Мир “Дихронавтов”

Оригинал статьи:
http://gregegan.net/DICHRONAUTS/01/World.html

Физика и геометрия вселенной «Дихронавтов», четыре измерения которой поровну делятся между временем и пространством, следуют довольно странным законам, с которыми читатель может познакомиться во вводной статье. Здесь же мы попытаемся в общих чертах описать мир, который мог бы существовать в такой вселенной. Мы намеренно не называем его «планетой», поскольку это слово имеет слишком много ассоциаций, относящихся к нашему собственному миру.

Далее мы будем обозначать три пространственных измерения буквами x, y, u, где координаты x, y соответствуют обычным, «пространственноподобным» измерениям, а u играет роль «времениподобной» оси. Это не означает, что u совпадает с координатой времени, которую мы обозначаем буквой t, а лишь выражает тот факт, что u может выступать в качестве переменной времени для другого наблюдателя, движение которого существенно отличается от нашего. Помимо прочего, «времениподобность» u означает, что квадрат трехмерного расстояния между точками (0, 0, 0) и (x, y, u) равен x² + y² – u², либо противоположной величине u² – x² – y², в зависимости от того, какая из них положительна. Более детальное объяснение этих понятий приводится во вводной статье.

Гравитация и форма мира

В нашей Вселенной крупный объект – будь то звезда или планета – под действием гравитации принимает форму, близкую к шарообразной. В случае идеального тела, обладающего точной сферической симметрией, сила тяготения всегда направлена к центру шара, а гравитационный потенциал одинаков во всех точках поверхности. Такая конфигурация является устойчивой – во всяком случае, до тех пор, пока внутренняя часть тела достаточна прочна, чтобы выдержать вес его внешних слоев.

Во вселенной «Дихронавтов» аналогом сферической поверхности служит гиперболоид. Эта поверхность имеет две разновидности, которые называются однополостным и двуполостным гиперболоидами (соответственно красный и зеленый на рисунке ниже). Первая напоминает бесконечную колбу песочных часов; вторая – пару бесконечных чаш, направленных в противоположные стороны. На рисунке бесконечную поверхность, по понятным причинам, можно изобразить лишь частично.

Нам потребуется твердое, трехмерное тело, поверхность которого состоит из одного или нескольких гиперболоидов. В геометрии «Дихронавтов» такое тело будет обладать идеальной симметрией относительно своего центра – по аналогии с тем, как сфера обладает идеальной симметрией в геометрии Евклида: внешний вид тела не будет меняться при повороте вокруг его центра. (Если это сбивает вас с толку, ознакомьтесь с вводным разделом «Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»».)

Такое тело будет иметь бесконечные размеры и обладать бесконечным объемом и массой. Мы можем мысленно обрезать гиперболоиды, получив в результате некоторое тело конечных размеров; это, конечно же, нарушит его идеальную симметрию, однако в случае физических объектов точная симметрия встречается довольно редко. У бесконечных, идеально симметричных версий, впрочем, есть свои преимущества, поскольку их проще описать математически; более того, до тех пор, пока все локально измеримые физические величины (как то сила тяготения или создаваемое внутри тела давление) остаются конечными, мы можем даже допустить существование подобных объектов в гипотетической вселенной «Дихронавтов».

Закономерность, которой подчиняется сила тяготения в нашей Вселенной, как известно, выражается законом обратных квадратов: сила взаимодействия двух материальных точек пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Во вселенной «Дихронавтов» вид этого закона не меняется – с той лишь разницей, что под «квадратом расстояния» теперь понимается x² + y² – u², если эта величина положительна, и противоположная величина, u² – x² – y², в противном случае.

Существует, понятное дело, и конус, на поверхности которого x² + y² – u² = 0, а, гравитационная сила, создаваемая 0-мерной точечной массой, достигает бесконечной величины. Это вызывает некоторое беспокойство – даже больше чем тот факт, что в нашей Вселенной гравитационная сила точечной массы стремится к бесконечности по мере приближения к центру притяжения.

С точки зрения микроскопических составляющих материи этот вывод указывает на то, что нам придется избегать частиц, буквально имеющих вид геометрических точек, заменяя их объектами, в которых масса (и, при наличии, электрический заряд) распределены по некоторой конечной области пространства. Но чтобы обойти эту проблему, нам вовсе не обязательно погружаться в детали физики частиц: как в нашей собственной Вселенной, так и в мире «Дихронавтов» закон тяготения можно легко представить в форме, где вместо масс отдельных частиц фигурирует плотность материи.

