взаимодействие объектов в условиях этих альтернативных законов, можно обнаружить и привычные нам закономерности, и странные или даже пугающе-прекрасные явления, и леденящие душу опасности.
Чтобы попасть в мир, который я называю римановой Вселенной, нужно всего-навсего поменять знак “-” на “+” в одном из уравнений, определяющих геометрию пространства-времени.И что любопытно, понимание фундаментальных законов этой Вселенной – несмотря на то, что их следствия зачастую выглядят весьма непривычно – оказывается более простым и интуитивным, чем в случае с законами реального мира.
Уже более ста лет нам известно, что лучший способ разобраться в природе нашего времени – это объединить его с тремя привычными пространственными измерениями, создав тем самым четырехмерное пространство-время, которое подчиняется особым геометрическим правилам. Если Ньютон воспринимал время как абсолютную, универсальную величину, которая неуклонно двигалась вперед с одной и той же скоростью вне зависимости от наблюдателя, то благодаря Эйнштейну мы поняли, что течение времени служит мерой некоего аспекта, который по отношению к нашей четырехмерной траектории в пространстве-времени играет ту же роль, что и длина – по отношению к маршруту в пространстве.
Никого не удивляет, что различные пространственные маршруты, соединяющие одну и ту же пару точек, могут иметь различную протяженность. Если я поеду на машине из Перта в Сидней по наиболее прямому маршруту, в то время как вы поедете в обход, чтобы по пути заглянуть в Дарвин, вы едва ли будете шокированы тем, что пройденные расстояния, согласно показаниям наших одометров, окажутся разными. Теперь мы понимаем, что объездные пути в пространстве-времени могут аналогичным образом влиять и на ход времени.Если накануне Нового 2050-го Года вы отправитесь в “путешествие” на 10 лет вперед, при этом все время оставаясь на земле, а я проделаю аналогичный маршрут, соверши путешествие до альфы Центавра и обратно, то к моменту возвращения постарею примерно на шесть лет, в то время как вы – на все десять.
Если объездной путь в пространстве увеличивает продолжительность маршрута, то в пространстве-времени – наоборот, уменьшает. Объясняется это довольно просто: при измерении временных интервалов в пространственно-временной версии теоремы Пифагора вместо суммы фигурирует разность – знак “+” меняется на “-“.
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольник равен сумме квадратов его катетов. Например:
Однако в случае пространства-времени сумма квадратов меняется на разность:
В целях упрощения формулы, мы выбрали единицы измерения таким образом, чтобы время и пространство были равноправны: иначе говоря, время измеряется в годах, а расстояние – в световых годах. Воспользовавшись двумя аналогичными треугольниками, мы можем доказать приведенное выше утверждение о том, что путешествие до альфы Центавра, удаленной от Земли на расстояние около четырех световых лет, может привести к тому, что я состарюсь всего лишь на шесть лет, в то время как вы, оставшись на Земле, – на десять.
С нашей точки зрения эти треугольники, разумеется, выглядят некорректными: отрезок, изображающий гипотенузу, длина которой должна составлять “3 года”, явно короче вертикального отрезка, соответствующего “5 годам”. Но в этом-то все и дело: лоренцева геометрия пространства-времени отличается от геометрии пространства, поэтому мы не можем в точности изобразить каждую деталь на листе бумаги.
Теперь мы можем легко сформулировать, чем именно наша Вселенная отличается от исследуемого мною альтернативного мира. В римановой Вселенной привычная нам теорема Пифагора действует всегда, даже когда речь идет о пространственно-временных интервалах. Пространственно-временные диаграммы для этой Вселенной можно с абсолютной достоверностью изобразить на листе бумаги! А наивная интуиция, которая подсказывает вам, что треугольник, стороны которого равны соответственно “5 годам” и “4 световым годам”, должен выглядеть вот так
теперь абсолютно верна. В римановой Вселенной время, затраченное на путешествие к далекой звезде, с точки зрения путешественников, будет не меньше, а, наоборот, больше.
Тот факт, что в межзвездных перелетах путешественники тратят больше времени, чем все остальные, может показаться досадной помехой, но помимо этого существует целая масса других отличий, проистекающих из все той же простой перемены знака и влияющих буквально на все: от видимой картины звездного неба до стабильности материи.
В нашей Вселенной знак “минус” в пространственно-временной версии теоремы Пифагора означает, что как только расстояние (выраженное в световых годах) становится больше времени (выраженного в годах), разность квадратов становится отрицательным числом. Если мы, к примеру, представим, что расстояние в 5 световых лет можно покрыть за 4 года, то, согласно формуле, квадрат затраченного времени должен быть равен -9. Поскольку квадрат вещественного числа не может быть меньше нуля, подобное гипотетическое путешествие, по-видимому, обладает каким-то качественным отличием. Указывает оно, конечно же, на тот факт, что преодолеть такое большое расстояние за такое короткое время просто невозможно.
