Риманов электромагнетизм [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/04/EMExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Уравнения Прока в римановой Вселенной

Как бы изменился электромагнетизм в нашей Вселенной, если бы фотоны обладали массой? В 1930-х румынский физик Александру Прока в своей инновационной работе, посвященной объяснению слабого ядерного взаимодействия, обобщил уравнения Максвелла, разработав теорию массивных частиц, являющихся источником взаимодействия, аналогичного электромагнетизму. Заслуженная слава, по-видимому, обошла Прока стороной, но Вольфганг Паули упоминал о его результатах в своей нобелевской лекции 1946 г. Как вы, вероятно, догадались, исходя из связи со слабым взаимодействием, наличие массы покоя у соответствующей частицы-переносчика приводит к уменьшению радиуса действия силы. Если бы фотоны обладали массой в нашей Вселенной, то с увеличением расстояния кулоновский потенциал бы падал по экспоненте.

Тем не менее, кулоновский потенциал в римановой Вселенной, как мы уже убедились, не страдает от экспоненциального спада; вместо этого он осциллирует в пространстве. Вся разница состоит в переходе от геометрии Лоренца к геометрии Римана.

Чтобы получить риманову версию уравнений Прока, мы вначале рассмотрим уравнение векторной римановой волны с источником j, который мы называем 4-током, а также поперечное условие, которое мы накладываем на все векторные волны A, чтобы исключить решения, которые в действительности представляют собой замаскированные скалярные волны.

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = \mathbf{0}$	(ВРВИ)
$\partial _x A^x + \partial _y A^y + \partial _z A^z + \partial _t A^t = 0$	(Поперечное условие)

Из этой пары уравнений можно сразу же получить один замечательный результат:

(1) $\begin{equation*} \partial_x j^x + \partial_y j^y + \partial_z j^z + \partial_t j^t = 0 \end{equation*}$

который следует из поперечного условия и того факта, что 4-ток j представляет собой линейную комбинацию вектора A и его производных. Это утверждение выражает закон сохранения заряда: скорость ∂_t j^t, с которой плотность заряда возрастает со временем в некоторой точке пространства, противоположна дивергенции текущей плотности, или ∂_x j^x + ∂_y j^y + ∂_z j^z, которая описывает общее количество заряда, истекающего из малой окрестности данной точки.

Ранее мы уже обращали внимание на то, что ситуация, в которой вектор энергии-импульса вычисляется различными наблюдателями, сопряжена с серьезными проблемами, так как не существует никакого объективного критерия, позволяющего выбрать одно из двух возможных направлений этого вектора вдоль мировой линии тела. В случае 4-тока подобная проблема не возникает, поскольку он определяется как j = ρ u, где ρ – это плотность заряда в системе отсчета, связанной с самой заряженной материей, а значит, меняя знак u, мы одновременно меняем и знак ρ, поскольку обращенный во времени положительный заряд ведет себя как отрицательный и наоборот. (Разумеется, выбор наименований “положительный” и “отрицательный” по отношению к зарядам – это всего лишь вопрос договоренности, однако этот выбор можно сделать в глобальном масштабе, раз и навсегда.)

Так же, как и в обычной теории электромагнетизма, мы определяем электромагнитное поле F в терминах вектора A:

(2) $\begin{equation*} F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a \end{equation*}$

В данном случае величины A_a являются компонентами дуального вектора, соответствующего вектору A. Это отличие полезно иметь в виду, несмотря на то, что в римановом пространстве при использовании ортонормированной прямоугольной системы координат компоненты векторов, как, например, A^a совпадают с компонентами соответствующих дуальных векторов – таких, как A_a. В лоренцевом пространстве-времени это верно только отчасти; так, A_x = A^x, A_y = A^y и A_z = A^z, но при этом A_t = –A^t.

Предположим, что мы выбрали три координаты и обозначили их a, b и c. Тогда непосредственно из определения F и того факта, что производные коммутируют друг с другом (то есть ∂_a ∂_b = ∂_b ∂_a), имеем:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} &\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = \\ & =\partial_a (\partial_b A_c - \partial_c A_b) + \partial_b (\partial_c A_a - \partial_a A_c) + \partial_c (\partial_a A_b - \partial_b A_a) = \\ & = 0 \end{split} \end{equation*}$

Кроме того, из определения F следует, что:

(4) $\begin{equation*} \begin{split} & \partial_b F^{ab} = \\ & = \partial_b (\partial^a A^b - \partial^b A^a) = \\ & = \partial^a (\partial_b A^b) - \partial_b \partial^b A^a = \\ & = - \partial_b \partial^b A^a \end{split} \end{equation*}$

где мы воспользовались соглашением Эйнштейна о суммировании, а ∂_b A^b исчезает в силу поперечного условия.

Подставив выражение (4) в риманово уравнение векторной волны с источником, (ВРВИ), мы получаем риманово уравнение Прока. У нас также есть уравнение (3), которое следует исключительно из определения F и, следовательно, является общим для римановой и лоренцевой версий электромагнетизма. Для сравнения показаны уравнения Максвелла в четырехмерной форме. В этих уравнениях и всех последующих выкладках мы выбираем единицы измерения таким образом, чтобы скорость света и электрическая постоянна ε₀ были равны 1. Кроме того, в качестве сигнатуры лоренцевой метрики мы используем (– + + +), в отличие от (+ – – –), применяемой некоторыми авторами.

Римановы уравнения Прока

$\partial_b F^{ab} - \omega_m^2 A^a - j^a = 0$	(Риманова часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Уравнения Максвелла

$\partial_b F^{ab} - j^a = 0$	(Лоренцева часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Судьба Гаусса и Ампера

Четырехмерные уравнения римановой теории электромагнетизма довольно компактны, но для того, чтобы четко представить поведение поля в различных ситуациях, а также сравнить его с соответствующими аналогами в лоренцевой физике, будет полезно перевести эти уравнения в трехмерную форму, в которой все величины выражены не через электромагнитное поле F, а через два трехмерных векторных поля: электрическое E и магнитное B.

Общие свойства

Мы начнем с нескольких определений. В качестве компонент электрического поля E мы берем компоненты электромагнитного поля F, у которых на первом месте стоит тот же самый пространственный индекс, а на втором – t, в то время как компонентой магнитного поля B в заданном пространственном направлении будет компонента F, индексы которой соответствуют двум другим пространственным направлениям с сохранением циклического порядка xyz.

Электрическое поле, E

$(E_x, E_y, E_z) = (F_{xt}, F_{yt}, F_{zt})$

(Общая часть)

Магнитное поле, B

$(B_x, B_y, B_z) = (F_{yz}, F_{zx}, F_{xy})$

(Общая часть)

Электромагнитное поле, F
(в качестве сигнатуры лоренцевой метрики используется (– + + +))

$F_{ab} = \left(\begin{array}{cccc}0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&B_z&-B_y\\ E_y&-B_z&0&B_x\\ E_z&B_y&-B_x&0\end{array}\right)$

(Общая часть)

Заметим, что в приведенной выше матрице первый индекс F обозначает номер строки, второй индекс – номер столбца, а t-компоненты занимают первую строку и первый столбец. Поэтому, например, F_xt обозначает элемент, находящийся на пересечении первого столбца и второй строки.

Скалярный электростатический потенциал φ определяется как временная компонента (дуального) 4-потенциала A, взятая с обратным знаком. Оставшаяся часть A представляет собой трехмерный векторный потенциал электромагнитного поля, A₍₃₎.

Электростатический потенциал, φ

$\varphi = -A_t$

(Общая часть)

Векторный потенциал электромагнитного поля, A₍₃₎

$(A_{(3)x}, A_{(3)y}, A_{(3)z}) = (A_x, A_y, A_z)$

(Общая часть)

Наконец, плотность заряда ρ и трехмерную плотность тока j₍₃₎ мы определяем в терминах вектора 4-тока j.

Плотность заряда, ρ

$\rho = j^t$

(Общая часть)

Плотность тока, j₍₃₎

$(j_{(3)}^x, j_{(3)}^y, j_{(3)}^z) = (j^x, j^y, j^z)$

(Общая часть)

Все эти определения – в предложенной нами форме, с точным соблюдением расстановки верхних и нижних индексов – остаются неизменными как в римановой, так и в лоренцевой физике. Но если вы захотите сравнить их с определениями, приводимыми в различной литературе, посвященной лоренцевой физике, помните о том, что поднимая или опуская индекс t, вы получите величину, противоположную исходной. Кроме того, обратите внимание на то, что некоторые авторы используют лоренцеву метрику с сигнатурой (+ – – –), в то время как наши формулы построены на сигнатуре (– + + +).

Помимо выражения F через 4-потенциал A посредством уравнения (2), эти определения позволяют нам описать электрическое поле как величину, противоположную градиенту его потенциала φ за вычетом скорости изменения магнитного потенциала, а магнитное поле – как ротор соответствующего потенциала A₍₃₎. То же самое, опять-таки, верно и в традиционной версии электромагнетизма.

Связь полей с потенциалами

$\mathbf{E} = -\nabla \varphi - \partial_t \mathbf{A}_{(3)}$	(Общая часть)
$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}_{(3)}$	(Общая часть)

Далее рассмотрим четырехмерную силу f, действующую на частицу с зарядом q и 4-скоростью u:

(5) $\begin{equation*} \mathbf{f} = qF\mathbf{u} \end{equation*}$

Скорость изменения вектора энергии-импульса частицы, P, относительно ее собственного времени τ представляет собой 4-силу, поэтому данное выражение эквивалентно следующему:

(6) $\begin{equation*} \partial_{\tau} \mathbf{P} = qF\mathbf{u} \end{equation*}$

Заметим теперь, что пространственная часть P совпадает с трехмерным импульсом p, в то время как пространственная часть u немного отличается от обычной скорости v. Обычная скорость описывает быстроту изменения координат частицы относительно координатного времени t, в то время как пространственная часть u характеризует быстроту изменения относительно собственного времени τ – иными словами, пространственная часть u равна (dt/dτ) v. Мы, однако же, можем избавиться от множителя (dt/dτ), перейдя к скорости изменения p по отношению к координатному времени.

Результатом будет так называемая сила Лоренца. Эта формула тоже является общей в римановой и лоренцевой версиях электромагнетизма (хотя влияние релятивистского движения на импульс частицы p в каждом случае, разумеется, будут отличаться).

Сила Лоренца

$\partial_t \mathbf{p} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$

(Общая часть)

Теперь мы перейдем от ограничений, наложенных на F в определении (3), к соответствующим следствиям относительно E и B. Если в качестве индексов a, b, c в уравнении (3) мы возьмем x, y и z, то получим, что дивергенция вектора B должна быть равна нулю. Это утверждение известное как теорема Гаусса для магнитного поля, выражает отсутствие магнитных монополей (что справедливо для общепринятого варианта электромагнетизма, хотя в некоторых неподтвержденных теориях такие монополи все же существуют).

Если же в качестве a, b, c в уравнении (3) взять t и два пространственных индекса – для каждой из трех пар пространственных координат – то окажется, что сумма ротора E и скорости изменения B во времени равна нулю. Это так называемый закон электромагнитной индукции Фарадея, который описывает формирование электрического поля под действием переменного магнитного.

Теорема Гаусса для магнитного поля

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

(Общая часть)

Закон электромагнитной индукции Фарадея

$\nabla \times \mathbf{E} + \partial_t \mathbf{B} = 0$

(Общая часть)

Отличия

Теперь мы, наконец, можем перейти к отличиям между римановой и лоренцевой версиями электромагнетизма, которые возникают в результате замены уравнения Максвелла, содержащего источник поля, на риманово уравнение Прока.

Подставив t в качестве индекса a в римановых уравнениях Прока или уравнениях Максвелла, мы получаем два варианта теоремы Гаусса, которая в случае уравнений Максвелла говорит нам о том, что линии потока электрической индукции начинаются и заканчиваются только на самих зарядах. В случае уравнений Римана-Прока это уже не так: силовые линии возникают из вакуума, причем электростатический потенциал в этом отношении ведет себя в точности как плотность заряда.

Теорема Гаусса

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \omega_m^2 \varphi - \rho$	(по Риману)
$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho$	(по Лоренцу)

Если же в качестве индекса a в римановых уравнениях Прока или уравнениях Максвелла взять пространственные координаты, то получатся два варианта теоремы о циркуляции магнитного поля (также известной, как теорема Ампера), которая описывает формирование магнитного поля под действием электрического тока, или переменного электрического поля – в римановом случае возникающего непосредственно из векторного электромагнитного потенциала.

Теорема о циркуляции магнитного поля

$\nabla \times \mathbf{B} + \partial_t \mathbf{E} = \omega_m^2 \mathbf{A}_{(3)} + \mathbf{j}_{(3)}$	(по Риману)
$\nabla \times \mathbf{B} - \partial_t \mathbf{E} = \mathbf{j}_{(3)}$	(по Лоренцу)

Примеры из электростатики

Кулоновский потенциал

Мы уже рассматривали риманов аналог кулоновского потенциала в основной статье, посвященной электромагнетизму. Теперь у нас есть все необходимое для его вывода.

Нас будет интересовать поле, окружающее точечный заряд q, покоящийся в нашей системе координат. Такая конфигурация не меняется во времени и обладает точной радиальной симметрией в пространстве, поэтому наша задача по сути является одномерной, и все величины можно представить в виде функций расстояния r, на котором расположен заряд.

Любопытная особенность, которую привносит в эту картину риманов электромагнетизм, состоит в том, что силовые линии электростатического поля – которые в случае лоренцева электромагнетизма всегда начинаются и заканчиваются на электрических зарядах – теперь могут обрываться посреди вакуума, причем величина этого эффекта зависит от потенциала поля. На следующей диаграмме стрелки указывают направление электрического поля – однако изображены на ней не сами векторы, а линии индукции: соответственно, напряженность поля отображается не длиной линий, а плотностью их расположения.

ortnt_04x_01

С точки зрения математики основная трудность, которая присутствует и в лоренцевом случае, заключается в том, что плотность заряда в точке, соответствующей самой частице, обращается в бесконечность. Обойти это можно, воспользовавшись объемным интегралом от плотности заряда; интегрирование по области, включающей в себя заряженную частицу, даст конечное значение q. Но наши уравнения записаны в дифференциальной форме, поэтому, в первую очередь, их нужно привести к более подходящему виду. Для этого мы воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского, теоремой из области чистой математики, в соответствии с которой для любого векторного поля E и произвольной области пространства интеграл от скалярного произведения E на обращенную наружу нормаль к поверхности этой области равен объемному интегралу от дивергенции E:

(7) $\begin{equation*} \iint \limits_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint \limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} dV \end{equation*}$

В качестве векторного поля E мы возьмем электростатическое поле, а в качестве области интегрирования выберем сферу радиуса r вокруг нашего точечного заряда. Мы ожидаем, что электростатический потенциал φ будет зависеть только от r, а электрическое поле – исходя из радиальной симметрии задачи – будет направлено вдоль радиуса к заряду или, наоборот, от него. Учитывая статический характер задачи, мы можем выразить E в терминах одного лишь электростатического потенциала, а именно:

(8) $\begin{equation*} \mathbf{E}(r) = -\nabla \varphi(r) = -\varphi'(r) \mathbf{e}_r \end{equation*}$

где e_r – единичный вектор, направленный в сторону от заряда. Риманова версия теоремы Гаусса позволяет представить ∇ · E в виде функции плотности зарядов ρ и электростатического потенциала φ. Мы применим это соотношение совместно с (8) к интегралам (7), взятым по сферической области, окружающей заряженную частицу. Кроме того, мы воспользуемся тем, что любой объемный интеграл от ρ, взятый по области пространства, содержащей заряд, равен q. Разделив обе части на 4 π, имеем:

(9) $\begin{equation*} -r^2 \varphi'(r) = \omega_m^2 \int \limits_0^r \varphi(s) s^2 ds - \cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

Теперь мы воспользуемся догадкой, основанной на нашем знании традиционной электростатики, предположив, что сможем упростить ситуацию, представив φ в виде некоторой функции f(r), деленной на r:

(10) $\begin{equation*} \varphi(r) = \cfrac{f(r)}{r} \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} \varphi'(r) = \cfrac{f'(r)}{r} - \cfrac{f(r)}{r^2} \end{equation*}$

Переписав уравнение (9) через функцию f, получаем (12); затем мы подставим в (12) r = 0, что даст нам (12a):

(12) $\begin{equation*} f(r) - r f'(r) = \omega_m^2 \displaystyle \int \limits_0^r \varphi(s) s^2 ds - \cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

(12a) $\begin{equation*} f(0) = -\cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

Дифференцируя (12) по r, получаем (13), откуда после несложных преобразований следует (14):

(13) $\begin{equation*} -rf''(r) = \omega_m^2 f(r) \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} f''(r) + \omega_m^2 f(r) = 0 \end{equation*}$

Дифференциальное уравнение (14) хорошо известно; его общее решение имеет вид:

(15) $\begin{equation*} f(r) = C_1 \cos (\omega_m r) + C_2 \sin (\omega_m r) \end{equation*}$

Из уравнения (12a) следует, что C₁ = – q / (4 π).

Как быть с C₂? При любом значении C₂ мы получим корректное решение нашей задачи, но поскольку это слагаемое не имеет никакого отношения к нашему точечному заряду q, мы положим C₂ равным нулю. По аналогии с традиционной теорией электромагнетизма наиболее общее решение задачи зачастую содержит некоторую форму излучения, которое просто пронизывает интересующую нас область пространства – в данном случае это радиально симметричное излучение, которое оказывается неподвижным в системе отсчета, связанной с зарядом.

Итак, мы вывели риманов аналог кулоновского потенциала. Ниже мы также приводим формулу соответствующего электрического поля E = –∇φ.

Кулоновский потенциал

$\varphi(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r} \cos (\omega_m r)$	(по Риману)
$\varphi(r) = \cfrac{q}{4 \pi r}$	(по Лоренцу)

Кулоновское поле

$\mathbf{E}(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r^2} (\cos (\omega_m r) + \omega_m r \sin (\omega_m r)) \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \cfrac{q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Функция Грина в римановом электромагнетизме

Зная кулоновский потенциал отдельного неподвижного точечного заряда, мы в принципе можем рассчитать электрическое поле, соответствующее произвольному статическому распределению зарядов, просто взяв соответствующий интеграл по источнику поля. Тем не менее, нам пригодится и более фундаментальное решение уравнений римановой электродинамики: а именно, решение, связанное с мгновенной “вспышкой” заряда, который появляется в определенном событии 4-пространства, а затем сразу же исчезает. Такое поведение, очевидно, нарушает закон сохранения заряда, однако интегрируя решение по мировым линиями произвольного количества зарядов, обладающих полной историей, можно найти решение, при котором суммарный заряд будет сохраняться.

Подобное фундаментальное решение называется функцией Грина.

