Риманов электромагнетизм

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/04/EM.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Три поляризации

В нашей Вселенной свет, движущийся в вакууме, представляет собой идеальную поперечную волну: электрическая и магнитная составляющие всегда осциллируют в направлениях, перпендикулярных направлению распространения самой волны.

В римановой Вселенной, как мы уже отмечали, говоря о векторных волнах, аналогичная разновидность волны в определенном смысле является поперечной и по отношению к направлению распространения: четырехмерный вектор A, описывающий колеблющееся поле, будет перпендикулярен четырехмерному волновому вектору k. Если волна имеет вид:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

то должно соблюдаться условие k · A₀ = 0. В контексте этого условия вектор A₀ может располагаться вдоль одного из трех независимых направлений. Предположим, к примеру, что волновой вектор k находится в плоскости xt, как на диаграмме ниже. Тогда если A₀ будет направлен вдоль оси y, вдоль оси z или будет лежать в самой плоскости xt, образуя прямой угол с k, то три перечисленных направления будут ортогональны как друг другу, так и вектору k. (Второй вариант на диаграмме не показан, так как мы опустили ось z, чтобы показать ось t.)

ortnt_04_01

Если же все эти векторы спроецировать в трехмерное пространство, то первые два будут по-прежнему ортогональны направлению движения волны, в то время как третий окажется ему параллелен (или антипараллелен). В этом смысле риманов аналог света может включать в себя продольную моду, при которой направление колебаний поля совпадает с направлением движения волны. (На диаграмме представлены проекции на плоскость xy. Поскольку используемые нами векторы в любом случае лишены компоненты z, результат совпадает с проекцией в трехмерное пространство.)

Важно отметить, что три упомянутых состояния поляризации – два из которых выглядят, как поперечные моды, а третье, как продольная – становятся полностью идентичными друг другу, если рассмотреть свет сам по себе, в виде плоской волны в 4-пространстве. В каждом случае векторы k и A₀ ортогональны друг другу. Продольная поляризация приобретает смысл только после того, как мы выберем конкретное направление в качестве временной оси и станем различать по отношению к ней направления в 4-пространстве. В свете сказанного такое поведение принципиально отличается от ситуации с двумя поляризациями, которую мы наблюдаем в нашей Вселенной. Если риманов аналог поляризационного фильтра подавляет одну из поперечных компонент света, то на выходе пары “перекрещенных фильтров” – полностью блокирующей свет в нашей Вселенной – от света со случайной поляризацией останется продольная компонента.

Эффект Доплера

Эффект Доплера – это хорошо известное явление, при котором частота и длина световой волны, измеряемые некоторым наблюдателем, меняются в зависимости от его движения.

На следующей диаграмме показана одна и та же последовательность волновых фронтов, движущихся мимо трех различных наблюдателей в лоренцевой Вселенной; свет движется с правой стороны. Под “эталонным наблюдателем” подразумевается наблюдатель, находящийся в состоянии покоя по отношению к источнику света, в то время как два других соответственно приближаются к источнику и удаляются от него.

ortnt_04_02

Измерив интервал между соседними фронтами, эталонный наблюдатель получит в качестве периода волны величину OR. В случае наблюдателя, приближающегося к источнику света, столкновению с фронтами будут соответствовать события O и F, однако евклидова длина отрезка OF, которую мы видим на диаграмме, не совпадает с интервалом времени, зафиксированным этим наблюдателем, так как последний вычисляется согласно лоренцевой версии теоремы Пифагора. Для простоты сравнения мы воспользовались гиперболой – которая в лоренцевой Вселенной является кривой постоянного собственного времени по аналогии с дугой окружности, представляющей собой кривую постоянного расстояния в евклидовом пространстве – чтобы отразить соответствующий интервал на мировой линии эталонного наблюдателя. Теперь мы однозначно видим, что OF’ короче OR, то есть наблюдатель, движущийся вперед, получит меньшее значение периода и, соответственно, большее значение частоты. Это явление называется синим смещением, поскольку синий цвет располагается в высокочастотной области видимого спектра.

Аналогичным образом, для наблюдателя, движущегося назад, столкновение с волновыми фронтами придется на события O и B; в целях сравнения мы отобразили этот интервал в OB’, который, очевидно, длиннее OR. Таким образом, наблюдатель, движущийся в противоположном направлении, в соответствии с собственными измерениями получит больший период и меньшую частоту. Это так называемое красное смещение.

