Риманова термодинамика [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/05/ThermodynamicsExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Риманов спектр абсолютно черного тела

Спектр абсолютно черного тела описывает распределение энергии теплового излучения – то есть излучения, возникающего в результате свободного преобразования тепловой энергии в свет – по различным частотам света. Мы не будем пытаться рассчитывать какие-либо свойства различных видов римановой материи, определяющие склонность к обмену энергией с электромагнитным полем; далее мы просто будем исходить из предположения, что энергия может свободно передаваться переходить от света одной частоты к свету другой, как это имело бы место при наличии идеального источника и поглотителя излучения – именно такое предположение обычно используется при анализе сходной ситуации в нашей собственной Вселенной.

Для начала мы рассмотрим электромагнитное поле, заключенное в некотором замкнутом пространстве или полости, считая, что окружающие стенки полностью непрозрачны, а само поле находится в состоянии теплового равновесия с окружающим его веществом. В соответствии с описанием лоренцева случая, приведенным у Рейфа^[1], мы будем считать, что точные граничные условия, наложенные на данное поле, не играю роли. В целях простоты мы рассмотрим полость кубической формы с ребром длины L и объемом V = L³, наложив на нее периодические граничные условия: значение поля на любой из граней куба будет совпадать с его значением в соответствующей точке, лежащей на противоположной грани.

Любое решение уравнения скалярной римановой волны, удовлетворяющее данному условию, можно записать в виде вещественной части линейной комбинации плоских волн следующего вида:

$\begin{equation*} \begin{split} & f_{i, j, k}(x, y, z, t) = \exp(\mathbf{k}_{i, j, k} \cdot (x, y, z, t)) \\ & \mathbf{k}_{i, j, k} = \cfrac{2 \pi}{L} (i \mathbf{e}_x + j \mathbf{e}_y + k \mathbf{e}_z) + \omega_{i, j, k}\mathbf{e}_t \\ & \omega_{i, j, k} = \sqrt{\omega_m^2 - \cfrac{4 \pi^2}{L^2}(i^2 + j^2 + k^2)} \end{split} \end{equation*}$

где i, j и k – целые числа. Они могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, однако тот факт, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня в определении ω_{i, j, k}, должно быть положительным, ограничивает их возможные значения конечным множеством вариантов, соответствующих ограничению, согласно которому пространственная частота не должна превосходить ν_max.

Нам, разумеется, нужно не скалярное, а векторное решение, и каждой тройке целых чисел мы можем сопоставить три единичных вектора, ортогональных как друг другу, так и волновому вектору k_{i, j, k}, что дает нам по три поляризации для каждой колебательной моды. В явном виде:

$\begin{equation*} \begin{split} & \mathbf{f}^{(1)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (i \mathbf{e}_t - j \mathbf{e}_z + k \mathbf{e}_y) - \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_x \right) \\ & \mathbf{f}^{(2)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (-i \mathbf{e}_z - j \mathbf{e}_t + k \mathbf{e}_x) + \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_y \right) \\ & \mathbf{f}^{(3)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (-i \mathbf{e}_y + j \mathbf{e}_x + k \mathbf{e}_t) - \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_z \right) \end{split} \end{equation*}$

Предположим теперь, что 4-потенциал электромагнитного поля A представляет собой линейную комбинацию данных векторных мод. Чему будет равна полная энергия электромагнитного поля? Используя выведенную ранее формулу, описывающую плотность энергии плоских волн, можно показать, что если:

$\mathbf{A} = A_{(1)} \mathbf{f}^{(1)}_{i, j, k} + A_{(2)} \mathbf{f}^{(2)}_{i, j, k} + A_{(3)} \mathbf{f}^{(3)}_{i, j, k}$

то общая энергия, заключенная в кубической полости, равна:

$U = \cfrac{V}{2}\left(A_{(1)}^2 + A_{(2)}^2 + A_{(3)}^2\right)\omega_{i, j, k}^2$

При добавлении к потенциалу A новых мод с другими значениями i, j, k энергии будут просто складываться; это следует из того факта, что в пределах полости тригонометрические функции с различными длинами волн взаимно ортогональны. Другими словами, в наиболее общем случае энергию можно представить в виде аналогичной суммы квадратов с соответствующими коэффициентами для каждой моды.

[При желании мы могли бы использовать в качестве мод не плоские, а стоячие волны. Для каждой пары плоских волн, движущихся в противоположных направлениях, f^(p)_{i, j, k} и f^(p)_{–i, –j, –k}, мы можем сформировать две стоячих волны, (f^(p)_{i, j, k} ± f^(p)_{–i, –j, –k})/√2. Особый случай i=j=k=0 уже является стоячей волной. Полные энергии таких мод совпадают с энергиями соответствующих плоских волн.]

Сколько мод заключено в интервал угловых частот от ω до ω+dω? Если предположить, что полость достаточно велика, так что i, j, k принимают очень большие значения, то неплохое приближение можно получить, заменив их непрерывными величинами. Если мы введем r² = i² + j² + k², то число мод будет в три раза больше (по числу поляризаций) объема сферической оболочки радиуса r и толщины |dr|, где:

$\omega^2 = \omega_m^2 - \cfrac{4 \pi^2}{L^2} r^2$

Таким образом, плотность распределения мод имеет вид:

$\rho(\omega) d\omega = 3 \times 4 \pi r^2 |dr| = 3 V \omega \cfrac{\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2} d\omega$