Для начала мы рассмотрим четырехмерные вращательно симметричные решения уравнения скалярной римановой волны без источника. Это четырехмерное уравнение Гельмгольца, которое с учетом 4-вращательной симметрии принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения для функции G, зависящей от единственной переменной s, расстояния от начала координат в 4-пространстве:

(16) $\begin{equation*} G''(s) + \cfrac{3}{s}G'(s) + \omega_m^2 G(s) = 0 \end{equation*}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

(17) $\begin{equation*} G(s) = \cfrac{C_1}{s}J_1(\omega_m s) + \cfrac{C_2}{s}Y_1(\omega_m s) \end{equation*}$

где J₁ и Y₁ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Несмотря на то, что это решение соответствует уравнению без источника в случае s>0, функция Бесселя Y₁ стремится к минус бесконечности, когда s приближается к нулю, что указывает на наличие особенности, которую мы ожидаем увидеть в функции Грина, описывающей точечный заряд.

В случае точечного неподвижного заряда мы можем явным образом проинтегрировать G вдоль всей его мировой линии, перейдя от переменной t, временной координаты вдоль мировой линии, к s = √(r² + t²), четырехмерному расстояния между событием, находящимся на этой мировой линии, и событием, удаленным от нашего точечного заряда на пространственное расстояние r. Воспользовавшись соотношениями t = √(s² – r²) и dt = (s/t) ds, имеем:

(18) $\begin{equation*} \begin{split} & \displaystyle \int \limits_{-\infty}^{\infty} G(\sqrt{r^2 + t^2}) dt = \\ & = \displaystyle 2 \int \limits_r^{\infty} G(s) \cfrac{s}{\sqrt{s^2 - r^2}} ds = \\ & = \displaystyle 2 \int \limits_r^{\infty} \cfrac{C_1 J_1(\omega_m s) + C_2 Y_1(\omega_m s)}{\sqrt{s^2 - r^2}} ds = \\ & = \displaystyle \cfrac{2(C_1 \sin(\omega_m r) - C_2 \cos (\omega_m r))}{\omega_m r} \end{split} \end{equation*}$

Отсюда можно, в частности, получить риманову версию кулоновского потенциала точечной частицы с зарядом q, положив C₁ = 0 и C₂ = q ω_m / (8 π).

Мы провели вычисления для скалярного потенциала φ, однако наибольшую пользу этот результат принесет, если его выразить в терминах 4-векторов. С этой точки зрения каждый бесконечно малый сегмент мировой линии частицы вносит свой вклад в 4-потенциал A, параллельный 4-скорости частицы u. Мы добавляем знак “минус”, поскольку φ = –A_t.

Функция Грина
Заряд частицы равен q.
Ее мировая линия y(τ) параметризована собственным временем τ.
Ее 4-скорость u(τ) = ∂_τy(τ).
4-потенциал A рассчитывается для события x.

$d\mathbf{A}(\mathbf{x}) = -\mathbf{u}(\tau)\cfrac{q\omega_m}{8 \pi} \cfrac{Y_1 (\omega_m |\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|)}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|} d\tau$

(по Риману)

Мы не будем приводить здесь лоренцев аналог, поскольку это потребует существенного отступления, необходимого для объяснения всех тонкостей и отличий. Отметим лишь, что так называемые потенциалы Лиенара-Вихерта для данного события зависят только от местоположения и 4-скорости заряда на пересечении его мировой линии со световым конусом прошлого по отношению к событию, для которого мы вычисляем A. Другими словами, в лоренцевой физике, как вы, вероятно, и ожидали, на величину A влияет лишь информация о частице, движущейся из прошлого со скоростью света.

Приведенная нами риманова функция Грина не делает различий между прошлым и будущим. Это не вызовет затруднений в случае задач из области электростатики и магнитостатики, но при этом следует иметь в виду, что если она применяется к ситуациям, в которым происходит генерация электромагнитных волн, порождаемые ею решения будут содержать как входящие, так и исходящие волны.

Электрические диполи

Электрический диполь представляет собой пару, состоящую из положительного и отрицательного точечных зарядов равной силы, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга. Если расстояние между зарядами невелико, они, вообще говоря, будут взаимно компенсировать свои кулоновские потенциалы, образуя при этом характерное остаточное дипольное поле.

Чтобы нам было проще представить форму этого поля, можно рассмотреть предельный случай, при котором расстояние между зарядами постепенно уменьшается с одновременным возрастанием величины их зарядов. Если мы определим дипольный момент p как произведение вектора перемещения, направленного от отрицательного заряда к положительному, на величину (положительного) заряда, то далее можно перейти к пределу в предположении, что p остается постоянной и конечной величиной при том, что расстояние между зарядами стремится к нулю, а их величина – к бесконечности.

Самый простой способ вычисления этого предела – продифференцировать кулоновский потенциал вдоль направления, противоположного выбранному дипольному моменту. Форма получаемого в результате потенциала показана на следующей диаграмме, а соответствующие формулы для потенциала и напряженности электрического поля приведены в таблице ниже. В данном случае r – это трехмерный вектор, проведенный из местоположения диполя к точке, в которой вычисляется значения поля, а r – его модуль.

ortnt_04x_02

Потенциал электрического диполя

$\varphi(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos (\omega_m r) + \omega_m r \sin (\omega_m r))$	(по Риману)
$\varphi(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Напряженность электрического поля диполя

	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \cfrac{(3 \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r} - r^2 \mathbf{p}}{4 \pi r^5}$	(по Лоренцу)

Если вы испытали ощущение дежавю при виде потенциала риманова диполя, то, скорее всего, уже видели похожую диаграмму, когда речь шла о потенциале осциллирующего диполя в традиционной теории электромагнетизма. По сути поле статического риманова диполя в точности совпадает с пространственной составляющей стоячей волны, которую в обычном электромагнетизме можно представить в виде суммы входящего и исходящего излучения, соответствующего осциллирующему диполю.

Заряженные сферические оболочки

Предположим, что суммарный заряд Q равномерно распределен по сферической оболочке радиуса R. В лоренцевой теории электромагнетизма хорошо известно, что потенциал снаружи такой сферы в точности совпадает с потенциалом, который бы создал точечный заряд, находящийся в ее центре, в то время как потенциал внутри сферы является постоянным. Но в римановой Вселенной результат совершено иной! Как при интегрировании вкладов отдельных зарядов по всей поверхности сферы, так и при использовании соответствующей формы теоремы Гаусса, мы получаем:

Равномерно заряженная сфера
Радиус сферы: R, суммарный заряд: Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases} -\cfrac{Q}{4 \pi \omega_m R r} \cos(\omega_m R) \sin (\omega_m r) & r < R \\ -\cfrac{Q}{4 \pi \omega_m R r} \sin(\omega_m R) \cos(\omega_m r) & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{Q}{4 \pi R} & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Напряженность поля:

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} -\cfrac{Q \cos(\omega_m R)}{4 \pi \omega_m R r^2} (\sin(\omega_m r) - \omega_m r \cos(\omega_m r)) \mathbf{e}_r & r < R \\ -\cfrac{Q \sin(\omega_m R)}{4 \pi \omega_m R r^2} (\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r)) \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

В римановом случае внешний потенциал оболочки совпадает с потенциалом точечного заряда с дополнительным множителем sin(ω_m R) / (ω_m R), в то время как внутренний потенциал меняет местами роли r и R.

Несмотря на то, что внутренний потенциал, вообще говоря, не является постоянным, при определенных значениях R либо внутренний, либо внешний потенциалы обращаются в нуль. Внутренний потенциал становится равным нулю, когда ω_m R представляет собой нечетное кратное π/2, или, что то же самое, R является нечетным кратным четверти минимальной длины волны λ_min. Внешний потенциал обнуляется, если ω_m R кратно π, или, что то же самое, R кратен половине λ_min.

Конечно, точная компенсация потенциалов существенно зависит от точной геометрии распределения зарядов. Тем не менее, в общем случае внешний потенциал будет заметно снижен по сравнению с потенциалом точечного заряда.

ortnt_04x_03

Заряженные шары

Интегрируя результаты, полученные для сферических оболочек, мы можем получить потенциал и электрическое поле, соответствующие заряду Q, равномерно распределенному по объему некоторого шара.

В лоренцевом случае потенциал и напряженность поля снаружи заряженного шара – так же, как и в случае сферической оболочки – просто совпадают с аналогичными величинами точечного заряда, сосредоточенного в центре шара. Внутреннее поле обусловлено той частью шара, которая находится ближе к его центру, чем интересующая нас точка, поэтому оно линейно возрастает с увеличением расстояния от центра, в то время как потенциал зависит от этого расстояния квадратично.

Равномерно заряженный шар
Радиус шара: R, суммарный заряд: Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{3Q}{4 \pi \omega_m^2 R^3} \left(1 - (\cos(\omega_m R) + \omega_m R \sin(\omega_m R))\cfrac{\sin(\omega_m r)}{\omega_m r} \right) & r < R \\ \cfrac{-3Q \cos(\omega_m r)}{4 \pi \omega_m^3 R^3 r}(\sin(\omega_m R) - \omega_m R \cos(\omega_m R)) & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{Q}{8 \pi R} \left(3 - \left(\cfrac{r}{R}\right)^2 \right) & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Напряженность поля:

	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \begin{cases}\cfrac{Qr}{4 \pi R^3} \mathbf{e}_r & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

В римановом случае внешний потенциал и напряженность поля отличаются от соответствующих величин точечного заряда только множителем, зависящим от размера сферы:

$\cfrac{3(\sin (\omega_m R) - \omega_m R \cos(\omega_m R))}{\omega_m^3 R^3}$

Этот множитель осциллирует относительно R, а его первый нуль приходится на R ≈ 0.715 λ_min.

Внутренний потенциал состоит из двух слагаемых: первое зависит от R, но не осциллирует, второе – осциллирует относительно как R, так и r. Осциллирующую часть можно обратить в нуль, выбрав подходящее R – при этом потенциал будет постоянным внутри сферы; минимальное R, при котором достигается этот эффект, приблизительно равно 0.445 λ_min.

ortnt_04x_04

Конденсаторы

Представим себе две концентрические заряженные сферы, причем их заряды равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Такая система образует заряженный конденсатор. Реальные конденсаторы, применяемые в электронных схема[, как правило, устроены намного сложнее, но благодаря этой простой геометрии, мы сможем произвести расчеты, которые продемонстрируют нам, как действуют конденсаторы в римановой Вселенной.

Сферический конденсатор
Радиус внутренней обкладки: R₁, полный заряд: –Q
Радиус внешней обкладки: R₂, полный заряд: +Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q \sin (\omega_m r) (R_2 \cos(\omega_m R_1) - R_1 \cos(\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q(R_2 \cos(\omega_m r) \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m r) \cos (\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q \cos (\omega_m r) (R_2 \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q(R_1 - R_2)}{4 \pi R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q(r - R_2)}{4 \pi r R_2} & R_1 < r < R_2 \\0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Напряженность поля:

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (\sin(\omega_m r) - \omega_m r \cos(\omega_m r)) \\ (R_2 \cos(\omega_m R_1) - R_1 \cos(\omega_m R_2)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (R_1 \cos(\omega_m R_2) (\omega_m r \cos(\omega_m r) - \sin(\omega_m r)) + \\ + R_2 \sin(\omega_m R_1) (\omega_m r \sin(\omega_m r) + \cos(\omega_m r))) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (\omega_m r \sin(\omega_m r) + \cos(\omega_m r)) \\ (R_2 \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m R_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ -\cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Емкость:

$C = \cfrac{8 \pi \omega_m R_1^2 R_2^2}{4 R_1 R_2 \sin(\omega_m R_1) \cos(\omega_m R_2) - R_1^2 \sin(2 \omega_m R_2) - R_2^2 \sin(2 \omega_m R_1)}$	(по Риману)
$C = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$	(по Лоренцу)

В лоренцевом конденсаторе потенциал всегда будет возрастать от отрицательного значения на внутренней обкладке до нуля на внешней, в то время как напряжение между обкладками определяется положительной величиной:

$V = \varphi (R_2) - \varphi (R_1) = \cfrac{Q(R_2 - R_1)}{4 \pi R_1 R_2}$

Коэффициент пропорциональности между суммарным положительным зарядом и разницей потенциалов называется емкостью конденсатора, C.

$C = \cfrac{Q}{V} = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

В римановом случае разность потенциалов между обкладками также будет пропорциональна полному заряду, а емкость можно определить аналогичным образом, однако соответствующая формула (приведенная в таблице выше) выглядит заметно сложнее и зависит от масштаба расстояний, определяемого минимальной длиной световой волны. В принципе емкость риманова конденсатора может быть как положительной, так и отрицательной, и даже бесконечной. Бесконечная емкость означает, что конденсатор может накапливать сколь угодно большой заряд, не создавая разницы потенциалов между самим обкладками – при том, что электрическое поле с увеличением заряда также будет расти. При отрицательной емкости потенциал положительной обкладки будет ниже, чем у отрицательной, поэтому при их соединении положительная обкладка будет притягивать дополнительный положительный заряд. Обычный конденсатор в случае короткого замыкания разряжается; конденсатор с отрицательной емкостью в случае короткого замыкания, наоборот, увеличивает свой заряд.

ortnt_04x_05

Этот процесс, очевидно, может выйти из-под контроля, и пока что в нашем (крайне упрощенном) анализе нет никаких указаний на его продолжительность. Тем не менее, более детальная модель контура с отрицательной емкостью, в которой учитываются свойства всех применяемых материалов, показывает, что рано или поздно процесс накопления заряда останавливается из-за разного рода осложнений. Аналогичным образом тот факт, что кулоновский потенциал в римановой электростатике сам по себе допускает притягивание одноименных зарядов, на первый взгляд, грозит тем, что в римановой Вселенной все отрицательные заряды могут просто сгруппироваться в одном месте – однако подобный сценарий не учитывает квантовые эффекты, ограничивающие накопление одноименно заряженных частиц.

Важно также отметить, что рассмотренная нами ситуация представляет собой идеальную модель, в которой оболочки являются абсолютно гладкими, а их заряд равномерно распределен по поверхности – с погрешностью, намного меньшей минимальной длины волны. При наличии неровностей большего размера получится устройство, сочетающее положительную и отрицательную емкость, что в свою очередь приведет к компенсационным эффектам, ослабляющим любые электростатические явления в римановой Вселенной.

Кроме того, весь приведенный нами анализ исходит из предположения о том, что любые изменения заряда и напряжения происходят крайне медленно. Конденсаторы в условиях переменного тока будут рассмотрены далее.

Примеры из магнитостатики

Линейный проводник с током

Представим себе длинный, тонкий, прямой провод, по которому течет ток силой I. Риманова версия теоремы о циркуляции позволяет выразить ротор магнитной индукции, ∇ × B, как функцию плотности тока и трехмерного электромагнитного потенциала A₍₃₎. Но поскольку мы хотим представить ток, сконцентрированный в бесконечно тонком проводе, в целях удобства имеет смысл привести эту теорему к интегральной форме, воспользовавшись формулой Кельвина-Стокса, которая соотносит поверхностный интеграл от ротора векторного поля с криволинейным интегралом, взятым вдоль границы соответствующей поверхности:

(19) $\begin{equation*} \int_S (\nabla \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{n} = \int_{\partial S} \mathbf{B} \cdot \mathbf{t} \end{equation*}$

Здесь n – единичная нормаль к поверхности S, а t – единичный касательный вектор ее границы ∂S, направленный против часовой стрелки при обходе поверхности, если мы смотрим на нее “сверху”, причем выбор направления “вверх” определяется вектором n.

Если в качестве поверхности мы выберем диск радиуса r, так что проводник будет проходить через его центр перпендикулярно плоскости диска, то из соображений симметрии ожидаем, что векторный электромагнитный потенциал A₍₃₎ будет направлен параллельно проводнику и будет зависеть только от расстояния r до проводника. Если мы расположим ось z вдоль проводника, то:

(20) $\begin{equation*} \mathbf{A}_{(3)}(r) = A(r)\mathbf{e}_z \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} \begin{split} \mathbf{B}(r) &= \nabla \times \mathbf{A}_ {(3)}(r) = \\ & = \partial_y A(r) \mathbf{e}_x - \partial_x A(r) \mathbf{e}_y = \\ & = A'(r)(\cfrac{y}{r} \mathbf{e}_x - \cfrac{x}{r} \mathbf{e}_y) = \\ & = -A'(r) \mathbf{e}_{\varphi} \end{split} \end{equation*}$

где e_φ – единичное векторное поле, направленное против часовой стрелки относительно проводника с током. Применив теорему Стокса, уравнение (19) и теорему о циркуляции магнитного поля, имеем:

(22) $\begin{equation*} I + 2 \pi \omega_m^2 \int \limits_0^r A(s) s ds = -2 \pi r A'(r) \end{equation*}$

Разделив обе части на 2π и продифференцировав по r, после несложных преобразований получаем:

(23) $\begin{equation*} A''(r) + \cfrac{A'(r)}{r} + \omega_m^2 A(r) = 0 \end{equation*}$

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(24) $\begin{equation*} A(r) = C_1 J_0(\omega_m r) + C_2 Y_0(\omega_m r) \end{equation*}$

где J₀ и Y₀ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Дифференцируя эти функции, имеем:

(25) $\begin{equation*} A'(r) = -\omega_m (C_1 J_1(\omega_m r) + C_2 Y_1(\omega_m r)) \end{equation*}$

Теперь, принимая во внимание этот результат, вычислим предел правой части уравнения (22) при r→0:

(26) $\begin{equation*} \lim \limits_{r \rightarrow 0} (-2 \pi r A'(r)) = -4C_2 \end{equation*}$

в то время как тот же самый предел, взятый по левой части уравнения (22) равен просто силе тока I. Таким образом, C₂ = –I/4. Постоянная C₁ остается неопределенной, но ее, как и в случае с выводом уравнения кулоновского потенциала, мы будем считать неподвижным полем излучения, которое приходит из прошлого и не имеет отношения к самому току I.

Векторный электромагнитный потенциал линейного тока:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I}{4}Y_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I}{2 \pi} \ln r \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Магнитная индукция линейного тока:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I \omega_m}{4} Y_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi}$	(по Риману)
$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{2 \pi r} \mathbf{e}_{\varphi}$	(по Лоренцу)

В силу осциллирующего характера функций Бесселя магнитное поле, окружающее ток, меняет свое направление в том же масштабе, что и электрическое поле вокруг точечного заряда.

Поскольку в непосредственной близости от проводника магнитное поле имеет одно и то же направление как в лоренцевом, так и в римановом случаях, и поскольку сила Лоренца в обоих случаях одинакова, то в теории два достаточно близких (и тонких) проводника с параллельными токами будут притягиваться друг к другу. Тем не менее, на объектах, ширина которых превосходит длину волны упомянутых колебаний, магнитное поле – как и электростатическое в силу пространственных колебаний – будет самоподавляться.

