Геометрия и движение [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/MotionExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Измерение энергии различными наблюдателями

В основной статье, посвященной геометрии и движению, мы определили вектор энергии-импульса данного тела как вектор, который направлен по касательной к соответствующей мировой линии и имеет длину, равную массе тела. Очевидно, что на любой кривой существуют два различных направления, поэтому мы добавили следующее правило: угол между вектором тела и временной осью описывающего его наблюдателя не должен превышать 90°.

Так вот, данная схема полезна в том случае, если вы собираетесь описывать все происходящие события в единой системе отсчета. Если же у вас имеются два наблюдателя, движущихся относительно друг друга, то в ряде случаев правило о наклоне вектора заставит их выбрать для вектора энергии-импульса противоположные направления вдоль мировой линии, а значит, их описания окажутся несовместимыми друг с другом.

В лоренцевой Вселенной подобная проблема не возникает, поскольку обычные наблюдатели, даже находясь в движении относительно друг друга, всегда соглашаются насчет знака временной компоненты любого вектора. Мы, конечно, можем вообразить наблюдателей, движущихся назад во времени, но они составляют отдельный класс, в котором все временные компоненты по сравнению с нашими имеют отрицательный знак. В римановой Вселенной все обстоит иначе: если вы, ориентируясь на положительное направление вашей временной оси, пометили стрелкам некоторый набор мировых линий, соответствующих телам, движущимся с различными скоростями, а я двигаюсь относительно вас достаточно быстро, то направление моих стрелок в некоторых случаях будет согласовано с вашим, а в других – нет. Если каждый из нас посчитает сумму векторов энергии-импульса, то результирующие векторы окажутся совершенно не связанными друг с другом. Мы, конечно же, будем пользоваться различными системами координат, но проблема отнюдь не в этом; преобразовать вектор из одной системы в другую довольно легко. Но если оставить этот вопрос в стороне и просто рассмотреть отдельные векторы энергии-импульса P_i в качестве геометрических объектов, независимых от выбора системы координат, то ваш результирующий вектор может оказаться равным P₁ + P₂ + P₃ + P₄, в то время как мой P₁ + P₂ – P₃ – P₄; иными словами, мы получим два совершенно разных вектора.

Так как в действительности нет никакой физической причины [*] для выбора определенного направления на мировой линии, вектор энергии-импульса в 4-пространстве имеет неопределенный знак. К счастью тензор энергии-импульса, содержащий информацию о плотности и потоке энергии и импульса данного тела, не зависит от выбора направления вдоль мировой линии. Координатная матрица тензора энергии-импульса для данного тела плотности ρ в покоящейся относительно него системе отсчета имеет следующий вид:

$T^{ab} = \rho u^a u^b$ ,

где u – это 4-скорость тела. Очевидно, что изменение знака u никак не влияет на значение тензора! Следовательно, если один из наблюдателей рассчитает тензор энергии-импульса в своей системе координат, а другой – соответственно в своей, то полученные ими результаты будут связаны обычными геометрическими правилами преобразования тензоров.

Сохранение энергии и импульса в этом случае выражается тем фактом, что дивергенция тензора энергии-импульса (для любого объекта, включая материю и излучение), равна нулю.

Принимая сказанное во внимание, заметим, что нет никакой ошибки в том, чтобы зафиксировав систему отсчета, рассчитать в ней полную энергию и импульс интересующей нас системы. Мы можем производить физические выкладки в рамках описанного ниже гамильтонова формализма, при котором, выбрав временную координату, мы можем определить положительную полную энергию, играющую роль гамильтониана. В этом формализме полная энергия и импульс будут сохраняться. Единственной ошибкой было бы объединить эти сохраняющиеся величины в 4-вектор, рассчитывая на то, что подобные 4-векторы, полученные разными наблюдателями, будут связаны друг с другом простым поворотом системы координат.

[*] Если тело обладает электрическим зарядом, симметрия между двумя направлениями на соответствующей мировой линии нарушается. Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в разделе, посвященном риманову электромагнетизму.