В римановой Вселенной аналогичное путешествие не вызывает никаких проблем. С точки зрения экипажа, путь длиной в 5 световых лет займет 6,4 года, хотя для того, кто остался дома, путешествие потребует всего лишь 4 лет, а наблюдаемая скорость корабля на четверть превысит скорость света. В римановой Вселенной скорость движения не ограничена.
Более того, в римановой Вселенной свет тоже не имеет фиксированной скорости, поэтому такие понятия, как “световой год” и “скорость света” по сути применимы лишь в нашей Вселенной. В римановой Вселенной “скорость света” нам придется заменить неким коэффициентом пропорциональности между временем и расстоянием, при котором теорема Пифагора принимает наиболее простой вид. Как вы можете заметить, теорема Пифагора не работает, если расстояние с севера на юг измерено в километрах, а с востока на запад – в милях; точно так же и в римановой Вселенной все сводится к экспериментальному подбору таких единиц измерения для времени и расстояния, при которых теорема становится верной.
Какого это – жить в мире, в котором свет может двигаться с разной скоростью? В нашей Вселенной это, конечно, тоже имеет место, когда свет проходит через прозрачные материалы вроде стекла, однако в римановой Вселенной скорость света может меняться даже в космическом вакууме. Разные длины световых волн в нашем восприятии соответствуют различным цветам; в римановой Вселенной световые волны различной длины всегда будут двигаться с различными скоростями.
Чтобы найти соотношение между длиной волны и скоростью света, достаточно заметить, что в пространстве-времени расстояние между волновыми фронтами световой волны всегда будет одним и тем же независимо от скорости, с которой движется свет. Почему? Мы предполагаем, что физика нашей Вселенной не делает различий между направлениями в трехмерном пространстве; если мы возьмем лазер и направим его на юго-восток, то ожидаем, что свойства созданного им света будут точно такими же, как если бы мы направили лазер на север или северо-запад. Аналогичным образом и фундаментальная физика римановой Вселенной не должна делать различий между пространственно-временными направлениями, характеризующими скорость света.
Предположим, что пространственно-временная диаграмма умеренно быстрого светового импульса выглядит следующим образом:
В данном случае “траектория”, которую мы изобразили для этого импульса, показывает в целом его движение в пространстве-времени. И подобно тому, как гребни волн на воде перпендикулярны направлению распространения самой волны, волновые фронты, соответствующие максимумам световой волны, перпендикулярны ее траектории.
Длина световой волны – это расстояние между волновыми фронтами в пространстве. Направление, которые мы выбираем в качестве пространственного, разумеется, зависит от характера нашего собственного движения, который, следовательно, будет влиять и на измеренную нами длину волны. В то же время расстояние между фронтами, измеренное вдоль перпендикулярного к ним направления, представляет собой свойство самого света, которое никоим образом не зависит от наблюдателя, производящего измерение.
Чтобы узнать длину волны в случае более медленного импульса, достаточно просто повернуть сетку волновых фронтов, изображенных на предыдущей диаграмме, не меняя расстояния между самим фронтами:
Иными словами, более медленный свет характеризуется большей длиной волны. Если мы переведем это вывод на язык цветов, которые в нашем восприятии соответствуют различным длинам волн, то сможем утверждать, что красный свет медленнее фиолетового.
Когда вы смотрите на ночное небо в римановой Вселенной, красный свет, излучаемый каждой звездой, будет добираться до вас на несколько лет или даже веков дольше, чем фиолетовый – поэтому если звезда совершает боковые движения, вам будет казаться, что точки, из которых исходят различные цвета, немного отличаются друг от друга. На месте звезд вы увидите не отдельные светящиеся точки, а протяженные спектры, или “цветные шлейфы”, причем угол между красным и фиолетовым цветами будет напрямую зависеть от боковой скорости звезды.
Что можно сказать о поведении материи в римановой Вселенной помимо отсутствия универсального предела скоростей? Для понимания самого поразительного отличия двух миров нам потребуется вначале обрисовать кое-какие простые идеи, касающиеся физики нашей собственной Вселенной.
Существуют две важные величины, которые мы приписываем любому движущемуся телу: импульс и кинетическая энергия. Пожалуй, наиболее простой способ описать эти величины – это представить себе пулю, выпущенную в некий барьер, сконструированный для того, чтобы остановить ее движение за счет постоянной противодействующей силы. В этом случае импульс определяет время, необходимое, чтобы остановить пулю, а кинетическая энергия – расстояние, которое пуля успеет преодолеть до полной остановки. Обе величины зависят только от массы пули и ее скорости.