Для правильного описания спектра абсолютно черного тела, понятное дело, требуется привлечение квантовой механики, и вскоре мы выведем соответствующее выражение и для нашего спектра. Тем не менее, есть смысл вначале разобрать вычисления в рамках чисто классической модели. В лоренцевой физике частота света не ограничена сверху, поэтому общее число мод, заключенных в произвольной полости, бесконечно. До появления квантовой механики это следствие вызывало недоумение, так как в соответствии с теоремой о равнораспределении, известной в классической статистической механике, каждая из таких мод должна вносить равный вклад в общую энергию, что в случае бесконечного числа мод не имело смысла. Иными словами, в области высоких частот дать удовлетворительное описание спектра абсолютно черного тела было невозможно. В римановой Вселенной, благодаря конечному числу мод, классические вычисления дают вполне адекватный результат на всем протяжении спектра.

ortnt_05x_01

Согласно теореме о равнораспределении, в системе, находящейся в состоянии равновесия при температуре T, каждая степень свободы, вклад которой в общую энергию системы пропорционален квадрату координаты или импульса в фазовом пространстве, обладает средней энергией, равной (1/2) k T, где k – постоянная Больцмана, задающая температурную шкалу. Однако, несмотря на то, что каждая колебательная мода полости выглядит как отдельная координата, в действительности они содержат как координату, так и импульс: мгновенную амплитуду моды, осциллирующей с частотой ω_{i, j, k}, и скорость ее изменения, то есть соответствующий импульс. Аналогично гармоническому осциллятору (скажем, груза на пружине), потенциальная энергия которого пропорциональна квадрату его смещения, а кинетическая пропорциональна квадрату скорости изменения этого смещения во времени, сумма двух энергий остается постоянной, но если мы рассматриваем систему, состоящую из таких осцилляторов и находящуюся в состоянии теплового равновесия, то средняя энергия, приходящаяся на каждый осциллятор, будет равна k T, а не (1/2) k T.

Таким образом, плотность энергии поля в пределах полости, при заданной частоте ω, будет равна:

$u_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{3kT\omega\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2} d \omega$

Классический спектр плотности энергии всегда будет достигать максимума при частоте:

$\omega_{\mathrm{peak}} = \omega_m/\sqrt{2} \approx 0.707 \omega_m$

независимо от температуры. Плотность полной энергии на всей протяженности спектра определяется интегралом u_classical(ω) при ω, меняющемся от 0 до ω_m:

$u_{\mathrm{classical, total}} = \cfrac{\omega_m^3 kT}{2 \pi^2}$

В лоренцевом случае форма спектра, описывающего излучение, исходящее из полости, в точности совпадает с формой спектра излучения внутри самой полости, поскольку любой излучение, выходящее наружу сквозь малое отверстие, будет двигаться с одной и той же скоростью, равной скорости света. Но в римановой Вселенной каждой частоте соответствует своя скорость, в результате чего спектр излучения абсолютно черного тела будет довольно сильно отличаться от распределения энергии внутри самой полости.

Для вычисления мощности, излучаемой абсолютно черным телом, в расчете на единицу площади, нам, помимо умножения на скорость, соответствующую каждой угловой частоте:

$v(\omega) = \cfrac{\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{\omega}$

потребуется также проинтегрировать полученное выражение по всем пространственным размерностям излучения. Для заданного отверстия с конкретной ориентацией это вводит дополнительный множитель 1/4. В итоге имеем:

$I_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{1}{4} v(\omega) u_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 kT (\omega_m^2 - \omega^2)}{8 \pi^2}$

Другими словами, классический спектр излучения представляет собой обычную перевернутую параболу, с вершиной в точке ω=0. Влияние температуры сводится к увеличению общей мощности излучения, без какого-либо изменения формы спектра. Очевидно, что этот вывод существенно отличается от спектра абсолютно черного тела в нашей Вселенной, при котором свет, излучаемый более горячим телом достигает пика при более коротких длинах волн, чем более холодный – а полная мощность излучения пропорциональна не самой температуре, как в рассмотренном выше случае, а ее четвертой степени.

Конечно, наши расчеты для риманова случая пока что не выходили за рамки классической физики, поэтому для адекватного сравнения нам потребуется рассмотреть их квантовый аналог. Мы ожидаем, что риманов свет будет подчиняться тем же самым законам квантовой статистики, что и фотоны в нашей Вселенной – то есть обладать свойствами бозонов (более точно, частиц со спином 1), которые не обладают зарядом и, следовательно, являются античастицами по отношению к самим себе. Каждый риманов фотон частоты ν обладает энергией hν, где h – постоянная Планка, или ℏω, где ℏ=h/(2π), а ω – угловая частота.

Соответствующие расчеты с применением квантовой статистической механики^[2] говорит нам о том, что среднее количество римановых фотонов, занимающих каждую моду в электромагнитном поле полости, зависит от температуры и энергии моды:

$n(\omega) = \cfrac{1}{\exp\left(E(\omega)/kT}\right) - 1} = \cfrac{1}{\exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1}$

При высоких температурах (или в пределе при малом ℏ), это выражение обращается в n(ω) ≈ kT/(ℏω), что по сути эквивалентно теореме о равнораспределении: на каждую моду в среднем приходится энергия, равная k T. Заметим, что для отрицательных температур это выражение просто не имеет смысла: подобная система не может находиться в тепловом равновесии, если ее температура отрицательна.

