– Когда команда собралась в расчетной пещере, Рои заметила Нэт и с надеждой в голосе объявила: «Удача приходит с шестой попытки!»
– С шестой? – переспросила Нэт. – А разве не с третьей?
– Сформулировать гипотезу и проверить ее на практике – это два разных дела, – настоятельно заметила Рои. – Так что в итоге получается шесть отдельных шагов.
Нэт была слишком вежлива, чтобы возразить, и, пожалуй, чересчур серьезна, чтобы распознать в словах Рои шутку. Если в пословице и был какой-то толк, ее точно не стоило воспринимать буквально. Она, впрочем, поощряла упорство, а интуиция подсказывала Рои, что в этот раз их целеустремленность, наконец-то, будет вознаграждена.
Когда Нэт обнаружила, что орбиты вокруг Средоточия могут потерять устойчивость, около дюжины членов первоначальной команды Зака ушли, чтобы обучить подрастающее поколение секретам веса и движения; еще дюжина отправилась к сарду, поставив перед собой еще более амбициозную цель сколотить новую команду для постройки предложенного Бардом туннеля. Задачей оставшихся был поиск геометрии пространства-времени, способной удовлетворить принципу Зака – в надежде пролить свет на опасности, с которыми Осколок мог столкнуться в будущем.
Тан до такой степени отточил свой подход к описанию геометрии, что теперь мог рассчитать естественные траектории – ближайшие аналоги прямых линий – для любой искривленной поверхности. Оставался, тем не менее, один ключевой шаг: найти верный переход от геометрии чистого пространства к геометрии, включающей как пространство, так и время.
Анализируя траекторию на искривленной поверхности, Тан разбивал ее на множество крошечных прямолинейных отрезков равной длины. Эти короткие прямые линии выступали в качестве меток, указывающих направление кривой. После этого геометрию поверхности можно было охарактеризовать простым математическим правилом, которое Тан называл «связностью». При помощи связности можно было перенести направление из заданной точки в соседнюю с учетом геометрии поверхности. Если кривая представляла собой естественную траекторию, то после разбиения ее на отдельные сегменты и применения связности для сдвига каждого из них на один шаг вперед, оказывалось, что сдвинутые сегменты совпадают с исходными: сдвиг первого на один шаг вдоль кривой дает направление второго и так далее. Если же кривая отличалась от естественной траектории, направления оказывались рассогласованными, а разница между ними служила мерой отклонения кривой от траектории, заданной геометрией поверхности.
Тот факт, что кривая всегда разбивалась на сегменты равной длины, представлял собой ключевой момент всей процедуры, поскольку результаты анализа не должны были меняться при повороте поверхности или зависеть от того, под каким углом на нее смотрит конкретный наблюдатель. При выборе другого способа разбиения – например, на отрезки, имеющие одну и ту же длину в горизонтальном направлении – различные наблюдатели не смогли бы прийти к соглашению о том, какое именно направление следует принять за «горизонталь». Если же речь шла о том, имеют ли два соседних отрезка одну и ту же длину, подобных разногласий не возникало. Если связность учитывала это правило – сохраняя длину отрезков при перемещении от точки к точке – то все складывалось как нельзя лучше, и вопрос о том, является ли заданная траектория примером естественного движения, имел один и тот же ответ вне зависимости от конкретного наблюдателя.
Но что происходило, когда движение брошенного камня рассматривалось с учетом его движения не только в пространстве, но и во времени? Изобразить на клочке кожи его траекторию, выбрав определенное направление в качестве оси времени, мог кто угодно, но как прийти к соглашению насчет масштаба такой диаграммы? Отрезок времени, отделявший верхний край листка от нижнего, мог быть выбран совершенно произвольно: с равным успехом он мог занимать и один удар сердца, и одну смену, и целую жизнь.