Предположим, что событие F имеет координаты (x_F, t_F). Если наблюдатель движется со скоростью v, то x_F = v t_F. Период световой волны с точки зрения эталонного наблюдателя, то есть OR, обозначим τ_R. Поскольку в нашей системе единиц волновой фронт преодолевает интервал от F до R со скоростью 1, то:

$\tau_R = t_F + x_F = t_F(1 + v)$
$t_F = \cfrac{\tau_R}{1 + v}$

Тогда период световой волны, согласно измерениям приближающегося наблюдателя, можно вычислить, используя лоренцеву версию теоремы Пифагора:

$\tau_F = \sqrt{t_F^2 - x_F^2} = t_F \sqrt{1 - v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 - v^2}}{1 + v} = \tau_R \sqrt{\cfrac{1 - v}{1 + v}}$

Отношение частот в случае лоренцева синего смещения обратно отношению соответствующих периодов:

$\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \sqrt{\cfrac{1 + v}{1 - v}}$

Коэффициент лоренцева синего смещения не зависит от конкретной частоты света. Предположим, что скорость источника v = 0.6, то есть составляет 60% скорости света. В этом случае коэффициент синего смещения равен двум, и наблюдаемая частота света, который движется в вашу сторону под прямым углом, увеличится вдвое по сравнению с неподвижным наблюдателем. И наоборот, если свет удаляется от вас, то его частота покажется вам вдвое меньшей.

В римановой Вселенной все обстоит немного сложнее, поэтому вначале мы рассмотрим идентичный сценарий, при котором один наблюдатель приближается к источнику света, а другой, наоборот, от него удаляется – причем оба движутся медленнее самого света.

В данном случае, как легко видеть на диаграмме, OF’, период световой волны с точки зрения приближающегося наблюдателя, будет больше OR, в то время как OB’, то есть период с точки зрения удаляющегося наблюдателя, – меньше OR.

ortnt_04_03

Означает ли это, что наблюдатель, приближающийся к источнику света, увидит “красное смещение”? Здесь нам придется сделать паузу и задаться вопросом, каким именно языком мы собираемся пользоваться для описания видимого спектра в римановой Вселенной. Речь не идет о философских сомнениях в том, что инопланетяне из альтернативной Вселенной способны испытывать то же невыразимое ощущение “красноты” или “синевы”, что и мы сами; их цветовое восприятие мы могли бы перевести на свой язык так, как нам заблагорассудится – при условии, что будем последовательны в своем выборе. Но каким бы образом ни воспринимали свет обитатели римановой Вселенной, мы в любом случае не сможем придумать идеальное соответствие, полностью учитывающее объективные, физические свойства света. В нашей Вселенной красный свет обладает большей длиной волны и большим периодом, чем синий. Но в римановой Вселенной нет такого света, который бы одновременно имел и большую длину волны, и больший период по сравнению с каким-либо другим светом. Соотношение между этими величинами носит обратный характер: большей длине волны всегда соответствует меньший период.

Иначе говоря, нам придется сделать выбор. Конкретное решение может быть совершенно произвольным, однако в трилогии “Ортогональная Вселенная” подразумевается, что “синий/фиолетовый” свет соответствует наиболее коротким длинам волн видимого света, поэтому термин “синее смещение” в данном случае означает смещение в сторону “более коротких длин волн”.

Определившись с терминологией, сделаем шаг вперед и рассчитаем наиболее простую величину, роль которой опять-таки играет не отношение длин волн, а отношение периодов или частот. Если скорость света в системе отсчета эталонного наблюдателя равна c, то волновые фронты будут двигаться со скоростью 1/c в направлении, противоположном волновому вектору, поскольку наклон линии, перпендикулярной прямой с наклоном c, равен –1/c. Воспроизведя наши предыдущие расчеты в римановой версии, получим:

$\tau_R = t_F - \cfrac{x_F}{1/c} = t_F(1 - vc)$
$t_F = \cfrac{\tau_R}{1 - vc}$
$\tau_F = \sqrt{t_F^2 + x_F^2} = t_F \sqrt{1 + v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 + v^2}}{1 - vc}$

Таким образом, мы имеем дело с римановой версией “синего смещения”, связанной с уменьшением наблюдаемой частоты с точки зрения наблюдателя, приближающегося к источнику света:

$\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \cfrac{1 - vc}{\sqrt{1 + v^2}}$

Когда скорость наблюдателя v достигает величины 1/c, наблюдаемая частота света падает до нуля. На диаграмме примером такого поведения служит наблюдатель с мировой линией OG. С точки зрения такого наблюдателя свет движется с бесконечной скоростью и обладает минимально возможной длиной волны.

