Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/Motion.html
| ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования |
Лоренцева и риманова геометрии
Названия, которые мы даем пространственным направлениям в нашей Вселенной – вверх, вниз, налево, направо, вперед, назад, север, юг – всегда определяются по отношению к конкретным объектам, будь то наше тело или планета, на которой мы находимся. Мы поступаем так из соображений удобства, однако выбора у нас в сущности и нет – мы вынуждены ориентироваться по окружающим нас объектам, поскольку с точки зрения фундаментальной геометрии пространства все направления равноценны.
Менее очевиден тот факт, что говоря о “будущем” или “прошлом”, мы неявно подразумеваем будущее или прошлое конкретного объекта или группы объектов. Говоря, к примеру, о движении на один час “в будущее”, мы обычно имеем в виду, что сами остаемся неподвижными по отношению к окружающим нас улицам и зданиям. Однако направление, которому в пространстве-времени следует проносящийся мимо нас автомобиль, годится на роль “будущего” ничуть не хуже направления, вдоль которого движется фонарный столб на обочине – с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени все подобные направления являются равноценными.
Направление, которое я называю “вперед”, вам может показаться направление “влево”; или же вы могли бы подумать, что “находитесь в состоянии покоя, то есть движетесь только в будущее”, хотя с моей точки зрения в межзвездном пространстве проноситесь мимо меня на скорости тысяча километров в секунду. Тем не менее, далеко не все направления в пространстве-времени неотличимы друг от друга. В конечном счете мы всегда будем придерживаться одного и того же мнения насчет деления направлений на времениподобные, пространственноподобные и изотропные.
Времениподобные направления описывают движение обыкновенных предметов, которые нас окружают. Мы могли бы сказать, что “машина движется на восток”, но при этом, разумеется, понимаем, что одновременно она движется и в будущее, поэтому на пространственно-временной диаграмме ее движение будет представлять собой прямую, которая движется в сторону будущего, слегка отклоняясь на восток.
Пространственноподобное направление “восток” можно изобразить на диаграмме, однако ни один реально существующий объект не может двигаться в пространстве-времени таким образом, чтобы перемещаясь на восток, не перемещаться при этом во времени.
Промежуточное положение между времени- и пространственноподобными направлениями занимают направления, описывающие движение света; такие направления называются светоподобными или изотропными.
Предположим, что некто, использующий систему единиц, в которой скорость света равна 1 (например, единицей времени служит год, а единицей расстояния – световой год), измерив расстояние и временной интервал между двумя событиями в пространстве-времени, получает соответственно x и t. В этом случае о векторе, соединяющем два события, можно сказать следующее:
- если x2–t2 меньше нуля, то вектор является времениподобным (например, векторы AB и AC на диаграмме);
- если x2–t2 больше нуля, то вектор является пространственноподобным (например, вектор AE на диаграмме);
- если x2–t2 равно нулю, то вектор является светоподобным (например, вектор AD на диаграмме).
В основе специальной теории относительности лежит открытие того факта, что все наблюдатели, которые, двигаясь с постоянной скоростью, измеряют величину x2–t2, получат одно и то же значение и, следовательно, будут придерживаться одной и той же классификации векторов на времениподобные, пространственноподобные и светоподобные. Разновидность пространственно-временной геометрии, в которой x2–t2 является инвариантом – то есть величиной, со значением которой согласны все наблюдатели – называется лоренцевой геометрией.
Во Вселенной с римановой геометрией, напротив, величиной, не зависящей от наблюдателя, является x2+t2. По сути это квадрат расстояния между двумя точкам евклидова пространства, выраженный посредством теоремы Пифагора.
(Если геометрия искривлена, то это будет верно лишь при измерении x и t в достаточно малом масштабе; аналогичным образом и искривленная поверхность Земли подчиняется евклидовой геометрии только в том случае, если интересующий нас ее фрагмент достаточно мал.)
