Глоссарий

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/99/Glossary.html

В этом глоссарии приведены некоторые из терминов, используемых в заметках о физике Ортогональной Вселенной. Несмотря на то, что для широко используемых математических и естественнонаучных терминов в данных заметках приводятся ссылки на Википедию, в некоторых случаях более краткое и менее формальное объяснение дается в этом словаре.

Это не словарь терминов, используемых в трилогии. Если вам интересно, сколько мизеров умещается в поступи, или сколько нужно чахликов, чтобы уравновесить ручник, обращайтесь к приложению в конце книги.

O(4)

Множество вещественных матриц размера 4×4, для которых соответствующая транспонированная матрица совпадает с обратной, обозначается O(4). Это множество образует группу, в которой роль групповой операции играет умножение матриц, и также известно как ортогональная группа степени 4.

Линейные функции, соответствующие этим матрицам в 4-пространстве, описывают все вращения и отражения данного пространства.

Подробности см. в заметках по симметриям.

SO(4)

Множество вещественных матриц размера 4×4, для которых соответствующая транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4). Это множество образует группу, в которой роль групповой операции играет умножение матриц, и также известно как специальная ортогональная группа степени 4.

Линейные функции, соответствующие этим матрицам в 4-пространстве, описывают все вращения данного пространства.

Подробности см. в заметках по симметриям.

БАЗИС

Базисом в n-мерном векторном пространстве V называется такой набор из n векторов {e₁, e₂, … e_n}, что любой вектор v в пространстве V можно представить в виде суммы векторов, кратных векторам базиса:

v = v¹ e₁ + v² e₂ + … + vⁿ e_n

Числа v¹, v², … vⁿ называются координатами или компонентами вектора v в данном базисе. В различных базисах один и тот же вектор будет иметь различные компоненты.

ortnt_99_01

В данных заметках нас, главным образом, будут интересовать четырехмерные векторные пространства, поэтому в качестве индексов базисных векторов мы часто будем использовать не числа 1, 2, 3, 4, а латинские буквы: e_x, e_y, e_z and e_t.

Применяемые нами базисы, как правило, будут ортонормированными: “нормированный” в данном случае означает, что все векторы базиса имеют длину, равную 1, “орто” – что все они взаимно перпендикулярны.

В векторном пространстве 4-кортежей, составленных из вещественных чисел, R⁴, при использовании стандартного скалярного произведения, примером ортонормированного базиса может служить стандартный базис:

e_x = (1, 0, 0, 0)
e_y = (0, 1, 0, 0)
e_z = (0, 0, 1, 0)
e_t = (0, 0, 0, 1)

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Векторным пространством V называется множество объектов, которые можно складывать друг с другом и умножать на числа определенного вида (в данных заметках будут использоваться действительные или комплексные числа).

В каждом векторном пространстве существует нулевой вектор, 0, прибавление которого к любому вектору v оставляет v без изменений: v+0 = v.
Каждому вектору v соответствует противоположный вектор, –v, такой, что v+(–v) = 0.
Умножение обладает распределительным свойством относительно сложения: s (v+w) = s v + s w and (r + s) v = r v + s v.
Кроме того, можно определить разность двух векторов: v–w = v+(–w).
Векторное пространство должно быть замкнуто относительно этих операций. Если мы выбрали конкретное множество V и определили на нем все вышеупомянутые операции, их результат никогда не должен выходить за пределы V.

Для примера рассмотрим множество всех четверок вещественных чисел, R⁴. Затем очевидным образом определим на нем сложение, умножение, а также нулевой и противоположный векторы.

(x, y, z, t) + (a, b, c, d) = (x+a, y+b, z+c, t+d)
s (x, y, z, t) = (sx, sy, sz, st)
0 = (0, 0, 0, 0)
–(x, y, z, t) = (–x, –y, –z, –t)

ГРУППА

В математике группой называется множество G с определенной на нем “операцией” – неким правилом, согласно которому скомбинировав два элемента G, можно получить третий. Групповая операция иногда называется “умножением”, а элемент, получаемый комбинированием элементов g и h обычно записывается в виде gh. Операция должна удовлетворять обычным свойствам умножения положительных чисел, но не обязана быть коммутативной: иначе говоря, допускается случай gh≠hg.

“Умножение” группы должно быть ассоциативным: (gh)k = g(hk).
Группа должна содержать нейтральный элемент, который обычно обозначается e (но иногда заменяется на 1 или, в случае матричных групп, на I), причем ge = eg = g.
Каждому элементу группы g должен соответствовать обратный элемент, g^–1, такой, что gg^–1 = g^–1g = e.