Симметрии

Давайте для простоты предположим, что четырехмерная риманова Вселенная является плоской и бесконечной во всех направлениях. Эта модель, несмотря на свою идеализированность, довольно полезна; аналогичная идеализация нашей собственной Вселенной, известная как пространство-время Минковского, составляет основу специальной теории относительности и большей части релятивистской квантовой физики.Поскольку такая идеализированная Вселенная подчиняется постулатам евклидовой геометрии, мы будем называть ее евклидовым 4-пространством.

[NB: в физической литературе термин “евклидов” зачастую применяется к вариациям физических законов, полученных с помощью поворота Вика. Эти законы не имеют отношения к законам Ортогональной Вселенной.]

Выберем некое событие O в качестве начала отсчета, четыре взаимно перпендикулярных направления в качестве координатных осей x, y, z и t, а также систему единиц измерения. Теперь любое событие в этой Вселенной можно обозначить четверкой действительных чисел (x, y, z, t). Множество всех таких четверок в математике известно как R⁴.

R⁴ – это векторное пространство, в котором длину |v| произвольного вектора v = (v^x, v^y, v^z, v^t) в R⁴ можно выразить с помощью стандартного скалярного произведения:

$|\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (v^x)^2 + (v^y)^2 + (v^z)^2 + (v^t)^2$

Если Вселенная искривлена, то мы, вообще говоря, не можем складывать или вычитать координаты двух событий, но в данном случаи эти операции дают вполне осмысленный результат, так как рассматриваемая нами Вселенная является плоской. Вектор, направленный от события a = (a^x, a^y, a^z, a^t) к событию b = (b^x, b^y, b^z, b^t), выражается простой формулой b–a = (b^x–a^x, b^y–a^y, b^z–a^z, b^t–a^t), а расстояние между двумя событиями равно |b–a|.

Теперь предположим, что наше евклидово 4-пространство заполнено различными телами, которые следует законам в сущности геометрической природы (примером может служить закон сохранения энергии и импульса). Чтобы глубже понять, о каких геометрических законах может идти речь, мы можем рассмотреть множество симметрий пространства – операций, меняющих расположение или ориентацию тел, но оставляют неизменными характерные геометрические свойства, такие как расстояния между событиями, углы между мировыми линиями или промежутки между соседними волновыми фронтами.

Строго говоря, функция f:R⁴→R⁴ называется симметрией, если для любых событий a и b, расстояние между f(a) и f(b) совпадает с расстоянием между a и b:

$|f(\mathbf{b}) - f(\mathbf{a})| = |\mathbf{b} - \mathbf{a}|$

С интуитивной точки зрения несложно представить три вида функций, удовлетворяющих данному условию и описанных в терминах геометрических операций:

параллельные переносы, которые сдвигают все точки на фиксированное расстояние в фиксированном направлении;
повороты, при которых как минимум одна точка остается без изменений, а все остальные жестко поворачиваются вокруг нее;
отражения, которые меняют ориентацию фигур на противоположную, но оставляют неизменными расстояния и углы.

Параллельный перенос легко определить математически. Положим для произвольного вектора s:

$T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} + \mathbf{s}$

T_s очевидно является симметрией, так как:

$T_{\mathbf{s}}(\mathbf{b}) - T_{\mathbf{s}}(\mathbf{a}) = \mathbf{b} - \mathbf{a}$

Так как параллельные переносы могут переместить начало отсчета в любое другое событие, мы сосредоточим внимание на поворотах и отражения, которые не меняют начало координат. Чтобы получить симметрию наиболее общего вида, их всегда можно скомбинировать с параллельными переносами.

Симметрия R, которая оставляет без изменения начало отсчета, будет линейной функцией в R⁴; следовательно, мы можем складывать, вычитать и умножать на число как до, так и после ее применения, ожидая получить одинаковый результат:

$R(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = R(\mathbf{v}) + R(\mathbf{w})&fg=000000$
$R(s \mathbf{v}) = s R(\mathbf{v})$

Каждой линейной функции в пространстве R⁴ соответствует 4×4-матрица Rⁱ_j, такая, что:

$R(\mathbf{v}) = R(v^j\mathbf{e}_j)=R^{i}_{j}v^{j}\mathbf{e}_i$ ,

где компоненты вектора v^j и компоненты матрицы Rⁱ_j относятся к стандартному базису {e_x, e_y, e_z, e_t}, а к повторяющимсяиндексам применено соглашение Эйнштейна о суммировании. Иными словами, любую линейную функцию в векторном пространстве R⁴ можно воспроизвести с помощью матрицы, умножаемой на компоненты вектора.