Умножая n(ω) на энергию ℏω и плотность состояний ρ(ω), мы получаем квантовую версию спектра, описывающего плотность энергии полости:

$u_{\mathrm{quantum}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 \hbar \omega^2 \sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2 \left( \exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1 \right)} d\omega$

Для получения спектра излучаемой мощности нам, так же, как и в классическом случае, потребуется умножить это выражение на четверть скорости света с той же частотой:

$I_{\mathrm{quantum}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 \hbar \omega (\omega_m^2 - \omega^2)}{8 \pi^2 \left( \exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1 \right)} d\omega$

ortnt_05x_02

ortnt_05x_03

На приведенных выше римановых графиках мы взяли ω_m = 2π × 10¹⁵ Hz, а затем воспользовались реальными значениями постоянных Планка и Больцмана. Мы видим, что с ростом температуры расстояние между классическим и квантовым римановыми спектрами сокращается пропорционально: максимальное расхождение по своей абсолютной величине остается примерно одинаковым, но по мере расширения спектра доля этой величины по отношению к полной энергии будет становиться все меньше и меньше.

При интерпретации этих графиков важно иметь в виду, что в римановой Вселенной положительные температуры для большинства форм материи требуют экстремальных условий – таких как релятивистские скорости в газе – причем экстремальность этих условий возрастает по мере уменьшения положительной температуры. Таким образом, высокие температуры в данном случае соответствуют наименее экстремальным состояниям.

Это обстоятельство указывает на то, что в римановой Вселенной расхождение между квантовым и классическим спектрами абсолютно черного тела будет представлять собой относительно малозначительное явление, которое навряд ли сыграет в развитии квантовой механики ту же самую роль, которую оно сыграло в нашей истории. Если вы сравните это квантово-классическое расхождение с предыдущим графиком, построенным для лоренцева случая, то лоренцева ультрафиолетовая катастрофа практически бросается в глаза, в отличие от римановой физики с ее непримечательным “голубым провисанием”, которое невозможно будет даже обнаружить без точных измерений на всем протяжении спектра.

С излучением полости, однако же, сопряжена и другая “катастрофа”: среднее давление излучения бесконечно, вне зависимости от температуры! Почему? В случае мод, временная угловая частота ω которых близка к нулю, соответствующая амплитуда A должна становиться все больше, так как в противном случае энергия моды, (1/2) V A² ω², не будет равна единой величине k T, определяемой теоремой о равнораспределении. Но если энергия таких мод остается ограниченной в силу малых значений ω, то их пространственная частота будет близка к ω_m, поэтому соответствующие импульс и давление, также пропорциональные A², растут без каких-либо ограничений.

Абсолютно черное тело и идеальное тепловое равновесие – это, разумеется, абстрактные модели, поэтому отсюда вовсе не следует бесконечность какой-либо реальной физической величины. Тем не менее, приведенные рассуждения ясно дают понять, что в любой системе, допускающей свободный обмен энергией между всеми возможными модами, давление излучения будет чрезвычайно высоким.

Статистическая сумма изолированной частицы

Перечисленные в предыдущем разделе состояния, характеризующие излучение полости, по сути являются состояниями, доступными произвольной римановой частице. За исключением множителя 3, который указывает на три поляризации и может варьироваться (в зависимости от спина частицы), а также значения ω_m (зависящего от массы частицы), метод подсчета допустимых состояний частицы остается без изменений. В случае бозонов, разумеется, в каждом конкретном состоянии может находиться произвольное число частиц, в то время как в случае фермионов – не более одной, однако первоначальный шаг, на котором происходит идентификация самих состояний, будет одинаковым как для бозонов, так и для фермионов.

При изучении систем, находящихся в состоянии теплового равновесия при заданной температуре, доступную нам информацию о состояниях системы полезно представить в виде так называемой статистической суммы (см. также ^[3]). В общем случае ее определение имеет вид:

$Z = \sum \limits_r e^{-\beta E_r}$
где $\beta = 1/(kT)$

Индекс r – это просто обозначение произвольного состояния системы, а E_r – его энергия. Мы ввели температурный параметр β, который имеет размерность, обратную энергии, и может быть более удобным в использовании, чем сама температура. β равно нулю в случае бесконечной температуры и стремится к бесконечности в положительном и отрицательном направлении, когда температура приближается к нулю сверху или снизу соответственно.

Каждое слагаемое статистической суммы пропорционально вероятности обнаружить систему в одном из возможных состояний. Чтобы вычислить саму вероятность, нужно разделить соответствующее слагаемое на статистическую сумму, то есть сумму всех таких слагаемых. Таким образом, вероятность обнаружить систему в состоянии r равна:

$P(r) = \cfrac{e^{-\beta E_r}}{Z}$

Одно из наиболее полезных свойств статистической суммы заключается в том, что с ее помощью можно получить различные усредненные характеристики соответствующей системы. Среднюю энергию системы, к примеру, можно определить так:

$\langle E \rangle = \displaystyle \sum _r P(r) E_r = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r e^{-\beta E_r} E_r}{Z} = -\cfrac{\partial_{\beta} Z}{Z} = - \partial_{\beta} \ln Z$

В случае единственной бесспиновой римановой частицы с массой m (и соответственно максимальной угловой частотой m/ℏ) и ограничивающим объемом V статистическая сумма имеет вид:

$\begin{equation*} \begin{split} & Z_m = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp\left(-\beta E_{i, j, k}\right) = \\ & = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp\left(-\beta \hbar \omega_{i, j, k}\right) = \\ & = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp \left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2}{V^{2/3}}(i^2 + j^2 + k^2)}\right) \end{split} \end{equation*}$

где сумма берется по всем целым i, j, k, как положительным, так и отрицательным, при которых выражением под знаком квадратного корня принимает неотрицательное значение. Мы модифицировали выражение для ω_{i, j, k} из предыдущего раздела, выразив его не через максимальную угловую частоту частицы, а через ее массу m, а также заменив размер полости L на V^1/3. В пределе при большом числе состояний эта сумма должна аппроксимироваться интегралом, взятым по сферической области (i, j, k)-пространстве, которую проще всего описать в сферических координатах с помощью уравнения r² = i² + j² + k²:

$Z_m = 4 \pi \displaystyle \int \limits_0^R \exp\left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2}{V^{2/3}}r^2}\right) r^2 dr$ ,

где $R = \cfrac{V^{1/3}m}{2 \pi \hbar}$ – это значение r, при котором энергия обращается в нуль.

