Мир “Дихронавтов”. Дополнительные материалы

Оригинал статьи:
https://www.gregegan.net/DICHRONAUTS/01/WorldExtra.html

В этом разделе представлен ряд математических выкладок, дополняющих материалы предыдущего. Далее для обозначения пространственных координат мы будем использовать буквы x, y и u, где x и y представляю собой обычные, пространственноподобные направления, а направление u является времениподобным. Это означает, что метрика g, задающая скалярное произведение векторов, имеет вид:

$v \cdot w = g(v, w) = v_x w_x + v_y w_y - v_u w_u$

а квадрат модуля произвольного вектора выражается формулой:

$v \cdot v = g(v, v) = v_x^2 + v_y^2 - v_u^2$

Гравитационное поле гиперболоидного мира

В нашей Вселенной гравитационный потенциал φ удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\nabla^2 \varphi = 4 \pi G \rho$

где ρ – плотность вещества, а G – гравитационная постоянная. Чтобы понять физический смысл этого уравнения, представим оператор Лапласа ∇² в виде:

$\nabla^2 \varphi = \nabla \cdot \left( \nabla \varphi \right)$

Поскольку градиент ∇φ есть не что иное, как гравитационное ускорение с обратным знаком, лапласиан ∇²φ пропорционален дивергенции ускорения. Таким образом, в случае силы тяготения уравнение Пуассона связывает плотность материи с дивергенцией «силовых линий» гравитационного поля – по сути оно утверждает, что концами силовых линий могут быть только материальные частицы, а плотность этих концов пропорциональна плотности самой материи.

Во вселенной «Дихронавтов» уравнение для гравитационного потенциала по сути остается тем же самым, однако знак времениподобной координаты меняется на минус в соответствии с формулой скалярного произведения:

Уравнения гравитационного потенциала

$\partial_x^2 \varphi + \partial_y^2 \varphi - \partial_u^2 \varphi = 4 \pi G \rho$	(“Дихронавты”)
$\partial_x^2 \varphi + \partial_y^2 \varphi + \partial_z^2 \varphi = 4 \pi G \rho$	(Наша Вселенная)

Ниже приводится гравитационный потенциал, соответствующий бесконечному гиперболоидальному распределению материи. В двух областях пустого пространства, расположенного снаружи гиперболоидов, потенциал состоит из двух слагаемых, одно из которых обратно пропорционально расстоянию до центра, а второе является константой. Внутри гиперболоидов потенциал будет прямо пропорционален квадрату расстояния до центра (в несколько вольной трактовке, позволяющей ему принимать отрицательные значения в некоторых точках пространства).

Для сравнения мы также приводим потенциал сферического мира в нашей собственной Вселенной. В данном случае мы исходили из допущения, что на бесконечности потенциал стремится к нулю. В гиперболоидальном случае для получения более симметричного результата можно воспользоваться другим условием: считать, что потенциал равен нулю в центре мира. Все эти допущения, впрочем, являются совершенно произвольными; они лишь увеличивают гравитационный потенциал на некоторую константу и никоим образом не влияют на величину гравитационной силы, связанной с его градиентом.

Гравитационный потенциал гиперболоидного мира
Радиус гиперболоида R, плотность ρ

$D = x^2 + y^2 - u^2$

Вне красного гиперболоида: $\varphi(D) = 2 \pi G \rho R^2 \left( 1 - \cfrac{2R}{3 \sqrt{D}} \right), D \geq R^2$

Внутри: $\varphi(D) = \cfrac{2}{3} \pi G \rho D, -R^2<D<R^2$

Вне зеленого гиперболоида: $\varphi(D) = -2 \pi G \rho R^2 \left( 1 - \cfrac{2R}{3 \sqrt{-D}} \right), D \leq -R^2$

Гравитационный потенциал сферического мира
Радиус сферы R, плотность ρ

$D = x^2 + y^2 + z^2$

Вне сферы: $\varphi(D) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho \cfrac{R^3}{\sqrt{D}}, D \geq R^2$

Внутри сферы: $\varphi(D) = \cfrac{2}{3} \pi G \rho (D - 3R^2), 0 \leq D < R^2$

На рисунке ниже изображен потенциал гиперболоидального мира при R=1, ρ=1, G=1. На графике представлен срез в плоскости x–u, однако при любом повороте среза относительно оси u вид потенциала останется тем же самым.

Чтобы найти гравитационное ускорение, нужно, как обычно, взять величину, противоположную градиенту потенциала, –∇φ, а затем преобразовать градиент в вектор, «подняв его индекс» при помощи соответствующей метрики. В евклидовом пространстве метрика задается единичной матрицей, поэтому компоненты вектора совпадают с компонентами градиента, однако во вселенной «Дихронавтов» с одним времениподобным измерением, на главной диагонали метрики стоят числа 1, 1, –1, поэтому времениподобная u-компонента вектора ускорения отличается от соответствующей компоненты градиента своим знаком.

Смена знака, которая является следствием этих формальных рассуждений, согласуется с интуитивным представлением о том, что относительно времениподобной оси, исходящей из центра мира, тела будут «катиться вверх» в сторону увеличения потенциала – в отличие от обычного поведения, при котором направление роста потенциала противоположно движению тела. В результате гравитационное ускорение в любой точке мира будет направлено точно к его центру.