Что произойдет, если наблюдатель будет приближаться к источнику света со скоростью большей 1/c (как, например, в случае наблюдателя с мировой линией OH)? С точки зрения этого наблюдателя, волновой вектор, исходящий от источника, будет направлен назад во времени, поэтому при любом взаимодействии с таким светом наблюдатель будет воспринимать в качестве источника самого себя, считая, что волновой вектор направлен в противоположную сторону.

ortnt_04_04

Чтобы получить соотношение частот для наблюдателя, движущегося в обратном направлении, то есть удаляющегося от источника света, можно просто подставить в ту же самую формулу отрицательное значение v. Исходя из диаграммы, мы видим, что при v = –c происходит кое-что интересное: наблюдатель, мировая линия которого обозначена прямой OC, движется со скоростью света, а значит, его относительная скорость равна нулю. С точки зрения такого наблюдателя частота достигает максимального значения, совпадающего с ν_max, то есть физическим максимумом частоты, поскольку наблюдатель движется под прямым углом к волновым фронтам.

Что произойдет, если наблюдатель обгонит свет и будет двигаться назад со сверхсветовой скоростью? Согласно нашей формуле, отношение частот будет положительным и в данном случае меньше максимального, поэтому свет по-прежнему должен быть виден. Но каким же образом можно принимать световой сигнал от источника, если вы удаляетесь от него быстрее самого света? Мы предполагаем, что свет генерируется на протяжении продолжительного отрезка времени (что справедливо, например, в отношении света звезд), поэтому речь не идет о гонке между наблюдателем и отдельным световым импульсом. Если наблюдатель движется быстрее, чем интересующий нас свет – как, например, наблюдатель с мировой линией OD, – то постепенно он будет догонять “старый” свет, который имел достаточно большую фору и просто поджидает его впереди. Причем наблюдателю будет казаться, что этот свет движется не в сторону источника, а в том же направлении, что и сам наблюдатель.

Исходя из геометрии описанной ситуации, можно сделать вывод, что помимо эффекта Доплера, влияющего на частоту света, имеет место и так называемый эффект аберрации, который заключается в том, что величины углов между световыми лучами будут различными в случае движущегося и эталонного наблюдателя. В римановом случае понять поведение света в случае эффекта Доплера и аберрации нам поможет обычная евклидова геометрия.

Предположим, что эталонный наблюдатель воспринимает свет определенного оттенка от множества источников, равномерно распределенных в небе.В 4-пространстве входящие лучи свет образуют конус, ось которого совпадает с мировой линией наблюдателя. Если мы спроецируем все волновые векторы в собственное пространство наблюдателя, они расположатся в виде круга, поделенного на равные сектора (на диаграмме ниже они показаны серым).

Наблюдатель, который находится в том же месте, но движется вправо с некоторой скоростью v, увидит, что направление света соответствует проекции тех же самых лучей, составляющих конус, в его собственное пространство – наклоненное по отношение к собственному пространству эталонного наблюдателя. Это приведет к двум эффектам: во-первых, изменится длина проекций волновых векторов; во-вторых, изменятся углы между проекциями. Длина проекции волнового вектора в собственное пространство наблюдателя пропорциональна пространственной частоте света (мы обсуждали это, когда впервые затронули тему волн), а значит, более длинная проекция соответствует более короткой длине волны.

Результат при различных скоростях наблюдателя показан на диаграмме ниже в предположении, что скорость падающего света в системе отсчета эталонного наблюдателя составляет 0.75. Изображенные цвета соответствуют правилам перевода видимых оттенков, принятым в романе; ультрафиолетовый и инфракрасный свет обозначены пунктирными линиями.

027

В первом случае, когда v = 0.25, свет, движущийся навстречу наблюдателю, претерпевает синее смещение, а его источники в небе выглядят так, будто сближаются друг с другом. Свет, движущийся в противоположном направлении, подвергается красному смещению и рассредоточивается по небу. В такой формулировке – когда красное и синее смещения относятся не к частоте света, а к длине его волны – данный вывод в точности совпадает со своей лоренцевой версией.