Сделав замену переменной r = R s, получаем:

$Z_m = 3Z_0 \displaystyle \int \limits_0^1 \exp\left(-\beta m \sqrt{1 - s^2}\right) s^2 ds$ ,
где $Z_0 = \cfrac{4}{3} \pi R^3 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$ – общее число состояний.

Мы можем сделать еще одну замену s = sin(γ), перейдя тем самым к угловой переменной γ:

$Z_m = 3Z_0 \displaystyle \int \limits_0^{\pi/2} \exp \left(-\beta m \cos\gamma\right) \sin^2 \gamma \cos \gamma d \gamma$

Последнее выражение можно интерпретировать как интеграл по 3-полусфере, в пределах которой должен находиться вектор энергии-импульса частицы.

Как это ни странно, данный интеграл можно выразить в явном виде:

Статистическая сумма изолированной частицы

$Z_m = Z_0 \left(1 + \cfrac{3 \pi (L_2(\beta^*) - I_2(\beta^*))}{2\beta^*}\right)$ ,
где $Z_0 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$
и $\beta^* = \beta m$

(по Риману)

Здесь L₂ обозначает модифицированную функцию Струве, а I₂ – модифицированную функцию Бесселя первого рода.

На следующем графике представлена статистическая сумма вместе с ее квадратичной аппроксимацией, которая подходит для малых значений β, соответствующих очень высоким температурам.

$\lim_{\beta \rightarrow 0} Z_m \approx Z_0 (1 - 3\pi\beta^*/16 + \beta^{*2}/5)$

ortnt_05x_04

Разумеется, ничто не мешает нам при желании аппроксимировать эту функцию многочленом более высокой степени. Существует также аппроксимация, подходящая для больших отрицательных значений β, соответствующих малым отрицательным температурам. Эта аппроксимация становится полезной при β*<–4.

$\lim_{\beta \rightarrow -\infty} Z_m \approx \cfrac{3Z_0}{\beta^{*2}}\left(1 - \cfrac{e^{-\beta^*}(8\beta^* + 15)}{8\sqrt{-2\beta^*/\pi}}\right)$

Идеальные газы

Разреженный газ с фиксированным количеством частиц

Предположим, что газ состоит из фиксированного количества частиц N и является достаточно разреженным, чтобы среднее количество частиц, находящихся в любом конкретном состоянии, было значительно меньше 1. В этом случае не имеет значения, идет ли речь о бозонах или фермионах, и мы в некотором роде имеем дело с классическим пределом. Тем не менее, частицы по-прежнему корректно считать неотличимыми друг от друга – это позволяет избежать ряда проблем, возникающих в настоящей классической интерпретации.

В описанном сценарии общую статистическую сумму газа, которую мы будем обозначать Z_G, выразить в терминах статистической суммы отдельной частицы, выведенной в предыдущем разделе. Воспользовавшись некоторыми общими выкладками, приведенными у Рейфа^[4], имеем:

$\ln Z_G = N - N \ln N + N \ln Z_m$

Мы описали статистическую сумму в виде ее логарифма, поскольку именно эта форма, как правило, наиболее удобна для непосредственного расчета тех или иных макроскопических свойств газа.

Энергия

Величина, которую мы рассчитаем в первую очередь, – это средняя энергия газа.

$\begin{equation*} \begin{split} & \langle E \rangle = -\partial_{\beta} \ln Z_G = \\ & = -N \partial_{\beta} \ln Z_m = \\ & = -\cfrac{N \partial_{\beta} Z_m}{Z_m} = \\ & = 3 N m \left(\cfrac{1}{\beta^*} + \cfrac{\pi L_1(\beta^*) - \pi I_1(\beta^*) + 2}{3 \pi I_2(\beta^*) -3 \pi L_2(\beta^*) - 2 \beta^*} \right) \end{split} \end{equation*}$

где β* = β m. Предел для бесконечной температуры можно легко получить из квадратичной аппроксимации статсуммы:

$\lim_{\beta \rightarrow 0} \langle E \rangle = \cfrac{3 \pi N m}{16} \approx 0.589 Nm$

Как показывает следующий график, при больших по модулю отрицательных значениях β (которым соответствуют малые отрицательные температуры) частицы движутся медленно, а средняя энергия газа примерно равна сумме их энергий массы покоя.

При малых значениях β (и, соответственно, больших температурах) частицы движутся с большей скоростью, а общая энергия газа становится меньше — как мы и ожидаем, исходя из соотношения между полной и кинетической энергией.

Наконец, при больших положительных значениях β (которым соответствуют малые положительные температуры), мы имеем релятивистский газ, кинетическая энергия которого близка к массе покоя, а полная энергия падает практически до нуля.

ortnt_05x_05

Давление

Теперь мы перейдем к вычислению среднего давления газа. Стандартное описание давления в терминах статистической суммы^[5] опирается на следующий факт: если энергия системы зависит от ее объема, то скорость изменения энергии по отношению к объему, взятая с обратным знаком, совпадает с давлением, оказываемым данной системой. (Представьте, что система медленно расширяется, совершая работу против ограничивающей силы. Количество выполненной работы равно произведению силы на линейный размер расширения, или давлению, умноженному на приращение объема.)

