Комментарии автора

Общая теория относительности в римановой Вселенной [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/06/GRExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Данная статья ориентирована на читателей, уже имеющих некоторое представление о терминологии и результатах общей теории относительности в применении к нашей Вселенной. Если вы хотите быстро освоить ключевые аспекты этой темы, попробуйте обратиться к очеркам о специальной и общей теории относительности из цикла Foundations. Если же вы просто хотите ознакомиться с кратким обзором релятивистских явлений, отличающих риманову Вселенную от нашей, обратитесь к основной части этой статьи.

Риманово решение Шварцшильда

Уравнение Эйнштейна, связывающее кривизну пространства-времени с содержащейся в нем материей, имеет вид:

$G + \Lambda g = 8 \pi T$ ,

где:

g – метрика пространства-времени
G – тензор Эйнштейна, который выражается через метрику и характеризует определенные свойства кривизны пространства-времени.
Λ – космологическая постоянная.
T – тензор энергии-импульса, который описывает всю имеющуюся в наличии материю (включая поля – например, электромагнитное).

Мы прибегнем к сложившейся в общей теории относительности практике и воспользуемся системой мер, при которой в одних и тех же единицах измеряются не только время и пространство, но также и масса, а сами единицы измерения выбраны таким образом, что гравитационная постоянная (которая часто обозначается символом G, что может вызвать путаницу, поскольку точно так же обозначается и тензор Эйнштейна) становится равной 1.

Нет причин считать, что при переходе в риманову Вселенную это уравнение должно каким-либо образом поменяться. В римановой Вселенной соотношение между величиной силы тяготения и другими типами взаимодействий может отличаться от нашего, но поскольку выбранные нами единицы измерения уже включают в себя величину гравитационной постоянной – независимо от ее конкретного значения, – больше мы ничего с этим фактом поделать не можем. Наиболее важное свойство уравнения Эйнштейна заключается в том, что дивергенция тензора Эйнштейна обязательно должна быть равна нулю; то же самое верно и в отношении метрики, умноженной на произвольную константу. Это дает нам основания приравнять сумму данных величин к тензору энергии-импульса, домноженному на константу, поскольку дивергенция этого тензора также должна быть равна нулю – в противном случае не будут выполняться локальные законы сохранения энергии и импульса. Все это будет в равной степени верно и в равной степени применимо в отношении римановой Вселенной.

Таким образом, различие по сути заключается лишь в том, что мы рассматриваем только решения уравнений Эйнштейна, для которых метрика g имеет сигнатуру (++++) – иначе говоря, решения, в которых все измерения являются пространственноподобными.

Существует, конечно, одно допустимое изменение, которое мы могли бы внести, сохранив нулевую дивергенцию левой части уравнения: мы могли бы потребовать, чтобы гравитационная постоянная была отрицательной и, следовательно, даже если ее абсолютное значение принимается равным 1 в силу выбора единиц измерения, в правой части уравнения будет стоять знак “минус”. Но, как выяснится в дальнейшем, если мы хотим, чтобы при медленном движении тел гравитация в римановой Вселенной в общем и целом не отличалась по своему поведению от ньютоновской, то правильным выбором будет положительная гравитационная постоянная.

Во многих случаях космологическую константу в нашей собственной Вселенной можно считать равной нулю, но мы постараемся сохранить максимальную общность рассуждений, включив ее в наши выкладки и принимая равной нулю только для получения ряда конкретных результатов. Поэтому наше исследование гравитации мы начнем с описания “метрики Шварцшильда-Коттлера”^[1], которая представляет собой обобщение метрики Шварцшильда на случай ненулевой космологической постоянной.

Метрика Шварцшильда-Коттлера
r, θ, φ – полярные координаты; начало отсчета совмещено с телом массы M

$g = \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right)$	(по Риману)
$g = - \left( 1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right)$	(по Лоренцу)

Данная метрика описывает геометрию вакуума вокруг сферически симметричного тела массы M. Пока что мы не станем делать каких-либо предположений о конкретном значении, или даже знаке, величины Λ в римановой Вселенной, но будем считать, что |Λ| достаточно мало, чтобы в интересующей нас области выражение 1+2M/r–Λr²/3 сохраняло положительный знак.