Этот квадрат расстояния, x2+t2, всегда больше нуля (если не считать тривиальный случай, когда и x, и t равны нулю). Таким образом, упомянутые выше различия между времениподобными, пространственноподобными и светоподобными направлениями исчезают; в римановой Вселенной, все направления по сути равноправны. Между направлением, которое некий наблюдатель мог бы назвать “востоком” и направлением, которое этот же наблюдатель мог бы назвать “будущим”, нет никакого фундаментального различия.
В случае лоренцевой геометрии мы использовали скорость света, чтобы выбрать подходящие единицы измерения для x и t. В римановой Вселенной единой, универсальной скорости света не существует. Как же нам в таком случае выбрать правильные единицы измерения для расстояния и времени? Мы просто в порядке эксперимента подбираем такое соотношение между единицами длины и времени, при котором теорема Пифагора становится верной во всех случаях – даже если мы применяем ее к объединенному пространству-времени. Все уравнения римановой физики, приводимые в данных заметках, будут опираться именно на такой выбор единиц измерения.
Пока что мы несколько упрощали ситуацию, предполагая, что интересующие нас векторы охватывают лишь два измерения нашей системы координат. К тому же векторы, которые мы рассматривали до настоящего моменты, представляли собой векторы сдвига, который можно сравнить с воображаемыми стрелками, направленными от события A к событию B. В данных заметках мы будем говорить о произвольных векторах, компоненты которых имеют отношение к четырем измерениям, но при этом могут выражать какие-либо величины помимо расстояния. Таким образом, в общем случае для описания вектора v мы будем использовать компоненты vx, vy, vz и vt. (Заметим, что верхние индексы в данном случае используются для идентификации отдельных компонент вектора и не имеют никакого отношения к возведению в степень.) Квадрат длины четырехмерного вектора v в этом случае выражается с помощью обобщения двумерной теоремы Пифагора на случай четырех измерений:
|v|2 = (vx)2 + (vy)2 + (vz)2 + (vt)2
Длина вектора |v| будет одинаковой для всех наблюдателей, даже если они пользуются различными системами координат и в ходе измерения фиксируют различные значения для отдельных компонент vx, vy, vz и vt.
Скалярные произведения
В рамках римановой геометрии наблюдатели, использующие различные системы координат, придут к соглашению не только относительно длин векторов, но и углов между векторами. Благодаря этому, мы можем определить инвариантную величину, объединяющую в себе как углы, так и расстояния.
Скалярное произведение векторов v и w определяется следующим образом: для каждого из четырех измерений x, y, z и t нужно перемножить соответствующие компоненты двух векторов, а затем сложить полученные произведения. Мы будем обозначать эту величину как v·w. Таким образом,
v·w = vx wx + vy wy + vz wz + vt wt (Риманово скалярное произведение)
Из этого определения следует, что квадрат длины вектора – это просто результат скалярного умножения на самого себя:
|v|2 = v·v
Скалярное произведение остается неизменным при повороте системы координат. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим треугольник, две из сторон которого представляют собой векторы v и w; третья сторона будет равна v – w (как на приведенной ниже диаграмме). Квадрат ее длины составит:
|v – w|2 = (v – w)·(v – w) = |v|2 + |w|2 – 2 v·w
Поскольку v · w = (|v|2 + |w|2 – |v – w|2) / 2 и ни одна из упомянутых длин не меняется при повороте, величина скалярного произведения также остается неизменной.
Если угол между v и w равен θ, то:
v·w = |v||w|cosθ
Это утверждение неочевидно, но его легко доказать. Рассмотрим вначале простейший случай, когда w лежит на положительной полуоси x (следовательно, wy=wz=wt=0 и wx>0), а v находится в плоскости xt (т.е. vy=vz=0).
В силу нулевых компонент получаем:
v·w = vxwx
|w| = wx
Кроме того, по определению косинуса
vx = |v|cosθ
Следовательно, в данном конкретном случае
v·w = |v||w|cosθ
Но каковы бы ни были векторы v и w, вышеупомянутым ограничениям всегда можно удовлетворить за счет поворотов системы координат. Это не изменит ни длины векторов, ни угол θ между ними, ни величину скалярного произведения, поэтому если наше утверждение справедливо после поворота, оно должно быть верным и в общем случае.