В приведенном примере мы снова видим связь между статическими решениями в римановой Вселенной и пространственной составляющей осциллирующих лоренцевых решений. Риманово поле вокруг проводника с током совпадает с пространственной частью стоячей волны, окружающей осциллирующий ток в традиционной теории электромагнетизма. Конечно, в реальном мире осциллирующий ток, как правило, имеет отношение исключительно к исходящей волне, однако в присутствии входящей волны той же интенсивности возникающая в итоге стоячая волна будет обладать именно такой формой.

ORTNT_04x_06

Закон Био-Савара-Лапласа

В традиционной магнитостатике магнитное поле, созданное постоянным током вдоль тонкого проводника, описывается законом Био-Савара-Лапласа:

(27) $\begin{equation*} \mathbf{B} = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl \end{equation*}$

В данном случае переменная интегрирования l представляет собой длину, измеряемую вдоль проводника с током, r – трехмерный вектор смещения между элементом проводника и точкой, в которой рассчитывается поле B, а t – единичный вектор, направленный по касательной к проводнику.

Чтобы получить риманов аналог этого закона, мы воспользуемся выведенной ранее римановой функцией Грина.

Мы будем считать, что каждый элемент проводника длиной dl содержит как движущиеся, так и неподвижные заряды величиной dq = ρ dl, где ρ – линейная плотность зарядов в проводнике. Вклад движущихся зарядов в интеграл от функции Грина составит dq u dτ, где u – 4-скорость каждого движущегося заряда в каждом элементе проводника – однако временная компонента этого вектора, как нам известно, в точности компенсируется противоположным количеством неподвижных зарядов, находящихся в проводнике, который в целом считается электрически нейтральным. Пространственная часть u dτ равна просто v dt, где v – обычная скорость движущихся зарядов, а t – координатное время в системе отсчета, покоящейся относительно проводника. Поскольку ток I, движущийся по проводнику, равен ρ v, или, в векторном виде, I t = ρ v, где t – единичный вектор, направленный по касательной к проводнику, то общий вклад равен:

(28) $\begin{equation*} d q \mathbf{u} d \tau = \rho d l \mathbf{v} d t = I \mathbf{t} d t d l \end{equation*}$

Теперь мы можем проинтегрировать функцию Грина по t, считая I t dl постоянной величиной; соответствующий интеграл будем точно таким же, как и использованный нами для вывода кулоновского потенциала из функции Грина. Неудивительно, что магнитный потенциал, который мы получаем из этого интеграла, по своему виду не отличается от кулоновского, а соответствующее магнитное поле, равное его ротору, имеет ту же самую амплитуду (но не направление), как и электростатическое поле Кулона.

Закон Био-Савара-Лапласа для магнитного потенциала:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \cos(\omega_m r)}{r} dl$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t}}{r} dl$	(по Лоренцу)

Закон Био-Савара-Лапласа для магнитной индукции:

$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{(\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r)) \mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl$	(по Риману)
$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl$	(по Лоренцу)

Проинтегрировав явным образом магнитный потенциал вдоль бесконечного прямого провода, мы с помощью закона Био-Савара-Лапласа получаем результат, который согласуется с ранее выведенной формулой.

Магнитные диполи

Магнитный диполь представляет собой систему, создающую простое высокосимметричное магнитное поле определенного вида. Примером может служить замкнутый проводник с циркулирующим в нем током или заряженная частица, обладающая квантовомеханическим спином, но даже системы с более сложными полями на большом расстоянии зачастую имеют вид магнитных диполей.

В случае замкнутого контура с током магнитным моментом, который мы будем обозначать μ, называется вектор, перпендикулярный плоскости тока и имеющий модуль, равный произведению площади, ограниченной контуром, на силу циркулирующего в нем тока. В соответствии с принятой договоренностью мы считаем, что ток движется в направлении пальцев правой руки, когда большой палец направлен вдоль вектора магнитного момента. Чистое поле диполя можно рассматривать либо в качестве главного члена (который медленнее остальных убывает с расстоянием) в выражении поля, созданного конечным контуром, либо в качестве предельного случая поля в предположении, что площадь контура стремится к нулю, в то время как сила тока стремится к бесконечности, а произведение двух величин остается конечным.

В лоренцевом электромагнетизме оказывается, что магнитное поле, создаваемое магнитным диполем, имеет точно такую же математическую форму, что и электростатическое поле, созданное электрическим диполем. В римановом же случае это невозможно, поскольку магнитное поле B должно всюду удовлетворять условию ∇ · B = 0 – иначе говоря, линии магнитной индукции должны быть замкнуты – что неверно даже в случае риманова электростатического поля, действующего в вакууме; кроме того, силовые линии электрического диполя начинаются и заканчиваются вдали от самого диполя.

Мы можем воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа, чтобы рассчитать потенциал магнитного диполя в предельном случае малого кольцевого тока. Как и в случае электрического диполя, для перехода к пределу мы используем производную подходящей величины. В данном случае мы интегрируем – вдоль половины контура с током – сумму вкладов, вносимых каждым элементом полукольца, а также диаметрально противоположным элементом, вдоль которого ток течет в обратном направлении. Если кольцо мало, то в пределе эта сумма сводится к производной 1/r или cos(ω_m r)/r, взятой по направлению поперек кольца и вычисленной в его центре, а затем умноженной на диаметр кольца и соответствующий касательный вектор.

Потенциал магнитного диполя:
μ – магнитный дипольный момент

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \cfrac{\pmb{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r))$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{\pmb{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Поле магнитного диполя:

	(по Риману)
$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{3(\pmb{\mu} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r} - r^2 \pmb{\mu}}{4 \pi r^5}$	(по Лоренцу)

ORTNT_04x_07

В лоренцевом электромагнетизме – при том, что далеко не все материалы поддаются намагничиванию – условия, благодаря которым большое число магнитных диполей (как правило, это спины электронов) могут накладываться друг на друга, порождая гораздо более сильное поле, не так уж строги. Пока векторы магнитных моментов в некотором наборе диполей остаются параллельными, они будут усиливать влияние друг друга на внешнее магнитное поле. В римановом же случае поле магнитного диполя меняет свое направление в довольно малом масштабе, поэтому в любом наборе диполей между их индивидуальными полями будет иметь место сильный компенсационный эффект – и те же самые пространственные осцилляции проявятся и в суммарном поле. В римановой Вселенной невозможно существование аналогов наших постоянных магнитов, поля которых способны поддерживать силу, действующую в строго определенном направлении и на больших расстояниях.

Соленоиды и индуктивность

Соленоидом называется проводник, свернутый в форме винтовой линии. Мы рассчитаем приближенное значение поля внутри и снаружи обмотки при условии, что ток в обмотке является постоянным, а длина соленоида достаточно велика, чтобы пренебречь точной величиной краевых эффектов на его концах. По сути мы займемся анализом бесконечно длинного соленоида, который не так сложен в описании, как конечный, поскольку мы можем аппроксимировать его, приписав одновременно симметрию переноса и вращательную симметрию относительно одной и той же оси.

Если считать, что магнитное поле направлено вдоль оси z, то наиболее общее решение, описывающее магнитный потенциал и индукцию магнитного поля в условиях подобной цилиндрической симметрии, имеет вид:

(29a) $\begin{equation*} \mathbf{A}_{(3)}(r) = (a J_1(\omega_m r) + b Y_1(\omega_m r)) \mathbf{e}_{\varphi} \end{equation*}$

(29b) $\begin{equation*} \mathbf{B}(r) = (a \omega_m J_0(\omega_m r) + b \omega_m Y_0(\omega_m r)) \mathbf{e}_z \end{equation*}$

Мы, однако же, должны учесть, что решения внутри и снаружи соленоида могут отличаться, поэтому в общей сложности нужно найти четыре коэффициента: a_внутр., b_внутр., a_внешн. и b_внешн.. Поскольку решение должно оставаться конечным при r = 0, то b_внутр. = 0; кроме того, мы требуем, чтобы потенциал A₍₃₎ был непрерывным при r = R, где R – радиус обмотки. Третье соотношение мы получаем, применив теорему о циркуляции к тонкому вертикальному прямоугольнику, ограничивающему ток в n витках обмотки, укладывающихся в единице высоты соленоида; в итоге мы получаем, что сила данного тока совпадает с разностью между магнитной индукцией B непосредственно внутри и снаружи обмотки.

Чтобы получить четвертое соотношение, позволяющее однозначно определить решение исходного уравнения, нам потребуется проделать чуть большую работу. Используя закон Био-Савара-Лапласа, нетрудно проинтегрировать элементарные вклады в величину A₍₃₎ вдоль вертикального отрезка обмотки, однако интеграл вокруг обмотки не имеет аналитического выражения. Тем не менее, мы можем разложить элементарный вклад в A₍₃₎ на малом расстоянии от центра обмотки в ряд Тейлора по r, а затем проинтегрировать соответствующий член первого порядка вокруг всей обмотки. Сопоставив этот ряд Тейлора с эквивалентным рядом, полученным из нашего общего решения, мы можем определить величину a_внутр., после чего решить оставшиеся уравнения и найти значения всех коэффициентов. Оказывается, что a_внешн. = 0, поэтому оба решения – и внешнее, и внутреннее – упрощаются до единственного слагаемого.

В традиционной теории электромагнетизма магнитное поле снаружи бесконечного соленоида равно нулю, однако в римановой Вселенной это, вообще говоря, не так.

Длинный соленоид:
R – радиус соленоида, I – сила тока, n – количество витков, приходящихся на единицу длины.
Ось соленоида совпадает с осью z.

Длинный соленоид, магнитный потенциал

$\displaystyle \mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} -\cfrac{1}{2} n I \pi R Y_1(\omega_m R) J_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ -\cfrac{1}{2} n I \pi R J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\displaystyle \mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \cfrac{n I r}{2} \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ \cfrac{n I R^2}{2r} \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, магнитная индукция

$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \begin{cases} -\cfrac{1}{2} n I \pi \omega_m R Y_1(\omega_m R) J_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z & r < R \\ -\cfrac{1}{2} n I \pi \omega_m R J_1(\omega_m R) Y_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \begin{cases} n I \mathbf{e}_z & r < R \\ 0 & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, полный магнитный поток внутри обмотки

$\displaystyle \Phi = -n I \pi^2 R^2 J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle \Phi = n I \pi R^2$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, индуктивность
l – длина соленоида

$\displaystyle L = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle L = n^2 \pi R^2 l$	(по Лоренцу)

В таблице выше мы также привели значение полного магнитного потока, проходящего через соленоид; он равен интегралу по площади от магнитной индукции B, причем в качестве области интегрирования используется поперечное сечение, перпендикулярному оси соленоида.

ORTNT_04x_08

Если ток в обмотке соленоида начинает меняться, то вместе с ним меняется и магнитное поле, которое, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, порождает электрическое поле, ротор которого пропорционален скорости изменения магнитного поля во времени. Следовательно, в силу теоремы Стокса, интеграл электрического поля вдоль произвольного замкнутого контура, окружающего переменное магнитное поле, будет пропорционален интегралу от скорости изменения магнитного поля, взятому по площади, охваченной этим контуром. Но поскольку такой интеграл – это просто временная скорость изменения полного потока магнитной индукции, проходящего через данный контур, то любой контур, охватывающий поток переменной величины, будет окружен электродвижущей силой, пропорциональной скорости изменения потока. Более того, соответствующий коэффициент пропорциональности будет равен просто минус единице.

ЭДС = $-\cfrac{d\varPhi}{dt}$

Если применить эти рассуждения к виткам, составляющим наш соленоид, то получится, что при изменении тока в обмотке возникнет напряжение, пропорциональное скорости изменения силы тока. Коэффициент пропорциональности, взятый с обратным знаком, называется индуктивностью соленоида, L.

ЭДС = $-L\cfrac{dI}{dt}$

В случае соленоида длины l (содержащего, таким образом, в общей сложности nl витков) риманова индуктивность определяется следующим образом:

$L = \cfrac{nl\Phi}{I} = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$ ,

в то время как соответствующая лоренцева индуктивность равна

$L=\cfrac{nl\Phi}{I} = n^2 \pi R^2 l$

Произведение функций Бесселя в формуле римановой индуктивности может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому знак индуктивности также может быть различным. Отрицательная индуктивность, так же, как и отрицательная емкость, может приводить к неконтролируемым последствиям: увеличение силы тока в катушке отрицательной индуктивности создает напряжение, которое еще больше увеличивает силу тока – до тех пор, пока рост тока не остановится из-за разрушения материала или иных эффектов.

Впрочем, описанная здесь модель – так же, как и в случае с отрицательной емкостью, – крайне идеализирована. Разница в геометрии витков между положительной и отрицательной индуктивностью примерно равна минимальной длине световой волны, поэтому если толщина проводника, из которого сделана обмотка, или отклонение ее формы от идеальной окружности, превышает эту величину, то соленоид по сути будет представлять собой комбинацию катушек положительной и отрицательной индуктивности – что, как обычно, приведет к их существенному взаимному ослаблению.

Более того, все наши формулы в данном случае верны в предположении, что ток в обмотке можно приближенно считать постоянным. Соленоиды с переменным током мы рассмотрим далее.

Передача электромагнитной энергии

Эффекты бесконтрольного роста, подобные тем, которые мы наблюдаем в системах с отрицательной емкостью, в нашей Вселенной, очевидно, привели бы к нарушению закона сохранения энергии, однако в римановой Вселенной, где энергия, ассоциированная с материей (включая электромагнитное поле) по своему смыслу противоположна как кинетической, так и потенциальной, понять точную картину происходящего будет сложнее. Мы должны быть в состоянии количественно описать энергию, содержащуюся в электромагнитном поле и переносимую при его участии. Но для этого нам вначале придется ненадолго отвлечься на применение лагранжева метода к описанию риманового электромагнетизма.

Функция Лагранжа в римановом электромагнетизме

В теории поля, подобной электромагнетизму, лагранжиан представляет собой функцию L, которая зависит от поля и его производных, а ее интеграл, взятый по некоторой области 4-пространства, сохраняется в процессе варьирования поля, при условии, что последнее удовлетворяет ряду уравнений. Если мы проинтегрируем L, получив в результате так называемое действие S:

$S(A_k) = \int L(A_k)$ ,

то при условии, что A удовлетворяет уравнениям поля, S, с точностью до первого порядка малости, должно оставаться неизменным при малых вариациях A, подобно обыкновенной функции от обыкновенной переменной в точке локального максимума или минимума.

Если лагранжиан выражен в виде функции компонент поля A_k и их производных ∂_j A_k, то – при условии, что поле обращается в нуль на границе области интегрирования, или же граничные условия носят циклический характер – требование неизменности действия эквивалентно уравнениям Эйлера-Лагранжа:

$\partial_j \left(\partial_{\partial_j A_k} L\right) = \partial_{A_k} L$

Риманов лагранжиан Прока, L_RP, мы определим в виде суммы двух составляющих: полевого лагранжиана L_field и слагаемого L_inter, отвечающего за взаимодействие. В следующей таблице приведены также их аналоги в лоренцевой физике.^[1]

Риманов лагранжиан Прока

$L_{\text{field}} = \cfrac{1}{4} F_{ij} F^{ij} - \cfrac{1}{2} \omega_m^2 A_a A^a = \cfrac{1}{2}(\|\mathbf{B}\|^2 + \|\mathbf{E}\|^2) - \cfrac{1}{2}\omega_m^2(\|\mathbf{A}_{(3)}\|^2 + \varphi^2)$ $L_{\text{inter}} = -A_k j^k = -\mathbf{A}_{(3)} \cdot \mathbf{j}_{(3)} + \varphi \rho$ $L_{\text{RP}} = L_{\text{field}} + L_{\text{inter}}$	(по Риману)
$L_{\text{field}} = -\cfrac{1}{4} F_{ij} F^{ij} = -\cfrac{1}{2}(\|\mathbf{B}\|^2 - \|\mathbf{E}\|^2)$ $L_{\text{inter}} = A_k j^k = \mathbf{A}_{(3)} \cdot \mathbf{j}_{(3)} - \varphi \rho$ $L_{\text{RP}} = L_{\text{field}} + L_{\text{inter}}$	(по Лоренцу)

В случае полных лагранжианов уравнения Эйлера-Лагранжа превращаются в римановы уравнения Прока или уравнения Максвелла соответственно.

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Тензор энергии-импульса риманова электромагнитного поля, который мы будем обозначать T, можно найти с помощью следующей формулы^[2]:

Тензор энергии-импульса, выраженный через полевой лагранжиан

$T_{ab} = -L_{\mathrm{field}} g_{ab} + 2 \partial_{g^{ab}} L_{\mathrm{field}}$	(по Риману)
$T_{ab} = L_{\mathrm{field}} g_{ab} - 2 \partial_{g^{ab}} L_{\mathrm{field}}$	(по Лоренцу)

g_ab и g^ab представляют собой компоненты метрического тензора в 4-пространстве, содержащего либо два нижних, либо два верхних индекса. Матрицы, описывающие эти компоненты, в ортонормированных координатах представляют собой просто единичные матрицы размера 4×4; иначе говоря, значение компонента равно 1, когда a=b, и 0 в противном случае. Но если мы будем рассматривать компоненты вектора, дуального нашему 4-потенциалу A_k, в качестве фундаментальных переменных лагранжевой функции, то всякий раз, когда мы поднимаем индекс, чтобы получить выражение наподобие A_a A^a, используется g^ab (с учетом соглашения Эйнштейна о суммировании):

$A_a A^a = A_a (g^{ab} A_b)$

Таким образом, если мы считаем, что функция Лагранжа зависит от компонентов A_k 4-потенциала и компонентов g^ab метрического тензора, то производная, выраженная через метрику и вычисленная путем подстановки фактической метрики, дает нам второй член в выражении тензора энергии-импульса.

Хоть сколько-нибудь детальное объяснение причин, в силу которых это построение приводит к нужному результату, потребовало бы слишком большого отступления, но в конечном счете оно аналогично процедуре вывода самого уравнения Эйнштейна – связывающего некую производную от метрики, тензорную величину с тензором энергии-импульса имеющейся в наличии материи – из соответствующего лагранжиана. Ключевой момент состоит в том, что построенный таким образом полный тензор энергии-импульса (включающий в себя всю материю) имеет нулевую дивергенцию, откуда следует, что энергия и импульса будут сохраняться.

Результат этих вычислений мы выразим как в терминах электромагнитного поля F и 4-потенциала A, так и трехмерных полей B, E, φ и A₍₃₎.

Риманов электромагнитный тензор энергии-импульса

Лоренцев электромагнитный тензор энергии-импульса

Если j не равно нулю, дивергенция T в случае наличия одного только электромагнитного поля также отлична от нуля. Более точно:

$\partial_b T^{ab} + F^a{}_c j^c = 0$

Второе слагаемое соответствует плотность 4-силы, действующей на ток, который, в свою очередь, будет представлять собой дивергенцию собственного тензора энергии-импульса заряженной материи. Таким образом, сумма тензоров энергии-импульса, соответствующих материи и действующему на нее электромагнитному полю, будет равна нулю.