$\begin{equation*} \begin{split} & \langle p \rangle = \displaystyle \sum \limits_r P(r) p_r = \\ & = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r) p_r}{Z} = \\ & = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r) (-\partial_V E_r)}{Z} = \\ & = \cfrac{\partial_V \displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r)}{\beta Z} = \\ & = \cfrac{\partial_V \ln Z}{\beta} \end{split} \end{equation*}$

Однако в римановой физике этот результат неверен! Одна из менее заметных особенностей римановой физики состоит в том, что скорость изменения энергии относительно объема сама по себе равна давлению, а не противоположной ему величине. По сути это происходит в силу тех же причин, по которым сопряженные импульсы, соответствующие пространственным координатам в гамильтоновом описании свободной частицы, как уже было замечено ранее, противоположны обычным импульсам.

Но даже поменяв здесь знак, мы получим уравнение, которое – несмотря на знакомый вид – в действительности не имеет смысла.

Тем не менее, давайте проделаем эти выкладки, чтобы разобраться, в каком именно месте возникают проблемы. Поскольку Z_m линейна относительно V (в силу зависимости от Z₀), то:

$\partial_V \ln Z_m = \cfrac{\partial_V Z_m}{Z_m} = \cfrac{Z_m/V}{Z_m} = \cfrac{1}{V}$

Перейдя к статсумме всего газа и воспользовавшись стандартной формулой давления с заменой знака для случая соотношения между римановыми энергией/объемом/давлением, имеем:

$\langle p \rangle = -\cfrac{\partial_V \ln Z_G}{\beta} = -\cfrac{N \partial_V \ln Z_m}{\beta} = -\cfrac{N}{\beta V}$ [Неверно!],

что эквивалентно

$\langle p \rangle V = -NkT$ [Неверно!]

Это всего лишь стандартное уравнение состояния идеального газа, взятое с обратным знаком. Однако, несмотря на то, что подобное поведение примерно соответствует нашим ожиданиям для случая низких отрицательных температур, а давление в случае бесконечной температуры, при поверхностном рассмотрении, может также показаться бесконечным… из этого уравнения следует, что при переходе в область положительных температур давление становится отрицательным. Как бы забавно ни было жить в мире, где стенки контейнера, подвергаемого обстрелу релятивистскими частицами, вместо давления испытывают напряжение, с точки зрения физики это полный абсурд.

Разгадка заключается в том, что наша статистическая сумма Z_m содержит дополнительную зависимость от объема контейнера, отсутствующую в лоренцевом случае, для которого и была выведена стандартная формула, связывающая давление со статсуммой. При изменении объема контейнера мы меняем не только энергетические уровни, соответствующие тем или иным состояниям частиц, но и количество самих состояний. В римановом случае контейнер большего объема может вместить большее конечное число состояний, прежде чем будет достигнута минимальная длина волны. В лоренцевом случае минимальной длины волны не существует, и количество состояний всегда бесконечно велико.

Простейшим решение будет вернуться к одной из первых форм Z_m:

$Z_m = \displaystyle \int \limits_0^R \exp\left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2 }{V^{2/3}} r^2}\right) r^2 dr$ ,
где $R = \cfrac{V^{1/3}m}{2 \pi \hbar}$

Используя это уравнение, мы можем идентифицировать зависимость верхнего предела интегрирования R от V и, избавившись от него, оставить только нужный нам эффект: изменение энергетических уровней. Соответствующее слагаемое в ∂_V Z_m при данном значении верхнего предела будет равно выражению под знаком интеграла (включая общий множитель 4 π), вычисленному при r = R и домноженному на ∂_V R. В итоге получаем:

$4 \pi \exp(0) R^2 \times \cfrac{1}{3}\cfrac{V^{-2/3}m}{2 \pi \hbar} = \cfrac{4}{3} \cfrac{\pi R^3}{V} = \cfrac{Z_0}{V}$ ,

где $Z_0 = \cfrac{4}{3} \pi R^3 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$

Повторив наши первоначальные вычисления за вычетом этого паразитного вклада, обусловленного ∂_V Z_m, оставив, таким образом, только среднее значение давления, имеем:

$\langle p \rangle = -\cfrac{N}{Z_m \beta} \left(\cfrac{Z_m}{V} - \cfrac{Z_0}{V} \right) = -\cfrac{N}{\beta V} \left( 1 - \cfrac{Z_0}{Z_m} \right)$

что эквивалентно

$\langle p \rangle V = -NkT \left( 1 - \cfrac{Z_0}{Z_m} \right)$ [Верно!]

В случае отрицательной температуры Z_m > Z₀, поэтому корректирующий множитель в скобках будет больше нуля, а давление, соответственно, положительным. Более того, при малых по модулю отрицательных температурах Z_m крайне велико, а значит, корректирующий множетель примерно равен 1 и мы имеем дело с традиционной моделью идеального газа, скорректированной с учетом знака T.

Если же температура отрицательна, то Z_m < Z₀ и корректирующий множитель будет меньше нуля – таким образом положительный знак давления сохраняется.