Косинус угла положителен, когда угол меньше 90°, обращается в нуль, если угол точно равен 90°, и отрицателен, если угол заключен между 90° и 180°. Следовательно,
- если v·w > 0, то v и w направлены указывают примерно в одну и ту же сторону (угол между ними меньше 90°);
- если v·w = 0, то v и w перпендикулярны;
- если v·w < 0, то v и w, грубо говоря, указывают в противоположные стороны (угол между ними больше 90°).
Предположим, что u – единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна 1. Любой другой вектор v всегда можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен u, а другой ему перпендикулярен. Та составляющая v, которая параллельна u, называется проекцией вектора v на u. Обе составляющие вектора v можно явно выразить следующим образом:
v = (u·v) u + (v – (u·v)u)
Первое слагаемое, очевидно, параллельно u, так как представляет собой вектор u, умноженный на число u·v. Скалярное произведение u·v почти совпадает с длиной проекции v на u; единственное отличие состоит в том, что u·v будет отрицательным, если два вектора, грубо говоря, направлены в противоположные стороны – в этом случае скалярное произведение будет равно длине проекции, взятой с обратным знаком.
Второе слагаемое перпендикулярно u; чтобы это доказать, достаточно вычислить его скалярное произведение с u:
u·(v – (u·v)u)
= (u·v) – (u·v) (u·u)
= (u·v) – (u·v)
= 0
Единичные векторы, направленные вдоль четырех координатных осей, мы будем обозначать как ex, ey, ez и et; каждый из этих четырех векторов называется базисным вектором системы координат. В этом случае компоненты любого вектора v в данной системе координат определяются его скалярными произведениями с базисными векторами.
vi = ei · v, где i=x, y, z, t
В римановой Вселенной эта векторная геометрия устроена довольно просто: по сути она представляет собой привычную евклидову геометрию пространства с одним дополнительным измерением для времени. В лоренцевой Вселенной нам, напротив, всегда нужно помнить о разнице в знаках в случае временного измерения. Так, скалярное произведение двух четырехмерных векторов (или “4-векторов”) в лоренцевой Вселенной содержит произведение временных координат со знаком “минус”:
v·w = vx wx + vy wy + vz wz – vt wt (Лоренцево скалярное произведение)
Время без времениподобных направлений
Идея Вселенной, геометрия которой лишена какой-либо концепции времени, может вызвать в воображении нечто вроде снимка нашей собственной Вселенной – один момент, застывший и неизменный. Но по должном размышлении оказывается, что такая картина попросту лишена смысла. В четырех измерениях наша Вселенная тоже кажется неизменной; для нас суть изменения заключается в том, что последовательные трехмерные срезы четырехмерной Вселенной отличаются друг от друга. И если законы, управляющие поведением римановой Вселенной, также допускают различия между последовательными трехмерными срезами, в ней найдется место и для аналога явления, которое будет восприниматься как изменение.
Теория относительности утверждает, что нет никакого “единственно верного” способа разрезать нашу Вселенную на отдельные моменты времени. С точки зрения различных люди, движущихся относительно друг друга, эти разрезы, как правило, будут отличаться, причем каждый будет воспринимать собственную мировую линию – маршрут или историю, вдоль которой они следует в пространстве-времени – как ось времени, а любое перпендикулярное ей направление – как направление в пространстве.
Хотя нам, вероятно, не так просто предположить, какие именно объекты могут существовать в римановой Вселенной, оказывается, что она, помимо всего прочего, будет заполнена мировыми линиями. (Детальное обоснование этого факта требует привлечения квантовой механики, однако в следующей статье, посвященной волнам, мы вкратце затронем особенности возникновения мировых линий.) Главное отличие состоит в том, что если в лоренцевой Вселенной мировые линии должны следовать вдоль времениподобных направлений, то в римановой Вселенной никаких ограничений касательно их направления нет.