Плотность энергии и вектор Пойнтинга

Тензоры энергии-импульса могут показаться немного устрашающими, но давайте пока что не будем обращать внимания на элементы, лежащие за пределами первой строки и первого столбца, которые характеризуют напряжения, вызванные давлением и сдвигом. К интересующим нас элементам относится T_tt, равный плотности энергии электромагнитного поля u и вектор S = (T ^tx, T ^ty, T ^tz), который называется вектором Пойнтинга и характеризует скорость переноса энергии через единицу площади. (Заметим, что для получения векторам Пойнтинга мы подняли индекс t вверх, что в лоренцевом случае приводит к изменению знака.)

Плотность электромагнитной энергии

$u = \cfrac{\|\mathbf{E}\|^2 - \|\mathbf{B}\|^2 + \omega_m^2(\|\mathbf{A}_{(3)}\|^2 - \varphi^2)}{2}$	(по Риману)
$u = \cfrac{\|\mathbf{E}\|^2 + \|\mathbf{B}\|^2 }{2}$	(по Лоренцу)

Вектор Пойнтинга

$\mathbf{S} = \mathbf{B} \otimes \mathbf{E} + \omega_m^2 \varphi \mathbf{A}_{(3)}$	(по Риману)
$\mathbf{S} = \mathbf{E} \otimes \mathbf{B}$	(по Лоренцу)

Давайте рассмотрим плотность и поток энергии на нескольких примерах.

Энергия плоских волн

В 4-пространстве плоская волна описывается следующим образом:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$
$F(\mathbf{x}) = (\mathbf{k} \wedge \mathbf{A}_0) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

где |k| = ω_m и A₀ · k = 0. Отсюда можно вычислить тензор энергии-импульса:

$T_{ab} & = - L_{\mathrm{field}}g_{ab} + F_{ac}F_b{}^c - \omega_m^2 A_a A_b$
$T = A_0^2 \mathbf{k} \otimes \mathbf{k} \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})^2 + \omega_m^2 (\mathbf{A}_0 \otimes \mathbf{A}_0 - \cfrac{1}{2} A_0^2 I_4) \cos(2 \mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Если усреднить T по одному колебанию волны, то cos(2 k · x) обращается в нуль, в то время как cos(k · x)² дает 1/2, поэтому в итоге имеем:

$<T> = \cfrac{1}{2} A_0^2 \mathbf{k} \otimes \mathbf{k}$

Именно такой тензор энергии-импульса мы бы ожидали получить в случае равномерного облака материи с 4-скоростью u = k/ω_m и плотностью массы-энергии (покоя), равной ½ A₀² ω_m². Если так определить u и, кроме того, ввести единичный вектор a₀ = A₀/A₀, то тензор энергии-импульса можно записать в виде:

$T = A_0^2 \omega_m^2 (\mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})^2 + (\mathbf{a}_0 \otimes \mathbf{a}_0 - \cfrac{1}{2}I_4) \cos(2 \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}))$

Предположим, что временная угловая частота света равна ω = k_t = ω_m u_t. Тогда плотность энергии u (не путать с 4-скоростью u или одной из ее компонент) имеет вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Очевидно, при некоторых значениях ω и a_{0, t} плотность энергии иногда будет отрицательной: например, если a_{0, t} = 0 и ω < ω_m / √2. Но несмотря на это, среднее значение энергии за время одного колебания будет положительной величиной:

$ = \cfrac{1}{2} A_0^2 \omega^2$

Из выражения для <T> видно, что аналогичное среднее значение вектора Пойнтинга S будет параллельно пространственной проекции волнового вектора k, который, в свою очередь, параллелен обычной скорости v, соответствующей 4-скорости u = k/ω_m. А именно:

$<\mathbf{S}> = \cfrac{1}{2}A_0^2 \omega^2 \mathbf{v}$

Энергия конденсатора

Наши формулы для плотности энергии в электрическом поле можно применить к рассмотренному ранее сферическому конденсатору. В лоренцевом случае электрическое поле вне конденсатора равно нулю, а плотность энергии зависит только от самого поля, поэтому конечный ответ можно получить непосредственным интегрированием.

В римановом случае ситуация оказывается чуть более запутанной. Потенциал и электрическое поле выходят за пределы конденсатора, а рассчитанная по ним плотность энергии отлична от нуля во всем пространстве вплоть до бесконечности. Энергия, содержащаяся внутри сферы заданного радиуса S >> R₂ осциллирует в пределах S, а расстояние между ее пиками не уменьшается с расстоянием, поэтому интеграл на бесконечности не имеет определенного значения. Тем не менее, адекватный конечный ответ можно получить, если принять осциллирующую часть равной нулю, а остаток заменить асимптотическим значением.

Сферический конденсатор, емкость:

$C = \cfrac{8 \pi \omega_m R_1^2 R_2^2}{4 R_1 R_2 \sin(\omega_m R_1) \cos(\omega_m R_2) - R_1^2 \sin(2 \omega_m R_2) - R_2^2 \sin(2 \omega_m R_1)}$	(по Риману)
$C = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор, плотность энергии электрического поля:

$u(r) = \cfrac{\|\mathbf{E}(r)\|^2 - \omega_m^2 \varphi(r)^2}{2}$ См. расчет поля конденсатора	(по Риману)
$u(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ \cfrac{Q^2}{32 \pi^2 r^4} & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор, полная энергия электрического поля:

Усредненная по S >> R₂:

Rendered by QuickLaTeX.com

(по Риману)

(по Лоренцу)

Полученные нами ответы – как в римановом, так и в лоренцевом случае – согласуются с потенциальной энергией конденсатора, которую мы ожидаем получить, интегрируя потенциал, необходимый для его зарядки от нуля до полного заряда Q:

Потенциальная энергия = $\int \limits_0^Q V(q) dq = \int \limits_0^Q \cfrac{q}{C} dq = \cfrac{Q^2}{2C}$

В лоренцевом случае эта величина в точности совпадает с количеством энергии, запасенной электрическим полем. В римановом случае она имеет противоположный знак! Объясняется это, конечно же, тем, что в римановой Вселенной потенциальная энергия по своему смыслу противоположна энергии электромагнитного поля.

Энергия катушки индуктивности

Расчет энергии, запасенной соленоидом, производится по той же схеме, что и в случае конденсатора. В лоренцевом случае имеет место постоянное магнитное поле, заключенное в конечном объеме, благодаря чему можно вычислить полную энергию поля довольно просто.

В римановом случае мы не можем пренебречь полем, находящимся снаружи соленоида, а интеграл по бесконечной области пространства оказывается расходящимся; тем не менее, если в качестве области интегрирования мы возьмем шар радиуса S, то заключенная внутри него полная энергия будет осциллировать между максимумами и минимумами, которые в пределе, при переходе к большим S, стремятся к некоторым фиксированным значениям. В приведенной ниже таблице мы используем асимптотическое представление для произведения функций Бесселя от S, выраженное через функцию косинуса. Среднее за период колебаний значение этого косинусоидального члена (которое можно легко найти, просто приравняв его к нулю) в этом случае дает нам результат, согласующийся с величиной энергией, вызванной наличием индуктивности.

Длинный соленоид:
R – радиус соленоида, I – сила тока, n – количество витков, приходящихся на единицу длины.

Длинный соленоид, индуктивность:

$\displaystyle L = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle L = n^2 \pi R^2 l$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, плотность энергии магнитного поля:

$u(r) = \begin{cases} \cfrac{n^2 I^2 \pi^2 R^2 \omega_m^2 Y_1(\omega_m R)^2 (J_1(\omega_m r)^2 - J_0(\omega_m r)^2)}{8} & r < R \\ \cfrac{n^2 I^2 \pi^2 R^2 \omega_m^2 J_1(\omega_m R)^2 (Y_1(\omega_m r)^2 - Y_0(\omega_m r)^2)}{8} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$u(r) = \begin{cases} \cfrac{n^2 I^2}{2} & r < R \\ 0 & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, полная энергия магнитного поля:

Усредненная по S >> R:

Rendered by QuickLaTeX.com

(по Риману)

(по Лоренцу)

В случае катушки индуктивности потенциальную энергию можно найти, рассчитав работу, необходимую, чтобы довести силу тока от нуля до некоторого постоянного значения I. Переходя от тока i к i+di за время dt, мы перемещаем заряд i dt, совершая работу против напряжения V = L di/dt. Следовательно:

Потенциальная энергия = $\int \limit_o^I V(t) i dt = \int \limits_0^I L \cfrac{di}{dt} i dt = \cfrac{L I^2}{2}$

Как и ожидалось, рассчитанная таким образом потенциальная энергия в лоренцевом случае совпадает с полной энергией магнитного поля, а в римановом – ей противоположна.

Переход от магнитостатических решений к осциллирующим

Предположим, что у нас есть магнитостатическое решение риманова уравнения Прока с 4-потенциалом A_MS и 4-током источника j_MS. Говоря о “магнитостатическом” решении, мы имеем в виду, что как A_MS, так и j_MS не меняются во времени, а поле является чисто магнитным: A_MS^t = 0. Мы уже рассмотрели три вида таких решений: линейный ток, магнитный диполь и соленоид с постоянным током.

Теперь предположим, что мы, взяв это решение, подставляем вместо ω_m, максимальной угловой частоты риманова света, меньшее значение k, получая в результат A_{MS, k} и j_{MS, k}, удовлетворяющие уравнению:

$\partial_x^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \partial_y^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \partial_z^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + k^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \mathbf{j}_{\text{MS}, k} = 0$

Далее, возьмем осциллирующее решение:

$\mathbf{A} = \mathbf{A}_{\text{MS}, k} \cos(\omega t)$
$\mathbf{j} = \mathbf{j}_{\text{MS}, k} \cos(\omega t)$

с угловой частотой ω, такой, что:

$k^2 + \omega^2 = \omega_m^2$

Новые величины A и j будут решениями ВРВИ-уравнения:

Rendered by QuickLaTeX.com

Как быть с поперечным условием? Поскольку ему удовлетворяет магнитостатическое решение, а его временная компонента равна нулю, то:

$\partial_x A_{\text{MS}, k}^x + \partial_y A_{\text{MS}, k}^y + \partial_z A_{\text{MS}, k}^z = 0$

Это равенство, как и условие A^t=0, будет выполняться и после умножения A_MS,k на cos(ωt). Таким образом, наше новое осциллирующее решение является настоящим решением риманова уравнения Прока.

В приведенных выше построениях мы могли бы с тем же успехом использовать sin(ωt) вместо cos(ωt). Кроме того, нет никакой разницы в том, используем ли мы направление t или любое другое направление в 4-пространстве, вдоль которого решение остается постоянным, а соответствующая компонента 4-потенциала равна нулю.

При помощи очень похожей процедуры мы могли бы получить из исходного риманова магнитостатического решения аналогичные осциллирующие решения в лоренцевой Вселенной. В лоренцевой теории электромагнетизма 4-потенциал не входит в уравнения Максвелла, и его физический смысл проявляется только в электромагнитном поле F. Однако различные 4-потенциалы A могут порождать абсолютно идентичные поля F, а значит, у нас есть возможность определенным образом поменять A, не оказав какого-либо влияния на его физические свойства; это так называемая свобода калибровки. Один из удобных подходов к свободе калибровки заключается в выборе дополнительного условия, которому должен удовлетворять A, причем в плане упрощения вычислений для разных контекстов подходят разные варианты калибровки. Один из таких вариантов, известный как калибровка Лоренца — заметим, что в данном случае речь идет о совершенно другом Лоренце! — требует:

$\partial_x A^x + \partial_y A^y + \partial_z A^z + \partial_t A^t = 0$

Это лоренцева версия поперечного условия, которое мы наложили на все римановы векторные волны. Таким образом, связь между двумя вариантами электромагнитной теории существенно проясняется, если мы будем описывать лоренцев электромагнетизм с учетом калибровки Лоренца, при которой уравнения Максвелла эквивалентны следующим уравнениям для 4-потенциала:

Уравнения Максвелла для 4-потенциала с калибровкой Лоренца:

$\partial_x^2 \mathbf{A} + \partial_y^2 \mathbf{A} + \partial_z^2 \mathbf{A} - \partial_t^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = 0$	(ВЛВИ)
$\partial_x A^x + \partial_y A^y + \partial_z A^z + \partial_t A^t = 0$	(калибровка)

Если мы возьмем исходное магнитостатическое риманово решение A_MS, соответствующее 4-току j_MS, то получить осциллирующее лоренцево решение можно следующим образом. Сначала мы подставляем произвольную частоту ω вместо ω_m, получая в результате A_{MS, ω} и j_{MS, ω}, а затем умножаем обе величины на cos(ωt):

$\mathbf{A}_L = \mathbf{A}_{\text{MS}, \omega} \cos(\omega t)$
$\mathbf{j}_L = \mathbf{j}_{\text{MS}, \omega} \cos(\omega t)$

Такие функции будут решениями уравнения векторной лоренцевой волны с источником (ВЛВИ):

Rendered by QuickLaTeX.com

Поскольку оба 4-потенциала не содержат временных компонент, калибровка Лоренца для A_L выполняется в силу того факта, что A_{MS, ω} удовлетворяет поперечному условию.

Линейный проводник с переменным током

Если мы применим только что описанный метод к 4-потенциалу постоянного тока в линейном проводнике, то получим решение в виде осциллирующей стоячей волны, окружающей линейный проводник с переменным током.

Линейный проводник с переменным током
Решение в виде стоячей волны
Ток I₀ cos(ωt) движется вдоль оси z
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Линейный проводник с переменным током,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} Y_0(k r) \cos(\omega t) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} Y_0(\omega r) \cos(\omega t) \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
электрическое и магнитное поле

	(по Риману)
	(по Лоренцу)

Решение в виде стоячей волны имеет фиксированную форму в пространстве и просто осциллирует во времени. Именно такую волну мы бы ожидали наблюдать вокруг проводника, расположенного внутри цилиндрической полости. Но что если вместо этого мы хотим получить решение в виде бегущей волны? Стоячую волну можно представить в виде суммы или разности набегающей и исходящей волны, причем верно и обратное: набегающую и исходящую волны можно восстановить, взяв сумму или разность соответствующих стоячих волн. Таким образом, если мы сможем найти второе решение в виде стоячей волны, то должны суметь построить и бегущие волны.

Чтобы получить вторую стоячую волну, удовлетворяющую нашему уравнению, мы вернемся к исходным расчетам для тока в линейном проводнике И воспользуемся решением без источника, которое никоим образом не зависит от силы тока. Это равносильно замене функции Бесселя Y₀ на J₀ в приведенном выше выражении потенциала. Если мы, кроме того, сделаем так, чтобы фаза нового решения была сдвинута относительно исходного на 90 градусов, заменив множитель cos(ωt) на sin(ωt), а затем сложим оба решения, то в результате получим исходящую волну. Поскольку второе слагаемое не содержит источника, изменять ток не нужно; это просто волна, которая окружает тот же самый проводник с тем же самым током, но при других граничных условиях.

В лоренцевом случае для получения исходящей волны второе решение нужно не прибавлять, а вычесть из первого.

Линейный проводник с переменным током
Решение в виде исходящей волны
Ток I₀ cos(ωt) движется вдоль оси z
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Линейный проводник с переменным током,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} (Y_0(k r) \cos(\omega t) + J_0(k r) \sin(\omega t)) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} (Y_0(\omega r) \cos(\omega t) - J_0(\omega r) \sin(\omega t)) \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
магнитное и электрическое поле

	(по Риману)
	о Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
вектор Пойнтинга

	(по Риману)
	(по Лоренцу)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{I_0^2 \omega}{16 \pi r} \mathbf{e}_r$	(Общая часть)

Линейный проводник с переменным током,
средняя мощность излучения (на единицу длины проводника)

$\left = \cfrac{I_0^2 \omega}{8}$

(Общая часть)

Тот факт, что эти волны являются исходящими, проще всего заметить по выражению для <S(r)>, средней величине вектора Пойнтинга за период колебаний, – очевидно, что он представляет собой положительное число, умноженное на единичный вектор, радиально направленный в сторону от проводника.

Окончательный результат в римановом случае не зависит от угловой пространственной частоты k, что может показаться немного странным, поскольку мы ожидаем, что скорость волн будет равна k / ω, а плотность потока энергии – произведению этой скорости на плотность энергии. Но оказывается, что плотность энергии обратно пропорциональна k, что не так сложно заметить, если взглянуть на выражение для 4-потенциала при больших r: оно обратно пропорционально квадратному корню из k в силу асимптотического разложения функций Бесселя:

$\mathbf{A}(r) \approx \cfrac{I_0 \cos(kr + \omega t + \pi/4)}{2 \sqrt{2 \pi k r}} \mathbf{e}_z$

В этом случае анализ потока энергии плоской волны, который мы провели ранее, дает тот же самый усредненный вектор Пойнтинга, направленный из плоскости волны, который мы вывели из точного решения.

В лоренцевом случае излучаемая мощность указывает на то, что для поддержания постоянной амплитуды тока нужно совершить некоторую работу. В римановом случае работу в привычном понимании должен совершать сам ток, чтобы его сила не увеличивалась! Каким бы странным ни казался этот результат, именно такое поведение мы бы ожидали увидеть, учитывая то, что энергия электромагнитного поля по своему смыслу противоположна кинетической и потенциальной.

Осциллирующие магнитные диполи

Воспользуемся тем же методом для построения поля осциллирующего магнитного диполя, взяв за основу полученный ранее результат для статического диполя. Мы не будем приводить здесь уравнения стоячих волн, а сразу перейдем к исходящей волне.

Осциллирующий магнитный диполь
Решение в виде исходящей волны
Магнитный момент равен μ cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Осциллирующий магнитный диполь,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \left ( \cfrac{\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} \right) \left( \cos(k r + \omega t) + k r \sin(k r + \omega t) \right)$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \left ( \cfrac{\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} \right) \left( \cos(\omega (r - t)) + \omega r \sin(\omega (r - t)) \right)$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
магнитное и электрическое поле

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r} (\sin(kr + \omega t) - kr \cos(kr + \omega t))}{4 \pi r^3}$	(по Риману)
$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r} (\omega r \cos(\omega (r - t)) - \sin(\omega (r - t)))}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{k^3 \omega ((\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu}) - (\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{\omega^4 ((\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu}) - (\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
полная мощность, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{k^3 \omega (\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu})}{12 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{\omega^4 (\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu})}{12 \pi}$	(по Лоренцу)

Если мы рассмотрим асимптотическую форму риманова 4-потенциала при больших r, то окажется, что:

$\mathbf{A}(r) \approx \left( \cfrac{k \sin(k r + \omega t)}{4 \pi r} \right) \pmb{\mu} \times \mathbf{e}_r$

Поляризация всегда будет поперечной, поскольку 4-потенциал лежит в плоскости, перпендикулярной оси диполя. Модуль потенциала максимален, когда радиус-вектор образует с диполем прямой угол, а вдоль самой оси обращается в нуль. Угловое распределение излучаемой мощности полностью совпадает с аналогичным распределением в лоренцевом электромагнетизме.