Но допустим, что масштаб выбран. Что произойдет, если разделить траекторию камня на отрезки равной длины? Если бы Рои бросила в Нулевой пещере камень так, чтобы с ее точки зрения он преодолевал по одному размаху за каждое сердцебиение, траектория, которую бы она начертила на листке кожи, выглядела бы как наклонная линия. Если бы Зак при этом двигался в том же направлении и с той же скоростью, то с его точки зрения камень бы выглядел неподвижным, а значит для него траектория бы выглядела как линия, строго параллельная оси времени. Предположим, что спустя пять биений сердца камень налетает на препятствие. Длина линии Зака составила бы ровно «пять сердцебиений» с учетом выбранного масштаба рисунка. Линия Рои, с другой стороны, оказалась бы длиннее, поскольку занимала бы не только пять сердцебиений по оси времени, но еще и покрывала пять размахов пространства. Выводы обоих экспериментаторов должны были каким-то образом согласовываться друг с другом, но рассчитывать на то, что начертив свои диаграммы, они получат траектории одной и той же длины, было нельзя.
Что могло объединять обоих наблюдателей? Самым простым ответом, который удалось предложить команде, был интервал времени. Если поделить траекторию камня на отрезки, соответствующие равным интервалам времени, то количество отрезков, заключенных между начальной и конечной точками будет одинаковым для всех наблюдателей. Если бы удалось отыскать связность, которая учитывала эту схему, сохраняя интервал времени, соответствующий отдельному отрезку, дела, возможно, пошли бы на лад.
Именно эту идею команда опробовала в первую очередь. Они занялись поиском геометрии пространства-времени, которая удовлетворяла принципу Зака и имела связность, сохраняющую величину временных интервалов.
Решение заняло меньше одной смены. Полученная геометрия была симметрична относительно одной особой точки, в которой, вполне вероятно, находилось Средоточие. Естественные траектории включали в себя круговые орбиты с центром в Средоточии. Квадрат периода каждой из таких орбит оказался пропорционален кубу ее размера. А отношение гарм-сардового и шомаль-джонубного весов в точности равнялось трем. Вблизи Средоточия, вдали от Средоточия, всегда и везде – трем.
Это был тот самый результат, который Зак предугадал давным-давно, исходя из того, что карта весов по-прежнему соответствует действительности. Но несмотря на свою изящную простоту, этот вывод противоречил наблюдениям. На данный момент отношение весов было равно двум с четвертью, что подтверждалось дюжиной измерений.
Неудача поставила под сомнению саму идею о том, что естественное движение можно было описать при помощи тех же геометрических принципов, которые действовали в отношении пространства. Поразмыслив о кардинальной смене направления поиска, команда, тем не менее, пришла к консенсусу, решив раньше времени не ставить крест на идеях Тана.
Могла ли связность удовлетворять какому-то другому правилу, способному объяснить результаты наблюдений? Существовал ли способ, несмотря на очевидные сложности, применить в новом контексте идею «равных длин», которая так успешно работала в отношении пространства?
Решение подсказала Нэт: именно она привлекла внимание команды к тому факту, что на пространственно-временной диаграмме с непомерно огромным масштабом по оси времени – скажем, тридцать шесть в квадрате размахов на каждое сердцебиение – точки зрения наблюдателей, движущихся с близкими, но различными скоростями, можно было довольно точно описать с помощью небольших поворотов диаграммы, при которых траектория наблюдателя оказывалась направленной параллельно оси времени. Но оставалась другая проблема: если считать неизменными длины на этой диаграмме, то каждый из двух наблюдателей, движущихся с разными скоростями, решил бы, что сердце другого бьется быстрее, чем при движении с одной и той же скоростью, поскольку линия длиной в «одно сердцебиение» занимала бы меньший интервал времени и длилась бы меньше по ощущениям наблюдателя, линия времени составляла с ней некоторый угол. Впрочем, в реальности при достаточно большом масштабе эффект мог оказаться неизмеримо малым. Кто сказал, что они не живут именно в таком мире?
Гипотеза звучала довольно смело, но более удачных идей ни у кого не нашлось. В поисках соответствующей геометрии команда провела пять смен. Когда их труды увенчались успехом, результат, несмотря на смешанные чувства, убедил Рои в том, что они движутся в правильном направлении.