Примеры коммутативных групп:

Множество положительных действительных чисел, R⁺; роль групповой операции играет обычное умножение.
Векторное пространство кортежей, состоящих из вещественных чисел, Rⁿ; роль групповой операции играет векторная сумма, а роль нейтрального элемента – нулевой вектор.

Примеры некоммутативных групп:

GL(n): Множество вещественных матриц размера n×n с ненулевым определителем;роль групповой операции играет матричное умножение.
O(n): Множество вещественных матриц размера n×n, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной; роль групповой операции играет матричное умножение.

ДУАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ

Если V – вещественное векторное пространство, то дуальным, или ковариантным вектором на пространстве V называется всякая линейная функция f, отображающая V на множество действительных чисел R.

Сопряженным по отношению к V пространством V* называется векторное пространство, построенное из множества всех дуальных векторов на V.

Если {e₁, e₂, … e_n} – базис в пространстве V, то дуальным базисом в пространстве V*, {e¹, e², … eⁿ} называется набор функций на V, удовлетворяющих следующим условиям:

eⁱ(e_j) = δⁱ_j,

где δⁱ_j, также известный как символ Кронекера, равен 1, если i=j, и 0, если i≠j.

Подробности см. в заметках по дуальным векторам.

ЕВКЛИДОВА ВСЕЛЕННАЯ

Термин “Евклидова Вселенная” в данных заметках используется для описания идеализированной четырехмерной римановой Вселенной, которая является бесконечной и плоской, и, следовательно, подчиняется постулатам евклидовой геометрии.

В нашей собственной Вселенной геометрия небольших областей пространства, удаленных от сильных гравитационных полей, довольно близка к геометрии Евклида, чего нельзя сказать о геометрии пространства-времени, поскольку временные интервалы не подчиняются теореме Пифагора. В нашей Вселенной аппроксимацией почти плоского пространства-времени служит пространство Минковского.

NB: в научной литературе, термин “евклидов” часто применяется в отношении вариаций физических законов, полученных с помощью поворота Вика. В Ортогональной Вселенной эти законы не действуют.

ЕВКЛИДОВА ГРУППА

Евклидовой группой E(n) называется группа, состоящая из всех симметрий n-мерного евклидова пространства и включающая параллельные переносы, вращения и отражения. В данных заметках мы в основном будем пользоваться E(4), группой симметрий четырехмерного евклидова пространства.

Подгруппа евклидовой группы, включающая в себя только параллельные переносы и вращения, но исключающая отражения, называется специальной евклидовой группой, SE(n).

Подробности см. в заметках о симметриях.

ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА

Единичной матрицей размера n×n , I_n, называется матрица, все компоненты которой раны нулю, за исключением главной диагонали, которая состоит из одних единиц. Если n понятно из контекста, вместо I_n мы будем писать просто I.

Матриц I₄, к примеру, имеет вид:

$\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

При умножении на единичную матрицу любая другая матрица остается неизменной; если A – произвольная матрица размера n×n, то

$A I_n = I_n A = A$

ИЗОТРОПНЫЙ (СВЕТОПОДОБНЫЙ) ВЕКТОР

Вектор, направленный по касательной к мировой линии, описывающей движение света в обычном пространстве-времени.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейной функций называется функция, отображающая одно векторное пространство на другое (в частности, то же самое), при условии, что ее результат не зависит от того, применяется ли она до сложения векторов/умножения их на число или же после. Иначе говоря, функция f является линейной, если:

f(v + w) = f(v) + f(w)
f(s v) = s f(v)

Если функция f отображает m-мерное векторное пространство V на n-мерное векторное пространство W, и в пространствах V и W выбраны базисы {e₁, e₂, … e_m} и {e’₁, e’₂, … e’_n} соответственно, то функцию f можно представить в форме матрицы M размера n×m. Матричный компонент Mⁱ_j представляет собой i-ый компонент вектора f(e_j), по отношению к выбранному базису W; используя соглашение Эйнштейна о суммировании, можно записать:

f(v) = f(v^j e_j) = v^j f(e_j) = Mⁱ_j v^j e’_i

ЛОРЕНЦЕВ

Прилагательное “лоренцев” в данных заметках используется по отношению к физике, действующей в нашей Вселенной, чтобы отличить ее от физики “Ортогональной Вселенной”.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

[Почему “лоренцев”? Хендрик Антон Лоренц был нидерландским физиком, разработавшим математический аппарат, которым Эйнштейн воспользовался для описания теории относительности. Термин “лоренцев” обозначает геометрию, в которой одно из измерений выделено в качестве временного. В римановом пространстве все измерения, наоборот, по существу ничем не отличаются друг от друга.]

