Оригинал статьи:
https://www.gregegan.net/DICHRONAUTS/03/Toppling.html
В мире «Дихронавтов» вертикальному объекту, упавшему не в том направлении, грозит серьезная опасность. Если направление гравитационного верха/низа является пространственноподобным, то в горизонтальной плоскости будут располагаться как пространственноподобные, так и времениподобные направления, причем падение в пространственноподобном направлении – если таковое возможно – ничем не будет отличаться от падения в нашем мире. Такое падение можно назвать безопасным. Мы же хотим выяснить, что случится, если предмет – по какой бы то ни было причине – опрокинется в направлении противоположного рода, нежели верх/низ.
Подробности геометрии, лежащей в основе подобных сценариев, обсуждаются во вводной статье.
Закрепленный стержень
Для начала мы рассмотрим простейший из возможных случаев. Представим высокий и тонкий стержень постоянной плотности, вращающийся относительно своего нижнего конца таким образом, что в процессе опрокидывания этот конец сохраняет на земле фиксированное положение. Возможно, он удерживается на одном месте, благодаря силе трения, или же частично зарыт в землю; так или иначе мы будем исходить из допущения, что земля всегда может обеспечить фиксацию его основания – какое бы усилие для этого ни потребовалось.
Вероятно, вы задаетесь вопросом, для чего нужны все эти оговорки. Ведь стержень не становится тяжелее, а просто падает на землю. Однако во вселенной «Дихронавтов», где тело, находящееся на наклонной плоскости, может испытывать с ее стороны силы, намного превосходящие его собственный вес, падающий стержень по своему весу может значительно уступать действующей на него силе реакции земли.
На следующем рисунке показаны четыре положения падающего стержня, разделенные равными интервалами времени. (Чтобы инициировать процесс, мы придали стержню небольшой толчок, так как в противном случае он мог теоретически сколь угодно долго оставаться в вертикальном положении, не теряя равновесия.)
По ходу падения стержня его верхняя точка и центр масс движутся по гиперболическим траекториям (серые штриховые линии), поскольку их расстояние от неподвижной нижней точки должно оставаться постоянным с точки зрения геометрии «Дихронавтов». Скорость падения стержня можно рассчитать, используя закон сохранения энергии: чем выше центр масс, тем больше потенциальная энергия стержня, а значит, и абсолютная величина уравновешивающей ее отрицательной кинетической энергии, соответствующей движению стержня во времениподобных направлениях (относительно других направлений он в данном случае остается неподвижным). Таким образом, в процессе падения стержень будет набирать скорость.
Исходя из траектории и скорости движения центра масс, мы можем рассчитать ускорение стержня и, как следствие, действующую на него суммарную силу (зеленые стрелки). Заметим, что результирующая сила направлена примерно вдоль гиперболы, описываемой центром масс, хотя и не является ее точной касательной, так как угловая (гиперболическая) скорость стержня меняется во времени. На стержень действуют только две силы – его собственная сила тяжести (красные стрелки), которая остается постоянной в течение всего падения, и сила реакции со стороны земли (синие стрелки), которая удерживает нижнюю точку в неподвижном положении и изначально направлена вертикально вверх, противодействуя силе тяжести, но в процессе падения растет по величине и приобретает горизонтальную компоненту.
По мере приближения стержня к наклону в 45⁰ сила реакции опоры будет неограниченно возрастать. Бесконечной она, понятное дело, не станет; во-первых, стержень никогда не сможет достичь угла в 45⁰, а во-вторых, он, независимо от материала, рано или поздно сломается, согнется или, как вариант, начнет проскальзывать относительно земли. Эта простая модель, однако же, демонстрирует тот факт, что простое падение в определенном направлении может подвергнуть физический объект колоссальным напряжениям, которым он в итоге будет вынужден так или иначе поддаться. Попавшему в такую ситуацию ходоку из романа явно не поздоровится.
(Подробное описание математического выкладок приводится в дополнительных материалах к статье).
Скользящий стержень
Теперь мы рассмотрим видоизмененную версию предыдущего примера и вместо фиксации основания стержня позволим ему свободно двигаться по земле в горизонтальной плоскости, не испытывая трения. Кроме того, мы будем считать, что стержень на протяжении всего падения остается прямым и сохраняет целостность, а его нижний конец не может проткнуть землю; при этом мы позволяем основанию стержня скользить по ее идеализированной, бесконечно прочной и абсолютно гладкой поверхности.
После того, как стержень потеряет равновесие, его центр масс будет двигаться только в вертикальном направлении. Более того, вокруг центра возникает расширяющаяся по ходу падения область, точки которой будут двигаться в направлениях с преобладающей вертикальной компонентой, т. е. с пространственноподобными скоростями. Эта часть стержня будет вносить положительный вклад в его кинетическую энергию и продолжит расти до тех пор, пока при некотором критическом угле наклона в точности не уравновесится отрицательной кинетической энергией остального стержня.
По мере приближения к критическому углу кинетическая энергия стержня будет все слабее зависеть от его угловой скорости, которая, в свою очередь, будет неограниченно возрастать, чтобы обеспечить постоянное значение полной энергии. Таким образом, стержень станет ускоряться, а соответствующая сила реакции опоры – безгранично расти, как и его скорость.
На рисунке ниже показаны последовательные положения стержня через равные интервалы времени, последнее из которых соответствует критическому углу, при котором действующие силы стремятся к бесконечности. Изображенные вектора сил соответствуют предшествующему положению стержня, для которого эти силы все еще выражаются конечными величинами.
(Подробное описание математического выкладок приводится в дополнительных материалах к статье).
Разрущающийся стержень
Теперь мы заменим наш идеальный, бесконечно прочный стержень высокой и тонкой прямоугольной призмой, которую представим в виде набора сегментов, отрывающихся друг от друга при достаточно большой деформации сдвига.
Как и ранее, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы вычислить скорость падения, при которой призма сохраняет свою целостность, что, в свою очередь, позволит нам рассчитать ускорение центра масс каждого из воображаемых сегментов, а также величину силы, которую пришлось бы добавить к собственному весу сегмента, чтобы придать ему нужное движение.
Источником воздействий на каждый сегмент служат равные, противоположно направленные силы, действующие между парами смежных сегментов (в случае нижнего сегмента одна из сил будет исходить от земли). Этот факт позволяет нам составить систему линейных уравнений, решая которые, мы узнаем величины межсегментных сил, а по ним – как нормальные силы, направленные по перпендикуляру к границам раздела, так и силы сдвиговой деформации, действующие вдоль границ.
Рисунок ниже иллюстрирует воздействие сдвиговых напряжений на падающую призму. При данной величине угла они достигают максимума на расстоянии около 2/5 длины призмы, считая от ее основания, и неограниченно возрастают по мере увеличения угла. Таким образом, материал призмы рано или поздно поддастся деформации, и она распадется как минимум на два фрагмента.
Процесс разрушения будет довольно сложным, однако после разделения стержня более короткие фрагменты начнут падать точно так же, как первоначальная призма, и в итоге тоже будут разорваны на части деформацией сдвига. Это будет продолжаться до тех пор, пока длина отдельных фрагментов уже не будет превышать их ширину, после чего они займут устойчивое положение на поверхности земли. Однако по мере уменьшения фрагментов точка максимальной деформации будет смещаться вниз, и рано или поздно окажется у самого основания призмы. После этого опора начнет слущивать с ее нижней части тонкие слои вещества, пока остаток призмы не окажется достаточно коротким, чтобы процесс сошел на нет.
(Подробное описание математических выкладок приводится в дополнительных материалах, параграф «Разрушающийся стержень»).