Вторая геометрия отчасти напоминала первую: она также была симметрична относительно одной особой точки и допускала существование круговых орбит. Вдали от Средоточия периоды этих орбит приближенно описывались старым правилом квадратов-кубов, однако для орбит меньшего размера аппроксимация давала неверные результаты, и величина периода оказывалась больше, чем предсказывало это правило.
Как следствие, отношение гарм-сардового и шомаль-джонубного весов теперь могло отличаться от тройки. Для орбит, расположенных на большом расстоянии от Средоточия, оно примерно равнялось трем, что вселяло некоторую надежду. проблема состояла в том, что по мере приближения к Средоточию отношение не уменьшалось, а наоборот, становилось больше. Оно всюду было больше трех, и наблюдаемая величина, равная двум с четвертью, в эту геометрию совершенно не вписывалась.
Команда потратила еще шесть смен, проверяя и перепроверяя полученный результат. Чтобы склонить в неверную сторону отношения весов и величины орбитальных периодов, хватило бы одной-единственной ошибки. Но расчет оказались верными. Найденная ими геометрия удовлетворяла принципу Зака – согласно которому сумма истинных весов без учета вращения должна быть равна нулю – а ее связность соответствовала идеям Нэт о том, что длина кривой, описывающей движение тела на пространственно-временной диаграмме, должна быть одинаковой вне зависимости от конкретного наблюдателя. В этом решении было больше элегантности, чем в первом, менее замысловатом варианте геометрии; оно определенно открывало более широкие возможности. Но реальные Осколок и Средоточие подчинялись иным законам.
Внимательно изучая выкладки в поисках крошечной, едва заметной ошибки, Рои осенило; идея, которая пришла ей в голову, была почти столь же невероятной, что и первоначальная гипотеза Нэт. Среди прочего они искали ошибку в выборе знака: сложение вместо вычитания или наоборот. Корнем проблемы вполне могла оказаться подобная оплошность. Но если в выкладках знаки были расставлены правильно, то как насчет самой гипотезы?
Нэт предполагала, что инвариантные для всех наблюдателей длины в пространстве-времени подчинялись тем же правилам, что и длины в пространстве. Квадрат длины в пространстве был равен сумме квадратов компонент по трем осям: гарм-сард, шомаль-джонуб и рарб-шарк. Нэт просто добавила к ним квадрат компоненты по оси времени, предварительно домножив его на масштабный коэффициент, связывающий время и расстояние.
Но с какой стати квадрат времени должен прибавляться? Столь идеальная симметрия намекала на то, что время и пространство по сути одно и то же, что за исключением выбора единиц измерения оба понятия неотличимы друг от друга. Для Рои же разница между пространством и временем была очевидна: если по оси гарм-сард можно было сколько угодно гулять в обе стороны, то проделать нечто подобное с прошлым и будущим едва ли представлялось возможным. Если в первом варианте они признали время абсолютной, универсальной и неизменной величиной, сделав его слишком непохожим на пространство, то во втором они, возможно, зашли слишком далеко и угодили в другую крайность?
Что, если в качестве компромисса они озадачатся поисками геометрии, связность которой сохраняет величину, немного отличающуюся от предложенной Нэт: что, если вместо суммирования квадратов всех четырех компонент взять сумму квадратов по пространственным осям и вычесть из нее квадрат по оси времени?
На обсуждение плюсов гипотезы Рои у команды ушло больше полусмены. Многие сетовали на то, что идея выглядела неэлегантной и надуманной. Гул отметил, что любое тело было неподвижным относительно самого себя, поэтому «длина» его пути в пространстве-времени должна был равняться нулю размахов в квадрате минус квадрат одного сердцебиения, выраженного в размахах, что в итоге давало отрицательное число. Если же, с точки зрения другого наблюдателя, скорость движения тела превышала скорость, соответствующую заданному Нэт масштабному коэффициенту между сердцебиениями и размахами, длина его пути в пространстве-времени, по мнению такого наблюдателя, оказалась бы положительной. Как увязать эти факты друг с другом, если длина пути должна оставаться неизменной?
– Возможно, дело в том, – предположил Тан, – что ни одно тело не может двигаться со скоростью, превышающей эту величину.