МАТРИЦА

Матрицей M размера n×m называется таблица чисел (в данных заметках мы ограничиваемся вещественными и комплексными числами), состоящая из n строк по m чисел в каждой. Отдельные числа называются компонентами матрицы; для обозначения j-го числа в i-ой строке матрицы M мы будем использовать запись Mⁱ_j.

Если A – матрицы размера n×m, а B – матрица размера m×p, то матрицы A и B можно перемножить; результатом будет n×p-матрица C=AB, причем:

Cⁱ_j = Aⁱ₁ B¹_j + Aⁱ₂ B²_j + … + Aⁱ_m B^m_j,

что можно упростить, применив соглашение Эйнштейна о суммировании:

Cⁱ_j = Aⁱ_k B^k_j

Заметим, что матричное произведение AB определено только в том случае, когда количество столбцов матрицы A совпадает с количеством строк матрицы B. Если A и B – квадратные матрицы одного размера, то определены оба произведения AB и BA, которые, вообще говоря, не равны друг другу.

Матрицу M размера n×m можно интерпретировать как линейную функцию, отображающую m-мерное векторное пространство V на n-мерное векторное пространство W, если представить произвольный вектор v из пространства V в виде матрицы размера m×1, состоящей из единственного столбца чисел, выражающих m компонент v в некотором фиксированном базисе. В этом случае результат матричного умножения Mv представляет собой n×1-матрицу, которую можно интерпретировать как n компонент вектора из пространства W по отношению к выбранному базису. Таким образом, M, при определенном выборе базисов в пространствах V и W, определяется линейную функцию f из V в W.

Если {e₁, e₂, … e_m} – базис в пространстве V, а {e’₁, e’₂, … e’_n} – базис в пространстве W, то, используя соглашение Эйнштейна о суммировании, можно записать:

f(v) = f(v^j e_j) = v^j f(e_j) = Mⁱ_j v^j e’_i

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Если A – n×n-матрица, то ее обратной матрицей называется n×n-матрица A^–1, удовлетворяющая условию:

AA^–1 = A^–1A = I_n,

где I_n – единичная матрица размера n×n. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы A отличен от нуля.

Обращение произведения матриц равносильно перемножению (в обратном порядке) обращенных сомножителей.

(AB)^–1 = B^–1 A^–1

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Определитель n×n–матрицы A, обозначаемый det(A), – это число, которое показывает, во сколько раз линейная функция, соответствующая A, меняет объем n-мерного куба. Определитель равен нулю, если A сплющивает n-куб, уменьшая число его измерений. Определитель отрицателен, если A меняет ориентацию n-куба на противоположную.

В двумерном случае, к примеру, точки {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)} являются вершинами квадрата единичного размера, перечисленными против часовой стрелки. Если мы воздействуем на эти точки функцией A, то получим новый набор из четырех точек. Абсолютная величина det(A) будет равна площади параллелограмма, вершина которого совпадают с новыми точками; det(A) будет отрицательным, если новые точки будут расположены по часовой стрелке.

Предположим, что A – матрица размера 2×2:

$\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)$

Две стороны параллелограмма представляют собой векторы v=(a, c) и w=(b, d).

Поскольку вектор p=(–c, a) перпендикулярен вектору v, “высота” h параллелограмма – если сторона v играет роль “основания” – совпадает с длиной проекции w на единичный вектор p/|p|:

$h = \cfrac{\mathbf{w} \cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}$

В данном случае h будет меньше нуля, если конец вектора w окажется ниже начала v, т. е. если исходный квадрат был преобразован в параллелограмм таким образом, что его вершины расположились по часовой стрелке. Площадь параллелограмма равна произведению одной из сторон и опущенной на нее высоты, поэтому:

$\det(A) = h |\mathbf{v}| = h |\mathbf{p}| = \mathbf{w} \cdot \mathbf{p} = ad - bc$

ortnt_99_02

В общем случае для вычисления определителя матрицы A размера n×n, нужно составить список всех перестановок множества {1,2,…n}. Каждой перестановке сопоставляется число, которое называется ее знаком: оно равно +1, если данную перестановку можно получить из исходной с помощью четного количества попарных обменов, и -1, если количество обменов нечетно. Для каждой перестановки ее знак умножается на произведение n компонентов матрицы, по одному из каждой строки, причем номер столбца определяется соответствующим числом в перестановке. Сумма всех этих произведений и является определителем:

$\det A = \sum \limits_p \mathrm{sign}(p) A^1_{p(1)} A^2_{p(2)} \dots A^n_{p(n)}$ ,

где суммирование ведется по всем перестановкам множества {1,2,…n}.