Когда v становится равной c, наблюдателю начинает казаться, что источник света находится впереди него. При v=1/c=4/3 (не показано), лучи, приходящие из точек впереди наблюдателя, будут двигаться назад во времени и, следовательно, станут невидимыми; по той же причине при v=2, исчезнет значительная часть конуса.

В случае v=2 мы имеем дело с необычным явлением, которое совершенно невозможно в лоренцевой физике: два луча разных цветов, которые выглядят так, будто движутся в одном направлении, хотя в действительности создаются различными источниками. Там, где лучи красного, желтого и зеленого цвета перемешиваются с ультрафиолетом, источник более красного света в действительности находится позади (с точки зрения эталонного наблюдателя), однако движущемуся наблюдателю из-за наклона системы отсчета кажется, что источник света, наоборот, расположен перед ним, а созданные им лучи накладываются на свет, который действительно движется ему навстречу.

В случае v=∞ источник света, который с точки эталонного наблюдателя движется навстречу, теперь располагается в будущем движущегося наблюдателя, поэтому созданный им свет становится невидимым. Наблюдатель сможет увидеть только свет, который достигает его сзади; при этом весь свет будет сосредоточен в секторе неба, угловая величина которого совпадает с углом при вершине конуса падающих лучей.

Следует иметь в виду, что все сказанное относится к свету, который с точки зрения эталонного наблюдателя содержит один конкретный цвет. Даже с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно среднего движения звезд, сами звезды в римановой Вселенной он будет воспринимать в виде разноцветных шлейфов, так как в промежутке между временем излучения красного света, который в данный момент достигает наблюдателя, и более поздним моментом излучения синего света, который, обладая большей скоростью, добирается до наблюдателя одновременной с красным, звезда успевает переместиться на небольшое расстояние. Влияние эффекта Доплера и аберраций на вид звездных шлейфов обсуждается в первой части трилогии. Иллюстрации этого явления можно увидеть в анонсе книги, а также в учебных видеоматериалах, посвященных данной теме.

Риманово электромагнитное поле

До этого момента мы говорили об “осциллирующем поле” A, не уточняя, что именно оно из себя представляет. Оказывается, что всю теорию риманова электромагнетизма можно построить по аналогии с лоренцевым электромагнетизмом, действующим в нашей собственной Вселенной. Это, в частности, относится к векторным полям, которые можно вполне обоснованно назвать электрическим и магнитным, а также определенному свойству материи, которое играет роль, аналогичную электрическому заряду, и позволяет ей вступать во взаимодействие с электромагнитными силами, а также становиться источником электромагнитных волн.

В данном контексте поле, которое мы обозначали как A, является так называемым 4-векторным потенциалом. По аналогии с электростатическим потенциалом, представляющим собой величину, скорость роста которой относительно пространства описывает электрическое поле, 4-векторный потенциал – это вектор, производные которого полностью описывают электромагнитное поле. Если говорить конкретнее, компоненты электромагнитного поля F имеют вид:

$F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i$ ,

где i и j пробегают x, y, z и t. Иначе говоря, F – это матрица размера 4×4, выражающаяся через 4-векторный потенциал A.

Какой смысл несет эта матрица? Представим себе частицу с зарядом q; пусть u – единичный вектор, направленный по касательной к ее мировой линии, то есть 4-скорость частицы. Если мы умножим u на величину заряда q и матрицу F, то получим силу f, действующую на заряженную частицу:

$\mathbf{f} = q F \mathbf{u}$

В ньютоновской механике сила, конечно же, является трехмерным вектором, однако в релятивистской физике – как лоренцевой, так и римановой – более адекватным будет представление силы в виде 4-вектора. По аналогии со знаменитой формулой Ньютона

$\mathbf{f} = m \mathbf{a}$

(сила равна массе, умноженной на ускорение) 4-вектор силы f связан с 4-вектором ускорения a,… который, в свою очередь, выражается через 4-скорость:

$\mathbf{a} = \partial_{\tau} \mathbf{u}$

4-ускорение представляет собой скорость изменения 4-скорости по отношению к собственному времени τ, то есть времени, измеряемому вдоль мировой линии частицы. Если мы теперь сложим все эти кусочки воедино, то получим, что воздействие электромагнитного поля F на движение частицы с зарядом q и массой m описывается следующим образом:

