Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/02/MotionExtra.html
ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования |
Измерение энергии различными наблюдателями
В основной статье, посвященной геометрии и движению, мы определили вектор энергии-импульса данного тела как вектор, который направлен по касательной к соответствующей мировой линии и имеет длину, равную массе тела. Очевидно, что на любой кривой существуют два различных направления, поэтому мы добавили следующее правило: угол между вектором тела и временной осью описывающего его наблюдателя не должен превышать 90°.
Так вот, данная схема полезна в том случае, если вы собираетесь описывать все происходящие события в единой системе отсчета. Если же у вас имеются два наблюдателя, движущихся относительно друг друга, то в ряде случаев правило о наклоне вектора заставит их выбрать для вектора энергии-импульса противоположные направления вдоль мировой линии, а значит, их описания окажутся несовместимыми друг с другом.
В лоренцевой Вселенной подобная проблема не возникает, поскольку обычные наблюдатели, даже находясь в движении относительно друг друга, всегда соглашаются насчет знака временной компоненты любого вектора. Мы, конечно, можем вообразить наблюдателей, движущихся назад во времени, но они составляют отдельный класс, в котором все временные компоненты по сравнению с нашими имеют отрицательный знак. В римановой Вселенной все обстоит иначе: если вы, ориентируясь на положительное направление вашей временной оси, пометили стрелкам некоторый набор мировых линий, соответствующих телам, движущимся с различными скоростями, а я двигаюсь относительно вас достаточно быстро, то направление моих стрелок в некоторых случаях будет согласовано с вашим, а в других – нет. Если каждый из нас посчитает сумму векторов энергии-импульса, то результирующие векторы окажутся совершенно не связанными друг с другом. Мы, конечно же, будем пользоваться различными системами координат, но проблема отнюдь не в этом; преобразовать вектор из одной системы в другую довольно легко. Но если оставить этот вопрос в стороне и просто рассмотреть отдельные векторы энергии-импульса Pi в качестве геометрических объектов, независимых от выбора системы координат, то ваш результирующий вектор может оказаться равным P1 + P2 + P3 + P4, в то время как мой P1 + P2 – P3 – P4; иными словами, мы получим два совершенно разных вектора.
Так как в действительности нет никакой физической причины [*] для выбора определенного направления на мировой линии, вектор энергии-импульса в 4-пространстве имеет неопределенный знак. К счастью тензор энергии-импульса, содержащий информацию о плотности и потоке энергии и импульса данного тела, не зависит от выбора направления вдоль мировой линии. Координатная матрица тензора энергии-импульса для данного тела плотности ρ в покоящейся относительно него системе отсчета имеет следующий вид:
,
где u – это 4-скорость тела. Очевидно, что изменение знака u никак не влияет на значение тензора! Следовательно, если один из наблюдателей рассчитает тензор энергии-импульса в своей системе координат, а другой – соответственно в своей, то полученные ими результаты будут связаны обычными геометрическими правилами преобразования тензоров.
Сохранение энергии и импульса в этом случае выражается тем фактом, что дивергенция тензора энергии-импульса (для любого объекта, включая материю и излучение), равна нулю.
Принимая сказанное во внимание, заметим, что нет никакой ошибки в том, чтобы зафиксировав систему отсчета, рассчитать в ней полную энергию и импульс интересующей нас системы. Мы можем производить физические выкладки в рамках описанного ниже гамильтонова формализма, при котором, выбрав временную координату, мы можем определить положительную полную энергию, играющую роль гамильтониана. В этом формализме полная энергия и импульс будут сохраняться. Единственной ошибкой было бы объединить эти сохраняющиеся величины в 4-вектор, рассчитывая на то, что подобные 4-векторы, полученные разными наблюдателями, будут связаны друг с другом простым поворотом системы координат.
[*] Если тело обладает электрическим зарядом, симметрия между двумя направлениями на соответствующей мировой линии нарушается. Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в разделе, посвященном риманову электромагнетизму.