При бесконечной температуре давление остается конечным. Используя нашу квадратичную аппроксимацию Z_m при β, близком к нулю, можно легко показать, что:

$\lim_{\beta \rightarrow 0} \langle p \rangle = \cfrac{3 \pi N m}{16 V}$

По мере того, как β приближается к положительной бесконечности, температура стремится к нулю сверху, постепенно переходя в область все более экстремальных релятивистских скоростей, а давление, как и ожидается, стремится к бесконечности.

ortnt_05x_06

Энтропия

Энтропию системы также можно выразить через соответствующую статистическую сумму^[6]:

$S = k (\ln Z + \beta \langle E \rangle)$

Для разреженного газа имеем:

$S_G = k (\ln Z_G + \beta \langle E \rangle)$
$\ln Z_G = N - n \ln N + N \ln Z_m$
$\langle E \rangle = -\cfrac{N \partial_{\beta} Z_m}{Z_m}$

Мы не будем выписывать все логарифмы и функции Бесселя и Струве, входящие в выражение энтропии. Тем не менее, как показывает график, энтропия достигает конечного максимума при β=0, когда температура обращается в бесконечность.

ortnt_05x_07

Как при различных температурах выглядит распределение N частиц по энергиям? Исходя из нашего предположения о разреженности газа, можно показать, что среднее количество частиц, находящихся в заданном состоянии r, равно^[4]:

$n_r = \cfrac{N \exp(-\beta E_r)}{\sum \limits_s \exp(-\beta E_s)} = \cfrac{N \exp(-\beta E_r)}{Z_m}$

Нас интересует распределение частиц по уровням энергии E = ℏω, которое позволит нам воспользоваться плотностью состояний относительно ω, которую мы вычислили для температурного излучения полости, предварительно убрав из нее множитель 3, описывающий поляризацию, так как идеальный газ в нашей модели состоит из частиц, не имеющих спина.

Rendered by QuickLaTeX.com

Умножая на среднюю заполненность каждого состояния при данной энергии, получаем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Для манипуляций с энергией удобнее заменить ее на коэффициент пропорциональности ε, связывающий ее с массой частицы m, то есть E = ε m:

$n(\varepsilon) d\varepsilon = N \cfrac{3 Z_0}{Z_m} \varepsilon \sqrt{1 - \varepsilon^2} e^{-\beta^* \varepsilon} d\varepsilon$

На диаграмме ниже показаны распределения, соответствующие трем значениям β*. При малых по абсолютной величине температурах – как положительных, так и отрицательных – энергии частиц более или менее ограниченны, в то время как при бесконечной температуре их разброс заметно увеличивается.

ortnt_05x_08

Разреженный газ с бесконечно большой температурой обладает любопытным свойством: его тензор энергии-импульса инвариантен по отношению к преобразованиям группы SO(4). Отсюда следует, что все наблюдатели, движущиеся внутри такого газа, независимо от их скорости, получат для окружающего пространства одни и те же значения давления и плотности энергии. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при бесконечной температуре среднее давление и плотность энергии газа совпадают и равны 3 π N m / (16 V). Отсюда следует, что тензор энергии-импульса кратен единичной матрице и не меняется при переходе к другой системе координат.

Однако при более внимательном взгляде на распределение частиц по энергиям выясняется, что упомянутая инвариантность относительно SO(4) достигается довольно неочевидным образом. При β=0, т. е. бесконечной температуре, распределение имеет вид:

$n_{\infty}(\varepsilon) d\varepsilon = 3 N \varepsilon \sqrt{1 - \varepsilon^2} d\varepsilon$

Перейдя к угловой переменной γ, равной углу между 4-скоростью частицы и осью времени, имеем ε=cos(γ) и, следовательно:

$n_{\infty}(\gamma) |d\gamma| = 3 N \cos \gamma \sin^2 \gamma |d\gamma|$

Ротационно инвариантная мера на 3-сфере после интегрирования по всем остальным координатам, соответствующим различным направлениями в трехмерном пространстве, будет равна sin²γ dγ, откуда можно сделать вывод, что 4-скорости частиц распределены по поверхности 3-сферы неравномерно – вопреки тому, что мы могли ожидать от SO(4)-инвариантного состояния. По сравнению с равномерным распределением, частицы в большей степени тяготеют к низким скоростям, т. е. к области вокруг оси времени, в которой cos γ принимает большие значения.

Откуда же в таком случае возникает SO(4)-инвариантность газа при бесконечной температуре? Если мы рассмотрим частицу с энергией E = m cosγ, то временная компонента u^t соответствующей 4-скорости u будет равна cos γ. Если плотность энергии в собственной системе отсчета частицы равна ρ, то ее тензор энергии импульса имеет вид ρ u ⊗ u. Это означает, что в системе отсчета неподвижного контейнера вклад данной частицы в полную энергию системы равен V ρ (u^t)² = V ρ cos²γ. Приравняв эту величину E = m cosγ, мы получаем плотность энергии в покоящейся системе отсчета, которая возрастает по мере того, как увеличивается скорость частицы и уменьшается cosγ:

$\rho = \cfrac{m}{V \cos \gamma}$

Этот множитель может вызвать недоумение, так как в системе отсчета движущейся частицы ширина контейнера становится больше; это риманов аналог более знакомого явления, которое в лоренцевой физике называется релятивистским сокращение длины. По той же причине расстояние между несколькими частицами, движущимися в контейнере с одной и той же скоростью, в их общей системе отсчета будет уменьшаться по сравнению с системой отсчета, покоящейся относительно контейнера.

Таким образом, если наблюдатель движется сквозь газ на большой скорости, то относительная скорость частиц с малым значением cosγ компенсируется за счет видимого сокращения расстояний между ними. Несмотря на то, что распределение скоростей частиц будет выглядеть иначе, плотность энергии (и давление) в целом остается без изменений.

Фермионный газ с образованием пар

Когда речь идет о разе, состоящем из медленных частиц, вполне естественно предположить, что количество этих частиц будет оставаться постоянным. Когда же частицы движутся с релятивистскими скоростями, это ограничение выглядит довольно искусственным, так как в результате соударений на большой скорости некоторые частицы могут отбрасываться в прошлое (ранее мы уже рассматривали подобные соударения). Потребует ли этот процесс наличия античастиц, зависит от природы самой частицы (некоторые частицы, подобно фотонам в нашей Вселенной, являются античастицами по отношению к самим себе), однако общее количество частиц при этом наверняка изменится.