$\partial_{\tau} \mathbf{u} = \cfrac{q}{m} F \mathbf{u}$

Длина 4-скорости u всегда равна 1. Любое изменение вектора u, параллельное самому u, изменит его длину, поэтому вектор, описывающий скорость его изменения, должен быть ортогонален u. Это означает, что F должна принадлежать особому классу матриц, таких, что при умножении любого вектора на F получается вектор, ортогональный исходному. Нетрудно показать, что этому условию удовлетворяет любая антисимметричная матрица – то есть матрица, равная транспонированной с обратным знаком: F_ij = –F_ji. Тогда, воспользовавшись соглашением Эйнштейна о суммировании, имеем:

$\mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u}) = u^i F_{ij} u^j = u^i (-F_{ij}) u^j = - \mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u})$ ,

откуда следует, что скалярное произведение должно быть равно нулю. Определение матрицы F в терминах A гарантирует ее антисимметричность.

Как будет выглядеть мировая линия частицы, движущейся в постоянном электромагнитном поле? В простейшем случае матрица F принимает следующий несложный вид:

$F_{ij} = b_i c_j - b_j c_i$ ,

где b и c – произвольные векторы, не параллельные друг другу. (Если b отличается от c только скалярным множителем, то правая часть обращается в нуль.) Для краткости мы будем использовать обозначение:

$F = \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$

Символ “∧” называется “внешним произведением”. В данном случае матричное произведение F на вектор u можно выразить через b и c:

$F \mathbf{u} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{c}$

Очевидно, что результатом такой операции всегда будет вектор, лежащий в плоскости, проходящей через векторы b и c. Кроме того, он будет зависеть только от проекции u на ту же самую плоскость; если же u ортогонален этой плоскости (иначе говоря, если b · u = c · u = 0), то F u будет равно нулю.

Полученный результат в общем случае будет соответствовать следующей диаграмме. Если u не лежит в плоскости, проходящей через векторы b и c и при этом не образует с ней прямой угол, частица будет продолжать движение перпендикулярно плоскости, сохраняя вдоль этого направления постоянную скорость, в то время как ее проекция на плоскость будет двигаться по кругу. В целом мировая линия частицы будет представлять собой винтовую линию.

ortnt_04_06

Если векторы, через которые проходит плоскость, с вашей точки зрения соответствуют направлениям в пространстве (другими словами, эта плоскость перпендикулярна вашей мировой линии), то круговая часть движения покажется вам движением в пространстве: частица будет либо двигаться по кругу в некоторой фиксированной плоскости, либо будет перемещаться в пространстве вдоль винтовой линии. Именно такое поведение в нашей Вселенной ассоциируется с магнитным полем. К примеру, в циклотроне – немного устаревшей разновидности ускорителя частиц – постоянное магнитное поле используется для того, чтобы заставить частицы подобным образом двигаться по кругу. В соответствии с соглашениями, применяемыми для описания магнитного поля, в качестве его направление выбирается перпендикуляр к плоскости движения частицы.

Если же плоскость содержит направление, которое вы считаете осью времени, то ускорение частицы в другом, пространственном, направлении той же плоскости будет описываться кривизной ее мировой линии. Когда заряженная частица подобным образом движется с ускорением в нашей Вселенной, мы считаем ее движение результатом воздействия электрического поля. В лоренцевой физике мировая линия ускоряющейся частицы представляет собой дугу гиперболы, а не окружности, но во всех прочих отношениях эффект остается тем же самым. Мы приписываем электрическому полю вектор, лежащий в той же плоскости.

Таким образом, простое электромагнитное поле вида F = b ∧ c можно воспринимать как:

магнитное поле, перпендикулярное обоим векторам b и c, если и b, и c представляют собой направления в пространстве;
электрическое поле с пространственным направлением, лежащим в плоскости, проходящей через векторы b и c, если эта плоскость содержит вашу ось времени.

Если плоскость нельзя однозначно отнести ни к одной из этих категорий, F будет восприниматься как комбинация электрического и магнитного полей.