Симметрии
Давайте для простоты предположим, что четырехмерная риманова Вселенная является плоской и бесконечной во всех направлениях. Эта модель, несмотря на свою идеализированность, довольно полезна; аналогичная идеализация нашей собственной Вселенной, известная как пространство-время Минковского, составляет основу специальной теории относительности и большей части релятивистской квантовой физики.Поскольку такая идеализированная Вселенная подчиняется постулатам евклидовой геометрии, мы будем называть ее евклидовым 4-пространством.
[NB: в физической литературе термин “евклидов” зачастую применяется к вариациям физических законов, полученных с помощью поворота Вика. Эти законы не имеют отношения к законам Ортогональной Вселенной.]
Выберем некое событие O в качестве начала отсчета, четыре взаимно перпендикулярных направления в качестве координатных осей x, y, z и t, а также систему единиц измерения. Теперь любое событие в этой Вселенной можно обозначить четверкой действительных чисел (x, y, z, t). Множество всех таких четверок в математике известно как R4.
R4 – это векторное пространство, в котором длину |v| произвольного вектора v = (vx, vy, vz, vt) в R4 можно выразить с помощью стандартного скалярного произведения:
Если Вселенная искривлена, то мы, вообще говоря, не можем складывать или вычитать координаты двух событий, но в данном случаи эти операции дают вполне осмысленный результат, так как рассматриваемая нами Вселенная является плоской. Вектор, направленный от события a = (ax, ay, az, at) к событию b = (bx, by, bz, bt), выражается простой формулой b–a = (bx–ax, by–ay, bz–az, bt–at), а расстояние между двумя событиями равно |b–a|.
Теперь предположим, что наше евклидово 4-пространство заполнено различными телами, которые следует законам в сущности геометрической природы (примером может служить закон сохранения энергии и импульса). Чтобы глубже понять, о каких геометрических законах может идти речь, мы можем рассмотреть множество симметрий пространства – операций, меняющих расположение или ориентацию тел, но оставляют неизменными характерные геометрические свойства, такие как расстояния между событиями, углы между мировыми линиями или промежутки между соседними волновыми фронтами.
Строго говоря, функция f:R4→R4 называется симметрией, если для любых событий a и b, расстояние между f(a) и f(b) совпадает с расстоянием между a и b:
С интуитивной точки зрения несложно представить три вида функций, удовлетворяющих данному условию и описанных в терминах геометрических операций:
- параллельные переносы, которые сдвигают все точки на фиксированное расстояние в фиксированном направлении;
- повороты, при которых как минимум одна точка остается без изменений, а все остальные жестко поворачиваются вокруг нее;
- отражения, которые меняют ориентацию фигур на противоположную, но оставляют неизменными расстояния и углы.
Параллельный перенос легко определить математически. Положим для произвольного вектора s:
Ts очевидно является симметрией, так как:
Так как параллельные переносы могут переместить начало отсчета в любое другое событие, мы сосредоточим внимание на поворотах и отражения, которые не меняют начало координат. Чтобы получить симметрию наиболее общего вида, их всегда можно скомбинировать с параллельными переносами.
Симметрия R, которая оставляет без изменения начало отсчета, будет линейной функцией в R4; следовательно, мы можем складывать, вычитать и умножать на число как до, так и после ее применения, ожидая получить одинаковый результат:
Каждой линейной функции в пространстве R4 соответствует 4×4-матрица Rij, такая, что:
,
где компоненты вектора vj и компоненты матрицы Rij относятся к стандартному базису {ex, ey, ez, et}, а к повторяющимсяиндексам применено соглашение Эйнштейна о суммировании. Иными словами, любую линейную функцию в векторном пространстве R4 можно воспроизвести с помощью матрицы, умножаемой на компоненты вектора.
Если симметрия R оставляет неизменным начало отсчета, то она сохраняет стандартное скалярное произведение в пространстве R4, поэтому для любых векторов v и w:
Это перефразированное утверждение о том, что R оставляет неизменными длины векторов и углы между ними (в силу того, что эти величины выражаются через скалярное произведение).