Предположим, что идеальный газ состоит из частиц со спином ½. Такие частицы являются фермионами, то ест подчиняются статистике Ферми-Дирака: в каждом квантовом состоянии будет находиться не более одной такой частицы. Предположим также, что существует некий механизм создания пар частица-античастица, причем необходимая для этого энергия уравновешивается изменением кинетической энергии газа. В данном случае нас не будут интересовать детали процессов образования и аннигиляции таки пар; наша цель, скорее, будут состоять в том, чтобы выяснить, способна ли такая система находиться в состоянии термодинамического равновесия при положительных и отрицательных температурах. Рассматривая температурное излучение полости, мы выяснили, что система, состоящая из неопределенного количества свободно порождаемых бозонов, будет всегда обладать положительной температурой. Будет ли то же самое верно и в отношении нашего фермионного газа в силу его способности создавать новые частицы?

Поскольку частицы и античастицы создаются и уничтожаются парами, разница между их количеством остается постоянной. Для обозначения переменного количества частиц и античастиц мы будем использовать обозначения N_P и N_A соответственно, а фиксированный избыток частиц обозначим N:

$N = N_P - N_A$

Каждое индивидуальное квантовое состояние r, доступное частицам в нашем контейнере, будет занято 0 или 1 частицей и 0 или 1 античастицей; согласно принципу Паули, в одной и том же состоянии может находиться не более одной частице данного вида, что однако же не запрещает находиться в одном состоянии паре, состоящей из частицы и античастицы. Количество частиц и античастиц, находящихся в состоянии r, мы будем обозначать n_{P, r} и n_{A, r} соответственно.

Для описания состояние газа как единого целого нужно назначить каждому из n_{P, r} и n_{A, r} одно из значений 0 или 1, чтобы при этом суммарный избыток частиц по сравнению с античастицами была равен. Для обозначения статистической суммы газа с конкретным значением N мы будем использовать запись Z_G(N):

$Z_G(N) = \displaystyle \sum_{n_{P, r}, n_{A, r}, N_P - N_A = N} \exp \left(-\beta \displaystyle \sum_r E_r (n_{P, r} + n_{A, r}) \right)$

В данном случае внешнее суммирование производится по всем состояним газа, в которых избыток частиц равен N, а полная энергия каждого такого состояния определяется суммой энергией всех отдельных частиц.

Количество индивидуальных состояний частиц внутри заданного контейнера с объемом V выражается конечной величиной; это значение, равное Z₀, мы нашли в процессе вычисления статистической суммы отдельной частицы, хотя, если быть точным, в данном случае его следует умножить на 2, чтобы учесть два состояния, в которых может находиться спин наших фермионов:

$N_{max} = 2 Z_0 = \cfrac{Vm^3}{3 \pi^2 \hbar^3}$

Если как частицам, так и античастицам доступно N_max состояний, то количество состояний, в которых избыток частиц равен N, можно представить в виде суммы по количеству античастиц:

Rendered by QuickLaTeX.com

Предположим, что β поддерживается постоянной и нас интересует только зависимость статсуммы газа Z_G(N) от N. Количество слагаемых во внешней сумме выражается гауссовой функцией, полученной выше. Среднее значение отдельных слагаемых в этой сумме не будет очень быстро меняться в зависимости от N, так как вне зависимости от конкретного значения N энергии всех возможных состояний будут расщепляться примерно одинаково. Следовательно, мы можем очень приближенно сказать, что и сама сумма Z_G(N) будет вести себя, как величина, кратная гауссиану, вычисляющему количество слагаемых, т. е.

$Z_G(N) \approx C(\beta) \exp \left(-\cfrac{N^2}{N_{max}}\right)$ ,

где константа C(β) зависит от β и включает в себя все остальные множители, зависящие от N_max.

Теперь, умножив Z_G(N) на экспоненциальную функцию N, exp(αN), мы сместим пик гауссовой функции:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если мы хотим, чтобы пик этой функции приходился, скажем, на N₀, то выбираем α следующим образом:

$\alpha = \cfrac{2N_0}{N_{max}}$

Статистическую сумму Z_G(N₀) можно аппроксимировать суммой (без дополнительных ограничений) по N, выделив значение N = N₀ с помощью пика гауссовой функции:

$\sum \limits_{N = 0}^{N_{max}}Z_G(N) \exp(\alpha N) \approx Z_G(N_0) \exp (\alpha N_0) \Delta N$

где ΔN – мера ширины пика. Сумма в левой части этого равенства называется “большой канонической статистической суммой”^[7]; эта сумма берется по всем возможным состояниям газа, независимо от количества частиц, с дополнительным членом для каждого значения энергии. В силу отсутствия ограничений мы можем существенно продвинуться в ее вычислении:

Rendered by QuickLaTeX.com

Логарифм статистической суммы газа можно аппроксимировать следующим образом:

Rendered by QuickLaTeX.com

Произведя ряд дополнительных преобразований по аналогии с приведенными в ^[7], можно показать, что среднее количество частиц и античастиц, находящихся в каждом из состояний, соответственно равно:

$<n_{P, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r - \alpha) + 1}$

$<n_{A, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r + \alpha) + 1}$

В отличие от среднего числа римановых фотонов, приходящихся на каждое из состояний, эти выражения сохраняют физический смысл и при отрицательных температурах; действительно, при любых значениях α и β обе величины будут заключены между 0 и 1, как и требуется в случае фермионов. Чтобы найти α, соответствующее заданным значениям β и N₀, нам потребуется решить уравнение:

$N_0 = \sum_r (<n_{P, r}> - <n_{A, r}>) = \sum_r \cfrac{\mathrm{sh} \alpha}{\mathrm{ch} \alpha + \mathrm{ch} (\beta E_r)}$

относительно α. Так как интегральная версия этой суммы, по всей видимости, не выражается в аналитически замкнутой форме, то в общем случае нам придется воспользоваться численными методами. В качестве отправной точки для итерационного решения мы можем воспользоваться нашим исходным приближением α = 2 N₀ / N_max.