Обычно мы воспринимаем время как некое универсальное явление, а отнюдь не как свойство нашей собственной мировой линии, поскольку в повседневной жизни окружающие нас люди и предметы по отношению друг к другу движутся крайне медленно, а наши мировые линии образуют узкий пучок, в пределах которого они едва заметно колеблются из стороны в сторону, но в целом, можно сказать, остаются параллельными. В большинстве практических ситуаций именно отсюда и возникает представление о едином, универсальном времени. В нашем повседневном опыте ключевую роль играет именно общее движение, а отнюдь не тот факт, что некое (гораздо более обширное!) множество направлений с точки зрения фундаментальной геометрии пространства-времени выделяется в особую времениподобную категорию. В римановой Вселенной аналогичный пучок почти параллельных линий будет способствовать формированию точно такого же ощущения, в соответствии с которым практически полезное, общее представление о времени ассоциируется с осью пучка.
Итак, давайте примем на веру, что мы в состоянии представить себя на месте обитателей римановой Вселенной, с нашими собственными мировыми линиями. По аналогии с нашей собственной Вселенной, мы, как правило, будем использовать временную координату с осью которой сонаправлена нашей мировой линии, а пространственные координаты будем выбирать так, чтобы их оси были перпендикулярны оси времени. Мы также предположим, что можем однозначно выбрать на своей мировой линии направление “будущего”. Как и в нашей Вселенной, этот выбор сводится к вопросу об энтропии: будущее – это направление увеличения энтропии.
Любое тело, мировая линия которого параллельна нашей собственной, покажется нам неподвижным, так как в нашей системе отсчета его положение в пространстве с течением времени будет оставаться неизменным. Тело, мировая линия которого наклона по отношению к нашей, мы будем считать движущимся.
У нас есть своя временная координата t, однако в соответствии с теорией относительности ход времени для конкретного тела должен измеряться вдоль его мировой линии. Время, измеренное таким образом, называется собственным временем, τ. В римановой Вселенной собственное время между двумя событиями – это просто длина мировой линии интересующего нас тела, которая с точностью до выбора единиц измерения совпадает с длиной, измеренной вдоль любой другой кривой.
Теперь рассмотрим единичный вектор u, направленный по касательной к мировой линии тела. Такой вектор мы будем называть 4-скоростью, поскольку он имеет 4 измерения и описывает состояние движения тела в конкретный момент времени. Обычную (трехмерную) скорость тела v в конкретной системе отсчета можно получить, разделив пространственные компоненты u на соответствующую временную компоненту; если рассмотреть диаграмму, на которой движение ограничено плоскостью xt, то:
vx = ux / ut,
так как если бы тело продолжило движение вдоль касательной, параллельной вектору u, оно бы переместилось на расстояние ux за время ut.
Тело, изображенное на диаграмме, конечно же, не поддерживает свою скоростью постоянной,, а движется с ускорением. 4-устроением, которое мы будем обозначать a, называется скорость изменения 4-скорости тела относительно его собственного времени τ. Это можно записать в виде:
a = ∂τu
Пусть вас не беспокоят эти обозначения. Символ “∂” – это все лишь лаконичный способ записи “скорости изменения чего-либо”, в то время как индекс τ указывает на то, что речь идет об изменении u в ответ на изменение τ.
Так как 4-скорость u всегда является единичным вектором, то она может менять только свое направление, но никак не длину. Это, в свою очередь, означает, что 4-ускорение a должно быть перпендикулярно u.
Предположим, что тело изначально покоится в нашей системе отсчета, а затем подвергается постоянному ускорению в направлении оси x. Говоря точнее, мы требуем, чтобы модуль ускорения, a, был постоянным, а вектор 4-ускорения оставался в плоскости xt. Вначале мировая линия тела будет параллельна нашей оси t, но затем станет постепенно наклонятся в сторону оси x.
В лоренцевой Вселенной тело будет двигаться все быстрее и быстрее, но никогда не достигнет скорости света.
В ньютоновской Вселенной скорость тела не ограничена сверху, но в любой конечный момент времени будет выражаться конечной величиной.