Одно из наиболее заметных отличий между лоренцевой и римановой метриками заключается в том, что в римановом случае все радиальные расстояния, измеренные вдоль линий с постоянными значениями t, θ и φ, являются конечными. При Λ=0 мы можем даже получить явное выражение для расстояния от центра координат (в предположении, что решение справедливо вплоть до r=0):

$\mathrm{dist}(r) = \sqrt{r (r + 2M)} - 2M \mathrm{arsh} \sqrt{\cfrac{r}{2M}}$

В контексте этой метрики площадь изоповерхности, соответствующей заданному значению r, совпадает с 4 π r², однако значение dist(r) всегда меньше самого r, поэтому для своего радиуса эти сферы имеют большую площадь поверхности, чем в случае евклидовой геометрии. Это характерная особенность пространства с отрицательной кривизной.

В случае лоренцевой метрики Шварцшильда все обстоит иначе: радиальные расстояния являются пространственноподобными лишь при r > 2 M, причем в этом случае они всегда превышают разницу по координате r.

Интегралы движения и эффективный потенциал

Нам бы хотелось понять, как с учетом этой метрики будет двигаться небольшая “пробная частица” – движущееся по орбите (или не падающее) тело достаточно малого размера, чтобы его собственное влияние на геометрию пространства было пренебрежимо малым. Общий метод, которым мы будем пользоваться, аналогичен изложенному Мизнером, Торном и Уилером^[2] в их описании тела, движущегося в условиях обычной геометрии Шварцшильда.

Мировая линия нашей пробной частицы будет геодезической, и для обозначения ее 4-скорости, т. е. единичного вектора, направленного по касательной к мировой линии, мы воспользуемся символом u. Компоненты вектора u в нашей системе отсчета совпадают со скоростью изменения соответствующих координат относительно собственного времени τ, измеренного вдоль геодезической:

$u^t = \partial_{\tau} t$
$u^r = \partial_{\tau} r$
$u^{\varphi} = \partial_{\varphi} y$
$u^{\theta} = \partial_{\theta} z$

Поскольку данная геометрия обладает сферической симметрией, мы всегда можем выбрать координаты таким образом, чтобы мировая линия пробной частицы лежала в “экваториальной плоскости” θ=π/2; при этом u^θ = ∂_τ θ = 0.

Поскольку наша метрика не зависит от координат t и φ, координатные векторные поля ∂_t и ∂_φ являются полями Киллинга – иначе говоря, они описывают такие “движения” тела в рамках заданной геометрии, при которых остаются неизменными его форма и размер; аналогичным образом мы можем мысленно увеличить долготу каждой точки некоего острова на 5 градусов, не искажая его географии. (В качестве неформального обсуждения векторных полей Киллинга вы можете обратиться к этой статье; хотя она и начинается цитатой из другого моего романа “Накал“, знакомства с самой книгой в данном случае не требуется.)

Поскольку ∂_t и ∂_φ являются векторными полями Киллинга, их скалярное произведение на касательный вектор к любой геодезической будет постоянным на всем протяжении этой геодезической. Отсюда следует, что для всей мировой линии нашей пробной частицы:

$\mathbf{u} \cdot \partial_t = u_t = E$
$\mathbf{u} \cdot \partial_{\varphi} = u_{\varphi} = L$

где E и L – некоторые константы. Компоненты u_t и u_φ, помеченные нижними индексами, являются компонентами дуального вектора, соответствующего u. Тот факт, что u, как и его дуальный вектор, имеет единичную длину, в терминах дуальных компонент выражается следующим образом:

$g^{ij} u_i u_j = 1$

где мы воспользовались эйнштейновым соглашение о суммировании. В силу диагональности метрики компоненты метрического тензора с верхними индексами g^ij обратны компонентам с нижними индексами, которые мы привели в определении метрики Шварцшильда-Коттлера, поэтому:

Rendered by QuickLaTeX.com

Выразив u_r через u^r = ∂_τ r, имеем:

$u_r = g_{rr} u^r = \cfrac{\partial_{\tau} r}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}$

Следовательно:

$\cfrac{E^2 + (\partial_{\tau} r)^2}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} + \cfrac{L^2}{r^2} = 1$

или:

(1) $\begin{equation*} (\partial_{\tau} r)^2 = \left( 1 - \cfrac{L^2}{r^2} \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) - E^2 \end{equation*}$

Таким образом, у нас есть уравнение, связывающее скорость изменения r относительно времени τ, измеренного пробной частицей, с самой координатой r. Продифференцировав его по τ (с последующим делением обеих частей уравнения на 2 ∂_τ r), мы получаем вторую производную:

(2) $\begin{equation*} \partial_{\tau, \tau} r = \cfrac{L^2 (r + 3M)}{r^4} - \cfrac{M}{r^2} - \cfrac{\Lambda r}{3} \end{equation*}$

Первое слагаемое описывает центробежное ускорение – отталкивание, которое при заданном моменте импульса L убывает примерно по закону обратных кубов. В лоренцевой версии числитель имеет вид r–3M, поэтому при r=3M соответствующее слагаемое меняет знак – именно этим объясняется тот факт, что на более близких расстояниях существование орбит вокруг черной дыры невозможно. Здесь же центробежная сила не только остается центробежной на любых расстояниях, но и всегда превышает соответствующую силу в лоренцевом и ньютоновом случаях.

Второе слагаемое – это обычное обратноквадратичное гравитационное притяжение, которое показывает, что выбор знака M соответствует поведению гравитации в ньютоновском пределе.

Наконец, третье слагаемое описывает силу притяжения или отталкивания, зависящую от космологической постоянной, которая в зависимости от знака Λ может как усиливать, так и ослаблять гравитацию в достаточно больших масштабах.

На следующем рисунке показаны графики эффективного потенциала для радиального движения пробной частицы в случае Λ=0, для ряда значений L. Функция:

$V(r) = \left( \cfrac{L^2}{r^2} - 1 \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} \right)$

определяет характер радиального движения посредством уравнения (1), принимающего вид:

$(\partial_{\tau} r)^2 + V(r) = -E^2$

При любом отличном от нуля значении L эффективный потенциал имеет минимальное значение < –1. Это означает, что любая частица с E > 1 и L≠0 будет двигаться по устойчивой, замкнутой орбите, совершая колебания между значениями r, при которых ∂_τr = 0, или V(r) = –E². Пример для случая E² = 1.3, L = M показан на рисунке красной пунктирной линией.

Если E < 1, то гравитация не сможет удержать частицу, и она улетит на бесконечность, причем минимальное сближение будет достигнуто при V(r) = –E². Пример для случая E² = 0.5, L = 4M показан на рисунке синим пунктиром. E – это отношение полной энергии частицы к ее массе покоя, измеренной на бесконечном расстоянии в системе отсчете, относительно которой покоится центральная масса. В лоренцевой физике частица оказывается связанной, если ее энергии меньше массы покоя, что соответствует случаю E < 1, однако в римановой физике действует обратная закономерность: связанная частица обладает большей энергией, чем свободная.

Круговые орбиты

Предположим, что пробная частица движется вокруг центрального тела по круговой орбите. Тогда r=R является постоянной величиной, а значит его первая и вторая производная обращаются в нуль, что дает нам два уравнения, выражающих L² и E² через радиус орбиты R. Решив эти уравнения и подставив результат в выражение 4-скорости u, мы сможем определить орбитальную скорость пробной частицы с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии от центрального тела. Результат выглядит так:

$v^2 = \cfrac{3M + \Lambda R^3}{3R + 6M - \Lambda R^3}$

В случае Λ=0 это выражение принимает вид:

$v^2 = \cfrac{M}{R + 2M}$

Если R велико, а Λ=0, мы получаем ньютоновский предел, при котором кинетическая энергия равна половине модуля отрицательной потенциальной энергии гравитационного поля.

В ньютоновской физике скорость обращающегося тела неограниченно возрастает по мере его приближения к центральной массе. Однако в случае римановых орбит v² при уменьшении R всегда стремится к 1/2. Поскольку центробежная сила больше по величине (меняется обратно пропорционально четвертой степени расстояния при малых r), 1/√2 – это максимальная скорость тела, при которой возможен его захват гравитационным полем с выходом на круговую орбиту (по крайней мере, вблизи центральной массы).

