Риманова термодинамика

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/05/Thermodynamics.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Горячее бесконечно горячего

Сколько различных состояний частицы могут соответствовать заданному уровню энергии E? Выбирая конкретное значение энергии частицы, мы фиксируем модуль p соответствующего вектора импульса p, однако направление этого вектора может произвольным образом меняться в трехмерном пространстве, поэтому его конец может лежать в любой точке на поверхности сферы. Если мы не знаем точное значение энергии, а знаем только, что оно заключено между E и E+δE, где δE – некоторая малая величина, то p будет заключен между p и p+δp, зависящими от этих энергий, в то время как вектор импульса будет заключен внутри сферической оболочки. Внутри такой оболочки, понятное дело, находится бесконечно много векторов, поэтому вопрос “сколько” в отношении состояний, энергия которых заключена в заданном интервале, не вполне уместен – во всяком случае, если речь идет о классической механике; в квантовой механике ситуация меняется таким образом, что множество возможных состояний действительно становится дискретным. В классической же физике, как выясняется, более полезной величиной является объем области пространства, в которой находится частица — будь то объем в пространстве импульсов, обычном пространстве, или их комбинация.

ortnt_05_01 Если мы представим состояние частицы в виде точки некоторого абстрактного пространства, которое называется фазовым и в качестве координат точки содержит как ее расположение, так и импульс в трех измерениях, то зная, что энергия частицы заключена в интервале от E до E+δE, мы можем сделать вывод об области фазового пространства, в пределах которой лежит состояние системы. Если мы предположим, что в обычном пространстве частица ограничена фиксированным объемом, не зависящим от ее энергии, то соответствующий ей объем в фазовом пространстве будет зависеть от набора векторов импульса, допустимых в заданном интервале энергий – то есть заключенных внутри описанной выше сферической оболочки.

Почему, кстати говоря, нас должен интересовать именно объем в фазовом пространстве, а не какое-то другое описание состояния частицы? Причина заключается в одном утверждении из области прикладной математики, которое называется теоремой Лиувилля и описывает изменение во времени вероятности обнаружить систему в заданной точке фазового пространства. Используя теорему Лиувилля, можно показать, что если в нашем распоряжении имеется огромное число версий некоторой системы и их состояния равномерно распределены в фазовом пространстве, то с течением времени и по мере движения точек, соответствующих различных системам, их равномерное распределение будет оставаться неизменным. Если бы мы выбрали любое из предыдущих описаний состояний системы, то это свойство бы не соблюдалось; оно выполняется лишь в силу особых математических свойств, отличающих движение состояний в фазовом пространстве.

Это становится важным, если мы хотим изучить статистические свойства системы. Если мы производим какое-либо действие над сложной системой, состоящей из миллиардов частиц – например, приводим раскаленный газ в контакт с холодным твердым телом – а затем ждем, когда в системе не прекратятся изменения и она не окажется в состоянии равновесия, мы не рассчитываем отследить положение и импульс каждой частицы. Но как только система приходит к равновесию, теорема Лиувилля позволяет нам считать, что система может с равной вероятностью находиться в любом месте фазового пространства, при условии, что оно не противоречит известной нам информации об этой системе. Если это утверждение кажется вам очевидным, задумайтесь о многочисленных альтернативах, которые тоже “выглядят очевидными”, но при этом ложны: например, вероятность обнаружить систему в состоянии с произвольной энергией из допустимого диапазона, как правило, распределена неравномерно.

Возвращаясь к примеру с одной частицей, давайте рассчитаем объем области фазового пространства, в которой должна находиться частица, если ее энергия лежит в интервале от E до E+δE, а положение ограничено некоторой областью пространства с объемом V.