В римановой Вселенной мировая линия тела будет представлять собой дугу окружности. Этот результат не должен вас удивлять, поскольку геометрия и математика этого процесса нам уже знакомы. В общем и целом, они соответствуют движению в условиях центробежной силы: постоянное усилие, тянущее тело в сторону, заставляет его двигаться по окружности.
Координаты тела (x, t), а также его 4-скорость и 4-ускорение можно записать в виде явных функций его собственного времени:
x(τ) = 1/a (1 – cos a τ, sin a τ)
u(τ) = ∂τx(τ) = (sin a τ, cos a τ)
a(τ) = ∂τu(τ) = a (cos a τ, –sin a τ)
Таким образом, спустя конечное время – 1/a с нашей точки зрения, или π/(2a) с точки зрения самого тела – 4-скорость тела окажется параллельной нашей оси x, а его скорость с нашей точки зрения станет бесконечной. После этого в нашей системе отсчета тело начнет двигаться назад во времени!
Заметим, что условия, при которых такое постоянное ускорение можно поддерживать на практике, в римановой Вселенной зависят от механизма, оказывающего на тело необходимое воздействие; кроме того, любой подобный процесс, так же, как и в нашей Вселенной, должен следовать строгим правилам, касающимся количества энергии и энтропии. Тем не менее, если сосредоточиться на чистой кинематике, данная диаграмма показывает, что произойдет с телом, если ему удастся достичь равноускоренного движения.
Векторы энергии-импульса
Предположим, что каждому окружающему нас телу сопоставлена стрелка, которая направлена по касательной к его мировой линии, и имеет длину, равную массе тела. Мы всегда будем выбирать эти стрелки так, чтобы их направление в целом соответствовало направлению нашего персонального “будущего”; говоря точнее, мы будем выбирать их направление таким образом, чтобы их угол с нашей осью времени не превышал 90°.
Такая стрелка называется вектором энергии-импульса, который мы будем обозначать символом P. Мы уже определили единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела, его 4-скорость u, поэтому можем записать:
P = mu
Для простоты предположим вначале, что мировая линия тела целиком лежит в плоскости xt, тем самым ограничившись двумя измерениями. t-компоненту вектора энергии-импульса мы будем называть полной энергией E, а соответствующую x-компоненту – импульсом p. Тогда:
Pt = E
Px = p
m2 = |P|2 = (Pt)2 + (Px)2 = E2 + p2
Далее, скорость тела v будет равна ux / ut, т. е. отношению между x- и t-компонентами соответствующей 4-скорости:
v = p/E
Воспользовавшись двумя последними уравнениями, получаем:
p = Ev
E2 = m2 – p2 = m2 – E2v2
E2 (1 + v2) = m2,
что позволяет нам выразить E и p через m и v:
E = m / √(1 + v2)
p = mv / √(1 + v2)
В этих выражениях вы, вероятно, узнаете слегка видоизмененные релятивистские формулы, в которых 1 – v2 заменено на 1 + v2.
Разложив 1 / √(1 + v2) в ряд Тейлора, мы можем аппроксимировать эти формулы для малых значений v:
1 / √(1 + v2) ≈ 1 – (1/2) v2
E ≈ m – (1/2) mv2
p ≈ mv
В данном случае приближенное значение импульса, mv, совпадает с импульсом тела в обычной физике Ньютона. В этой физике кинетическая энергия тела имеет вид:
KNewtonian = (1/2) mv2,
поэтому полную энергию можно приближенно выразить как
E ≈ m – KNewtonian
Мы считаем, что в нашей Вселенной тело обладает энергией массы покоя mc2 (= m, если единицы измерения выбраны так, что c=1), а полная энергия получается из нее добавлением кинетической энергии тела. В римановой Вселенной кинетическую энергию приходится вычитать из энергии массы покоя. Точное значение римановой кинетической энергии K определяется следующим образом:
K = m – E = m (1 – 1 / √(1 + v2))
Как в ньютоновской, так и в лоренцевой физике кинетическая энергия неограниченно возрастает с увеличением скорости. В ньютоновской физике скорость неограниченна, поэтому величину KNewtonian можно сделать сколь угодно большой. В лоренцевой физике v<1, но по мере приближения к скорости света (которая при соответствующем выборе единиц измерения равна 1) кинетическая энергия
KLorentzian = m (1 / √(1 – v2) – 1)
также возрастает без каких-либо ограничений. В римановой физике, так же, как и в физике Ньютона, измеряемая скорость тела не ограничена; если мировая линия тела перпендикулярна вашей собственной, его скорость будет бесконечной. Но какова бы ни была скорость тела, его кинетическая энергия никогда не превзойдет массу покоя m.