Если симметрия R оставляет неизменным начало отсчета, то она сохраняет стандартное скалярное произведение в пространстве R⁴, поэтому для любых векторов v и w:

$R(\mathbf{v}) \cdot R(\mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

Это перефразированное утверждение о том, что R оставляет неизменными длины векторов и углы между ними (в силу того, что эти величины выражаются через скалярное произведение).

Предположим, что v = e_i и w = e_j, где e_i – это i-ый вектор стандартного базиса в R⁴, а именно четверка чисел, в которой i-ая компонента равна 1, а все остальные – нули. В этом случае:

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}$

Но поскольку стандартный базис является ортонормированным, то e_i · e_j = δ_i_j (дельта-символ Кронекера, равный 1, если i=j, и 0, если i≠j) … что также верно и в отношении i, j-компоненты единичной матрицы размера 4×4, I₄.

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = \mathbf{e_i} \cdot \mathbf{e_j}=(I_4)^{i}_{j}$

Более того,

$R(\mathbf{e_i}) \cdot R(\mathbf{e_j}) = R^{k}_{i}R^{k}_{j}=(R^{T})^{i}_{k}R^{k}_{j}=(R^{T}R)^{i}_{j}$ ,

где R^T – транспонированная матрица R, полученная из R заменой строк на столбцы. Поскольку соответствующие компоненты R^T R и I₄ равны, матрицы должны совпадать:

$R^{T}R=I_4$ ,

и, следовательно, матрица R^T обратна R.

Это позволяет нам охарактеризовать все линейные функции, представляющие собой симметрии евклидова 4-пространства: транспонированная матрица такой функции должна совпадать с обратной. Множество всех таких матриц размера 4×4 обозначается O(4) и называется ортогональной группой степени 4.

Перейдем к конкретным примерам. Следующая матрица:

$\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)$

осуществляет поворот на угол θ в плоскости xy и угол φ в плоскости zt. Умножив ее на соответствующую транспонированную матрицу, имеем:

$\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&\sin\theta&0&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&\sin\varphi\\ 0&0&-\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\ 0&0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

В качестве более простого примера можно привести матрицу отражения, которая меняет знак x-координаты:

$\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

Умножив ее на транспонированную матрицу (которая в данном случае совпадает с исходной), получаем:

$\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

Отличить чистый поворот от отражения можно по определителю матрицы. Матрицы поворота имеют определитель, равный 1, а отражения – определитель, равный –1. Множество всех матриц размера 4×4, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4) и называется специальной ортогональной группой степени 4.

Группа преобразований, получаемых путем комбинирования произвольных элементов ортогональной группы O(4) с параллельными переносами, называется евклидовой группой степени 4, E(4). Данная группа описывает все симметрии четырехмерного евклидова пространства. Если мы ограничиваемся только поворотами и параллельными переносами – исключая тем самым отражения – то получаем SE(4), или специальную евклидову группу.

Иногда произвольную симметрию евклидовой группы, включая параллельные переносы, удобно представить в матричном виде. Для этого можно ввести соглашение о дополнительной единице, которую мы будем дописывать в конце четверки, обозначающей координаты события в R⁴. В данных обозначениях мы можем представить линейную операцию R и параллельный перенос на вектор s в виде общей матрицы:

$\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)$

Это матрица размера 5×5; символ R в данном случае заменяет матрицу размера 4×4, символ s – первые 4 компонента последнего столбца, а 0 – первые четыре компонента последней строки. Принимая во внимание умножение векторов с дополнительной компонентой-единице, имеем:

$\left(\begin{array}{cc}R&\mathbf{s}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R \mathbf{v} + \mathbf{s}\\ 1\end{array}\right)$

Перемножая матрицы, мы видим, как соответствующие им симметрии взаимодействуют друг с другом при последовательном применении; при этом матрица первой симметрии в произведении должна стоять справа:

$\left(\begin{array}{cc}R_2&\mathbf{s_2}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}R_1&\mathbf{s_1}\\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R_{1}R_{2}&R_{2}\mathbf{s_1} + \mathbf{s_2} \\ \mathbf{o}&1\end{array}\right)$