В лоренцевой физике полная энергия свободной частицы не может быть меньше ее массы покоя m, а соотношение между энергией и импульсом имеет вид:

$p^2 = E^2 - m^2$ ,

откуда следует, что

$\cfrac{dp}{dE} = \cfrac{E}{p} = \cfrac{E}{\sqrt{E^2 - m^2}}$

Если энергия частицы заключена в малом интервале значений от E до E+δE, то объем области фазового пространства, в котором должна находиться эта частица, равен:

$\Omega_{Lorentzian} = 4 \pi p^2 \delta p V = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{E^2 - m^2} E \delta E V$

В римановой физике полная энергия свободной частицы заключена между нулем и ее массой покоя, причем:

$p^2 = m^2 - E^2$
$\cfrac{dp}{dE} = -\cfrac{E}{p} = -\cfrac{E}{\sqrt{m^2 - E^2}}$

Тот факт, что импульс уменьшается с ростом энергии, важен и сам по себе, но для того, чтобы найти объем фазового пространства нам достаточно взять абсолютное значение δp = (dp/dE) δE:

$\Omega_{Riemannian} = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{m^2 - E^2} E \delta E V$

ortnt_05_02

Графики Ω наглядно демонстрируют принципиальное различием между этими функциями. Тем не менее, стоит заметить, что если энергия частицы близка к массе покоя, m, оба графика являются практически зеркальными отражениями друг друга. Объясняется это тем, что при низких скоростях частицы в обеих Вселенных по сути подчиняются законам обычной ньютоновской физики; единственная особенность римановой Вселенной заключается в том, что полная энергия уменьшается с ростом кинетической.

Наиболее явное отличие состоит в том, что Ω_Lorentzian всегда возрастает с увеличением энергии. Какова бы ни была энергия частицы, добавив к ней еще чуть-чуть, мы всегда получим больший объем доступного фазового пространства. В случае с Ω_Riemannian, напротив, объем фазового пространства, доступного частице с определенным уровнем энергии, ограничен некоторым максимальным значением. Рассчитав в каждом из двух случаев скорость роста фазового объема относительно энергии, мы получим:

$\cfrac{d\Omega_{Lorentzian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (2E^2 - m^2)} {\sqrt{E^2 - m^2}}$
$\cfrac{d\Omega_{Riemannian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (m^2 - 2E^2)} {\sqrt{m^2 - E^2}}$

Таким образом, объем фазового пространства в римановой модели достигает максимума при E = m/√2. Может показаться, что максимальный объем фазового пространства должен соответствовать максимальному значению импульса, p=m, которое достигается при E = 0. Но несмотря на то, что при этом обеспечивается максимальный радиус сферической оболочки в пространстве импульсов, мы не должны забывать о ее переменной толщине. При E = 0, dp/dE обращается в нуль, поэтому δp, то есть толщина оболочки, также равна нулю. В действительности максимальный объем достигается в результате компромисса между радиусом и толщиной оболочки.

Какое значение имеет характер зависимости между объемом фазового пространства и энергией? Чтобы разобраться в этом, предположим, что у нас имеются две системы, и нам известны как их энергии, E₁ и E₂, так и зависимости между объемом соответствующего фазового пространства и энергией системы, Ω₁(E₁) и Ω₂(E₂). Если мы объединим две системы в одну, то сможем определить новое фазовое пространство, содержащее позиционные и импульсные координаты всех частиц в обеих исходных системах. В этом случае объем, который занимает объединенная система в своем фазовом пространстве представляет собой обычное произведение объемов, соответствующих исходным системам:

$\Omega(E_1, E_2) = \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2)$

Предположим теперь, что мы допускаем передачу энергии между системами. Полная энергия E₁ + E₂ должна оставаться постоянной, однако энергии отдельных систем могут меняться. Если система 1 передает системе 2 количество энергии, равное Q, то:

$\Omega(E_1 - Q, E_2 + Q) = \Omega_1(E_1 - Q) \Omega_2(E_2 + Q)$ ,

а соответствующее влияние на полный объем фазового пространства описывается величиной

$\cfrac{d\Omega(E_1, E_2)}{dQ} = -cfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 + \Omega_1 \cfrac{d\Omega_2}{dE_2}$ ,

где мы воспользовались правилом, согласно которому для дифференцирования произведения нужно продифференцировать каждый сомножитель и сложить результаты.