Гравитационное ускорение гиперболоидного мира
Радиус гиперболоида R, плотность ρ

$a = -\left( \partial_x \varphi, \partial_y \varphi, -\partial_u \varphi \right)$

$D = x^2 + y^2 - u^2$

Вне красного гиперболоида: $a(x, y, u) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho \cfrac{R^3}{\sqrt{D^3}} (x, y, u), D \geq R^2$

Внутри: $a(x, y, u) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho (x, y, u), -R^2<D<R^2$

Вне зеленого гиперболоида: $a(x, y, u) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho \cfrac{R^3}{\sqrt{-D^3}} (x, y, u), D \leq -R^2$

Гравитационное ускорение сферического мира
Радиус сферы R, плотность ρ

$a = -\left( \partial_x \varphi, \partial_y \varphi, \partial_z \varphi \right)$

$D = x^2 + y^2 + z^2$

Вне сферы: $a(x, y, z) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho \cfrac{R^3}{\sqrt{D}} (x, y, z), D \geq R^2$

Внутри сферы: $a(x, y, z) = -\cfrac{4}{3} \pi G \rho (x, y, z), 0 \leq D < R^2$

Солнечные и геологические координаты

В геологических декартовых координатах (x, y, u) уравнение средизимней окружности (образованной точками поверхности, которые находятся непосредственно под орбитой солнца) с учетом вращения мира относительно орбитальной плоскости солнца имеет вид:

$M(\theta) = R(\sin \theta \mathrm{ch} \lambda, \cos \theta, -\sin \theta \mathrm{sh} \lambda)$

Здесь R – радиус мира, а геологические координаты выбраны таким образом, что ось вращения совпадает с осью y. Солнечная долгота θ задает угол по дуге средизимнего круга относительно узловой точки (0, R, 0). Параметр λ измеряет поворот мира относительно момента, когда плоскость солнечной орбиты совпадала с экваториальной плоскостью в геологических координатах: u = 0.

Используя M(θ), можно для любой заданной долготы получить единичный вектор, направленный по касательной к средизимнему кругу и задающий направление, который мы будем называть «солнечным востоком»:

$\mathrm{SolarEast}(\theta) = \partial_\theta \left( \cfrac{M(\theta)}{R} \right) = (\cos \theta \mathrm{ch} \lambda, -\sin \theta, -\cos \theta \mathrm{sh} \lambda)$

Теперь в любой точке (x, y, u) однополостного гиперболоида, частично покрывающего поверхность мира, можно указать векторы, соответствующие направлениям «геологического востока» и «геологического севера»:

$\mathrm{GeoEast}(x, y, u) = \cfrac{(y, -x, 0)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\mathrm{GeoNorth}(x, y, u) = \cfrac{(ux, uy, x^2 + y^2)}{\sqrt{(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - u^2)}}$

Формулу GeoEast с тем же успехом можно было бы применить и на поверхности Земли. Этот вектор, как легко видеть, имеет единичную длину, не содержит компонент по оси север-юг и образует прямой угол с вектором, проведенным из центра мира в точку (x, y, u). Вектор GeoNorth также имеет единичную длину (с точки зрения метрики «Дихронавтов», в которой u является времениподобной координатой) и ортогонален как вектору GeoEast, так и вектору (x, y, u).

Направление SolarEast можно выразить через геологические направления GeoEast и GeoNorth:

$\mathrm{SolarEast}(\theta) = \cfrac{\matrm{ch} \lambda \mathrm{GeoEast}(M(\theta)) - \mathrm{sh} \lambda \cos \theta \mathrm{GeoNorth(M(\theta))}}{\sqrt{1 + \mathrm{sh}^2 \lambda \sin^2 \theta}}$

Теперь, чтобы оценить разницу между геологическими и солнечными координатами, мы можем взять обратный гиперболический синус от геосеверной компоненты вектора СолВосток:

$\mu_\lambda(\theta) = \mathrm{arsh} \left( -\cfrac{\mathrm{sh} \lambda \cos \theta}{\sqrt{1 + \mathrm{sh}^2 \lambda \sin^2 \theta}} \right)$

Гиперболический поворот, характеризующийся таким μ_λ(θ), преобразует геологический восток в солнечный. При θ = 0, т. е. в случае, когда мы рассматриваем поворот с точки зрения узловой точки, выражение упрощается до μ_λ(θ) = –λ.

В пределе при λ → ∞ получаем:

$\mu_\lambda(\theta) = \mathrm{arsh}\left( -\cfrac{\cos \theta}{|\sin \theta|} \right)$

На следующем рисунке изображен график , на котором серым цветом показаны кривые для различных значений λ, а красным – предельная кривая μ_∞(θ). Существование предельной кривой указывает на то, что характеристика поворота не может принимать сколь угодно большие значения вблизи солнечной широты 90⁰, а значит, проблемы, вызванные значительным расхождением между солнечными и геологическими координатами, будут наблюдаться лишь вблизи узловых точек.