Если космологическая постоянная отлична от нуля, орбиты достаточно большого радиуса претерпевают ряд изменений. При положительной Λ гравитация на больших масштабах становится сильнее, и после падения до минимального значения v² начинает неограниченно возрастать. Если же Λ отрицательна, то космологический член служит источником отталкивания, которое приводит к тому, что начиная с некоторого расстояния движение тела по орбите за счет силы тяготения становится невозможным.

Радиальное движение и вторая космическая скорость

Предположим, что наша пробная частица движется непосредственно в сторону центрального тела или, наоборот, непосредственно от него. Тогда L = 0, и мы можем выразить значение второго интеграла движения, E², через скорость частицы, соответствующую конкретному расстоянию r (с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии).

$E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}{1 + v^2}$

При Λ=0 имеем:

$E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2}$

Если Λ=0, то минимальное значение E², при котором частица сможет улететь на бесконечность, достигается при v→0, когда r→∞, и, следовательно, равно 1. Таким образом, вторая космическая скорость частицы определяется соотношением:

$v_{\mathrm{esc}}^2 = \cfrac{2M}{r}$

Это выражение совпадает с ньютоновской формулой для второй космической скорости – из него очевидным образом следует, что преодоление гравитационного поля возможно на любом расстоянии.

В более общем случае, когда Λ≠0, понятие “второй космической скорости” становится не вполне корректным, поскольку на больших расстояниях на частицу будет действовать сила притяжения/отталкивания, обусловленная космологическим членом. Но вне зависимости от того, что происходит в космологических масштабах, возможность преодолеть непосредственную гравитацию центрального тела сохраняется и в этом случае. В римановой Вселенной не бывает черных дыр.

Гравитационное синее смещение и замедление времени

Если пучок света, находящийся на очень большом расстоянии от центральной массы, приближается к ней со скоростью v_∞, то (в предположении Λ=0, так как иначе поведение системы может оказаться неопределенным при r→∞), достигнув расстояния r, он, очевидно, будет двигаться быстрее:

$\cfrac{1}{1 + v_{\infty}^2} = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2(r)}$

$v^2(r) = \left(1 +\cfrac{2M}{r} \right) v_{\infty}^2 + \cfrac{2M}{r}$

Более быстрый свет характеризуется меньшей длиной волны, что на языке Ортогональной Вселенной описывается как синее смещение. Но в отличие от лоренцева случая, уменьшение длины волны будет сопровождаться увеличением периода τ, поэтому вблизи массивного тела измерения покажут, что каждое колебание света занимает больший промежуток времени. А именно:

$\tau(r) = \tau_{\infty} \sqrt{1 + \cfrac{2M}{r}}$

Получается, что с точки зрения путешественника, который движется в космосе по обходному пути, проходящему вблизи массивного тела, путь в целом потребует больше времени, чем с точки зрения путешественника, который летит напрямую. Как и в случае с другими проявлениями эффекта замедления времени, вызванными движением в 4-пространстве, гравитационное замедление времени в римановой Вселенной приводит к тому, что путешественник тратит не меньше, а, наоборот, больше времени.

Гравитационное рассеяние

В гравитационной физике Ньютона пробная частиц, которая приближается к массивному телу с большого расстояния — и при этом достаточно смещена в сторону, чтобы избежать столкновения — будет двигаться по гиперболической траектории, изогнутой в сторону центральной массы. Когда частица снова уйдет на бесконечность, направление ее движения изменится. В этом случае мы говорим, что частица испытала рассеяние на определенный угол, обозначаемый δ.

В лоренцевой гравитации подобные траектории являются нормой, но в экстремальном случае черной дыры частица может сделать несколько разворотов вокруг центральной массы, прежде чем ее захватит гравитационное поле, либо она снова улетит на бесконечность.

В римановой Вселенной нет черных дыр, но если во взаимодействии участвуют компактные и массивные тела или частицы, движущиеся с большой скоростью, траектория будет отклоняться не в сторону центрального тела, а наоборот, от него.