Что происходит с полным объемом фазового пространства Ω, когда энергия переходит от системы 1 к системе 2: увеличивается ли он, уменьшается или остается неизменным? Ответить на этот вопрос будет проще, если для каждой из подсистем мы введем новую величину – ее температуру T:

$T_1 = \cfrac{\Omega_1}{\frac{d\Omega_1}{dE_1}}$
$T_2 = \cfrac{\Omega_2}{\frac{d\Omega_2}{dE_2}}$

Если нам известно соотношение между T₁ и T₂, то домножив обе его части на производные, стоящие в знаменателях, мы сможем определить знак величины dΩ / dQ. Предположим для начала, что dΩ₁ / dE₁ и dΩ₂ / dE₂ положительны; поскольку объем Ω сам по себе всегда положителен, отсюда следует и положительность обеих температур T₁ и T₂. В этом случае имеет место один из следующих вариантов:

Если T₁ > T₂ > 0, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) > Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ положительна.
Если T₂ > T₁ > 0, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) < Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ отрицательна.
Если T₁ = T₂, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) = Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ равна нулю.

На язык физики эти утверждения можно перевести следующим образом:

Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более горячей системы к более холодной, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, увеличивается.
Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более холодной системы к более горячей, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, уменьшается.
Если системы имеют одинаковую температуру, то в процессе передачи энергии между ними общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, не меняется.

При взгляде на эти утверждения возникает желание объявить с беззаботным видом, что “энергия передается от горячего тела к холодному”, однако по размышлении все оказывается не так просто, поскольку вне зависимости от выбора конкретного направления в качестве оси времени мы в равной степени имеем право выбрать направление, противоположное ему…, а сделанный нами вывод не может быть справедлив в обоих направлениях сразу! Иначе говоря, нам нужно прояснить следующий момент: интуитивно ожидая, что комбинированная система с течение времени “сбежит” из меньшей области фазового пространства в большую, мы исходим из существования четко определенной стрелы времени, вдоль которой энтропия увеличивается по мере движения в выбранном нами направлении будущего.

Итак, давайте будем придерживаться этого предположения, которое точно выполняется в нашей мире и вполне может быть справедливым в отношении некоторых областей римановой Вселенной. Это дает нам право утверждать, что мы смогли ввести некое полезное свойство, называемое температурой, и что при контакте двух систем, обладающих положительной температурой, перенос энергии будет осуществляться от системы с большей температурой к системе с меньшей температурой.

Если речь об обычных системах в лоренцевой Вселенной, то ни что другое рассчитывать не приходится. Тем не менее, ряд экзотических систем в нашей Вселенной в действительности обладают отрицательной температурой…, а в римановой Вселенной отрицательные температуры в определенном смысле являются нормой, так как возникают в тех случаях, когда частицы движутся со вполне заурядными скоростями, заключенными между нулем и – в случае единственной частицы – скоростью v₀, при которой полная энергия становится равной m/√2 (т. е. энергии, при которой система достигает максимального объема в фазовом пространстве):

$E = \cfrac{m}{\sqrt(1 + v_0^2)} = \cfrac{m}{\sqrt{2}}$
$v_0 = 1$

Вероятно, вам доводилось слышать, что температура представляет собой “эмерджентное свойство”, которое имеет смысл только в отношении систем, состоящих из огромного числа частиц, хотя, строго говоря это не так; наше определение температуры имеет смысл для любой системы, даже если эта система состоит всего лишь из одной частицы. Большое количество частиц гарантирует лишь близкую к 100% вероятность того, что перенос энергии будет происходить именно в том направлении, которое мы ожидаем, исходя из разницы в температуре. Если в результате взаимодействия двух отдельных частиц более горячая случайно заберет энергию у более холодной, в этом не будет ничего удивительного. С другой стороны, вероятность того, что перенос энергии от холодного тела к горячему произойдет в системе, состоящей из 10²³ частиц, астрономически мала.

К каким последствиям приводит наличие отрицательных температур? Наши рассуждения относительно направления передачи энергии для случая систем с положительной температурой были основаны на умножении связывающего их неравенства на (dΩ₁ / dE₁) (dΩ₂ / dE₂). Если температура обеих систем отрицательна, произведение двух производных также будет положительным, поэтому наш аргумент остается в силе.