С появлением теории относительности мы пришли к пониманию, что по аналогии с пространством и временем, которые разумнее всего воспринимать в качестве двух аспектов единой сущности, пространства-времени, энергия и импульс движущегося тела представляют собой две стороны единого геометрического объекта, называемого вектором энергии-импульса. Этот термин может показаться чересчур формальным, но в действительности изобразить его очень просто. В случае неподвижного тела вектор энергии-импульса – это всего-навсего стрелка, направленная в сторону временной оси пространства-времени, и имеющая длину, равную массе тела.
Если тело начинает двигаться, то первоначальную стрелку нужно повернуть на определенный угол, соответствующий количеству пространства, которое тело преодолевает за определенное время; чем больше скорость тела, тем сильнее наклон.
Может показаться, что на приведенной выше диаграмме стрелка мы не просто наклонили стрелку, а еще и увеличили ее длину. На самом деле это всего лишь иллюзия, вызванная изображением пространства-времени на листе бумаги; если мы вычислим длину наклонной стрелки с помощью пространственно-временной теоремы Пифагора, то окажется, что ее длина в точности совпадает с длиной вертикальной стрелки.
Для чего же нужны эти векторы энергии-импульса? Измерив протяженность такого вектора вдоль временной оси, вы получите энергию тела. А измерение протяженности вдоль пространственной оси даст вам его импульс.
Здесь есть одна небольшая хитрость – протяженность вектора энергии-импульса в направлении оси времени соответствует так называемой полной энергии, которая помимо кинетической энергии тела включает в себя энергию, связанную с его массой. Таким образом, хотя неподвижное тело обладает нулевым импульсом (как и ожидалось), его полная энергия нулю не равна; напротив, полная энергия в этом случае целиком определяется его массой (которая, как вы помните, есть ни что иное, как длина упомянутых стрелок). Когда тело приходит в движение, величина, на которую его полная энергия увеличивается по сравнению с “энергией массы покоя”, представляет собой его кинетическую энергию.
Почему мы не привели здесь знаменитую формулу, связывающую энергию с массой покоя, E=mc2. В выбранных нами единицах измерения скорость света c всегда будет равна единице (скажем 1 световой год/год), поэтому E=m и необходимость в c2 отпадает.
А что же происходит в римановой Вселенной? Мы снова изобразим стрелку, длина которой совпадает массе тела, и повернем ее на угол, соответствующий скорости движения:
На этот раз поворот выглядит именно так, как и должен: мы собственными глазами видим, что обе стрелки имеют одинаковую длину. Теперь вместо специальной пространственно-временной теоремы Пифагора действует ее исходный вариант, поэтому можем не только изобразить римановы векторы энергии-импульса на обыкновенном листе бумаги, но и измерить их длину с помощью обыкновенной линейки.
Как это изменение повлияет на энергию и импульс движущегося тела?
В римановой Вселенной наклон стрелки приводит к тому, что ее проекция на ось времени становится короче, чем в случае неподвижного тела. Иначе говоря, у движущегося тела полная энергия меньше, чем у покоящегося! Мы по-прежнему можем определить кинетическую энергию тела как разность между этими двумя величинами, только теперь она будет обозначать не прирост энергии, а ее уменьшение.
Утверждение о том, что движущееся тело обладает меньшим количеством энергии по сравнению с неподвижным, звучит крайне необычно, но в действительности “перевернутый” характер кинетической энергии никак не проявляет себя в простейших ситуациях. Все положения классической ньютоновской механики, с которой мы знакомы в нашей собственной Вселенной, остаются в силе для тел, движущихся с небольшой скоростью: в римановой Вселенной вы могли бы сыграть в пул, не заметив никакой разницы. Приближенные формулы для импульса и кинетической энергии, действующие при небольших скоростях, справедливы в обеих Вселенных – за исключение знака “-” в случае кинетической энергии, однако обнаружить важность этого факта на бильярдном столе вам не удастся. Кинетическая энергия отрицательно по сравнению с энергией массы покоя, но в нашей Вселенной энергия массы покоя проявляет себя только в ходе ядерных реакций. Может быть, эта странная причуда римановой Вселенной останется незаметной в повседневной жизни и обнаружить ее позволят лишь замысловатые эксперименты из области высоких энергий?
Мы, однако же, упускаем из виду кое-что отнюдь не замысловатое – свет! В нашей Вселенной свет не обладает массой покоя, а его вектор энергии-импульса, благодаря пространственно-временной версии теоремы Пифагора, может иметь нулевую длину. Для этого полная энергия не обязательно должна быть равна нулю – достаточно, чтобы она была равна импульсу тела (при условии, что в выбранных единицах измерения скорость света равна единице). В этом случае протяженности вектора в направлении пространственной и временной осей компенсируют друг друга, когда мы вычисляем разность их квадратов:
В римановой Вселенной это невозможно; вектор может иметь нулевую длину только в том случае, когда он не имеет протяженности ни в одном из направлений. Без массы покоя нет ни энергии, ни импульса. Следовательно, в римановой Вселенной свет, как и любая другая материя, обладает массой покоя.