В нашем примере с матрицей 2×2, перестановками {1,2} будет сама пара {1,2}, со знаком +1, и пара {2,1}, со знаком –1, поэтому соответствующий определитель равен:

$\det A = A^1_1 A^2_2 - A^1_2 A^2_1 = ad - bc$

Одним из важных частных случаев является определитель диагональной матрицы, D, все компоненты которой, за исключение главной диагонали, равны нулю. В этом случае единственной перестановкой, для которой произведение соответствующих элементов не выходит за пределы диагонали, будет перестановка, не меняющая порядок чисел {1,2,…n}, и, следовательно:

$\det D = D^1_1 D^2_2 \dots D^n_n$

ПОВОРОТ ВИКА

Поворот Вика – это метод, применяемый в современной физике для анализа ряда задач, возникающих в нашей собственной Вселенной. При повороте Вика время t заменяется мнимым числом iτ, а все остальное не меняется.

Физика Ортогональной Вселенной, с другой стороны, требует изменения знаков некоторых параметров в ряде уравнений, что дает совершенно иные результаты, нежели поворот Вика.

Так, обычное, лоренцево уравнение Клейна-Гордона в естественной системе единиц имеет вид:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ – ∂_t²ψ – m² ψ = 0

(1)

(Часто это уравнение можно увидеть в форме ∂^μ∂_μψ + m² ψ = 0, при которой суммирование по μ подразумевается в силу соглашения Эйнштейна, однако положительный знак при слагаемом m² ψ связан с тем, что автор использует для метрики Минковского сигнатуру (+–––), т. е. ∂^μ∂_μψ = ∂_t²ψ – ∂_x²ψ – ∂_y²ψ – ∂_z²ψ.)

Вариант уравнения, записанный с использованием поворота Вика, т. е. заменой t → iτ, выглядит следующим образом:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ + ∂_τ²ψ – m² ψ = 0

(2)

Похожий вид имеет и риманова версия, действующая в Ортогональной Вселенной, которая отличается лишь знаком слагаемого, содержащего m²:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ + ∂_τ²ψ + m² ψ = 0

(3)

Обычное уравнение Клейна-Гордона (1) имеет решения в виде ограниченных плоских волн:

ψ(x) = sin(k^x x + k^y y + k^z z – k^t t)

(4)

где k – произвольный времениподобный вектор, удовлетворяющий условию (k^x)² + (k^y)² + (k^z)² – (k^t)² = –m².

Версия (3), применимая в мире Ортогональной Вселенной, также имеет решения в виде ограниченных плоских волн:

ψ(x) = sin(k · x)

(5)

где |k|² = m².

Однако все решения уравнения (2), полученного в результате поворота Вика, характеризуются экспоненциальным ростом, по крайней мере, в одном из направлений. Подставив решение (5) в уравнение (2), мы бы получили |k|² = –m², откуда следует, что как минимум одна компонента вектора k должна быть мнимым числом – а синус мнимого аргумента возрастает по экспоненте.

ПОДПРОСТРАНСТВО

Подпространством векторного пространства V называется подмножество V, которое само является векторным пространством.

Так, в векторном пространстве с размерностью не ниже двух, любая линия, проходящая через начало координат, будет одномерным подпространством исходного векторного пространства. С другой стороны, далеко не все подмножества векторного пространства являются его подпространствами: сфера, образованная всеми векторами единичной длины, не образует подпространства, поскольку сложив два единичной длины, можно получить вектор, длина которого уже не равна единице и который, следовательно, не принадлежит указанному подмножеству.