Во вселенной «Дихронавтов» соответствующее правило имеет вид:

Сумма вторых производных гравитационного потенциала по пространственноподобным координатам за вычетом второй производной по времениподобной координате равна произведению 4πG на плотность материи, где G – константа, описывающая силу гравитационного взаимодействия.

Как вы уже, должно быть, догадались, в случае с нашей Вселенной отличие состоит лишь в том, что вторые производные потенциала по трем пространственным координатам x, y, z входят в формулировку закона со знаком плюс; и ни одна – со знаком минус. Подобную формулировку ньютоновского закона можно интерпретировать как выражение геометрического свойства «силовых линий», позволяющих описывать гравитационное поле некоторого тела. По сути оно означает, что силовые линии могут начинаться и заканчиваться только на материальных частицах (но никак не в вакууме), а плотность распределения концов линий прямо пропорциональна плотности материи.

Другими словами, нам нужно найти гравитационный потенциал, удовлетворяющий этому закону для идеально симметричного распределения материи во вселенной «Дихронавтов». В качестве одного из вариантов мы могли бы взять одно- или двуполостный гиперболоид и заполнить пространство, ограниченное его поверхностью. Но тогда в некоторых направлениях нам придется иметь дело с бесконечно большим количеством материи.

Альтернативное решение – взять оба вида гиперболоидов и заполнить только пространство между ними, как показано на рисунке ниже. Этот объект также является бесконечным (хотя на картинке показан лишь его конечный фрагмент), но если мы выберем на поверхности одного из гиперболоидов произвольную малую область и рассмотрим объем находящегося под ним вещества, вплоть до центра мира, то этот объем окажется конечным и будет зависеть только от площади выбранной области и радиуса гиперболоида.

На следующем рисунке показан гравитационный потенциал, соответствующий такому распределению материи. На графике представлен срез в плоскости x–u, однако вид потенциала останется тем же самым и при любом повороте среза относительно оси u.

Сила тяготения, соответствующая такому потенциалу, всегда направлена к центру мира. Это может показаться удивительным, если учесть, что график отклоняется вниз по мере удаления от центра вдоль оси u; все дело в том, что тела, движущиеся во времениподобных направлениях, обладают отрицательной кинетической энергией, а значит, любой предмет, брошенный в этой области пространства, будет «катиться вверх», двигаясь в сторону увеличения потенциала. Таким образом, сила тяготения на всей поверхности гиперболоида – как одно-, так и двуполостного – имеет постоянную величину и всегда направлена к центру мира.

(Подробное описание математического выражения потенциала приводится в дополнительных материалах к статье).

Солнце, обитаемая зона и абсолютное лето

Какие миры могли бы возникнуть во вселенной с двумя пространственноподобными и двумя времениподобными измерениями? Ответ на этот вопрос зависит от особенностей космологии и строения материи. Материя во вселенной «Дихронавтов» труднее поддается математическому описания, чем наша собственная; предположив, что она состоит из точечных частиц, обладающих некоторым зарядом, мы обнаружим, что любая сила, стремящаяся к бесконечности по мере сокращения расстояния между частицами, будет иметь особые точки, в совокупности образующие целый конус с центром в данной частице (т. е. поверхность, в пределах которой расстояние до частицы равно нулю). В принципе мы могли бы распределить заряд по некоторой трехмерной области, не концентрируя его в одной точке пространства, что, в свою очередь, позволило бы нам избавиться от особенных точек. По сути именно так мы поступили в предыдущем разделе, когда речь шла о гравитационное поле. Однако для предсказания свойств, которыми могли бы обладать местные аналоги атомов и молекул, нам пришлось бы применить аппарат квантовой механики к отдельным, протяженным объектам, находящимся в пространстве с принципиально иной геометрией, нежели геометрия нашей Вселенной, что потребовало бы отнюдь не тривиальных усилий.

Поэтому, вместо того, чтобы заниматься детальной проработкой физики частиц, химии и космологической истории вселенной «Дихронавтов», мы ограничимся схематичным описанием одного из возможных миров, а также некоторых свойств материи, необходимых для его функционирования.

Представим себе большой гиперболоидальный мир из твердого материала. Как уже было сказано в предыдущем разделе, даже при бесконечных размерах самого мира сила тяготения в любой точке его поверхности имеет одно и то же, конечное значение и всегда направлена к центру мира.

