Часть 1. Дуальная теорема Пифагора

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/01/DualPythagorean.html

Значительную часть физики, действующей в Ортогональной Вселенной, можно понять, проследив ее развитие из ряда довольно простых геометрических идей. Несмотря на то, что их физические следствия порой сильно отличаются от следствий, имеющих место в нашей собственной Вселенной, геометрия по сути остается той же. В данной статье описан один простой пример, который, тем не менее, лежит в основе одного из наиболее важных научных открытий в романе. Этот результат также имеет определенное применение и в нашем мире, поэтому  иметь о нем представление будет нелишним.

Начнем с геометрической задачи, которую практически каждый сможет решить, просто взглянув на чертеж. Предположим, что автомобиль движется по прямой дороге, которая не направлена ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. От исходной точки автомобиль удаляется на 3 км к северу и на 4 км к востоку. Какова длина пройденного им пути?

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов двух других сторон. Отсюда мы сразу получаем ответ: квадраты 3 и 4 равны соответственно 9 и 16, значит, их сумма равна 25, или 52. Таким образом, длина пути, проделанного автомобилем, равна 5 км.

 ORTNT_01_01

Теперь представим себе вспаханное поле с равноотстоящими параллельными бороздами, которые не направлены ни точно с севера на юг, ни точно с востока на запад. Если, выбрав в качестве начальной точки вбитый в землю столб, я натяну веревку в северном направлении, то увижу, что она пересекает ровно три целых борозды. Растянув тот же отрезок веревки в восточном направлении, я обнаружу, что количество пересекаемых им целых борозд равно 4. Вопрос состоит в следующем: сколько борозд пересечет веревка, если я натяну ее поперек борозд, под прямым углом к ним?

Если ответ “пять” напрашивается у вас сам собой по аналогии с предыдущей задачей, то вы абсолютно правы – но если вы решили, что это очередное банальное применение теоремы Пифагора, вас следует повнимательнее взглянуть на следующий чертеж. Никакого прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5, там нет!

ORTNT_01_02

И тем не менее, это совпадение отнюдь не вводящая в заблуждение случайность; если бы мы заменили количество борозд, пересекаемых в северном и восточном направлениях как n и e соответственно, то количество борозд f, пересекаемых по перпендикуляру тем же отрезком веревки, будет удовлетворять соотношению f 2 = e2 + n2. Но если это не простой частный случай теоремы Пифагора, откуда же тогда берется эта зависимость?

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, вершина которого находится там же, где и столб, гипотенуза образована ближайшей бороздой, а катеты направлены строго на север и восток, то их длина будет равна соответственно r/3 и r/4, где r – длина веревки.

Длина перпендикуляра, опущенного из прямого угла на гипотенузу, будет равна r/5.

ORTNT_01_03

Теперь имеет смысл перейти к более общему случаю и рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами и b, гипотенузой c; длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла, обозначим d.

Теорема Пифагора дает нам соотношение между величинами ab и cc2 = a2 + b2. Но как связаны между собой ab и d?

ORTNT_01_04

Несмотря на то, что ab и c являются сторонами треугольника, числа ab и d сами по себе не образуют особую тройку. Их общая черта заключается в том, что все три числа являются высотами треугольника, т. е. длинами перпендикуляров, опущенных на стороны из противолежащих вершин. Благодаря этой подсказке, мы легко можем установить между ними взаимосвязь. Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту: иначе говоря, половине длины любой из сторон, умноженной на длину перпендикуляра, опущенного на нее из противолежащей вершины.

Исходя из этого факта, площадь треугольника можно представить в виде двух выражений, которые должны совпадать:

ab/2 = cd/2

Если удвоить обе части этого равенства, а затем возвести его в квадрат, то мы получим, что

a2b2 = c2d2
a2b2 = (a2 + b2)d2
1/d2 = (a2 + b2)/a2b2,

где для перехода от первого равенства ко второму мы воспользовались теоремой Пифагора, а для перехода к третьему – поделили обе части на a2b2d2. Поделив сумму в правой части на знаменатель дроби, мы получим:

Дуальная теорема Пифагора
1 / d2 = 1 / a2 + 1 / b2

Данное соотношение справедливо для любого прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно и b, а высота, опущенная на гипотенузу – d.

Теперь становится понятна точная причина, по которой количество борозд, отмеренных одним и тем же отрезком веревки в северном и восточном направлениях, n и e, а также количество борозд, отмеренных напрямую, f, удовлетворяют соотношению f2 = e2 + n2. В случае с треугольником соответствующие расстояния по отношению к столбу составляют:

a = r/e
b = r/n
d = r/f

Воспользовавшись дуальной теоремой Пифагора, получаем:

1/d2 = 1/a2 + 1/b2
f2/r2 = e2/r2 + n2/r2
f2 = e2 + n2

Почему этот результат играет такую важную роль в физики обеих Вселенных – и нашей, и “ортогональной”? Он говорит нам о том, что соотношению о сумме квадратов, упоминаемых в теореме Пифагора, удовлетворяют не только такие величины, как расстояние, но и также и “дуальные” им величины, выражающие количество чего-либо или величину некоего изменения в расчете на единицу длины.

Мы могли бы заменить борозды на вспаханном поле линиями постоянной высоты на топографической карте изолиний. В этом случае дуальная теорема Пифагора, в частности, говорит нам о том, что если мы находимся в местности, высота которой падает на 30 метров на каждый километр пути в северном направлении и на 40 метров на каждый километр пути в восточном направлении, то (во всяком случае, если рельеф местности в интересующем нас масштабе по форме достаточно близок к наклонной плоскости), то в направлении наиболее крутого склона, расположенном непосредственно по перпендикуляру к изолиниям, градиент составит 50 метров за каждый километр.

ortnt_01_05

Но, пожалуй, наиболее важное применение эта теорема находит в приложении к геометрии волн. Если мы заменим борозды волновыми фронтами (например, гребнями волн в океане или пиками электромагнитных волн), то количество фронтов, укладывающихся в пределах заданного расстояния называется пространственной частотой (в отличие от обычной временной частоты, которая показывает количество колебаний, совершаемых за определенный интервал времени).

Согласно дуальной теореме Пифагора, мы можем найти общую пространственную частоту волны – количество волновых фронтов в расчете на единицу длины, измеренных в направлении распространения волны, – исходя из того, что ее квадрат равен сумме квадратов двух аналогичных величин, измеренных в двух или более взаимно перпендикулярных направлениях.

ortnt_01_06

В нашей Вселенной это просто полезный факт. Однако в “Ортогональной Вселенной” он радикально меняет понимание самой физики.

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.