Воспользуемся этими описаниями, чтобы понять, что именно происходит с поперечными и продольными модами риманова света. В общем случае, если:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

то электромагнитное поле описывается матрицей F вида:

$\mathrm{F} (\mathbf{x}) = (\mathbf{k} \wedge \mathbf{A}_0) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Предположим, что волновой вектор света зафиксирован в плоскости xt, а скорость света в направлении оси x равна 1, т.е. k = e_x + e_t. (На самом деле, эту сумму нужно домножить на некий коэффициент, чтобы удовлетворить условию |k| = ω_m, но в дальнейших рассуждениях значение ω_m не играет роли.)

Для начала рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как поперечную моду с A₀ = e_y. Плоскость, проходящая через векторы k и A₀ не является полностью пространственной и при этом не содержит нашу ось времени e_t, поэтому волна будет представлять собой смесь электрического и магнитного полей. Тем не менее, мы можем разделить F на две части, которые соответствуют электрическому и магнитному полям в нашей системе координат:

$F(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge \mathbf{e}_y) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = (\mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) + (\mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Первое слагаемое лежит в плоскости, проходящей через e_x и e_y, и представляет собой осциллирующее магнитное поле, направленное вдоль оси z. Второе слагаемое, лежащее в плоскости e_t и e_y, – это электрическое поле, направленное вдоль оси y. Эта ситуация довольно сильно напоминает поведение света в нашей Вселенной: электрическое поле, магнитное поле и направление движения волны взаимно перпендикулярны друг другу.

Теперь рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как продольную с A₀ = e_x – e_t.

$\mathrm{F}(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge (\mathbf{e}_x - \mathbf{e}_t)) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = 2 \mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_x \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Для упрощения внешних произведений мы воспользовались тем, что внешнее произведение любого вектора на самого себя равно нулю, а b ∧ c = –c ∧ b. Результатом является осциллирующее, чисто электрическое поле, направленное вдоль оси x, параллельно движению самого света.

Гребенчатая сила Кулона

Уравнение римановой векторной волны описывает 4-векторный потенциал A электромагнитного поля в вакууме – то есть в отсутствие какой-либо заряженной материи, которая могла бы породить соответствующее поле сама по себе. Однако РВВ-уравнение можно легко расширить, добавив в него “источник” – слагаемое, описывающее распределение зарядов:

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = \mathbf{0}$

(ВРВИ)

Четырехмерный вектор j, который мы только что добавили в уравнение, в данном случае несет очень простой смысл. Предположим, что в интересующей нас области пространства находится некая заряженная материя, причем плотность заряда с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно этой материи, равна ρ. Если 4-скорость заряженной материи равна u, то мы по определению считаем, что:

$\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}$

Напомним, что u – это единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела. Однако в каждой точке мировой линии имеется два таких вектора, направленных в противоположные стороны? Как нам выбрать правильный? В одном из направлений – с точки зрения наблюдателя, выбравшего u в качестве своей временной оси – материя будет иметь положительный заряд; в другом направлении тот же самый заряд будет казаться отрицательным. При переходе от одного варианта к другом ρ и u умножаются на -1, поэтому итоговый результат остается без изменений. Иными словами, выбор конкретного варианта не имеет значения.

Вектор j мы будем называть 4-током. Наблюдатель, который попытается измерить компоненты j, находясь в движении относительно заряженной материи, обнаружит как плотность заряда, j^t, так и плотность тока, с компонентами j^x, j^y и j^z, описывающими движение зарядов.

Одним из простейших и наиболее важных решений данного уравнения является так называемый кулоновский потенциал. Таким потенциалом обладает точечный заряд q, находящийся в покое относительно некой системы координат. Это, разумеется, идеализация, которая ко всему прочему отличается неприятной особенностью с точки зрения математики: плотность заряда вдоль мировой линии частицы равна бесконечности. Тем не менее, найти решение не так уж сложно. Подробности вывода этого решения можно найти в дополнительных материалах; здесь же мы просто воспользуемся готовым результатом. Если r – расстояние до частицы, то 4-векторный потенциал имеет вид:

$\mathbf{A}(r) = \cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r) \mathbf{e}_t$

Когда A, как и этот вектор, содержит только t-компоненту и при этом не меняется во времени, проще забыть о полном 4-векторном потенциале и ограничиться электрическим потенциалом φ, который равен A_t, взятому с обратным знаком.