В римановом случае средняя за период колебаний плотность энергии пропорциональна k² ω². Умножая на скорость волны, k / ω, получаем, что мощность пропорциональна k³ ω, что видно и в таблице, и на представленном ниже графике.

Соленоид с переменным током

С помощью того же самого метода мы можем приспособить магнитостатическое описание соленоида с постоянным током на случай переменного тока. Чтобы получить магнитостатическое решение без источника мы заменяем множитель Y₁, находящийся в выражении для поля снаружи соленоида с постоянным током, на J₁, а затем распространяем полученное решение на любые расстояния до оси z. Комбинируя две стоячих волны, получаем решение, описывающее исходящую волну.

Длинный соленоид (переменный ток)
Решение в виде исходящей волны
Радиус соленоида: R, сила тока: I₀ cos(ωt), число витков на единицу длины: n.
Ось соленоида совпадает с осью z.
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Длинный соленоид (переменный ток),
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \begin{cases} -\cfrac{\pi I_0 n R J_1(kr)}{2}(J_1(kR) \sin(\omega t) + Y_1(kR) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ -\cfrac{\pi I_0 n R J_1(kR)}{2}(J_1(kr) \sin(\omega t) + Y_1(kr) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \begin{cases} \cfrac{\pi I_0 n R J_1(\omega r)}{2}(J_1(\omega R) \sin(\omega t) - Y_1(\omega R) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ \cfrac{\pi I_0 n R J_1(\omega R)}{2}(J_1(\omega r) \sin(\omega t) - Y_1(\omega r) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
магнитное и электрическое поле

	(по Риману)
	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{\pi I_0^2 n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2}{4r} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{\pi I_0^2 n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2}{4r} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
полная мощность излучения, усредненная по периоду колебаний, для одного витка длины l

$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega_m k^2$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2$ При малых ω: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega^3$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
полный магнитный поток для одного витка

$\Phi = - \pi^2 I_0 n R^2 J_1(kR) (J_1(kR) \sin(\omega t) + Y_1(kR) \cos(\omega t))$	(по Риману)
$\Phi = \pi^2 I_0 n R^2 J_1(\omega R) (J_1(\omega R) \sin(\omega t) - Y_1(\omega R) \cos(\omega t))$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
напряжение на концах витка длины l

$V = \pi^2 I_0 l n^2 R^2 \omega J_1(kR) (Y_1(kR) \sin(\omega t) - J_1(kR) \cos(\omega t))$ При малых k: $V \approx - \pi I_0 l n^2 R^2 \omega_m \sin(\omega t)$	(по Риману)
$V = \pi^2 I_0 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R) (Y_1(\omega R) \sin(\omega t) + J_1(\omega R) \cos(\omega t))$ При малых ω: $V \approx - \pi I_0 l n^2 R^2 \omega \sin(\omega t)$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
средние затраты электрической мощности
для одного витка длины l

$\left< P \right> = -\cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx -\cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega_m k^2$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2$ При малых ω: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega^3$	(по Лоренцу)

Первая любопытная особенность риманова решения состоит в том, что теперь масштаб геометрии соленоида определяется не ω_m, как в случае с постоянным током, а пространственной угловой частотой k. Если соленоид с постоянным током будет крайне чувствителен к любым дефектам, сравнимым с минимальной длиной световой волны – а проводник, используемый в реалистичном устройстве, мог бы достигать нескольких длин волн в ширину, в результате чего структура в целом включала бы в себя последовательность отрицательных и положительных индуктивностей, в значительной мере компенсирующих друг друга – то теперь у нас есть возможность использовать волны гораздо большей длины и системы, которые не только лишены упомянутых компенсационных эффектов, но и отличаются меньшей чувствительностью к точной форме витков катушки.

Рассматривая соленоид с постоянным током, мы отметили, что его индуктивность может быть как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, соленоид может как противодействовать изменению тока, так и ему способствовать. В случае переменного тока это различие становится менее актуальным; ключевую роль играет мощность, затрачиваемая в течение одного колебания, а выбранная нами исходящая волна гарантирует, что риманов соленоид будет выступать в качестве источника электрической мощности, в то время как его лоренцев аналог будет соответствующую мощность тратить.

Следующий график показывает, как в римановом и лоренцевом случае меняются во времени напряжение, сила тока и мощность соленоида – для трех различных размеров витка. В данном случае J₁ и Y₁ представляют собой сокращения J₁(kR) и Y₁(kR) в римановом случае, либо J₁(ωR) и Y₁(ωR) в лоренцевом. Мы выбираем знак таким образом, чтобы напряжение обычного резистора всегда находилось в фазе с его током – таким образом, мощность, рассчитанная как произведение VI, дает количество рассеиваемой энергии.

В лоренцевом случае фаза напряжения никогда не расходится с фазой тока более, чем на 90 градусов. В низкочастотном пределе с постоянным током J₁(ωR) Y₁(ωR) ≈ –1/π с точностью до первого порядка малости и напряжение опережает ток точно на 90 градусов. Если мы представим, что через катушку диаметром как минимум в несколько миллиметров течет переменный ток с частотой килогерцового диапазона (или ниже), то длина волны окажется значительно больше размера самого соленоида, так что упомянутый “предельный случай” в действительности является неплохой аппроксимацией для многих типовых цепей переменного тока. Однако по мере увеличения частоты Y₁(ωR) рано или поздно обращается в нуль, в результате чего напряжение выравнивается по фазе с силой тока, а затем становится положительным, после чего фаза напряжения начинает отставать от фазы тока. Тем не менее, вне зависимости от конкретных значений J₁(ωR) и Y₁(ωR), среднее значение рассеиваемой мощности за один период всегда остается неотрицательной величиной.

В римановом случае фазовый сдвиг между напряжением и слой тока всегда составляет как минимум 90 градусов. В предельном случае постоянного тока пространственная частота достигает максимума, а поведение системы оказывается крайне чувствительным к геометрии витков. Только в предельном случае высоких (временных) частот, когда длина волны становится достаточно большой, мы получим J₁(kR) Y₁(kR) ≈ –1/π, и фаза напряжения будет опережать ток ровно на 90 градусов. Но при любых частотах и размерах витка средняя рассеиваемая мощность будет отрицательной или равной нулю – поскольку затраты энергии поля на излучение в римановом случае всегда должны сопровождаться ростом обычной энергии.

Переход от электростатических решений к осциллирующим

Осциллирующие электрические диполи

В случае электростатики трюк, которым мы воспользовались для получения осциллирующих решений из магнитостатических, так легко не уже сработает. Если мы рассмотрим чисто электростатический потенциал φ_ES, скорректируем его с учетом замены ω_m на новую константу k, а затем умножим результат на cos(ωt), то получим решение ВРВИ для источника, равного произведению первоначальной плотности заряда на cos(ωt), где, как обычно, k² + ω² = ω_m². Но такое решение не будет удовлетворять поперечному условию, поскольку временная компонента 4-потенциала, который теперь равен –φ_{ES, k} cos(ωt), имеет ненулевую производную, а пространственных компонент, производные которых могли бы обратить дивергенцию в нуль, у 4-потенциала нет.

Тем не менее, в случае электростатического диполя есть довольно простой обходной путь. Потенциал статического диполя равен взятой с обратным знаком пространственной производной кулоновского потенциала, взятой вдоль оси диполя – скажем, оси z. Поэтому, если мы положим z-компоненту 4-потенциала равной кулоновскому потенциалу (также скорректированному с учетом замены ω_m на k), домноженному на ω sin(ωt), то его пространственная производная в направлении оси z скомпенсирует производную временной компоненты 4-потенциала, удовлетворив тем самым поперечному условию. Дополнительный член, кроме того, будет удовлетворять ВРВИ с аналогичным образом модифицированным источником, и закон сохранения заряда будет выполняться автоматически. Говоря конкретнее, такое преобразование добавляет к источнику точечный осциллирующий ток, фаза которого сдвинута по 90 градусов относительно колебаний диполя.

Как и ранее, с помощью этого метода можно построить две стоячих волны, а затем скомбинировать их, получив в результате исходящую волну. Кроме того, этот метод, так же, как и раньше, можно адаптировать и для получения лоренцевых решений.

Осциллирующий электрический диполь
Решение в виде исходящей волны
Электрический дипольный момент: p cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Осциллирующий электрический диполь, потенциалы

$\varphi(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(kr + \omega t) + kr \sin(kr + \omega t))$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \omega}{4 \pi r} \sin(kr + \omega t)$

(по Риману)

$\varphi(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(\omega (r - t)) + \omega r \sin(\omega (r - t)))$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \omega}{4 \pi r} \sin(\omega (r - t))$

(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
магнитное и электрическое поле

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \mathbf{p} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}(kr \cos(kr + \omega t) - \sin(kr + \omega t))$	(по Риману)
$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \mathbf{p} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}(\sin(\omega (r - t)) - \omega r \cos(\omega (r - t)))$	(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{k \omega^3 (\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) + k^3 \omega (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r)^2}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{\omega^4 ((\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) - (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
полная мощность, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{(k^3 \omega + 3 k \omega^3)(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})}{24 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{\omega^4 (\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})}{12 \pi}$	(по Лоренцу)

В данном случае риманово решение характеризуется немного иной степенной зависимостью от частоты, нежели осциллирующий магнитный диполь. Кроме того, это первое из наших решений, которое явным образом описывает источник продольно поляризованных волн.

При больших r риманов 4-потенциал можно представить в виде:

$\mathbf{A}(r) \approx \cfrac{\sin(kr + \omega t)}{4 \pi r}(k (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r) \mathbf{e}_t - \omega \mathbf{p})$

Это выражение можно разбить на поперечную составляющую A_T и продольную составляющую A_L:

Rendered by QuickLaTeX.com

Поперечная составляющая не содержит временной компоненты и ортогональна e_r, то есть направлению в пространстве, вдоль которого движется волна. Если мы воспользуемся нашим анализом энергии плоских волн, обозначив через θ угол между вектором диполя и направлением волны в пространстве, то в среднем за период локальная плотность энергии – соответственно, для поперечной и продольной мод – будет равна:

Rendered by QuickLaTeX.com

Отсюда видно, что поперечные волны достигают наибольшей силы вдоль направлений, перпендикулярных оси диполя, и обращаются в нуль на самой оси, в то время как продольные волны подчиняются противоположной закономерности: наиболее сильны на оси диполя и обращабтся в нуль на ее перпендикулярах. Угловое распределение энергии поперечных волн совпадает с аналогичным распределением в лоренцевой физике.

Если мы умножим приведенные выше плотности энергии на скорость волны, k / ω, и проинтегрируем по всему объему сферы, то получим полную мощность для каждой из составляющих:

Rendered by QuickLaTeX.com

В сумме эти две величины, разумеется, дают полную мощность излучения, показанную в таблице.

Конденсатор с переменным током

Для того, чтобы рассмотреть поведение сферического конденсатора в цепи переменного тока, попеременно заряжающего и разряжающего его обкладки, нам потребуется каким-то образом включить этот ток в картину происходящего. Единственный способ сделать это, не нарушая сферической симметрии – это заставить симметрично распределенный ток перемещаться непосредственно от одной обкладки к другой, в зазоре между ними. И хотя при этом мы буквально нарушаем работу конденсатора, эту модель можно трактовать как аппроксимацию системы, состоящей из большого количества плоских конденсаторов, которые заряжаются и разряжаются с помощью проводников, расположенных не внутри самих устройств, а рядом с ними. Расположив большое число таких контуров, направленных в разные стороны от центральной точки, мы получим поля, очень похожие на поля, используемые в нашей модели.

Чтобы найти риманов 4-потенциал, возникающий в силу колебаний заряда на сферах конденсатора, мы модифицируем электростатическое решение, подставляя k вместо ω_m и умножая на cos(ωt). Затем мы добавляем 4-потенциал, описывающий движение тока вперед-назад между обкладками – его можно найти как магнитостатическое решение, используя закон Био-Савара-Лапласа, а затем с помощью нашего стандартного метода преобразовать в осциллирующее решение. Заряд сохраняется, поскольку добавленный нами ток характеризует колебания заряда на обкладках конденсатора; следовательно, 4-потенциал удовлетворяет поперечному условию и дает нам верное решение. Затем, как обычно, нам нужно скомбинировать полученное решение со стоячей волной без источника, получив в итоге решение в виде исходящей волны.

Поскольку 4-потенциал обладает радиальной симметрией, магнитное поле отсутствует. Если в лоренцевом случае это означает отсутствие какого-либо излучения, то в римановом – будет иметь место чисто поперечное излучение.

Сферический конденсатор (переменный ток)
Решение в виде исходящей волны
Радиус внутренней обкладки: R₁, полный заряд: –Q₀ cos(ωt)
Радиус внешней обкладки: R₂, полный заряд: +Q₀ cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Сферический конденсатор (переменный ток), потенциалы

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \sin(kr)}{4 \pi kr R_1 R_2} \\ (R_2 \cos(kR_1 + \omega t) - R_1 \cos(kR_2 + \omega t)) & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0}{4 \pi kr R_1 R_2} (R_2 \sin(kR_1) \cos(kr + \omega t) - \\ - R_1 \sin(kr) \cos(kR_2 + \omega t)) & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \cos(kr + \omega t)}{4 \pi kr R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) & r > R_2 \end{cases}$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \omega (kr \cos(kr) - \sin(kr))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1 + \omega t) - R_1 \sin(kR_2 + \omega t)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0 \omega}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (\cos(\omega t) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) + \\ + \sin(\omega t) (R_1 \cos(kR_2) (\sin(kr) - kr \cos(kr)) - \\ - R_2 \sin(kR_1) (kr \sin(kr) + \cos(kr)) + k R_1 R_2)) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \omega (kr \cos(kr + \omega t) - \sin(kr + \omega t))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 (R_1 - R_2) \cos(\omega t)}{4 \pi R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0 (r - R_2) \cos(\omega t)}{4 \pi r R_2} & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = 0$

(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток), электрическое поле

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \omega_m^2 (kr \cos(kr) - \sin(kr))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_1 \cos(kR_2 + \omega t) - R_2 \cos(kR_1 + \omega t)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (\cos(\omega t) (\omega_m^2 (R_1 \cos(k R_2) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) + \\ + R_2 \sin(k R_1) (kr \sin(kr) + \cos(kr))) - \\ - \omega^2 k R_1 R_2) + \\ + \omega_m^2 \sin(\omega t) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \omega_m^2 (kr \sin(kr + \omega t) + \cos(kr + \omega t))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ -\cfrac{Q_0 \cos(\omega t)}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{32 \pi^2 k^3 r^3 R_1^2 R_2} \\ (r \sin(k R_1) - R_1 \sin (k r)) \\ (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2)) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{32 \pi^2 k^3 r^2 R_1^2 R_2^2} (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2 \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = 0$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
полная мощность излучения, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{8 \pi k^3 R_1^2 R_2^2}(R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx \cfrac{Q_0^2 (R_2^2 - R_1^2)^2 \omega_m^3 k^3}{288 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = 0$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
напряжение между обкладками

При малых k: $V \approx - \cfrac{Q_0(R_2 - R_1) (3 + \omega_m^2 R_1 (R_2 - R_1)) \cos(\omega t)}{12 \pi R_1 R_2}$	(по Риману)
$V = \cfrac{Q_0 (R_2 - R_1) \cos(\omega t)}{4 \pi R_1 R_2}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
средние затраты мощности за период колебаний

$\left = -\cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{8 \pi k^3 R_1^2 R_2^2}(R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2$

При малых k: $\left \approx -\cfrac{Q_0^2 (R_2^2 - R_1^2)^2 \omega_m^3 k^3}{288 \pi}$

(по Риману)

$\left = 0$

(по Лоренцу)

Электрическая мощность, которая тратится в римановом случае, как обычно, противоположна полной мощности излучения, поэтому для поддержания неизменной амплитуды осциллирующего тока, контур должен совершать работу. Точное соотношение фазового сдвига между напряжением и силой тока и частотой колебаний будет иметь довольно сложный вид, но тот факт, что мощность, затраченная контуром, всегда отрицательна (или, в худшем случае, равна нулю) означает, что разность фаз между напряжением и током не может упасть ниже 90 градусов.

В лоренцевом случае фазовый сдвиг между напряжением и током всегда будет составлять ровно 90 градусов, поскольку геометрия пространства-времени исключает потерю энергии на излучение.

Колебательные контуры

Резонанс в лоренцевых цепях

Базовая теория электрических цепей в применении к нашей Вселенной обычно исходит из предположения, что конденсаторы и катушки индуктивности характеризуются некоторыми фиксированными значениями емкости и индуктивности, не зависящими от проходящего через них тока. Это предположение оправданно, поскольку в лоренцевой Вселенной умеренным значениям временной частоты соответствуют длины волн, которые значительно превышают размеры стандартных электронных компонентов.

Но это вовсе не означает, что поведение электрической схемы, содержащей эти устройства, также не меняется в зависимости от частоты. В случае конденсатора величина емкости C фиксирует отношение заряда, запасенного устройством, к напряжению на его обкладках, но если мы рассмотрим соотношение между напряжением и током – вместо заряда – то частота тока войдет в это соотношение вследствие дифференцирования осциллирующего заряда. В следующих уравнениях мы обозначим через Q₀, I₀ и V₀ соответственно амплитуды осциллирующего заряда, силы тока и напряжения, мгновенные значения которых меняются по гармоническому закону.

Rendered by QuickLaTeX.com

В случае катушки индуктивности величина L фиксирует отношение напряжения к скорости изменения тока, откуда следует, что:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если мы определим емкостное реактивное сопротивление X_C и индуктивное реактивное сопротивление X_L следующим образом:

Rendered by QuickLaTeX.com

то X_C и X_L будут играть роль, аналогичную сопротивлению, причем:

$V_0 = I_0 R$ для резистора,
$V_0 = I_0 X_C$ для конденсатора,
$V_0 = I_0 X_L$ для катушки индуктивности

Заметим, что мгновенные значения напряжения в кадом из трех случаев различны: в случае резистора напряжение и ток совпадают по фазе, в случае конденсатора фаза напряжения отстает от силы тока на 90 градусов (если ток изменяется по закону косинуса, но напряжение пропорционально синусу со знаком плюс), а в случае катушки индуктивности – наоборот, на 90 градусов ее опережает (если ток меняется по закону косинуса, то напряжение пропорционально синусу со знаком минус). Это означает, что если все три устройства соединены последовательно, то есть через них течет один и тот же ток, то фазовый сдвиг между напряжениями на конденсаторе и катушке будет равен 180 градусам – иначе говоря, напряжения будут находиться точно в противофазе. Поэтому полное реактивное сопротивление:

$X = X_L - X_C$

определяет суммарное напряжение для этой пары устройств, фаза которых сдвинута относительно силы тока на 90 градусов.