Гамильтониан и лагранжиан свободной классической частицы

В вводном разделе, посвященном вектору энергии-импульса, мы рассмотрели свободную частицу со скоростью v и вывели формулы для ее полной энергии E и импульса p, которые по определению представляют собой t– и x-компоненты вектора энергии-импульса:

(1) $\begin{equation*} E=\cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} p=\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} E^2 = m^2 - p^2 \end{equation*}$

Теперь нашей целью будет описание той же самой частицы в терминах гамильтоновой и лагранжевой механик. Это не даст нам никакой новой информации о поведении частицы, которая, как мы уже знаем, просто следует вдоль прямой мировой линии в четырехмерном евклидовом пространстве, но позволит договориться о знаках и соглашениях, необходимых для получения правильных результатов, что, в свою очередь, существенно облегчит использование гамильтонова и лагранжева формализмов для решения более сложных задач.

Во-первых, мы будем исходить из предположения о выборе некой системы прямоугольных координат x, y, z и t. Во-вторых, мы упростим анализ, дополнительно условившись, что частица движется исключительно вдоль оси x, т. е. нам достаточно рассмотреть только одну пространственную координату; этот случай легко обобщается на трехмерное пространство.

В гамильтоновой механике гамильтониан H представляет собой полную энергию системы, выраженную в виде функции от n обобщенных координат qⁱ, i=1,…n, описывающих степени свободы системы, n импульсов p_i, сопряженных этим координатам, и времени t. В этом случае уравнения Гамильтона позволяют вычислить скорости изменения импульсов и координат^[1]:

(4) $\begin{equation*} \cfrac{dp_i}{dp} = -\cfrac{\partial H}{\partial q^i} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \cfrac{dq^i}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_i} \end{equation*}$

В случае с частицей, движущейся в направлении оси x, единственной координатой будет x, а соответствующим сопряженным импульсом будет p. Таким образом, на первый взгляд может показаться, что достаточно подставить H(x, p, t) = E из уравнения (3):

(6) $\begin{equation*} H(x, p, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}$

считая, что импульс, сопряженный координате x, совпадает с x-компонентой вектора энергии-импульса.

Но это предположение неверно! Применив его к уравнению (5), получаем:

(7) $\begin{equation*} \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2 - p^2}}{\partial p} = -\cfrac{p}{\sqrt{m^2 - p^2}} = -v \end{equation*}$

Это неверный результат! Ошибкой было предположить, что импульс, определенный геометрически как x-компонента вектора энергии-импульса, обязательно равен импульсу, сопряженному координате x в рамках гамильтонова формализма.

Исправить ее, впрочем, довольно легко. Ошибка исчезает, если ввести “гамильтонов импульс”

(8) $\begin{equation*} p_H = -p = -\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} \end{equation*}$

в качестве импульса, сопряженного координате x:

(9) $\begin{equation*} H(x, p_H, t) = \sqrt{m^2 - p^2} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \cfrac{dx}{dt} = \cfrac{\partial H}{\partial p_H} = \cfrac{\partial \sqrt{m^2-p_{H}^2}}{\partial p_H} = -\cfrac{p_H}{\sqrt{m^2 - p_{H}^2}} = v \end{equation*}$

Теперь все правильно! Этот вывод может показаться тривиальным, однако верно расставить знаки проще на данном этапе, пока мы не столкнулись с особенностями римановой термодинамики, в которой температура может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и выбор правильного знака может оказаться уже не столь очевидным.

Воспользовавшись первым уравнением Гамильтона, (4), получаем:

(11) $\begin{equation*} \cfrac{dp_H}{dt} = -\cfrac{\partial H}{\partial x} = 0 \end{equation*}$

Этот результат всего лишь выражает тот факт, что импульс частицы не меняется во времени.

Теперь мы рассмотрим лагранжиан свободной частицы. Лагранжиан, или функция Лагранжа, L, – это величина, обладающая следующим свойством: ее интеграл по времени – называемый действием, S – достигает максимума или минимума при варьировании траектории частицы^[2]. Это сразу же дает нам подсказку: если мы сделаем L dt пропорциональным длине сегмента мировой линии частицы за интервал времени dt, то действие S = ∫L dt будет пропорционально длине мировой линии. Поскольку кратчайшей линией, соединяющей две заданные точки, является прямая, минимальное значение действия будет достигаться на прямых мировых линиях – именно это и является нашей целью в случае свободной частицы.