Предположим, что v = ei и w = ej, где ei – это i-ый вектор стандартного базиса в R4, а именно четверка чисел, в которой i-ая компонента равна 1, а все остальные – нули. В этом случае:
Но поскольку стандартный базис является ортонормированным, то ei · ej = δij (дельта-символ Кронекера, равный 1, если i=j, и 0, если i≠j) … что также верно и в отношении i, j-компоненты единичной матрицы размера 4×4, I4.
Более того,
,
где RT – транспонированная матрица R, полученная из R заменой строк на столбцы. Поскольку соответствующие компоненты RT R и I4 равны, матрицы должны совпадать:
,
и, следовательно, матрица RT обратна R.
Это позволяет нам охарактеризовать все линейные функции, представляющие собой симметрии евклидова 4-пространства: транспонированная матрица такой функции должна совпадать с обратной. Множество всех таких матриц размера 4×4 обозначается O(4) и называется ортогональной группой степени 4.
Перейдем к конкретным примерам. Следующая матрица:
осуществляет поворот на угол θ в плоскости xy и угол φ в плоскости zt. Умножив ее на соответствующую транспонированную матрицу, имеем:
В качестве более простого примера можно привести матрицу отражения, которая меняет знак x-координаты:
Умножив ее на транспонированную матрицу (которая в данном случае совпадает с исходной), получаем:
Отличить чистый поворот от отражения можно по определителю матрицы. Матрицы поворота имеют определитель, равный 1, а отражения – определитель, равный –1. Множество всех матриц размера 4×4, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4) и называется специальной ортогональной группой степени 4.
Группа преобразований, получаемых путем комбинирования произвольных элементов ортогональной группы O(4) с параллельными переносами, называется евклидовой группой степени 4, E(4). Данная группа описывает все симметрии четырехмерного евклидова пространства. Если мы ограничиваемся только поворотами и параллельными переносами – исключая тем самым отражения – то получаем SE(4), или специальную евклидову группу.
Иногда произвольную симметрию евклидовой группы, включая параллельные переносы, удобно представить в матричном виде. Для этого можно ввести соглашение о дополнительной единице, которую мы будем дописывать в конце четверки, обозначающей координаты события в R4. В данных обозначениях мы можем представить линейную операцию R и параллельный перенос на вектор s в виде общей матрицы:
Это матрица размера 5×5; символ R в данном случае заменяет матрицу размера 4×4, символ s – первые 4 компонента последнего столбца, а 0 – первые четыре компонента последней строки. Принимая во внимание умножение векторов с дополнительной компонентой-единице, имеем:
Перемножая матрицы, мы видим, как соответствующие им симметрии взаимодействуют друг с другом при последовательном применении; при этом матрица первой симметрии в произведении должна стоять справа:
Гамильтониан и лагранжиан свободной классической частицы
В вводном разделе, посвященном вектору энергии-импульса, мы рассмотрели свободную частицу со скоростью v и вывели формулы для ее полной энергии E и импульса p, которые по определению представляют собой t– и x-компоненты вектора энергии-импульса:
(1)
(2)
(3)
Теперь нашей целью будет описание той же самой частицы в терминах гамильтоновой и лагранжевой механик. Это не даст нам никакой новой информации о поведении частицы, которая, как мы уже знаем, просто следует вдоль прямой мировой линии в четырехмерном евклидовом пространстве, но позволит договориться о знаках и соглашениях, необходимых для получения правильных результатов, что, в свою очередь, существенно облегчит использование гамильтонова и лагранжева формализмов для решения более сложных задач.
Во-первых, мы будем исходить из предположения о выборе некой системы прямоугольных координат x, y, z и t. Во-вторых, мы упростим анализ, дополнительно условившись, что частица движется исключительно вдоль оси x, т. е. нам достаточно рассмотреть только одну пространственную координату; этот случай легко обобщается на трехмерное пространство.
В гамильтоновой механике гамильтониан H представляет собой полную энергию системы, выраженную в виде функции от n обобщенных координат qi, i=1,…n, описывающих степени свободы системы, n импульсов pi, сопряженных этим координатам, и времени t. В этом случае уравнения Гамильтона позволяют вычислить скорости изменения импульсов и координат[1]:
(4)
(5)
В случае с частицей, движущейся в направлении оси x, единственной координатой будет x, а соответствующим сопряженным импульсом будет p. Таким образом, на первый взгляд может показаться, что достаточно подставить H(x, p, t) = E из уравнения (3):
(6)
считая, что импульс, сопряженный координате x, совпадает с x-компонентой вектора энергии-импульса.