Далее мы введем понятие импеданса, который характеризует как сопротивление, так и общий фазовый сдвиг φ:

Rendered by QuickLaTeX.com

С помощью этих двух величин мы можем описать полное напряжение на последовательном соединении трех устройств: конденсатора, катушки индуктивности и резистора:

Rendered by QuickLaTeX.com

При резонансной частоте ω_res индуктивность и емкость в точности компенсируют друг друга, и амплитуда силы тока, I₀, достигает максимума, который определяется исключительно сопротивлением резистора.

Чтобы привести конкретный пример, рассмотрим соленоид длиной 10 см, радусом витка 5 см и плотностью намотки 1 виток/мм. В единицах СИ его индуктивность в цепи постоянного тока будет равна 0.987 мГн.

Последовательно присоединим к соленоиду сферический конденсатор с радиусом внутренней обкладки 5 см и внешней – 5.01 см. В цепи постоянного тока его емоксть составит 2.787 нФ.

Последовательно с соленоидом и конденсатором включаем в цепь резистор с сопротивлением 1000 Ом. Наша формула дает угловую частоту резонанса, которой соответствует обычная частота ν=95.96 кГц.

На следующем графике показано, как сила тока, проходящего через все три компонента при заданном напряжении, меняется в зависимости от частоты; величины по чатсотной оси отложены в логарифмическом масштабе, а вертикальная ось нормализована таким образом, чтобы ток, проходящий через цепь, состоящую из одного резистора, был равен 1. Как и ожидалось, максимум кривой приходится на частоту около 10⁵ Гц. Наша аппроксимация, исходящая из предположения о том, что индуктивность и емкость не зависят от частоты, не учитывает ряд других резонансных частот, но они появятся лишь по достижении гигагерцового диапазона, когда длины волн станут приближаться к размерам соленоида.

Предположим теперь, что вместо соединения всех трех компонентов с осциллирующим источником напряжения, мы заряжаем конденсатор до величины Q_i, а затем просто замыкаем цепь, открывая путь электрическому току. Что произойдет дальше?

Сумма всех напряжений, составляющих контур, должна быть равна нулю:

Rendered by QuickLaTeX.com

где через β обозначена величина R/(2L). Если учесть, что Q=Q_i и dQ/dt = 0 при t=0, то в предположении, что β < ω_res данное дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

$Q(t) = Q_i \exp(- \beta t) \left( \cos(\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2} t) \cfrac{\beta}{\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2}} \sin(\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2} t) \right)$

Это уравнение описывает осциллирующую функцию, затухающую по экспоненциальному закону. Частота колебаний будет меньше резонансной частоты ω_res, при которой колебательный контур откликается на возбуждающее напряжение с наименьшим импедансом, но приближается к ней по мере уменьшения сопротивления резистора.

Резонанс в римановых цепях

Понятия, которые мы обсуждали в предыдущем параграфе, можно адаптировать для описания аналогичных ситуаций в римановой Вселенной, но есть ряд существенных отличий. Во-первых, предположение о том, что величины L и C не зависят от ω, в подавляющем большинстве случаев будет необоснованным. В римановой Вселенной длины волн достигают минимума в случае статических полей и с ростом частоты лишь увеличиваются. Рост длины волны становится заметным при больших частотах, после чего резко набирает темп; длина волны становится вдвое больше минимальной только по достижении ω = 0.866 ω_m, но уже при ω = 0.995 ω_m достигает десятикратной отметки, а при ω = 0.99995 ω_m становится в сто раз больше минимума. Таким образом, в большинстве случаев соотношение между силой тока и напряжением на катушке индуктивности или конденсаторе будет определяться взаимодействием длины волны поля с геометрией самого электронного компонента и, следовательно, будет зависеть от частоты гораздо более сложным образом, чем в формулах реактивного сопротивления, которые мы приводили выше для лоренцевой физики; исключением будут лишь электрические цепи, частота колебаний в которых близка к максимальной.

Более того, из-за порождаемого ими электромагнитного излучения римановы катушки индуктивности и конденсаторы приобретают отрицательное сопротивление, существенно зависящее от частоты колебаний. Таким образом, в выражении для сопротивления, входящего в формулы импеданса и фазового сдвига, появляется зависящее от частоты слагаемое $R_{rad}$ :

Rendered by QuickLaTeX.com

где все величины, кроме обычного сопротивления R, теперь зависят от частоты (и даже это предположение упрощает ситуацию). Таким образом, мы больше не можем дать гарантию, что минимальный импеданс Z будет достигнут на той же частоте, при которой X обращается в нуль.

Тем не менее, эти дополнительные осложнения означают, что интересным поведением может обладать даже очень простой контур. Предположим, что у нас есть соленоид, идентичный тому, который мы описывали в предыдущем параграфе: длиной 10 см, с витками радиусом 5 см и плотность намотки 1 виток/мм. Чтобы применить к нему законы римановой физики, мы предположим, что ω_m = 2 π × 10¹⁵ Гц.

На следующем графике изображено активное и реактивное сопротивление соленоида. Обратите внимание, что все представленные длины волн соответствуют частотам, которые находятся чрезвычайно близко к ω_m. Поскольку реактивное сопротивление переходит через нуль даже при наличии одного соленоида, добавлять в контур конденсатор необязательно; если бы мы соединили этот соленоид с обыкновенным резистором, уравновешивающим отрицательное сопротивление соленоида на самой длинной из тех волн, при которых его реактивное сопротивление равно нулю, то контур, состоящий только из этой пары устройств, достигал бы на этой длине волны резонанса и в принципе мог бы неограниченно долго поддерживать электрический ток. При этом соленоид бы излучал электромагнитные волны, увеличивая тем самым обычную энергию контура, которую резистор бы превращал в тепло. Законы термодинамики при этом нарушены бы не были: закон сохранения энергии выполняется в силу того, что энергия электромагнитного поля по своему смыслу противоположна тепловой/кинетической энергии, а энтропия возрастает, благодаря наличию излучения.

Удивительно, что даже поведение этого примитивного контура обладает некоторой степенью устойчивости. Если бы ток стал возрастать по экспоненте, это повлекло бы за собой расширение его частотного спектра, и хотя точка резонанса немного отличается от длины волны, соответствующей минимуму сопротивления, разница временных частот в данном случае настолько незначительна, что даже при очень малой константе роста в экспоненциальной функции расширение спектра приведет к уменьшению скорости переноса энергии от соленоида к электрическому контуру. В случае уменьшения тока тот же самый эффект, разумеется, лишь усугубил бы его падение, поэтому в данной ситуации потребовался бы дополнительный механизм регуляции (например, нелинейный резистор, сопротивление которого возрастает при увеличении силы тока), благодаря которому скорость переноса энергии к контуру оставалась бы постоянной.

Электромагнитные явления в искривленном римановом пространстве

Пока что все сказанное нами по поводу электромагнетизма было выражено в терминах декартовых координат в плоском пространстве (или, в случае лоренцевой физики, в плоском пространстве-времени). Но поскольку мы в действительности не ожидаем, что риманова Вселенная будет идеально плоской – во всяком случае, не более, чем наша собственная, – будет нелишним разобраться в том, как эти уравнения можно переформулировать для описания искривленного пространства. В качестве дополнительного бонуса мы получим возможность без особых трудностей пользоваться в плоском пространстве недекартовыми системами координат.

Если вам еще не приходилось выполнять какие-либо расчеты в искривленном пространстве-времени, то следующий далее краткий обзор может поставить вас в тупик. Для более плавного ознакомления с этим вопросом вы можете обратиться к статье, посвященной основам общей теории относительности.

В лоренцевом варианте общей теории относительности существует эмпирическое правило: при переносе уравнений из плоского в искривленное пространство-время частные производные заменяются на ковариантные. Дифференцируя векторное поле в плоском пространстве, мы неявно подразумеваем, что векторы, расположенные в различных точках, принадлежат одному и тому же векторному пространству; если мы говорим, что производная векторного поля равна нулю и, следовательно, данное поле является постоянной величиной, то это утверждение имеет смысл только в том случае, если мы можем взять вектор в точке A и сравнить его с другим вектором в точке B. Но если речь, к примеру, идет об искривленной поверхности нашей планеты, то как нам сопоставить векторное пространство скоростей, с которыми можно двигаться по земле в Лондоне, с аналогичным векторным пространством в Найроби? Даже если мы посмотрим на Землю со стороны и будем считать все эти векторы трехмерными, то все равно не сможем соотнести все скорости в одной точке со всеми скоростями в другой – а если речь идет об искривленной Вселенной, то “посмотреть на нее со стороны” невозможно в принципе.

Решение состоит в дополнении понятия производной некоторой геометрической структурой, которая называется связностью Леви-Чивиты и характеризует параллельный перенос векторов вдоль кривой линии: иначе говоря, двигаясь вдоль кривой, мы можем “перенести” по тому же маршруту вектор от ее начальной точки так, чтобы на всем пути он оставался “параллельным” своему исходному направлению, согласно определению связности. Связность Леви-Чивиты имеет преимущество в том плане, что она совместима с метрикой; метрика задает скалярное произведение в искривленном пространстве, а связность Леви-Чивиты позволяет осуществить параллельный перенос двух векторов, не меняя их скалярного произведения. Ковариантная производная позволяет рассчитать производную векторного поля относительно связность Леви-Чивиты: параллельный перенос вектора с помощью связности Лечи-Чивиты является стандартом, утверждающим: “этот вектор остается неизменным”; любые изменения, выходящие за его рамки, обнаруживаются посредством ковариантной производной.

Чтобы конкретизировать сказанное, рассмотрим в искривленном пространстве векторное поле v, компоненты которого в некотором координатном базисе имеют вид v^b. Тогда ковариантная производная данного векторного поля в одном из координатных направлений a выражается так:

$\nabla_a v^b = \partial_a v^b + \Gamma^b{}_{ca} v^c$

где Γ – связность Леви-Чивиты, которая показывает нам, как нужно скорректировать частную производную, чтобы результат дифференцирования учитывал параллельный перенос векторов. Если g_ab и g^ab – компоненты метрического тензора в нашей системе координат, то компоненты связности Леви-Чивиты Γ (часто называемые символами Кристоффеля) имеет вид:

$\Gamma^b{}_{ca} = \cfrac{1}{2} g^{bk} \left( \partial_a g_{kc} + \partial_c g_{ka} - \partial_k g_{ca} \right)$

Заметим, что связность Γ симметрична по двум последним индексам: $\Gamma^b{}_{ca} = \Gamma^b{}_{ac}$ .

Мы можем обобщить понятие параллельного переноса вектора на произвольный тензор. Например, если мы осуществляем параллельный перенос векторов v и w из точки A в точку B с помощью связности Леви-Чивиты, получая в результате векторы v‘ и w‘ в точке B, то параллельный перенос тензоров ранга (2,0) из A в B определяется таким образом, что v ⊗ w в точке A переходит в v‘ ⊗ w‘ в точке B. Для дуальных векторов мы вводим требование: если для дуального вектора α в точке A имеет место α(v) = c, то параллельный перенос α из A в B дает в результате вектор α‘, такой, что α‘(v‘) = c.

Эти требования позволяют нам получить следующие выражения для ковариантных производных от тензоров необходимого нам вида:

$\nabla_a A_b = \partial_a A_b - \Gamma^h{}_{ba} A_h$
$\nabla_a F_{bc} = \partial_a F_{bc} - \Gamma^h{}_{ba} F_{hc} - \Gamma^h{}_{ca} F_{bh}$
$\nabla_a F^{bc} = \partial_a F^{bc} + \Gamma^b{}_{ha} F^{hc} + \Gamma^c{}_{ha} F^{bh}$

Применяя второе из этих уравнений к метрике и пользуясь определением Γ, мы получаем ∇_a g_bc = 0. По сути наше определение Γ было выбрано именно с этим расчетом: Γ – это связность, по отношению к которой метрический тензор считается константой.

Если в уравнениях электродинамики мы заменим частные производные ковариантными, то получится следующее:

Римановы уравнения Прока в искривленном пространстве

$\nabla_b F^{ab} - \omega_m^2 A^a - j^a = 0$	(Риманова часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

$\nabla_b F^{ab} - j^a = 0$	(Лоренцева часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Почему в общем уравнении, которое выполняется как в римановой, так и в лоренцевой версии электродинамики, по-прежнему стоят частные, а не ковариантные производные? Если мы запишем это уравнением с ковариантными производными и воспользуемся тем фактом, что тензор F_bc антисимметричен, в то время как связность Γ симметрична по двум последним индексам, то все корректирующие слагаемые взаимно уничтожатся и останутся только частные производные.

Точно так же корректирующие слагаемые исчезают и в соотношении между электромагнитным полем F и 4-потенциалом A.

Выражение поля через 4-потенциал

(Общая часть)

Отсюда следует, что общее часть в римановых уравнениях Прока и уравнениях Максвелла опять-таки выполняется просто за счет данного определения F через компоненты A, поскольку ничего не меняется, и в формуле фигурируют те же самые частные производные, которые мы видели в случае плоского пространства-времени.

Теперь мы переходим к следующему шагу, где нас ожидает небольшой подвох. В плоском пространстве или пространстве-времени частные производные коммутируют друг с другом: если мы дифференцируем два раза подряд, то порядок производных не имеет значения. В случае с ковариантными производными в искривленном пространстве это не так – более того, сам факт некоммутируемости ковариантных производных имеет непосредственное отношение к идее кривизны как таковой.

Предположим, что мы последовательно ковариантно дифференцируем векторное поле v вдоль двух различных направлений, обозначенных индексами a и b, в прямом и обратном порядке. Разность между двумя производными равна:

$\nabla_a \nabla_b \mathbf{v} - \nabla_b \nabla_a \mathbf{v} = R^h{}_{cab} v^c \mathbf{e}_h$

где e_h – базисный вектор в направлении координатной оси, заданной индексом h, а четырехиндексный тензор R – это так называемый риманов тензор кривизны (названный, разумеется, в честь того же самого Георга Фридриха Бернхарда Римана, которого мы упоминали все это время; в искривленном лоренцевом пространстве-времени этот тензор, впрочем, так же полезен, как и в искривленном римановом пространстве). Явным образом выразив ковариантные производные через связность Леви-Чивиты, мы можем представить компоненты риманова тензора кривизны в виде:

$R^h{}_{cab} = \partial_a \Gamma^h{}_{cb} - \partial_b \Gamma^h{}_{ca} + \Gamma^h{}_{ka} \Gamma^k{}_{bc} - \Gamma^h{}_{kb} \Gamma^k{}_{ca}$

Предположим теперь, что 4-потенциал A удовлетворяет ковариантной версии поперечного условия или лоренцевой калибровки:

$\nabla_b A^b = 0$

где к повторяющимся индексам, как обычно, применяется соглашение Эйнштейна о суммировании. Тогда выражение ∇_b ∇_a A^b было бы равно нулю, если бы ковариантные производные коммутировали друг с другом…, но это не так, поэтому результат получается иным:

$\nabla_b \nabla_a A^b = \nabla_b \nabla_a A^b - \nabla_a \nabla_b A^b = R^b{}_{cba} A^c = R_{ca} A^c$

где двухиндексный тензор R, называемый тензором Риччи, вычисляется посредством “свертки” риманова тензора кривизны, то есть суммированием по паре его индексов.

Если мы воспользуемся этим фактом, чтобы выразить ∇_b F^ab – которое входит как в риманово уравнение Прока, так и в уравнения Максвелла – через 4-потенциал A, то окажется, что:

$\begin{equation*} \begin{split} & \nabla_b F^{ab} = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} \nabla_b F_{\alpha \beta} = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} \nabla_b (\nabla_{\alpha} A_{\beta} - \nabla_{\beta} A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} (\nabla_b \nabla_{\alpha} A_{\beta} - \nabla_b\nabla_{\beta} A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} (\nabla_b \nabla_{\alpha} A^b - \nabla_b\nabla^b A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} (R_{c \alpha} A^c - \nabla_b\nabla^b A_{\alpha}) = \\ & = R_c{}^a A^c - \nabla_b\nabla^b A^a \end{split} \end{equation*}$

Теперь мы можем выразить все через 4-потенциал A:

Уравнения векторной римановой волны
в искривленном пространстве

$\nabla_b \nabla^b A^a - R_c{}^a A^c + \omega_m^2 A^a + j^a = \mathbf{o}$	(ВРВИ)
$\nabla_c A^c = 0$	(Поперечное условие)

Уравнения Максвелла для 4-потенциала
с лоренцевой калибровкой
в искривленном пространстве-времени

$\nabla_b \nabla^b A^a - R_c{}^a A^c + j^a = \mathbf{o}$	(ВЛВИ)
$\nabla_c A^c = 0$	(калибровка)

Поскольку мы уже затронули тему волновых уравнений в искривленном пространстве, то заодно можем привести здесь и модифицированное уравнение скалярной волны. Ковариантная производная скалярной величины совпадает с частной производной в том же направлении, а градиент скаляра можно определить, не ссылаясь ни на метрику, ни на связность Леви-Чивиты. Тем не менее, сумма вторых производных по всем осям координат, упоминаемым в уравнении скалярной римановой волны, будет независимой от системы координат только при условии, что мы, в общем случае, будем вычислять ее как дивергенцию градиента с использованием ковариантных производных:

$(\mathrm{grad} A)_j = \partial_j A$
$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A = g^{ij} (\partial_i \partial_j A - \Gamma^k{}_{ji} \partial_k A)$

Эта операция, представляющая собой обобщение лапласиана, называется оператором Лапласа-Бельтрами. Если метрический тензор содержит только диагональные компоненты, что верно для многих координатных систем, определитель метрики очень легко вычислить как произведение элементов, стоящих на диагонали. Если мы обозначим через |g| абсолютное значение определителя метрического тензора, то оператор Лапласа-Бельтрами можно представить в следующем виде:

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A = \cfrac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left( \sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j A \right)$

Пользоваться этой формулой проще, чем обременять себя вычислением символов Кристоффеля. Даже если это уравнением не встречалось вам раньше, поразглядывав его достаточно долго, вы, вероятно, узнаете в нем соотношение, лежащее в основе известных вам выражений лапласиана в сферических или цилиндрических координатах.

Уравнение скалярной римановой волны с источником
в искривленном пространстве

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A + \omega_m^2 A + j = 0$

(СРВИ)

Уравнение скалярной лоренцевой волны с источником
в искривленном пространстве-времени

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A + j = 0$

(СЛВИ)

Дополнительные материалы: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграфы 16.3 и 22.4).

Граничные условия

Начиная разговор о римановых волновых уравнениях, мы уже упоминали, что данные уравнения сопряжены с серьезной проблемой: они допускают решения, угловая частота которых в одном направлении превышает ω_m, в то время как величина волны в другом направлении растет по экспоненте. Удобные и удобные в плане анализа плоские волны, которые мы вывели из уравнения скалярной римановой волны, характеризуются тем, что сумма квадратов их частот по всем четырем измерениям равна постоянной величине, ν_max², поэтому ни одна из этих частот не может превышать ν_max. Тем не менее, уравнение само по себе не исключает решений с экспоненицальным множителем: так, cos (kx) exp(αt) будет удовлетворять уравнению СРВ при условии, что k² – α² = ω_m².