Тем не менее, мы можем проиллюстрировать основные качественные характеристики подобной системы, взяв N₀=0 и рассмотрев газ, в котором количество частиц в точности совпадает с количеством античастиц. В силу симметрии это означает, что α=0 при любом значении β и, следовательно:

$\ln Z_G \approx 2 \sum_r \ln (1 + \exp(-\beta E_r))$
$<n_{P, r}> = <n_{A, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r) + 1}$

На следующем графике показана средняя энергия системы, которая по своей форме примерно соответствует кривой средней энергии в случае разреженного газа, с той лишь разницей, что масштаб энергий в данном случае сравним с произведением массы частицы на общее количество состояний отдельно взятой частицы.

ortnt_05x_09

Средняя энергия была вычислена при помощи численного интегрирования с теми же самыми переменными r и s, которые мы использовали в статистической сумме изолированной частицы:

Rendered by QuickLaTeX.com

При β*=0 и β*→–∞ экспоненциальная функция стремится соответственно к 1 или 0, и интеграл можно взять точно, получив в итоге 3 π N_max m / 16 и 3 π N_max m / 8 соответственно.

Следующий график отображает среднее количество частиц, находящихся в системе (включая и античастицы). При низких отрицательных температурах система близка к насыщению и почти каждое квантовое состояние заполнено одновременно и частицей, и античастицей. При бесконечной температуре состояния в среднем заполнены только наполовину, и при дальнейшем движении в сторону все более низки[ положительных температур уровень заполнения продолжает падать.

ortnt_05x_10

В данном случае интеграл, изображенный на графике, имеет вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Опять-таки при β*=0 и β*→–∞ экспоненциальная функция стремится соответственно к 1 и 0, и интеграл можно взять точно – соответствующие значения равны N_max и 2N_max.

Третий график показывает среднее количество энергии, приходящейся на одну частицу и представляет собой просто отношение кривых, изображенных на первом и втором графиках. При отрицательных температурах вплоть до самой бесконечности эта величина почти не меняется и остается примерно на уровне 3 π m / 16, т. е. средней энергии по всем состояниям. При малых отрицательных температурах это объясняется тем, что практически все состояния являются заполненными, в то время как при больших отрицательных температурах среднее количество частиц в расчете на одно состояние падает, однако распределение частиц по состояниям остается равномерным.

Только при переходе в область низких положительных температур не только уменьшается количество частиц, но и сами частицы начинают занимать состояния с более низкой энергией. Если бы речь шла о системе, в которой разница между количество частиц и количеством античастиц (либо наоборот) равна N₀, то кривая энергия стремилась бы к асимптоте, при которой N₀ частиц заполняют нижние N₀ энергетических состояний. Но поскольку мы взяли N₀ = 0, асимптотическая энергия при низких положительных температурах равна нулю.

ortnt_05x_11

Важно помнить, что все эти выводы не дают никакой информации о механизме или скорости какого бы то ни было процесса образования пар; эти результаты просто исходят из предположения, что подобный процесс имеет место и достиг равновесного состояния. Скорость образования пар может существенным образом зависеть от температуры, и если при некоторой температуре T эта скорость очень мала, то состояние равновесия, достигаемое при такой температуре, вполне вероятно, не даст нам никакой информации о наблюдаемом явлении. Иначе говоря, мы не должны считать, что при отрицательной температуре любой фермионный газ в течение небольшого времени обязательно достигнет описанной ранее конфигурации, в которой практически все квантовые состояния заполнены парами частица-античастица!

Одако если речь идет об ультрарелятивистском газе с положительной температурой, то количество частиц может меняться даже при их классических столкновениях, потому приведенное здесь описание будет применимо с гораздо большей вероятностью.

Среднее давление системы выражается формулой:

$\langle p \rangle = -\cfrac{1}{\beta} \partial_V \ln Z_G$

с той оговоркой, что во избежание ошибки, которую мы обнаружили, вычисляя среднее давление разреженного газа, производную по V нужно вычислить до интегрирования по состояниям индивидуальных частиц. Детали этих расчетов мы опустим.

При бесконечной температуре вычисленноетаким образом давление совпадает с давлением в расчете на одну частицу, которое мы получили для разреженного газа. Таким образом, как минимум при высоких температурах, в ситуации, когда газ изначально содержит N << N_max частиц, дополнительное присутствие пар частица-античастица будет оказывать на систему существенное влияние.

При более низких положительных температурах падение количества пар частица-античастица опережает рост давления, наблюдаемый в случае разреженного газа, что связано с увеличением импульса каждой частицы. Таким образом, можно сделать довольно любопытный вывод: меньше всего образование пар повляет на газ с максимально близкими к нулю положительными температурами, в котором действуют наиболее экстремальные релятивистские условия.

ortnt_05x_12

Литература

[1] Frederick Reif. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — McGraw-Hill, 1965. § 9.13, § 9.14, § 9.15.

[2] Reif, указ. соч. § 9.3, § 9.5.

[3] Reif, указ. соч. § 6.5, § 6.6.

[4] Reif, указ. соч. § 9.8.

[5] Reif, указ. соч. § 6.5, уравнение (§ 6.5.12).

[6] Reif, указ. соч. § 6.6, уравнение (§ 6.6.5).

[7] Reif, указ. соч. § 9.6.