Если твердая поверхность со всех сторон окружена некой «атмосферой», то по своим свойствам такая атмосфера будет напоминать не газ, а жидкость – причины этого мы обсуждали во вводной статье. В мире романа такая атмосфера действительно присутствует, но при этом является достаточно разреженной и прозрачной в оптической части спектра, чтобы персонажи книги воспринимали ее примерно так же, как мы сами воспринимаем наш воздух. Выражение «разреженная жидкость» звучит довольно странно, однако благодаря дальнодействующим силам, направленным вдоль конуса каждой из частиц, термодинамические свойства жидкости может проявлять даже система сравнительно низкой плотности.

Что будет происходить на границе между такой жидкостью и космическим вакуумом? Даже не зная всех деталей межмолекулярного взаимодействия, возможные варианты можно поделить на две группы: либо жидкость сохраняет целостность, как это имеет место с некоторыми твердыми телами при контакте с вакуумом, либо претерпевает резкий фазовый переход в состояние «конической плазмы», при котором частицы разгоняются до высоких скоростей за счет случайных соударений.

На роль атмосферы нам понадобится жидкость первого типа, которая может спокойно контактировать с вакуумом, герметизируясь за счет своей собственной вязкости. Второй же вариант позволяет некоторым скоплениям жидкости выступать в роли источника света и тепла. Иначе говоря, в качестве «звезд». В нашей вселенной звезды должны обладать некоторой минимальной массой, при которой в их ядре возникает давление, достаточно для запуска термоядерных реакций. В то время как во вселенной «Дихронавтов» звезде достаточно просто состоять из жидкости подходящего типа.

Компанию гиперболоидальному миру «Дихронавтов» (показанному на следующем рисунке) составляет миниатюрная звезда, которая движется вокруг него по компактной круговой орбите. Это явно не единственная возможная конфигурация, однако разительные отличия от нашего собственного мира вкупе с возникающими в подобной ситуации экзотическими эффектами местной геометрии, куда больше благоприятствуют интересному повествованию, нежели рассказ об очередной планете, обращающейся вокруг далекой и громадной звезды.

Как уже упоминалось ранее, любой источник света во вселенной «Дихронавтов» характеризуется «темновым» конусом, внутри которого не излучается свет. Таким образом, освещенная солнцем часть поверхности ограничена с двух сторон. Помимо этого существует привычная нам граница между ночью и днем. Однако даже находясь на дневной стороне и двигаясь к северу или югу от окружности, расположенной строго под орбитой солнца, вы рано или поздно оказываетесь в его темновом конусе.

Может показаться, что жизнь к северу или югу от окружностей, образованных пересечением темнового конуса с поверхностью мира, будет отличаться всего лишь одним любопытным феноменом, при котором свет исчезает в районе полудня, а продолжительность этого дневного «затмения» растет с увеличением широты. Но именно здесь геометрия проявляет себя с неприглядной стороны. Вблизи темнового конуса солнца расстояние между поверхностью звезды и поверхностью мира стремится к нулю, а интенсивность солнечного излучения, как следствие, достигает колоссальных величин. Оказаться в месте, где подобные – пусть и кратковременные – вспышки происходят дважды в день, – все равно что подписать себе смертный приговор. Таким образом, эти окружности служат границей территории, которая в романе именуется абсолютным летом – так называются области, в которых расстояние от Солнца время от времени падает до нуля, и выживание становится попросту невозможным.

Если на нашей планете высокие широты коррелируют с прохладной погодой, то в мире «Дихронавтов» самым холодным местом будет пояс, расположенный в точности под орбитой солнца – так называемый средизимний круг. Все остальные точки, согласно геометрии их вселенной, будут, наоборот, располагаться ближе к солнцу, если измерять расстояние ровно в полдень. К северу и югу от средизимнего круга располагается обитаемая зона, в пределах которой температура благоприятствует развитию жизни. Граница этой зоны проходит на довольно ощутимом расстоянии от начала абсолютного лета и располагается там, где вода (не в нашем понимании, а в смысле общедоступного растворителя, играющего сходную роль в биохимии «Дихронавтов») из-за высокой температуры начинает слишком быстро растворяться в жидкой атмосфере, оставляя после себя лишь пересохшую землю.

На рисунке выше границы обитаемой зоны отмечены двумя голубыми полосами мелководных болот, где температура опускается до отметки, при которой влага, заключенная в более горячем воздухе к северу и югу, начинает выпадать на землю в виде дождя.