Формально лагранжиан L определяется как функция обобщенных координат системы qⁱ, скоростей их изменения во времени q^•ⁱ = dqⁱ / dt и времени t. В случае нашей системы, обладающей единственной координатой x, скорость изменения которой совпадает с v, имеем:

(12) $\begin{equation*} \begin{aligned} L(x, v, t)dt = Cds \\ L(x, v, t) = \cfrac{Cds}{dt} \end{aligned} \end{equation*}$

где s – четырехмерное расстояние, измеренное вдоль мировой линии частицы, а C – константа, значение которой нам предстоит определить.

Если частица движется со скоростью v в выбранной нами системе отсчета, четырехмерное расстояние s вдоль ее мировой линии можно получить непосредственно из теоремы Пифагора: его квадрат равен сумме квадратов затраченного времени t, и расстояния, пройденного частицей, в трехмерном пространстве, x = vt:

(13) $\begin{equation*} s(t) = \sqrt{t^2 + v^2t^2} = t\sqrt{1 + v^2} \end{equation*}$

Воспользовавшись этим равенством совместно с (12), получаем:

(14) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cfrac{ds}{dt} = \sqrt{1 + v^2} \\ L(x, v, t) = C \sqrt{1 + v^2} \end{aligned} \end{equation*}$

В общем случае уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид^[2]:

(15) $\begin{equation*} \cfrac{d}{dt} \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} = \cfrac{\partial L}{\partial q^i} \end{equation*}$

Применив их к нашей системе, получаем:

(16) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial v} = \cfrac{\partial L}{\partial x} \\ \cfrac{d}{dt}\cfrac{Cv}{\sqrt{1+v^2}} = 0 \\ \cfrac{C}{m}\cfrac{dp}{dt} = 0 \end{aligned} \end{equation*}$

Иначе говоря, независимо от выбора константы C, это уравнение опять-таки говорит нам о том, что импульс частицы не меняется со временем. Мы однако же можем найти подходящее значение C, воспользовавшись взаимосвязью гамильтоновой и лагранжевой механик, выражающей сопряженные гамильтоновы импульсы через функцию Лагранжа^[3]:

(17) $\begin{equation*} p_i = \cfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \end{equation*}$

Для нашей системы с учетом (8) и (14), получаем:

$p_H = \cfrac{\partial L}{\partial v}$
$-\cfrac{mv}{\sqrt{1 + v^2}} = \cfrac{Cv}{\sqrt{1 + v^2}}$
$C = -m$

Таким образом, окончательное выражение для нашего лагранжиана выглядит следующим образом:

(18) $\begin{equation*} L(x, v, t) = -m \sqrt{1 + v^2} \end{equation*}$

В качестве перекрестной проверки можно убедиться в том, что гамильтониан и лагранжиан удовлетворяют соотношению, которое в общем случае имеет вид^[1]:

(19) $\begin{equation*} H = p_i \dot{q}^{i} - L \end{equation*}$

В случае нашей системы имеем:

(20) $\begin{equation*} \begin{split} H &= \\ & = p_H v - L = \\ & = v\cfrac{-mv}{\sqrt{1 + v^2}} - (-m\sqrt{1 + v^2}) = \\ & = m\left(\sqrt{1 + v^2} - \cfrac{v^2}{\sqrt{1 + v^2}}\right) = \\ & = \cfrac{m}{\sqrt{1 + v^2}} \end{split} \end{equation*}$

что согласуется с уравнением (1).

Таким образом, при использовании гамильтонова и лагранжева формализмов в контексте римановой физики необходимо учитывать следующее:

Гамильтониан H свободной частицы равен ее полной энергии, выраженной через “гамильтонов импульс” p_H, противоположный обычному геометрическому импульсу.
Действие S свободной частицы массой m равно произведению –m и обычной евклидовой длины соответствующей мировой линии; лагранжиан L частицы представляет собой производную данного действия по времени.

Литература

[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т.Т. 1. Механика. – 5 изд. стереот. – М. Физматлит, 2004. § 40.

[2] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 2.

[3] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 7.