– Тогда что произойдет, – возразил Гул, – если я двигаюсь относительно Осколка со скоростью в три четверти от критической в сторону шомаля, а ты движешься с той же скоростью в сторону джонуба? Какова будет моя скорость относительно тебя?
Тан на какое-то время погрузился в вычисления, после чего вернулся с ответом. – Каждый из нас будет считать, что другой движется со скоростью в двадцать четыре двадцать пятых от критической. Теперь нельзя просто складывать скорости друг с другом, как мы это делали в первом варианте геометрии.
Хотя размышления над этими словами не развеяли всех сомнений Гула, он, как бы рассуждая вслух, сказал: «Значит, критическая скорость в принципе может быть вполне наблюдаемой. Это не просто какое-то большое магическое число, которое мы выбрали ради собственного удобства, чтобы увязать время с пространством и заставить математику работать».
В итоге команда согласилась взяться за проверку гипотезу Рои, начиная со следующей смены. Если этот путь, как и все остальные, заведет их в тупик, они оставят геометрические идеи Тана в покое и займутся поисками принципиально иной теории движения.
В расчетное пещере собралось двадцать шесть человек. По пути Рои заглянула к Заку; он оказал ей моральную поддержку, но был слишком утомлен, чтобы прийти и понаблюдать за собранием лично, не говоря уже о том, чтобы принять в нем активное участие.
По общей договоренности Рои и Тан были назначены главными вычислителями на время собрания. Им предстояло работать независимо друг от друга, в то время как вся остальная команда, разбившись на две группы, должна была сыграть роль проверяющих. Ответ будет признан заслуживающим доверия только в том случае, если обе группы придут к одному и тому же результату.
Чтобы свести к минимуму выцарапывание математических шаблонов на коже – процесс неэкономный и физически утомительный – Гул придумал хитроумную систему, благодаря которой для представления шаблонов и выполнения над ним операций можно было использовать набор камешков, перемещающихся по проволочному каркасу. Чтобы овладеть этим методом, Рои потребовалось не одна смена, но теперь она даже не представляла, что можно работать как-то иначе. Заполнив очередную рамку с шаблонами, она перенесла последнее выражение на новую, после чего передала готовую рамку первому из проверяющих.
Благодаря тому, что их команда неоднократно вычисляла и пересчитывала результаты, вытекавшие из идей Нэт, а новые шаблоны по своей структуре были очень похожи на предыдущие, Рои быстро продвигалась к цели; каждый раз, мельком оглядывая пещеру, она замечала, что проверяющие держат тот же темп. В сходстве шаблонов, впрочем, имелись и свои минусы; память о старой геометрии была еще свежа, из-за чего небольшие изменения, внесенные Рои, казались «ошибочными», воспринимались, как незначительные огрехи, требующие исправления. Несколько раз Рои ловила себя на попытке вернуться к старым шаблонам.
Наконец, она добралась до шаблона, описывающего связность, которая учитывала новое определение длины в пространстве-времени, и характеризовала геометрию, симметричную относительно Средоточия. Тот факт, что ей удалось зайти настолько далеко, не столкнувшись с новыми проблемами, был обнадеживающим знаком, хотя пока что это не давало ей никакой конкретной информации, поскольку все выражения по-прежнему зависели от двух неизвестных шаблонов, вид которых еще только предстояло найти.
Воспользовавшись связностью, Рои проанализировала возможные круговые орбиты вокруг центральной точки новой геометрии. В пространстве-времени круговое движение превращалось в винтовую линию, непрерывно растущую вдоль временной оси по мере того, как ее витки раз за разом окружали Средоточие. Но с точки зрения новой связности эта кривая будет считаться естественным движением – пространственно-временной траекторией невесомого, свободно падающего тела – лишь при определенном значении ее шага.
Зная форму винтовой линии, описывающей естественное движение, Рои могла рассчитать период любой круговой орбиты. Поскольку геометрия была симметричной относительно Средоточия, период зависел только от размера орбиты, а два камня, орбиты которых имели один и то же радиус, но были наклонены друг к другу под небольшим углом, будут встречаться и расходиться с периодом, равным периоду самой орбиты. Другими словами, теперь ей был известен период шомаль-джонубных колебаний, а значит, и величина шомаль-джонубного веса.