Как быть с потенциальной энергией? Потенциальную энергию можно определить привычным образом, в терминах сил, действующих на интересующие нас частицы – в этом случае сумма кинетической и потенциальной энергии будет сохраняться. Далее мы затронем тему электромагнетизма в римановой физике и увидим, какую форму примет потенциальная энергия электростатического поля. Тем не менее, уже сейчас мы можем отметить один любопытный факт. Система из двух связанных частиц, как правило, обладает меньшей потенциальной энергией по сравнению с аналогичной системой свободных частиц, поскольку в связанном состоянии частицы находятся “на дне потенциальной ямы” и со всех сторон окружены отлогой стеной. В лоренцевой физике это приводит к “дефекту массы”: масса связанной системы меньше, чем сумма масс ее частей, взятых по отдельности. В римановой физике кинетическая и потенциальная энергии противоположны энергии массы покоя, поэтому дефект массы действует наоборот: масса связанной системы превышает сумму масс ее частей.
При небольших скоростях риманова физика практически не отличается от физики Ньютона, и тот факт, что кинетическая энергия “перевернута вверх ногами”, может оказаться отнюдь не очевидным. Если количество частиц фиксировано, а их взаимодействие ограничивается упругими соударениями, то кинетическая энергия либо передается от одной частицы к другой, либо преобразуется в потенциальную энергию. Но если ситуация допускает создание новых частиц, соотношение между кинетической энергией и энергией массы покоя может приводить к поразительным последствиям: создание новой частицы будет уравновешено не снижением потенциальной или кинетической энергии порождающей системы, а наоборот, ее увеличением. Мы уже обращали внимание на то, что в римановой физике масса системы взаимосвязанных компонентов превышает суммарную массу ее отдельных частей, поэтому материя, которая, находясь в связанном состоянии, скажем, обладает способностью к излучению света, рискует обратить в свет излишек своей массы и в процессе распасться на части! В трилогии последствия этого факта – а также загадочная способность материи сохранять стабильность в подобных условиях – исследуются гораздо подробнее.
Законы сохранения
Имея определение вектора энергии-импульса, мы должны быть в состоянии описать сохранение энергии и импульса в процессе взаимодействия римановых тел. Мы могли бы настоять на выборе конкретной системы отсчета, в которой каждому интересующему нас телу сопоставлен вектор энергии-импульса – таким образом, что по отношению к данной системе отсчета все они будут направлены в будущее – а затем сказать, что закон сохранения соблюдается в том случае, когда сумма всех векторов энергии-импульса, соответствующих различным телам, до взаимодействия совпадает с аналогичной суммой, взятой после взаимодействия.
Существует, впрочем, гораздо более изящное решение, которое в принципе не зависит от выбора конкретной системы отсчета. Мы просто чертим стрелку вдоль мировой линии тела, полагаем ее длину равной массе и выбираем направление стрелок таким образом, чтобы все они были направлены от взаимодействия. Если энергия и импульс сохраняются, сумма всех этих стрелок должна быть равна нулю.
Приняв эту симметричную формулировку закона сохранения, мы теперь можем выяснить, в чем заключается ее смысл с точки зрения конкретного наблюдателя, который, став свидетелем взаимодействия, приписывает телам векторы энергии-импульса “до” и “после” соответствующего события.