Зернистость земли и миграция

Представьте, что мы расположили множество геометрических фигур в виде сетки, а затем нарисовали на каждой из них стрелку, указывающую в одном и том же направлении. Дадим этим фигурам возможность свободно вращаться на плоскости, ограничивая их движение лишь тем фактом, что при слишком большом повороте они могут столкнуться с кем-то из своих соседей. Если фигуры расположены не слишком плотно, то в евклидовом пространстве ориентация их стрелок может оказаться совершенно случайной, как показано на следующем рисунке:

Если же аналогичную конфигурацию представить в пространстве «Дихронавтов» – так, чтобы одно из направлений в плоскости сетки было пространственноподобным, а другое – времениподобным, – то растяжение фигур в процессе их вращения приведет к тому, что они будут сталкиваться со своими соседями даже при поворотах на очень малые углы, что в итоге даст картину, напоминающую рисунок ниже:

Несмотря на некоторую надуманность, приведенный выше пример неплохо демонстрирует один общий принцип: на поверхности однополостного гиперболоида – где в горизонтальной плоскости имеется как пространственно-, так и времениподобное направление, – земля будет проявлять четко выраженную направленную зернистость, которая не наблюдается на нашей планете.

Оказавшись пасмурной ночью в незнакомой точке нашей планеты, и имея при себе лишь мощный источник искусственного освещения, позволяющий во всех подробностях изучить внешний вид ландшафта, вы бы ни за что не смогли определить, где именно находится север и юг, а где – восток и запад. Нет никакой причины, из-за которой подобная информация непременно должна найти отражение в геологических особенностях Земли. Однако на поверхности однополостного гиперболоида имеет место не только фундаментальное различие между осями север-юг и восток-запад (так, световое зрение не работает в пределах сорока пяти градусов от направлений на север и юг): даже отдельные песчинки не могут располагаться под углами, которые заметно отличаются от их соседей, так как попытавшись принять собственную, непохожую на остальных ориентацию, они бы встретились с сопротивлением окружающих песчинок.

Мы описали гиперболоидальный мир «Дихронавтов» как идеально симметричную фигуру – остающуюся неизменной при любом повороте вокруг ее центра – однако это, понятное дело, верно лишь для идеализированной модели гладкого и однородного мира, которая годится для расчетов гравитационного поля, но никак не для ответа на вопрос: каково это – ходить по его поверхности? Как и наша Земля, мир «Дихронавтов» будет обладать сложным рельефом гор и долин. Но если исследователь практически в любой точке Земли может свободно повернуться на все триста шестьдесят градусов – если, конечно, он не стоит на узеньком уступе горы или пытается пролезть сквозь запредельно тесную расщелину, – то тела существ, обитающих в мире «Дихронавтов» вынуждены подчиняться особенностям местной геологии. Если вы находитесь на обширной и плоской равнине, где нет никого, кроме вас, все эффекты вращения будут ограничены лишь чисто геометрическим правилом, согласно которому ни один поворот не может превратить пространственноподобное направление во времениподобное и наоборот; но как только на поверхности появляются какие-либо препятствия, столкновение с ними будет препятствовать вашему движению, поэтому в большинстве случаев перемещение против зернистости рельефа будет сильно затруднено или вовсе окажется невозможным.

Другими словами, мир «Дихронавтов» следует представлять не в виде однообразного гиперболоида, а как объект с нанесенной на него сеткой геологических координат, где долгота отсчитывается вокруг гиперболоида, а широта – вверх и вниз от заранее выбранной экваториальной окружности. Но если координаты, которыми мы пользуемся на Земле, привязаны к полюсам вращения, то отсчет дней во вселенной «Дихронавтов» объясняется вовсе не обращением мира вокруг какой-либо оси, не говоря уже о том, что единственной оси симметрии у него попросту нет – точно так же, как нет ее и у сферы. (Такая ось появляется, когда мы пытаемся изобразить мир «Дихронавтов» в евклидовом пространстве, но это всего лишь побочный эффект геометрии, которую мы используем для его визуализации.) Это позволяет выбирать геологические координаты в соответствии с зернистостью ландшафта: геологический север, юг, восток и запад – это (усредненные) направления, по которым можно сориентировать стороны квадратной коробки так, чтобы она не цеплялась за другие предметы. На Земле подобное определение было бы бесполезным, ведь такую коробку можно развернуть как угодно. Однако в мире «Дихронавтов» поворот квадрата сопряжен с известным риском.