Далее Рои рассчитала, как с точки зрения новой связности будут меняться направления при переносе вдоль винтовой линии, характеризующей орбиту Осколка. Скорость, с которой – относительно рамки Ротатора – вращались направления гарма или шарка, позволяла оценить величину скрытого вращательного веса, компенсирующего вес по оси рарб-шарк.
В случае с третьим весом она рассмотрела точку, связанную с Осколком, но смещенную относительно его центра в направлении гарма или сарда. Винтовая линия, которую такая точка описывала в пространстве-времени, должна была обвивать Средоточие с тем же периодом, что и центр Осколка, однако ее движение, в отличие от центра, естественным назвать было нельзя. Связность указывала ей на вес, который должен был наблюдаться в этой точке; сюда входил и вес, вызванный вращением, но она могла легко вычесть его, получив в результате истинный вес по оси гарм-сард.
Просуммировав веса, возникавшие в каждом из трех направлений, Рои воспользовалась принципом Зака, приравняв сумму к нулю.
В результате два неизвестных шаблона оказались связаны определенным соотношением, но этого все еще было недостаточно, чтобы определить, чему равен каждый из них. Поэтому Рои повторила те же самые выкладки для другого набора условий, просуммировав веса, которые бы возникли внутри Осколка, если бы он мчался прямиком к Средоточию, а не обращался вокруг него по орбите. Принцип Зака опять-таки требовал, чтобы эта сумма равнялась нулю.
Теперь она, наконец-то могла решить получившиеся уравнения и найти неизвестные шаблоны, придав своим пока что абстрактным результатам вполне конкретный смысл.
Если не считать перещелкивания камешков, в пещере стояла практически полная тишина. Рои боялась, что ее «ошибка в знаке» просто скомпенсирует сама себя, но минус, судя по всему, без особых проблем проникал в последующие шаблоны, распространяя едва заметные изменения по всем проделанным выкладкам.
Она вывела шаблон, характеризующий величину орбитальных периодов. На большом расстоянии они примерно следовали закону квадратов-кубов, но по мере приближения к Средоточию оказывались меньше, чем предсказывало это простое правило – следуя противоположной закономерности, чем в геометрии Нэт.
Она рассчитала отношение весов. Вдали от Средоточия оно примерно равнялось трем, но по мере приближения становилось не больше, а меньше.
Рои передала рамку Нэт для проверки и мысленно задержала внимание на последнем шаблоне. Отношение гарм-сардового и шомаль-джонубного весов равнялось трем, минус шесть, деленное на размер орбиты. Определить, в каких именно единицах измерялся этот размер, было нельзя, поскольку они, помимо прочего, зависели от неизвестного масштабного множителя Нэт, введенного для перевода времени в расстояние. Впрочем, для достаточно небольшой орбиты отношение действительно могло равняться двум с четвертью; для этого нужно было лишь довести ее размер до «восьми единиц», чему бы они ни равнялись в размахах.
Из этого шаблона столь же ясно следовало, что для орбиты размером в «шесть единиц» отношение уменьшится до двух. Иначе говоря, гарм-сардовый вес будет вдвое превышать шомаль-джонубный.
Принимая во внимание принцип Зака и тот факт, что вращательный вес в точности компенсировался рарб-шаркным, можно было легко вычислить и другую величину: отношение гарм-сардового веса к вращательному. Когда первое отношение уменьшалось до двух, второе, наоборот, увеличивалось до четырех. А когда второе отношение достигало четырех, орбиты вокруг Средоточия, как уже показала Нэт, теряли устойчивость.
Если орбита Осколка уменьшится на четверть своего текущего размера, то хватит даже малейшего толчка в сторону гарма, чтобы их мир сорвался с орбиты и полетел прямиком к Средоточию.
– Ошибок нет, – объявил Руз, последний из проверяющих Рои. Вскоре после этого Кал вынес тот же вердикт для расчетов Тана. Их выводы, полученные независимо друг от друга, были сведены воедино и сверены друг с другом.