Это означает, что если T₂ < T₁ < 0, то мы ожидаем, что энергия будет передаваться от системы 1 к системе 2.В римановой Вселенной газ, состоящий из относительно медленных частиц будет иметь отрицательную температуру, превышающую (т. е. более близкую к нулю) температуру газ с чуть более быстрыми частицами, поэтому энергия будет передаваться от более медленных частиц к более быстрым. В данном случае речь идет о полной энергии, которая по своему смыслу противоположна кинетической. Таким образом, теряя полную энергию, более медленные частицы будут приобретать кинетическую энергию за счет чуть более быстрых. Другими словами, перемещение энергии будет точно таким же, как и в нашей Вселенной.

Если же газ состоит из частиц, движущихся с достаточно большой скоростью, то его температура в соответствии с римановым определением окажется положительной, а значит, независимо от принятого нами способа определения энергий будет явно противоположна температуре обычного газа. Каким образом будет происходить перенос энергии, если эти системы войдут друг с другом в контакт? На этот раз произведение производных (dΩ₁ / dE₁) (dΩ₂ / dE₂) окажется отрицательным, поэтому при умножении на него обеих частей соотношения между температурами знак неравенства поменяется на противоположный. Оказывается, что если T₁ < 0 < T₂, то dΩ / dQ будет положительной величиной – поэтому мы ожидаем, что энергия будет перемещаться от системы с отрицательной температурой к системе с положительной температурой. Иными словами, можно сказать, что система с отрицательной температурой горячее бесконечного горячего: она будет отдавать энергию любой системе с положительной температурой, насколько бы горячей та ни была.

Здесь мы опять-таки имеем в виду полную энергию, в то время как перенос кинетической энергии в римановой Вселенной будет происходить в противоположном направлении: система с отрицательной температурой будет получать кинетическую энергию от любой другой системы, при условии, что ее температура положительна. Это приводит нас к более, чем логичному результату: газ, частицы которого движутся настолько быстро, что придают ему положительную температуру, всегда будет отдавать кинетическую энергию газа, состоящему из более медленных частиц.

Таким образом, температурная шкала в римановой Вселенной такова, что газ, состоящий из медленных частиц, имеет температуру чуть ниже абсолютного нуля. По мере ускорения частиц температура понижается, достигает минус бесконечности на релятивистских скоростях, перескакивает на большие положительные значения, а затем, по мере того, как скорость частицы приближается к бесконечности, температура стремится к абсолютному нулю – на этот раз сверху.

ortnt_05_03

На всем протяжении этого дважды-бесконечного диапазона температур по-прежнему мы по-прежнему имеем дело с совершенно нормальным поведением: газ, состоящий из более быстрых частиц, будет отдавать теплоту в пользу газа, состоящего из более медленных частиц. Может показаться, что эта ситуация ничем не отличается от поведения, характерного для нашей Вселенной, а деление температур на положительные и отрицательные – не более, чем математическая абстракция. Однако физические системы – как в нашей, так и в римановой Вселенной, вовсе не ограничиваются газами, состоящими из фиксированного количества частиц. Если система может свободно создавать свет, то мы можем задаться вопросом о температуре соответствующего “фотонного газа” при том, что количество составляющих его частиц может меняться со временем. Ответом будет именно положительная температура. С интуитивной точки зрения понять это несложно. Преобразование энергии в новую частицу предположительно должно увеличивать количество доступных возможностей, позволяя системе расширить область, занимаемую в фазовом пространстве. Это указывает на то, что dΩ/dE будет больше нуля, т е. положительную температуру.

В римановой Вселенной невозможно тепловое равновесие между светом и обычной системой вроде газа, состоящего из фиксированного количества медленных частиц. Имея отрицательную температуру, обычная система всегда будет проявлять склонность к передаче полной энергии в пользу света с положительной температурой и, следовательно, к увеличению собственной кинетической энергии.

Именно поэтому способность создавать свет представляет собой такую опасность в римановой Вселенной. Если этого можно добиться контролируемым способом, то свет вовсе не обязан находиться в тепловом равновесии со своим источником; температурное свечение горячего тела, возникающее из-за случайного обмена энергией с фотонами, – не единственный способ создания света. Но если процесс выходит из-под контроля и превращается именно в такой случайный обмен, то источник света сам по себе рискует разогреться до положительной температуры – что в римановой Вселенной приводит к распаду с образованием релятивистского газа.

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.