Если вы уже прочитали первый том трилогии Ортогональная Вселенная, то знаете, как можно избежать подобных экспоненциальных решений. Если же вы не читали книгу, но уже добрались до этого места в наших заметках, несмотря на предупреждение о спойлерах, то сейчас вам предоставляется последняя возможность, чтобы передумать и не читать дальше.

Развернуть

Если риманова Вселенная конечна, но не имеет границы, то потребовав, чтобы решения волновых уравнения были непрерывными и имели непрерывные производные, мы исключим решения с экспоненциальным множителем. В отличие от экспоненты, периодическая функция в силу своих свойств может гладким образом замкнуться сама на себя, когда ее аргумент меняется в соответствии с уравнением некоторой замкнутой кривой. (При переходе от свободной волны в вакууме к полю с источником все становится немного сложнее – некоторые примеры мы рассмотрим в следующих параграфах.)

До этого момента мы, как правило, считали риманову Вселенную бесконечным, идеально плоским четырехмерным пространством, отмечая, тем не менее, что это всего лишь аппроксимация, подобная плоскому пространству-времени Минковского, которое служит приближенной, но при этом полезной моделью лоренцевой Вселенной. В том же ключе мы можем рассмотреть и две идеализированные модели римановой Вселенной, которые являются конечными, но по-прежнему опираются на ряд упрощающих допущений относительно ее кривизны. В одной из этих моделей, четырехмерном торе, риманова Вселенная также является идеально плоской. Во второй модели, представляющей собой четырехмерную сферу, Вселенная обладает постоянной положительной кривизной.

Четырехмерный тор

Рассмотрим область плоского четырехмерного пространства в форме прямоугольной гиперпризмы. Координаты (x, y, z, t) этой области мы выберем таким образом, чтобы они находились в пределах от –L^x/2 до L^x/2, от –L^y/2 до L^y/2, от –L^z/2 до L^z/2 и от –L^t/2 до L^t/2 соответственно. Далее, будем считать, что каждая из восьми трехмерных гиперграней данной гиперпризмы “приклеена” к противоположной. Например, все точки вида (x, y, z, –L^t/2) отождествляются с соответствующими точками вида (x, y, z, L^t/2). Это четырехмерный аналог процедуры, которая совмещает друг с другом противоположные стороны прямоугольника на плоскости, превращая его в тор.

Следует, однако же, заметить, что 4-пространство в целом остается идеально плоским; мы не “сворачиваем” гиперпризму в пространство большей размерности, мы просто предписываем, что данная модель римановой Вселенной конечна во всех направлениях и что ее топология принимает описанную нами форму, которая называется 4-тором. Сделанный нами выбор топологии не требует, чтобы кривизна 4-пространства была всюду равна нулю, но он определенно это допускает.

Далее мы будем называть эту модель Вселенной T⁴. Мы примем как данность тот факт, что 4-пространство в целом является плоским и что координаты выбраны так, как было показано выше. Выбор начала отсчета или точек, в которых координаты скачкообразно меняется с Lⁱ/2 на –Lⁱ/2, разумеется, не имеет какого особого физического смысла, и любое решение уравнений римановой физики, полученное в наших первоначальных координатах, останется верным и после параллельного переноса на произвольный вектор. С другой стороны, граничные условия, диктуемые формой Вселенной T⁴ не обладают вращательной симметрией, поэтому если мы возьмем некоторое решение и подвергнем его произвольному повороту, то оно, вообще говоря, уже не будет удовлетворять данным граничным условиям.

Любую достаточно хорошую скалярную функцию A(x, y, z, t), заданную на T⁴, можно представить в виде ряда Фурье:

$A(x, y, z, t) = \sum \limits_{i, j, k, l} a_{i, j, k, l} f_{i, j, k, l}(x, y, z, t)$

где суммирование ведется по всем целочисленным значениям (положительным, отрицательным и нулю) i, j, k, l, и:

Rendered by QuickLaTeX.com

Функции f_{i, j, k, l} мы будем назвать функциями Фурье-базиса T⁴. Если ввести внутреннее произведение функций как интеграл по пространству T⁴:

$\left< f, g \right> = \displaystyle \int \limits_{T^4} fg$

то различные функции базиса будут ортогональны друг другу, а квадрат нормы любой из них будет равен V / 16, где V = L^x L^y L^z L^t – четырехмерный объем пространства T⁴.

Каждая из функций базиса представляет собой стоячую волну, совершающую в объеме Вселенной по |i|, |j|, |k| и |l| колебаний в направлениях осей x, y, z и t соответственно. Мы можем явным образом вычислить коэффициенты Фурье a_{i, j, k, l} для заданной функции A(x, y, z, t):

$a_{i, j, k, l} = \cfrac{16}{V} \displaystyle \int \limits_{T^4} f_{i, j, k, l}(x, y, z, t) A(x, y, z, t)$

Далее нам бы хотелось узнать, существует ли функция f_{i, j, k, l}(и если да, то какая), удовлетворяющая риманову уравнению скалярной волны без источника. Применяя соответствующее дифференциальное уравнение к функциям Фурье-базиса, мы получаем алгебраическое уравнение:

$\left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 = \nu_{max}^2$

где ν_max = ω_m / (2 π). Если числа Lⁱ и ν_max выбираются совершенно произвольным образом, то этому уравнению не будут удовлетворять никакие целые числа i, j, k, l. Таким образом, нам нужно рассмотреть два варианта: общий случай, в котором СРВ-уравнение без источника, вообще говоря, не имеет решений, и частный случай, в котором значения Lⁱ и ν_max допускают существование каких-либо решений.

Частный случай, допускающий решения без источника

Чтобы проиллюстрировать данный вариант примером, рассмотрим ситуацию, в которой все Lⁱ = 1, а ν_max = √90. Тогда любой четверке целых чисел i, j, k, l, сумма квадратов которых равна 90, будет соответствовать функции Фурье-базиса f_{i, j, k, l}, удовлетворяющие уравнению СРВ. С учетом всех перестановок и вариантов выбора знака, количество таких целочисленных четверок составляет 1872, однако все их можно получить из следующих девяти равенств:

0²+0²+3²+9² = 90
0²+1²+5²+8² = 90
0²+4²+5²+7² = 90
1²+2²+2²+9² = 90
1²+2²+6²+7² = 90
1²+3²+4²+8² = 90
2²+5²+5²+6² = 90
3²+3²+6²+6² = 90
3²+4²+4²+7² = 90

Если бы отношение размера римановой Вселенной к минимальной длине световой волны было сравнимо, скажем, с размером нашей наблюдаемой Вселенной, выраженном в длинах волн ультрафиолетового света, то есть около 10³⁴, то число решений, соответствующих выбору подходящих значений Lⁱ и ν_max было бы крайне велико. Мы не станем углубляться в вопросы теории чисел, связанные с подсчетом количества решений (в качестве ознакомления можно обратиться к статье о функции “Сумма квадратов” энциклопедии MathWorld), но с интуитивной точки зрения кажется правдоподобным, что в масштабах всего космоса число дискретных решений вполне может оказаться настолько большим, чтобы создать иллюзию непрерывности. Другими словами, несмотря на то, что плоские волны без источника в римановой Вселенной могут двигаться лишь вдоль конечного числа конкретных волновых векторов, их фактический набор будет настолько велик, чтобы казаться континуумом, включающим в себя абсолютно все направления.

Поскольку все решения для случая без источника построены из конечного числа функций Фурье-базиса, они всюду будут гладкими и конечными. Ни одна из их частот по какому-либо из направлений не может превышать ν_max, а сами решения можно с равным успехом представить в виде суперпозиции конечного числа плоских волн – именно так мы изначально и представляли себе построение общего решения волнового уравнения.

Что можно сказать о решениях скалярного волнового уравнения с источником, который мы обозначим H?

$\partial_x^2 A(\mathbf{x}) + \partial_y^2 A(\mathbf{x}) + \partial_z^2 A(\mathbf{x}) + \partial_t^2 A(\mathbf{x}) + \omega_m^2 A(\mathbf{x}) + H(\mathbf{x}) = 0$

(СРВИ)

Если мы разложим в ряд Фурье функции A и H – с коэффициентами a и h соответственно, – то:

$a_{i, j, k, l} \left[ \left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 - \nu_{max}^2 \right] = \cfrac{h_{i, j, k, l}}{4 \pi^2}$

Для значений i, j, k, l, удовлетворяющих уравнению без источника – и, следовательно, обращающих в нуль выражение в квадратных скобках – Фурье-коэффициенты источника h_{i, j, k, l} должны быть равны нулю, так как в противном случае решения просто не будет, в то время как a_{i, j, k, l} можно выбрать произвольным образом. Для всех остальных значений приведенное выше уравнение можно решить, получив в результате:

$a_{i, j, k, l} = \cfrac{h_{i, j, k, l}}{4 \pi^2 \left( \left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 - \nu_{max}^2 \right)}$

Таким образом, информация об источнике позволяет рассчитать все коэффициенты, не соответствующие решениям без источника, после чего мы можем свободно добавлять любые дополнительные решения без источника по собственному выбору.

Общий случай, не допускающий решения без источника

Если значения Lⁱ и ν_max выбираются произвольно, то ни одна из функций Фурье-базиса, вообще говоря, не будет решением СРВ-уравнения без источника. В этом случае ни одна из Фурье-компонент источника не обязана равняться нулю и для получения решения мы всегда можем использовать:

подразумевая сходимость соответствующего ряда Фурье.

Плоскостный заряд

В качестве очень простого примера рассмотрим неподвижный плоский лист с единичным зарядом – так, чтобы он лежал в плоскости yz, рассекая пополам риманову Вселенную T⁴. Источник временной компоненты 4-потенциала в таком случае будет описываться одномерной дельта-функцией Дирака по координате x. Так как в этом примере все функции будут зависеть только от x, мы опустим в обозначениях компонентов и интегралов Фурье оставшиеся три размерности, а L^xобозначим просто как L.

В этом случае ненулевые коэффициенты Фурье, описывающие источник, будут иметь вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Конкретно этот источник может существовать только при условии, что ν_max L не является целым числом, поэтому мы будем исходить из допущения, что это действительно так. Тогда ненулевые Фурье-компоненты решения, описывающего временную компоненту 4-потенциала, будут равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы не станем вычислять сумму соответствующего ряда Фурье напрямую, а воспользуемся другим методом. Используя симметрию задачи и риманову версию теоремы Гаусса, можно легко установить, что 4-потенциал, связанный с единичным плоскостным зарядом в отсутствие граничных условий имеет вид:

$A_{t, src} = - \cfrac{\sin(\omega_m |x|)}{2 \omega_m}$

С другой стороны, у нас есть решение без источника, которое обладает точно такой же симметрией и которое мы можем свободно прибавить к предыдущему с произвольным коэффициентом:

$A_{t, nsrc} = \cfrac{\cos(\omega_m x)}{2 \omega_m}$

Обе функции четны по переменной x (т. е. их значение не зависит от знака x при любом x), поэтому любое решение будет непрерывным в точке x=±L/2. Но поскольку производная четной функции принимает в точках ±x противоположные значения, то решение может гладко замыкаться само на себя при x=±L/2 только в том случае, когда производная в этих точках равна нулю. Подбирая константу C в общем решении A_{t, src} + C A_{t, nsrc} мы можем добиться обращения производной в нуль при x=±L/2. После упрощений результат принимает вид:

$A_{t, bc} = - \cfrac{\cos(\pi \nu_{max} (L - 2 |x|))}{4 \pi \nu_{max} \sin (\pi \nu_{max} L)}$

Фурье-коэффициенты функции A_{t, bc} в точности совпадают с теми, которые мы привели выше, откуда следует, что оба метода согласуются друг с другом. Данное решение описывает фазовый сдвиг потенциала, благодаря которому он может гладким образом оборачивать Вселенную, сохраняя при этом именно такой разрыв на плоскостном заряде, который необходим для выполнения в этой области теоремы Гаусса.

Линейный заряд

Рассмотрим неподвижный отрезок с единичным зарядом, расположенный на оси z римановой Вселенной T⁴. Источник временной компоненты 4-потенциала будет представлять собой дельта-функцию Дирака от переменных x и y. Мы опустим координаты z и t в обозначениях коэффициентов Фурье и для простоты будем считать, что L^x = L^y = L. Ненулевые коэффициенты Фурье, соответствующие источнику, равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Такой источник возможен лишь при условии, что L² ν_max² не является суммой квадратов двух целых чисел, поэтому мы будем считать, что это условие выполнено. Ненулевые коэффициенты в Фурье-разложении решения, описывающего временную компоненту 4-потенциала, имеют вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы можем явным образом выразить сумму по одному из индексов и свести это выражение к ряду Фурье по другому индексу. Представить выражение целиком в замкнутой форме нельзя, однако уменьшив количество индексов вдвое, мы упрощаем применение численных методов.

Rendered by QuickLaTeX.com

Заметим, что вначале, пока j / L не превосходит ν_max, α_j будет принимать мнимые значения, а пока эти величины являются мнимыми, функции β_j(u) будут иметь колебательный характер, поскольку гиперболический косинус мнимого аргумента ix – это просто косинус x.

При вещественных α_j функции β_j(u) монотонно убывают от положительного максимума, соответствующего u = 0 до минимума (также положительного), который достигается при u = 1/2 и соответствует точке, удаленной от источника на расстояние, равное половине ширины Вселенной. Падение не является экспоненциальным в буквальном смысле – поcкольку экспоненциально затухающая функция никогда не достигает минимума – но очень на него похоже. Таким образом, неосциллирующие слагаемые очень быстро убывают по мере увеличения расстояния от источника.

На следующих графиках, изображающих изолинии нулевого потенциала в плоскости, перпендикулярной линии заряда, видно, как форма поля искажается под действием рассмотренных нами граничных условий. [Поскольку на графике не показаны изолинии ненулевых потенциалов, судить о величине поля мы не можем – по сути расстояние между изолиниями в данном случае представляет собой всего лишь длину волны.] На верхнем графике изображена Вселенная в целом – при этом параметры выбраны таким образом, что в L всего несколько длин волн, и эффект выражен сильно. На нижнем графике показана область того же размера (выраженного в длинах волн), однако теперь это лишь малая часть Вселенной, уступающая ей по размеру в тысячу раз – в этом случае уже в окрестности заряда поле начинает приобретать более радиально симметричный вид. Таким образом, несмотря на то, что увидеть, как поле теряет радиальную симметрию под влиянием граничных условий, было бы довольно интересно, во Вселенной реалистичных размеров – диаметром не менее 10³⁰ длин волн или около того – обнаружить соответствующие эффекты опытным путем, скорее всего, будет невозможно.

Линейный переменный ток

Первоначальной мотивацией, которой мы руководствовались, вводя эти граничные условия, было избежать экспоненциального взрыва высокочастотных волн. Мы убедились в том, что если во Вселенной T⁴ могут существовать волны без источника, то их частота гарантированно не превосходит гипотетической максимальной частоты, входящей в волновое уравнение. Таким образом, возникает очевидный вопрос: что произойдет во Вселенной T⁴ при наличии некоторого источника, совершающего колебаний с частотой, превышающей этот максимум?

Простейшей в плане анализа разновидностью источника является линейный переменный ток. Если ток движется вдоль оси z римановой Вселенной T⁴, совершая колебания с частотой l_AC / L^t, где l_AC – некоторое целое число, то во временном направлении Фурье-коэффициенты источника и решения волнового уравнения будут совпадать, что позволяет нам исключить их из рассмотрения и практически без изменений применить метод предыдущей задачи для учета пространственной зависимости данного решения. Отличие состоит в том, что к сумме квадратов индексов, которая раньше состояла из одного слагаемого j² прибавляется постоянный член l_AC². Как и ранее, в целях простоты мы будем считать, что ширина Вселенной по всем направлениям (включая выбранную нами ось времени) одинакова и равна L. В этом случае:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если частота колебаний тока, l_AC / L, превосходит ν_max, то выражение под знаком квадратного корня в определении α_j всегда будет положительным и, следовательно, α_j будет вещественным числом при любом j. Как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, при вещественном α_j функции β_j(u) убывают, довольно сильно напоминая своим поведением экспоненциальное затухание – правда, в отличие от последнего достигают минимума, в котором их производная равна нулю, на расстоянии, равном половине размера Вселенной.

Мы не можем выразить бесконечную сумму по j в замкнутой форме, но результат суммирования большого количества членов этого ряда показан на следующем графике. Очевидно, что высокочастотные колебания источника будут сопровождаться полем, которое играет заметную роль лишь вблизи самого источника и с увеличением расстояния затухает гораздо быстрее, чем поле излучения, окружающее линейный переменный ток с частотой меньше ν_max.

Данные коши и предсказания

В нашей Вселенной, где свет в вакууме подчиняется уравнению лоренцевой волны, мы можем, зная одновременно величину электромагнитного поля и значение его производной по времени во всех точках некоторой области пространства R и в определенный момент t₀, предсказать, какой будет величина поля по прошествии некоторого времени. Электромагнитные волны, конечно же, всегда могут попасть внутрь этой области через ее границу, так что по мере удаления текущего момента времени от t₀ область пространства, в которой мы можем делать прогнозы, будет сжиматься со скоростью света, но с принципиальной точки зрения в пространстве-времени всегда будет существовать конкретная, четко определенная область, в пределах которой наши начальные данные позволяют нам предсказывать будущую величину поля.

Данные такого рода – значение функции и ее производной по времени во всех точках некоторой пространственной области и в конкретный момент времени – называются данными Коши. Тот факт, что данные Коши позволяют нам отчасти заглядывать в будущее, есть следствие самой природы уравнений лоренцевой волны, представляющих собой гиперболические дифференциальные уравнения второго порядка.

Другим примером гиперболического уравнения, позволяющего использовать данные Коши, может служить волновое уравнение, описывающее малые колебания упругой струны. Предположим, что струна имеет конечную длину и оба ее конца закреплены. Тогда, зная, чему в конкретный момент равно смещение струны и его производная по времени во всех точках струны, мы в принципе можем предсказать движение струны в любой будущий момент. Более того, даже если бы наши знания ограничивались лишь частью струны, в силу того, что скорость бегущих по ней волн не может превосходить некоторого максимального значения c_max, мы все равно могли бы с уверенностью сделать прогноз в отношении той части струны, которая получится в результате сжатия известного нам фрагмента, который с каждого из концов укорачивается со скоростью c_max.