– Расхождений нет, – сообщил Руз.
Рои знала, что смысл сказанного должен быть понятен всем присутствующим, но на дюжину сердцебиений в пещере воцарилась тишина. Рои казалось, будто ее со всех сторон окружает броня защитного скептицизма: тот факт, что их эзотерические выкладки, наконец-то, произвели на свет величины, не противоречащие реальности, еще не доказывал истинность теории как таковой.
Первым заговорил Руз. – Орбиты размером шесть единиц неустойчивы, но меня ставит в тупик то, что происходит еще ближе к Средоточию. Похоже, что орбиты радиуса три и меньше невозможны физически, так как находящемуся на них телу пришлось бы двигаться со сверхкритической скоростью.
– При размере в две единицы, – добавил Гул, – все становится интереснее. Направление в пространстве, указывающее в сторону Средоточия, приобретает отрицательную пространственно-временную длину, как если бы вместо него речь шла о направлении во времени.
– Многие моменты потребуют более тщательного изучения, – сказал Тан. – И даже если эта геометрия верна, мы еще не доказали, что она представляет собой единственно возможный вариант. Могут быть и другие геометрии, которые также удовлетворяют принципу Зака и приводят к наблюдаемым отношениям весов.
Рои почувствовала облегчение; ей нечего было возразить насчет замечаний Тана. Они сдвинулись с мертвой точки, но реальные доказательства были еще впереди.
Смена еще не окончилась, но расчеты оказались довольно утомительным делом, поэтому некоторые из собравшихся направились к выходу из пещеры, чтобы перекусить. Рои отправилась с ними; она пообещала Заку, что при первой же возможности поделится с ним результатами проверки; к тому же по пути она могла захватить ему еды.
Когда она уже собиралась уходить, к ней подошла Нэт. – Удача приходит с шестой попытки, – сказала она. – Поздравляю.
– Это тебя надо поздравить. Идея принадлежит тебе, я ее просто слегка видоизменила.
В ответ Нэт лишь издала звук, указывающий на ее скромную роль и предлагавший воздержаться от дальнейших взаимных похвал. – Мне было приятно работать вместе с тобой, Рои. Надеюсь, мы еще встретимся.
– Ты о чем? – Рои замерла и недоуменно посмотрела на Нэт. Как другая команда умудрилась завербовать одного из их лучших работников прямо у них на глазах? – Ты что, стала курьером?
– Я не ухожу из команды, – ответила Нэт. – По крайней мере, не в моем понимании. Я отправляюсь к сарду, чтобы помочь в работе над туннелем.
Рои вежливо прощебетала в знак одобрения, хотя по правде признание Нэт стало для нее еще большим шоком. Даже находясь в окружении своих коллег и поглощенная их уникальной работой, Нэт нашла в себе силы для единоличной перебежки, ограничившись лишь собственной мотивацией; даже если сама она решила относиться к строителям туннеля, как к членам той же самой команды, именно теоретики были теми, кто впервые завладел ее преданностью, теми, кто подкреплял ее смена за сменой. – Ты наш лучший вычислитель, – посетовала Рои. – Ты лучше всех управляешься с шаблонами. Лучше всех понимаешь их смысл.
– Эти навыки не пропадут даром, когда я буду работать со строителями, – ответила Нэт. – Им тоже понадобятся математики.
– Но разве тебе больше не любопытно, – не унималась Рои, – выяснить, куда нас приведет эта теория? Увидеть, как наши идеи будут доведены до совершенства? Увидеть, как мы разберемся в этой новой геометрии, доказать или опровергнуть ее единственность, разобраться во всех ее следствиях?
Нэт замешкалась. – Конечно мне любопытно. И я надеюсь, что в нашу следующую встречу тебе будет что рассказать обо всех этих вещах. Но сейчас для меня важнее туннель. Дважды мы сталкивались в перспективой опасности. Дважды математика оказалась не в силах сбросить ее со счетов. Пусть у нас еще нет весомых доказательств, но то, что мы мимолетом увидели где-то вдалеке, для меня стало вполне реальным предупреждением. Я не готова дожидаться катастрофы, которая докажет нашу правоту.