РИМАНОВ

Прилагательное “риманов” в данных заметках используется по отношению к физике, действующей в романах “Ортогональной Вселенной”, чтобы отличить ее от физики нашего собственного мира.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

[Почему “риманов”? Георг Фридрих Бернхард Риман был одним из основателей дифференциальной геометрии – раздела математики, обобщающего евклидову геометрию на случай искривленных поверхностей и пространств. В рамках этой дисциплины математики используют термин “риманов” для описаний геометрий, обычно воспринимаемых как различные виды пространств – как плоских, так и искривленных, – в которых все измерения по сути являются равноправными. В лоренцевом пространстве-времени, описывающем нашу Вселенную, дело обстоит иначе: одно из измерений, время, выделено и интерпретируется особым образом.]

СКАЛЯР

Число, значение которого будет одинаковым для любого наблюдателя, так как не зависит от выбора системы координат. Так, давление воздуха является скалярной величиной, в отличие от “проекции электрического поля на ось x“.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

В четырехмерной римановой геометрии, скалярное произведение векторов v и w, обозначаемое как v·w, выражается следующим образом:

v·w = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z + v^t w^t,

где v^x,… и w^x,… – компоненты соответствующих векторов в ортонормированном базисе.

Эта формула очевидным образом обобщается на случай n измерений. Если применить к ней соглашение Эйнштейна о суммировании, то:

v·w = vⁱ wⁱ

Скалярное произведение можно выразить через длины векторов и угол θ между ними:

v·w = |v||w|cosθ

Приведенное здесь определение, основанное на понятии ортонормированного базиса, подходит для физических задач, в которых возможность измерить длину вектора и определить, исходя из физических соображений, перпендикулярен ли он другому вектору, воспринимается нами как данность.

Однако в чистой математике в качестве отправной точки для определения ортонормированного базиса приходится использовать само скалярное произведение; именно тот факт, что e_x · e_y = 0, указывает на ортогональность e_x и e_y, а равенство e_x · e_x = 1, в свою очередь, говорит о том, что длина e_x равна 1. Иначе говоря, если мы, к примеру, имеем дело с векторным пространством четверок вещественных чисел, R⁴, то обычно пользуемся стандартным скалярным произведением, которое определяется так:

(v^x, v^y, v^z, v^t) · (w^x, w^y, w^z, w^t) = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z + v^t w^t

В силу этого определения стандартный базис пространства R⁴ является ортонормированным.

Подробности см. в заметке о скалярном произведении.

СОГЛАШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА О СУММИРОВАНИИ

Соглашение Эйнштейна о суммировании – это удобная сокращенная запись, применяемая для обозначения сумм в выражениях, использующих компоненты векторов и матриц. В соответствии с этим соглашением всякий раз, когда одна и та же индексная переменная дважды встречается в произведении, подразумевается, что данное произведение в действительности представляет собой сумму по всем допустимым значениям соответствующего индекса. Иначе говоря, если мы пишем:

Mⁱ_j v^j,

где v^j обозначает компоненту n-мерного вектора v , то индекс j входит в выражение дважды, и в соответствии с соглашением о суммировании мы интерпретируем приведенную выше запись как:

Mⁱ_j v^j = Mⁱ₁ v¹ + Mⁱ₂ v² + … + Mⁱ_n vⁿ

Заметим, что в слагаемом вида v^x w^x, повторяющийся “x” обозначает конкретную компоненту каждого из двух векторов, поэтому соглашение о суммировании не применяется. Всякий раз, как x, y, z или t используются в качестве верхних или ниэних индексов, они просто обозначают наименования соответствующих координатных осей, а не индексные переменные, по которым необходимо осуществлять суммирование.

ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА

Если A – матрица размера n×m, то транспонированной матрицей A^T называется матрица размера m×n, столбцы которой совпадают со строками матрицы A.

Транспонирование произведения матриц равносильно перемножению (в обратном порядке) транспонированных сомножителей.

(AB)^T = B^T A^T

УРАВНЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ РИМАНОВОЙ ВОЛНЫ (СРВ)

Это уравнение описывает движение скалярной волны A в вакууме римановой Вселенной:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A = 0

(СРВ)

Подробности см. в заметке о скалярных волнах.

УРАВНЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ РИМАНОВОЙ ВОЛНЫ (ВРВ)

Эти уравнения описывает движение векторной волны A в вакууме римановой Вселенной:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A = 0	(ВРВ)
∂_x A^x + ∂_y A^y + ∂_z A^z + ∂_t A^t = 0	(Поперечное условие)

Подробности см. в заметке о векторных волнах.

Первое уравнение можно расширить, добавив в него слагаемое, учитывающее источник волн:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A + j = 0

(ВРВИ)

Подробности см. в заметке о римановом электромагнетизме.