Римановы волновые уравнения, в отличие от лоренцевых, относятся к классу эллиптических дифференциальных уравнений. Как правило, для того, чтобы решить эллиптическое дифференциальное уравнение в некоторой области, требуются данные о значениях решения на всей ее границе. Частные случаи эллиптических дифференциальных уравнений в нашей Вселенной относятся к областям пространства, а не пространства-времени. Так, равновесная температура, достигаемая в твердых телах, описывается эллиптическим дифференциальным уравением – так называемым уравнением Лапласа – и для того, чтобы определить температуру во всех точках некоторой области данного твердого тела в общем случае нужно знать температуру во всех точках, расположенных на границе этой области. Знание температуры, скажем, на одной из граней железного куба – вместе с соответствующей производной в направлении от этой грани к центру куба, что в совокупности как раз и составляет данные Коши – не дает надежного способа вычислить температуру во всех точках куба.

Предположим, к примеру, что мы располагаем информацией всего об одной грани куба, а грань, расположенная напротив нее, характеризуется распределением температуры, состоящим из близко расположенных горячих и холодных полос, чередующихся друг с другом. Наши данные в таком случае могли бы описывать чрезвычайно слабый и размытый отголосок этих полос. Последовательное изменение температуры между известной нам и противоположной гранью включает в себя экспоненциальный рост разницы температур, который значительно усилит любые погрешности, имеющиеся в наших данных, вплоть до того, что наличие только лишь информации о размытых полосах и их производных служит довольно слабым ориентиром в отношении точных значений температуры на противоположной грани. Если же вместо одной грани мы бы располагали информацией о температуре на всех гранях куба, то интерполяция распределения температуры внутри области, удовлетворяющей уравнению Лапласа, давала бы гораздо более надежные результаты.

В бесконечной римановой Вселенной задача предсказания решений волновых уравнений на основе данных Коши была бы настолько же трудоемкой, как и попытка рассчитать температуру внутри куба, располагая только данными об одной из его граней. Поскольку уравнение является эллиптическим, мы могли бы прийти к выводу, что его решения допускают лишь постгнозирование: вначале мы собираем данные о начальных значениях поля в некоторой области пространства, его конечных значениях по прошествии некоторого интервала времени, а также о событиях, произошедших в течение этого интервала на границе той же самой области, а затем используем всю эту информацию на границе интересующего нас фрагмента 4-пространства, чтобы постфактум рассчитать эволюцию поля внутри него. Такая ситуация допускала бы проверку законов физики, но заметно бы усложнила предвидение будущего и подготовку к грядущим событиям.

В конечной римановой Вселенной – например, такой, как Вселенная T⁴, – дела обстоят несколько лучше. Поскольку в T⁴волны без источника могут состоять лишь из конечного числа функций Фурье-базиса, то сумев определить все соответствующие коэффициенты, мы узнаем полную историю волны. При добавлении источника – который и сам должен удовлетворять уравнению того же самого общего вида – задача становится сложнее, но принцип решения остается тем же.

Для простоты ограничимся рассмотрением скалярной волны без источника. Допустим, что нам известна величина самой волны и ее производной по времени во всем пространстве на конкретный момент. Мы введем систему координат таким образом, чтобы моменту времени, о котором у нас есть данные, соответствовало t=0, где в качестве “времени”, разумеется, может выступать любое из четырех направлений, задающих замкнутый путь на поверхности тора.

Предположим, что некоторые из функций Фурье-базиса f_{i, j, k, l} являются решениями волнового уравнения без источника. Если l ≤ 0, то зависимый от времени множитель, входящий в эту функцию, f_l(t / L^t), будет представлять собой либо косинус, либо постоянную функцию и, следовательно, будет отличен от нуля при t=0, так что коэффициент при f_{i, j, k, l} можно определить просто за счет Фурье-анализа наших данных в момент t=0. Если же l > 0, то зависящий от времени множитель окажется синусом и, значит, будет равен нулю при t=0. Зато его производная при t=0 будет отлично от нуля, поэтому соответствующий коэффициент можно будет вычислить, подвергнув Фурье-анализу данные о значении производной по времени в момент t=0. Таким образом, располагая данными как о самом решении, так и о его производной, мы можем вычислить коэффициенты всех базисных функций, входящих в разложение волны без источника и, следовательно, рассчитать величины волны в любой момент времени – как в прошлом, так и в будущем.

Разумеется, было бы абсурдным предполагать, что кто-либо из обитателей римановой Вселенной может обладать информацией о величине электромагнитного поля в масштабе всей Вселенной. С другой стороны, пытаясь спрогнозировать события нашей собственной Вселенной на ближайшие пять минут, мы никогда не обладаем идеальной информацией обо все, что происходит вокруг нас в радиусе пяти световых минут (около 90 миллионов километров). Но это не мешает нам проверять научные теории и достаточно точно предугадывать будущее, чтобы обеспечить свое выживание – пока что. Дело в том, что занимаемая нами область пространства-времени достаточно упорядочена и спокойна, и это позволяет нам в большинстве случаев действовать, исходя из допущения, что наиболее важные источники электромагнитного излучения расположены вблизи нас – как, например, Солнце – и как следствие, обладают хорошо известным и относительно предсказуемым поведением. Тот факт, что законы физики допускают внезапные и массивные притоки излучения от неизвестных нам источников, которые, случись подобное, застали бы нас врасплох, не лишил нас ни способности заниматься наукой, ни возможности планировать собственное будущее.

В своей классической статье “Is ‘the Theory of Everything’ Merely the Ultimate Ensemble Theory?” (“Является ли “теория всего” не более, чем теорией конечного ансамбля”), Макс Тегмарк высказывает предположение, что эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие Вселенную без времениподобных направлений, исключают возможность прогнозирования будущего и, как следствие, сильно затрудняют эффективное функционирование “субструктур, обладающих самосознанием”, как он сам их называет. Но если риманова Вселенная конечна и в ней существуют относительно спокойные и упорядоченные локальные области – а именно эти качества лежат в основе нашей эволюции и процветания – то строгая зависимость между возможностью прогнозирования и наличием данных Коши, охватывающих всю Вселенную, будет ограничивать потенциал биологической эволюции не более, чем аналогичная зависимость между наличием данных Коши для области радиусом 90 миллионов километров и возможность предугадать события ближайших пяти минут.

Четырехмерная сфера

Граница гипершара в пятимерном пространстве представляет собой конечное четырехмерное пространство, не имеющее границы и называемое четырехмерной сферой, или S⁴. 4-сфера не обязательно должна быть вложена в пространство большей размерности и не обязана иметь постоянную кривизну, однако в целях простоты мы рассмотрим риманову Вселенную, которая не только характеризуется данной топологией, но и действительно обладает всеми геометрическими свойствами, которые 4-сфера имеет, будучи вложенной в пятимерное пространство. Если мы обозначим радиус гиперсферы через R, то ее четырехмерный объем будет равен:

$V = \cfrac{8}{3} \pi^2 R^4$

а максимальная длина любой геодезической в пределах 4-сферы составит 2πR. Скалярная кривизна Риччи – которая характеризует, насколько медленнее объем шара растет с увеличением его радиуса по сравнению с шаром в евклидовом пространстве – в каждой точке будет равна 12 / R².

Замечательное свойство S⁴ как модельной Вселенной состоит в том, что она более симметрична, чем T⁴. Если мы рассмотрим симметрии S⁴, при которых некоторая точка остается неподвижной, то окажется, что они образуют ту же самую группу O(4), что и в случае евклидова пространства. А вместо параллельных переносов евклидова пространства мы просто расширяем эту группу до O(5).

Но это удобство имеет свою цену – теперь нам приходится иметь дело с искривленным 4-пространством. В отличие от T⁴ пространство с топологией S⁴ не может быть абсолютно плоским во всех своих точках. Почему? При четных n Эйлерова характеристика Sⁿ всегда равна 2 (доказать это можно, просто подсчитав количество элементов гиперкуба). Согласно обобщенной формуле Гаусса-Бонне, эйлерова характеристика равна интегралу от некоторой функции, связанной с кривизной пространства, и если кривизна равна нулю, то этот интеграл также должен обратиться в нуль – что противоречит известному значению эйлеровой характеристики.

Мы можем ввести на S⁴некоторое подобие полярных координат, представленных четырьмя углами:

$0 \leqslant \xi \leqslant \pi$
$0 \leqslant \psi \leqslant \pi$
$0 \leqslant \theta \leqslant \pi$
$0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$

с помощью которых точку на 4-сфере радиуса R в пятимерном пространстве можно параметрически представить в виде:

$(R \cos \xi, R \sin \xi \cos \psi, R \sin \xi \sin \psi \cos \theta, R \sin \xi \sin \psi \sin \theta \cos \varphi, R \sin \xi \sin \psi \sin \theta \sin \varphi)$

С точки зрения этих координат метрика имеет диагональную форму и ее ненулевые компоненты равны:

$g_{\xi \xi} = R^2$
$g_{\psi \psi} = R^2 \sin^2 \xi$
$g_{\theta \theta} = R^2 \sin^2 \xi \sin^2 \psi$
$g_{\varphi \varphi} = R^2 \sin^2 \xi \sin^2 \psi \sin^2 \theta$

откуда следует, что квадратный корень из определителя метрики равен:

$\sqrt{|g|} = R^4 \sin^3 \xi \sin^2 \psi \sin \theta$

Подобно тому, как скалярную функцию в T⁴ можно разложить в ряд Фурье, любую достаточно хорошую функцию в пространстве S⁴ можно представить в виде суммы четырехмерных сферических гармоник:

Rendered by QuickLaTeX.com

где P – присоединенная функция Лежандра первого рода. Индексы m, j, k, l являются целыми числами, которые удовлетворяют следующим условиям:

$0 \leqslant |m| \leqslant j \leqslant k \leqslant l$

Функция Φ_m(φ) имеет простую тригонометрическую форму, но как выглядят функции, зависящие от трех других координат? Все они в общем и целом подчинятся общей закономерности: когда их верхний индекс имеет максимально возможное значение, они меняются от нуля при нулевом значении координаты до единственного максимума или минимума, который достигается при π/2, после чего снова возвращаются к нулю, когда значение координаты становится равным π. По мере уменьшения верхнего индекса количество экстремумов между двумя нулями функции увеличивается на единицу. Когда индекс достигает нулевого значения, количество экстремумов также увеличивается на единицу, но теперь функция уже не обращается в нуль на концах своей области определения.

Общее число упомянутых сферических гармоник для заданного l можно найти, воспользовавшись неравенствами, ограничивающими значения индексов:

$N(l) = \cfrac{(l + 1) (l + 2) (2l + 3)}{6}$

Любые две сферические гармоники, отличающиеся индексами, взаимно ортогональны – иными словами, если мы проинтегрируем их произведение с весом √|g| по всему пространству S⁴, то в результате получим нуль. В данном случае мы добавили множитель, который, помимо прочего, гарантирует, что интеграл от квадрата любой гармоники равен единице.

Какие из сферических гармоник удовлетворяют уравнению скалярной римановой волны на сфере, которое мы вывели в параграфе, посвященном искривленному пространству? Нетрудно показать, что сферические гармоники представляют собой собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами, причем:

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} Y_{j, k, l}^m = -\cfrac{l (l + 3)}{R^2} Y_{j, k, l}^m$

Таким образом, если ω_m² R² является целым число вида l(l+3), то все N(l) сферических гармоник, соответствующих значению l, будут решениями волнового уравнения без источника. Если ω_m² R² не является таким числом, то решений без источника не будет. Иначе говоря, ситуация очень напоминает пространство T⁴, в котором решения источника не существовали при произвольном выборе максимальной частоты и размера Вселенной, но если существование решений без источника в принципе допускается геометрией пространства, то они всегда будут состоять из конечного числа мод. В данном случае мы можем очень легко подсчитать количество мод, не беспокоясь о каких-либо теоретико-числовых тонкостях, которые требовались в случае T⁴. Так как при ω_m² R² = l(l+3) общее число мод равно N(l), то при больших l имеем:

$l \approx \omega_m R$
$N(l) \approx N(\omega_m R) \approx (\omega_m R)^3/3$

Если риманова Вселенная хотя бы примерно сопоставима по масштабу с наблюдаемой частью нашей Вселенной, то это число, конечно же, будет очень велико. Но в действительности симметрия S⁴ приводит к тому, что если решения без источника вообще существуют, то существуют и решения, которые локально выглядят как плоские волны, волновой вектор которых не ограничивается значениями из большого, но дискретного набора, а может быть в буквальном смысле любым. Представим, что наблюдатель находится в точке в точке с ξ=ψ=θ=π/2 и произвольным значением φ, а затем рассмотрим гармонику Y_{l, l, l}^l, где l – целое, удовлетворяющее равенству l(l+3) = ω_m² R². Наблюдатель окажется в области очень широкого и плоского экстремума функций, зависящих от координат ξ, ψ и θ, в то время как зависимость от φ будет иметь вид cos(l φ) ≈ cos(ω_m R φ), что в малой окрестности будет выглядеть, как плоская волна того же самого вида, который мы описывали для случая евклидова 4-пространства. При этом вне зависимости от выбора положения наблюдателя и волнового вектора мы можем просто подобрать координаты, удовлетворяющие описанным нами условиям и представить в этих координатах то же самое решение.

Если мы рассмотрим уравнение СРВ с источником H и обозначим через h_{j, k, l}^m и a_{j, k, l}^m коэффициенты сферических гармоник источника и решения A соответственно, то окажется, что:

$a_{j, k, l}^m \left[ l (l + 3) - \omega_m^2 R^2 \right] = h_{j, k, l}^m R^2$

Если существует такое l, что l(l+3) = ω_m² R², то источник не может включать в себя каких-либо сферических гармоник, соответствующих этому значению l, в то время как решение может содержать эти гармоники в любом количестве. При прочих зрачениях l коэффициенты решения однозначно определяются соответствующими коэффициентами источника:

$a_{j, k, l}^m = \cfrac{h_{j, k, l}^m R^2}{l (l + 3) - \omega_m^2 R^2}$

Функция Грина для 4-сферы

Рассмотрим в пространстве S⁴ точечный всплеск источника, описываемый дельта-функцией. Какое решение соответствует такому источнику? Наши ожидания подсказывают, что оно должно отчасти напоминать функцию Грина, которую мы ранее вывели для мгновенного всплеска заряда в евклидовом 4-пространстве, обнаружив, что она пропорциональна Y₁(ω_m s) / s, где Y₁ – функция Бесселя второго рода.

Для простоты ограничимся уравнением скалярной волны. Если мы разместим источник в полюсе нашей системы координат, где ξ=ψ=θ=0, а значение φ не определено (точно так же, как не определена долгота на северном и южном полюсах Земли), то отличными от нуля будут только те коэффициенты сферических гармоник, для которых m = j = k = 0, поскольку в точке полюса все остальные значения обращают гармоники Y_{j, k, l}^m в нуль. Таким образом, ненулевые коэффициенты равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы предполагаем, что ни одно целое l не удовлетворяет равенству l(l+3) = ω_m² R². Решение имеет вид:

$A(\xi) = -R^2 \sum \limits_{l = 0}^{\infty} \cfrac{(2l + 3) P^1_{l + 1}(\cos \xi)}{8 \pi^2 (l (l + 3) - \omega_m^2 R^2) \sin \xi}$

Численная аппроксимация этой суммы показана на следующем графике. В первой половине области определения поведение функции в общем и целом соответствует нашим ожиданиям: она совершает колебания, амплитуда которых падает по мере удаления от источника. Однако затем происходит нечто совершенно неожиданное: по мере приближения к противоположному полюсу функция снова набирает силу. Это следствие симметрии S⁴; в менее однородном пространстве с той же самой топологией данный эффект был бы выражен значительно слабее.

Стоит отметить, что даже при такой идеальной симметрии поле в противолежащей точке – в отличие от точки, в которой находится сам источник – будет конечным. При ξ=π результат суммирования можно выразить явным образом:

$A(\pi) = - \cfrac{R^2 (\omega_m^2 R^2 + 2)}{16 \pi \cos \left( \cfrac{\pi}{2} \sqrt{4 \omega_m^2 R^2 + 9} \right)}$

Cтоящий в знаменателе косинус обратится в нуль только в том случае, когда наше допущение о целочисленности ω_m² R² окажется неверным, поэтому поле в данной точке будет конечным.

Данные Коши и предсказания

В случае со Вселенной T⁴ мы выяснили, что наличие данных Коши по всей ширине Вселенной в конкретный момент времени (где ось времени может быть любой из четырех координат, огибающих 4-тор), позволило бы нам определить значения конечного числа коэффициентов свободной волны и тем самым реконструировать ее полную историю во времени.

В S⁴ для той же цели можно использовать данные Коши на любой “большой 3-сфере”, т. е. любой 3-сфере радиуса R. Если мы предположим, что геометрия 4-пространства допускает существование волн без источника, то всем сферическим гармоникам Y_{j, k, l}^m(ξ, ψ, θ, φ), удовлетворяющим волновому уравнению без источника, будет соответствовать одно и то же значение l. Выберем систему координат так, чтобы для 3-сферы, покрытой данными Коши, выполнялось равенство ξ=π/2. Коэффициенты гармоник, достигающих максимума или минимума при ξ=π/2 можно найти, опираясь на величину поля на данной 3-сфер; для тех же гармоник, который при ξ=π/2 обращаются в нуль, максимума или минимума в этой точке будут достигать их производные по направлению ξ, а значит, соответствующие коэффициенты можно будет найти, используя значения производной поля. Таким образом, с помощью данных Коши на 3-сфере мы можем реконструировать полную историю решения.

Что, если мы располагаем данными о 3-сфере меньшего радиуса, которую можно было бы описать как гиперповерхность вида ξ=ξ₀ для некоторого ξ₀ < π/2? Если мы знаем фактическое значение ξ₀, то на данной 3-сфере множители Ξ^k_l(ξ) и ∂_ξΞ^k_l(ξ) также будут известными величинами (которые никогда не обращаются в нуль одновременно), поэтому принципиальная возможность рассчитать все коэффициенты решения должна иметь место и в этом случае.

Это приводит нас к любопытному наблюдению о том, что в принципе мы могли бы реконструировать полное решение, даже располагая данными Коши для очень маленькой 3-сферы. Ведь такая 3-сфера является границей сразу двух конечных областей – своей внутренности в обычном понимании и всей остальной Вселенной S⁴, подобно тому, как полярный круг окружает как область вокруг северного полюса, так и всю остальную поверхность Земли. Впрочем, если ξ значительно меньше π/2, то на практике значения Ξ^k_l(ξ) становятся чрезвычайно малы по сравнению со значениями при π/2, а максимумы остальных множителей в выражениях гармоник оказываются все ближе друг к другу, вплоть до того, что экстраполяция данных о соответствующей 3-сфере на всю Вселенную потребует непомерно высокой точности данных.

Литература

[1] John David Jackson. Classical Electrodynamics. – John Wiley & Sons, 1999.
В параграфе 12.7 приводится лагранжиан для традиционной электромагнитной теории, а в 12.8 – лагранжина для случая лоренцевой электродинамики Прока. (Заметим, что единицы измерения, используемые у Джексона, отличаются от принятых нами, а лоренцева метрика представлена сигнатурой (+ – – -), поэтому сопоставление данных формул требует некоторой аккуратности.)

[2] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграф 21.3).