Кулоновский потенциал

$\varphi(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r)$	(Риманов)
$\varphi(r) = \cfrac{q}{4 \pi r}$	(Лоренцев)

Электрический потенциал равен потенциальной энергии “пробной частицы” с единичным положительным зарядом – и, как и любая потенциальная энергия, меняющаяся от точки к точке, является источником силы. Проекция силы на любое из направлений равна скорости роста потенциала φ в этом же направлении, взятой с обратным знаком (частица будет ускоряться в направлении, противоположном росту потенциальной энергии, подобно камню, который скользит вниз по склону холма):

$\mathbf{f} = -(\partial_x \varphi \mathbf{e}_x + \partial_y \varphi \mathbf{e}_y + \partial_z \varphi \mathbf{e}_z)$ ,

что можно записать короче, воспользовавшись символом градиента “∇”:

$\mathbf{f} = -\nabla \varphi$

Чтобы проверить приведенное выше простое соотношение между φ и A^t достаточно убедиться в том, что оба потенциала порождают одну и ту же силу, действующую на пробную частицу.

Как выглядит φ? На верхней диаграмме показан электрический потенциал вокруг положительного заряда – в римановой и лоренцевой версии электромагнетизма. Нижняя диаграмма отображает аналогичный потенциал отрицательного заряда.

ortnt_04_07

ortnt_04_08

Между римановым и лоренцевым потенциалами есть два существенных отличия. В нашей Вселенной, как известно, разноименные заряды притягиваются, в то время как одноименные – отталкиваются. Однако в римановой Вселенной положительный заряд окружен не барьером, а потенциальной ямой, поэтому два одноименных заряда, находящихся достаточно близко друг к другу, будут притягиваться. Разноименные заряды на достаточно близком расстоянии будут, наоборот, отталкиваться.

Второе отличие заключается в том, что заряды могут притягиваться или отталкиваться в зависимости от расстояния между ними. Если в лоренцевой Вселенной электростатическая сила просто уменьшается с расстоянием, то в римановой Вселенной ее направление, помимо прочего, в зависимости от расстояния осциллирует между плюсом и минусом. Исходя из формы нашего решения φ, мы видим, что пространственная частота этих осцилляций совпадает с максимальной частотой света ν_max (так как ω_m = 2 π ν_max). Или, что то же самое, длина волны, соответствующая этим осцилляциям, равна минимальной длине световой волны: λ_min = 1 / ν_max.

В том, что наше решение A удовлетворяет уравнению ВРВИ, убедиться несложно; к тому же в осцилляциях потенциала нет ничего неожиданного, поскольку мы уже знаем, что плоской волне в ультрафиолетовом пределе также соответствует электромагнитное поле, которое, оставаясь неизменным во времени, осциллирует с пространственной частотой, равной ν_max. Уравнение требует, чтобы сумма квадратов частот во всех направлениях была постоянной, поэтому любое статическое поле, не меняющееся во времени, должно осциллировать в пространстве.

Но почему мы уверены в том, что уравнение соответствует действительности? Если мы изменим знак j в нашем уравнении, то получим аналогичное решение, взятое с обратным знаком – при этом одноименные заряды на близком расстоянии будут отталкиваться друг от друга. Что мешает нам отказаться от исходного предположения и допустить, что законы электромагнетизма в римановой Вселенной устроены именно так?

Простейший ответ – вспомнить то, что мы обсуждали в заметках об энергии и импульсе, когда выяснили, что полная релятивистская энергия в римановой Вселенной по своему смыслу противоположна потенциальной и кинетической. В лоренцевой Вселенной электрическое и магнитное поля обладают энергией, пропорциональной квадрату их напряженности. При наличии положительного и отрицательного заряда энергия поля будет падать по мере уменьшения расстояния между зарядами, поскольку их поля будут все лучше компенсировать друг друга. Однако в римановой Вселенной минимизация потенциальной энергии означает максимизацию энергии поля. Если два одноименных заряда находятся достаточно близко друг к другу, дальнейшее сближение приведет ко все более точному наложению полей, имеющих практически одинаковую форму, тем самым, уменьшая их взаимную компенсацию и увеличивая общую энергию поля.