Далее, любой процесс, создающий свет, должен получить необходимую для этого энергию в какой-то другой форме – например, в виде кинетической или химической энергии. Но если кинетическая энергия отрицательна по сравнению с полной, “получить” – не вполне корректное слово. Создавая свет, нужно позаботиться о соблюдении закона сохранения энергии, но так как полная энергия света будет положительной, то полная энергия источника света – чем бы он ни был, – должна уменьшиться…а его кинетическая энергия, таким образом, должна увеличиться.
Иными словами, система, создающая свет, увеличивает свою кинетическую энергию – ее компоненты начинают двигаться быстрее.
В качестве простого, конкретного примера рассмотрим химическую реакцию, создающую свет. В самом начале, когда мы только смешиваем реагенты друг с другом, они остаются практически неподвижными (их кинетическая энергия будет отлична от нуля в силу присутствия тепла, но будем считать ее количество пренебрежимо малым). Для простоты мы также предположим, что массы реагентов совпадают. Таким образом, на диаграмме “До” их векторы энергии-импульса представляют собой всего лишь две одинаковые стрелки, направленные вдоль оси времени.
На диаграмме “После” нам нужно учесть векторы энергии-импульса, соответствующие созданному свету, а также продуктам химической реакции. Мы будем считать, что масса продуктов совпадает с массой реагентов; это вовсе не обязательно, но, как мы увидим, вполне возможно.
Чтобы уместить все векторы на диаграмме “После”, сохранив полную энергию неизменной, нам придется наклонить векторы продуктов. Иначе говоря, продукты реакции должны будут прийти в движение – чтобы компенсировать потребность в полной энергии созданного света, им придется избавиться от части собственной полной энергии и увеличить энергию кинетическую.
Кинетическая энергия, созданная в ходе химической реакции, проявляется в виде тепла, поэтому реакция будет проходить с выделением как тепла, так и света. В нашей Вселенной свет и тепло также являются результатом сгорания топлива с той разницей, что создаваться они будут за счет изменения химической энергии, которое можно обнаружить, благодаря (крайне малой) разнице между массой реагентов и продуктов. В нашем же примере нам удалось создать свет и тепло, совершенно не полагаясь на подобное изменение массы! Мы решили выбрать массу продуктов такой же, как и у реагентов, но реакция бы имела место, даже если бы мы сделали их массу чуть больше или чуть меньше.
В римановой Вселенной процесс создания света может сопровождаться выделением тепла как с сопутствующим изменением химической энергии, так и без него. А в некоторых случаях химическая энергия, очевидно, представляет собой более полезный продукт реакции, недели тепло. Вместо того, чтобы получать необходимую для фотосинтеза энергию за счет поглощения света, растения в римановой Вселенной стали бы излучать свет, чтобы запастись образующейся в результате химической энергией.
Тот факт, что создание света сопровождается увеличением кинетической энергии, превращает риманову Вселенную в место, полное опасностей. Чтобы безопасно извлекать энергию из этого процесса, живым существам придется освоить ряд искусных химических реакций, при этом , что распад угрожает даже простейшим строительным блокам материи.В нашей Вселенной атом или молекула, поглощая фотон, может перейти в состояние с более высокой энергией – при этом его связи становятся слабее. Например, ультрафиолетовое излучение, присутствующее в солнечном свете, может расщеплять некоторые молекулы. В римановой Вселенной аналогичный процесс не требует внешнего источника излучения: даже материя находится в сильно связанном состоянии, она сама может стать источником света и в результате приобрести кинетическую энергию, которая разорвет ее на части. В силу этого эффекта сохранять стабильность способны лишь некоторые структуры.
В чем ценность изучения Вселенной, законы которой отличаются от законов нашего собственного мира? Мы, конечно, можем допустить, что такая Вселенная действительно имеет шансы на существование – да еще и населена существами, которые задумываются над тем, как была бы устроена жизнь, если бы один из их плюсов превратился в минус. Но дело не только в этом: анализируя наши законы и изучая их работу в условиях новых допущений мы также начинаем лучше понимать физику собственного мира. Мы можем углубить понимание многих явлений – будь то человеческое общество, геология планеты, химия жизни или наиболее фундаментальные законы физики – пытаясь представить себе их альтернативы.
Риманова Вселенная полна опасностей и сюрпризов. В этом очерке мы коснулись лишь малой ее части, но я надеюсь, что даже это беглое знакомство с ее чудесами доставило вам удовольствие.