Но это предположение неверно! Применив его к уравнению (5), получаем:
(7)
Это неверный результат! Ошибкой было предположить, что импульс, определенный геометрически как x-компонента вектора энергии-импульса, обязательно равен импульсу, сопряженному координате x в рамках гамильтонова формализма.
Исправить ее, впрочем, довольно легко. Ошибка исчезает, если ввести “гамильтонов импульс”
(8)
в качестве импульса, сопряженного координате x:
(9)
(10)
Теперь все правильно! Этот вывод может показаться тривиальным, однако верно расставить знаки проще на данном этапе, пока мы не столкнулись с особенностями римановой термодинамики, в которой температура может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и выбор правильного знака может оказаться уже не столь очевидным.
Воспользовавшись первым уравнением Гамильтона, (4), получаем:
(11)
Этот результат всего лишь выражает тот факт, что импульс частицы не меняется во времени.
Теперь мы рассмотрим лагранжиан свободной частицы. Лагранжиан, или функция Лагранжа, L, – это величина, обладающая следующим свойством: ее интеграл по времени – называемый действием, S – достигает максимума или минимума при варьировании траектории частицы[2]. Это сразу же дает нам подсказку: если мы сделаем L dt пропорциональным длине сегмента мировой линии частицы за интервал времени dt, то действие S = ∫L dt будет пропорционально длине мировой линии. Поскольку кратчайшей линией, соединяющей две заданные точки, является прямая, минимальное значение действия будет достигаться на прямых мировых линиях – именно это и является нашей целью в случае свободной частицы.
Формально лагранжиан L определяется как функция обобщенных координат системы qi, скоростей их изменения во времени q•i = dqi / dt и времени t. В случае нашей системы, обладающей единственной координатой x, скорость изменения которой совпадает с v, имеем:
(12)
где s – четырехмерное расстояние, измеренное вдоль мировой линии частицы, а C – константа, значение которой нам предстоит определить.
Если частица движется со скоростью v в выбранной нами системе отсчета, четырехмерное расстояние s вдоль ее мировой линии можно получить непосредственно из теоремы Пифагора: его квадрат равен сумме квадратов затраченного времени t, и расстояния, пройденного частицей, в трехмерном пространстве, x = vt:
(13)
Воспользовавшись этим равенством совместно с (12), получаем:
(14)
В общем случае уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид[2]:
(15)
Применив их к нашей системе, получаем:
(16)
Иначе говоря, независимо от выбора константы C, это уравнение опять-таки говорит нам о том, что импульс частицы не меняется со временем. Мы однако же можем найти подходящее значение C, воспользовавшись взаимосвязью гамильтоновой и лагранжевой механик, выражающей сопряженные гамильтоновы импульсы через функцию Лагранжа[3]:
(17)
Для нашей системы с учетом (8) и (14), получаем:
Таким образом, окончательное выражение для нашего лагранжиана выглядит следующим образом:
(18)
В качестве перекрестной проверки можно убедиться в том, что гамильтониан и лагранжиан удовлетворяют соотношению, которое в общем случае имеет вид[1]:
(19)
В случае нашей системы имеем:
(20)
что согласуется с уравнением (1).
Таким образом, при использовании гамильтонова и лагранжева формализмов в контексте римановой физики необходимо учитывать следующее:
- Гамильтониан H свободной частицы равен ее полной энергии, выраженной через “гамильтонов импульс” pH, противоположный обычному геометрическому импульсу.
- Действие S свободной частицы массой m равно произведению –m и обычной евклидовой длины соответствующей мировой линии; лагранжиан L частицы представляет собой производную данного действия по времени.
Литература
[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т.Т. 1. Механика. – 5 изд. стереот. – М. Физматлит, 2004. § 40.
[2] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 2.
[3] Ландау и Лифшиц, указ. соч. § 7.