Конечно, есть и другая система естественных координат – а именно, та, что связана с движением солнца. Очевидным кандидатом на роль экватора в солнечных координатах является средизимняя окружность, расположенная на поверхности мира строго под орбитой солнца.

Должны ли обе системы обозначения широты и долготы быть каким-то образом согласованы друг с другом? Ничто не мешает нам вообразить, что мир возник одновременно с солнцем, а их системы координат были согласованы благодаря тому, что оба тела изначально находились в одних и тех же условиях. Но с тем же успехом можно представить и сценарий, в котором они сформировались совершенно независимо друг от друга.

В сюжете романа возникает еще одно осложнение: несмотря на то, что в далеком прошлом геологические и солнечные координаты действительно могли совпадать друг с другом, соотношение между ними менялось на протяжении целых эпох. Вопрос о том, испытывает ли мир медленное вращение относительно фиксированной орбиты солнца, или же орбита самого солнца медленно наклоняется по отношению к неподвижному миру, является предметом договоренности, однако конечный эффект и в том, и в другом случаях будет одинаковым: обитаемая зона непрерывно смещается по поверхности мира, заставляя людей перебираться с места на места в ходе медленной, но постоянной миграции.

Далее мы в целях удобства будем исходить из того, что вращается сам мир. Поскольку такое вращение охватывает одно пространственноподобное и одно времениподобное измерения, его поведение отличается от кругового, периодического движения, которое, к примеру, совершает обращающееся по орбите солнце.

На следующем рисунке представлены два ракурса гиперболоида (с фиксированной красно-синей сеткой геологических координат), который в процессе вращения теряет синхронность с солнечными координатами (показаны серым цветом). Обитаемая зона, привязанная к сетке солнечных координат, выделена зеленым цветом.

В случае с левым рисунком наблюдатель находится лицом к одной из узловых точек – которые остаются неизменными в процессе поворота, – в то время как правый повернут относительно левого на девяносто градусов.

Вблизи узловых точек эффект по сути сводится к двумерному повороту поверхности вокруг самого узла. Если бы наблюдатель, стоя в таком месте, попытался сохранить свою ориентацию относительно окружающего ландшафта, то равно или поздно его тело так сильно развернулось бы по отношению к обитаемой зоне, что попросту вышло бы за ее пределы, оказавшись в области абсолютного лета. Или, если описывать происходящее с точки зрения самого наблюдателя, обитаемая зона бы сжалась настолько, что ее размер по одной из осей стал бы меньше его собственного тела. Если бы земля была идеально плоской и гладкой, наблюдатель мог бы спастись, поворачиваясь так, чтобы его тело сохраняло постоянную ориентацию относительно обитаемой зоны. Однако в условиях реалистичного ландшафта это рано или поздно станет невозможным.

В девяноста градусах от узловой точки проблема исчезает. Несмотря на то, что земля продолжает двигаться на север по отношению к солнцу, вынуждая жителей мигрировать на юг, чтобы все время оставаться в пределах обитаемой зоны, определения осей запад-восток/север-юг с точки зрения геологических и солнечных координат остаются согласованными друг с другом.

Так вот, где-то между этими точками рассогласование солнечных и геологических координат начнет вызывать определенные проблемы. Ключевой вопрос заключается в том, будет ли безопасная полоса земли в пределах обитаемой зоны сжиматься до бесконечности, или же устремится к некоторому минимальному значению, вблизи которого будет по сути оставаться неизменной на протяжении целых эр.

Ответом на этот вопрос служит изображенный ниже график, который дает обитателям «Дихронавтов» повод для оптимизма. Кривая показывает, как в зависимости от долготы (рассчитанной относительно одной из узловых точек) меняется характеристика поворота, измеряющего разницу между геологическими и солнечными координатами. Серые кривые соответствуют различным значениям этого параметра в самой узловой точке, красная – отражает предельное состояние, при котором характеристика узловой точки стремится к бесконечности. Предельная кривая демонстрирует тот факт, что на поверхности мира всегда найдется достаточно протяженный интервал долготы, внутри которого относительное вращение не слишком велико, а у обитающих в нем людей всегда есть возможность сориентировать свое тело согласно локальной зернистости земли, не рискуя выйти за границы обитаемой зоны.

(Детальное описание выкладок, лежащих в основе этого графика, приводится в дополнительных материалах к статье.)