Непопулярная электроника

В нашей Вселенной крошечные электрические поля, окружающие заряженные частицы – например, электроны, – могут легко усиливать друг друга вплоть до того, что их воздействие начинает приобретать видимый эффект. Стоит с десяток раз потереть пластмассовой ручкой о подходящую ткань, и она приобретет избыточный заряд, который, в свою очередь, создаст электрическое поле, достаточно сильное, чтобы поднять клочок бумаги, преодолев действующую на него силу тяготения. (Суммарный заряд самой бумаги равен нулю, однако под действием электрического поля ручки на поверхности бумаги происходит разделение зарядов.) Точное распределение зарядов по поверхности ручки особой роли не играет; пока имеется избыток заряд, все его составляющие будут усиливать друг друга, увеличивая тем самым электрическое поле вокруг ручки – причем это поле будет устойчивым как во времени, так и в пространстве, а его направление в достаточно протяженной области пространства будет оставаться более или менее постоянным и не изменится до тех пор, пока заряд медленно не утечет наружу.

В римановой Вселенной, вследствие пространственных осцилляций кулоновского потенциала, наличие избыточного заряда приводит к совершенно иному эффекту. Если у нас имеется большое число одинаковых частиц, расположенных случайным образом, то на небольшом расстоянии их вклад в потенциал окружающего поля будет как положительным, так и отрицательным, поэтому заряды в значительной степени скомпенсируют друг друга. Компенсация, конечно, будет неидеальной, но так или иначе остаточное поле будет представлять собой последовательность плотно расположенных “гор” и “долин”, в отличие от монотонного неосциллирующего поля, которое мы наблюдаем в лоренцевой Вселенной.

ortnt_04_09

Если заряды образуют упорядоченную структуру (как на следующей диаграмме), их взаимная компенсация может оказаться меньше, чем при случайном расположении, однако соответствующий ей потенциальный ландшафт по-прежнему будет осциллировать в пространстве. Ситуация, при которой пробная частица с положительным зарядом будет отталкиваться от подобного набора зарядов, изначально находясь справа от них в состоянии покоя, вполне возможна, однако воспроизвести этот эффект будет не так просто, как в случае его аналога в лоренцевой физике. Более того, любое тело, помещенное в такое поле, состоящее не из одной, а из нескольких частиц, будет испытывать на себе воздействие суммы отдельных сил, которые зависят от состояния поля во множестве различных точек пространства, что, в свою очередь, будет только усиливать взаимную компенсацию зарядов.

ortnt_04_10

Таким образом, электромагнитные явления в римановой Вселенной, будут проявлять чувствительность к детальным, микроскопическим особенностям распределения зарядов, и в общем случае их обнаружение и применение на практике будет сопряжено с большими трудностями, чем в нашей собственной Вселенной.

Аналогичными свойствами будет обладать и магнитное поле. В нашем мире взаимного усиления полей, созданных огромным числом микроскопических магнитных диполей, можно добиться просто за счет расположения их в одном и том же направлении; именно так устроены постоянные магниты. Однако в римановой Вселенной даже в случае параллельного расположения диполей каждый из них, в зависимости от расстояния, будет постоянно переключаться между двумя взаимно противоположными направлениями, поэтому в любой конкретной точке будет наблюдаться взаимная компенсация полей, созданных различными диполями на слегка различающихся расстояниях.

С другой стороны, несмотря на то, что описанные проблемы исключают простые и низкотехнологичные эксперименты, аналогичные тем, что дали нам первые подсказки насчет природы электромагнитного поля, их нельзя назвать непреодолимым препятствием. По мере того, как в дело вступают колебания во времени, сверхкороткие волны, при которых поля становятся такими капризными и проявляют склонность к взаимной компенсации, постепенно уступают место волнам большей длины. Изготовление электронных блоков, способных работать в схемах постоянного тока, потребует чрезвычайно высокой точности, в то время как аналогичные блоки, предназначенные для схем переменного тока с достаточно высокой частотой, будут обладать гораздо большей устойчивостью к дефектам.

Но какая частота является “достаточно большой”? Чтобы достичь длины волны, превышающей минимальную в десять раз, необходима частота не меньше 0.995 ω_m, поэтому в качестве платы за практически полезную устойчивость к пространственным дефектам обитателям риманового мира придется по сути иметь дело с самым высокочастотным электромагнитным излучением, какое только можно встретить в их Вселенной. Эта задача сама по себе потребует решения определенных технических проблем – но эти проблемы будут несколько иного рода, нежели трудности, с которыми сопряжено использование высокочастотного излучения в нашей собственной Вселенной и которые отчасти связаны не столько с частотой, сколько с длиной электромагнитных волн.

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.