Исходные стрелки направлены от события взаимодействия, поэтому наблюдателю придется инвертировать те из них, которые, по его мнению, имеют отношение к телам до взаимодействия, чтобы ориентировать их в направлении собственного будущего. Но так как сумма исходных стрелок равна нулю, то сумма инвертированных стрелок будет равна сумме остальных.Таким образом, с точки зрения наблюдателя энергия и импульса в процессе взаимодействия будут сохраняться, независимо от того, какое направление он выберет в качестве “будущего”.
Как наблюдателю поступить с мировой линией, которая в точности перпендикулярна выбранной им оси времени? По сути единственный выход в такой ситуации – произвольным образом решить: либо мы считаем, что все подобные объекты возникают в результате взаимодействия, а их стрелки, соответственно, остаются без изменений и интерпретируются как векторы энергии-импульса после взаимодействия, либо что все они, наоборот, вовлекаются во взаимодействие, поэтому соответствующие им стрелки меняют направление на противоположное и впоследствии интерпретируются как векторы энергии-импульса до взаимодействия. Можно показать, что и в том, и в другом случае энергия и импульс будут сохраняться.
Странные соударения
Предположим, что два точечных тела в римановой Вселенной испытывают лобовое столкновение. Предположим, что речь идет об абсолютно упругом ударе, при котором энергия не переходит в другую форму, а тела не распадаются на части и не прилипают друг к другу.
В рамках этих допущений мы, зная один из векторов энергии-импульса для каждой из частиц, участвующих в соударении, сможем найти все остальные векторы, используя законы сохранения. Рассмотрим, к примеру следующую диаграмму; зная начальные векторы энергии-импульса Pi, 1 и Pi, 2 (для первой и второй частицы соответственно), мы можем рассчитать конечные векторы энергии-импульса Pf, 1 и Pf, 2. В случае соударения, показанного на этой диаграмме, энергия и импульс сохраняются, поэтому любой наблюдатель, который, находясь в римановой Вселенной, сможет создать условия для подобного столкновения, может рассчитывать на то, что его исход в общих чертах будет выглядеть именно так, как на нашем рисунке.
На следующей диаграмме мы изобразили то же самое соударение, повернув его примерно на 60 градусов – в данном случае нам пришлось инвертировать направление стрелки Pf, 2, чтобы ее энергия в новой системе отсчета была положительной. Это соударение по-прежнему является совершенно корректным и удовлетворяет законам сохранения…, однако с позиции наблюдателя, использующего показанную на диаграмме ось времени, теперь вместе сходятся три мировых линии, а остается после соударения только одна. С этой точки зрения вторая частица сталкивается с соответствующей античастицей, после чего они аннигилируют, и выделившаяся при этом энергия передается первой частице, которая в результате теряет значительную часть своей скорости (полная энергия по своему смыслу противоположна кинетической).
Тот факт, что одни и те же события могут по-разному восприниматься различными наблюдателями, для теории относительности явление типичное, однако настоящая неожиданность поджидает нас в том случае, когда мы пытаемся представить, как происходящее будет выглядеть с точки зрения наблюдателя, который попытается создать условия для подобного соударения. В первом случае мы можем сказать, что любой наблюдатель, проводящий эксперимент, в котором начальные векторы энергии-импульса имеют соответствующий вид, сумеет предсказать исход, используя законы сохранения. Но во втором случае та же самая диаграмма говорит нам, что тот, кто сумеет добиться столкновения частиц с векторами энергии-импульса Pi, 1 и Pi, 2, добьется цели только в том случае, если перед столкновением появится античастица-близнец частицы №2, которая также примет участие в процессе соударения. В отсутствие третьей составляющей никто и никогда не сможет добиться столкновения первых двух частиц при выбранных скоростях.
Наша интуиция, основанная на восприятии окружающего мира, может возразить, что эксперимент, в котором на момент соударения присутствуют только две части, в действительности должен быть физически возможным. Однако законы сохранения такую возможность полностью исключают. Мы привыкли к тому, что в нашей Вселенной законы сохранения ограничивают наши действия, но явно не таким образом!
Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.