На следующих графиках показаны траектории пробных частиц с различными начальными скоростями v и двумя вариантами прицельного параметра b, который определяется как боковое отклонение траектории относительно центрального соударения (измеряемое в предположении, что частица находится на бесконечности). Кривые красного и оранжевого цвета – соответствующие сравнительно медленным частицам, которые пролетают на достаточно большом расстоянии от массивного тела – напоминают ньютоновские гиперболы, кривая желтого цвета незначительно отклоняется от первоначального пути, а все остальные траектории изгибаются, удаляясь от центральной массы.

За отбрасывание этих части отвечает неньютоновская центробежная сила. Как мы уже видели в случае уравнения (2), при малых r центробежное ускорение для заданной величины момента импульса L будет убывать примерно как единица, деленная на r в четвертой степени, в отличие от ньютоновской физики, характеризуемой законом обратных кубов.

Космология

Кривизна и энтропия

Взяв за основу уравнение Эйнштейна, мы можем получить полезное выражение тензора Риччи через тензор энергии-импульса. Тензор Эйнштейна G определяется через тензор Риччи R и метрику g:

$E = R - \cfrac{1}{2}R_c{}^c g$

где для вычисления следа тензора Риччи мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Если мы запишем уравнение Эйнштейна в компонентной форме, то получим:

Rendered by QuickLaTeX.com

Таким образом, след тензора энергии-импульса можно представить в виде:

$8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - \cfrac{1}{2} R_c{}^c g_e{}^e + \Lambda g_e{}^e$

След g_e^e в случае римановой метрики совпадает с размерностью пространства, т. е. равен 4. Следовательно:

$8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - 2 R_c{}^c + 4 \Lambda = - R_e{}^e + 4 \Lambda$

[В случае 4-мерного лоренцева пространства g_e^e, разумеется, равно 2, в соответствии с договоренностью о выборе сигнатуры (– + + +). Таким образом, приведенное выше уравнение и его следствия неприменимы в лоренцевой Вселенной.]

Воспользовавшись этим фактом, можно записать:

$8 \pi (T_{ab} - \cfrac{1}{2}T_e{}^e g_{ab}) = 8 \pi T_{ab} + \left(\cfrac{1}{2} R_e{}^e - 2 \Lambda \right) g_{ab}$

Подставляя сюда выражение 8 π T_ab из уравнения Эйнштейна, имеем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Это позволяет нам выразить тензор Риччи через тензор энергии-импульса и метрику:

(3) $\begin{equation*} R_{ab} = 8 \pi \left(T_{ab} - \cfrac{1}{2} T_e{}^e g_{ab} \right) + \Lambda g_{ab} \end{equation*}$

Преобразуем полученный ранее результат, связывающий следы тензора Риччи и тензора энергии и импульса:

(4) $\begin{equation*} R_c{}^c = - 8 \pi T_c{}^c + 4 \Lambda \end{equation*}$

Помимо следа тензора Риччи, нас также будут интересовать отдельные элементы, стоящие на его диагонали. Если мы имеем дело с локально ортонормированными координатами и, следовательно, g_aa = 1 для любого a, то (по парам повторяющихся нижних индексов суммирование не производится):

(5) $\begin{equation*} R_{aa} = 8 \pi \left(T_{aa} - \cfrac{1}{2} T_c{}^c \right) + \Lambda \end{equation*}$

Величина R_aa показывает нам, как будет сближаться или, наоборот, расходиться пучок геодезических, изначально расположенных вдоль направления a – в том смысле, что вторая производная объема, заключенного внутри этого пучка (и ограниченного гиперповерхностью, ортогональной направлению a) может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Точнее:

$\cfrac{\partial_a \partial_a V}{V} = -R_{aa}$

Теперь мы можем в общем и целом разделить материю римановой Вселенной на две большие категории. Если речь идет о состоянии с низкой энтропией, которое характеризуется тем, что материя движется в более или менее едином направлении (твердое тело, газ с низкой отрицательной температурой или система гравитационно связанных тел), то расположив нашу ось времени t вдоль мировых линии материальных частиц, мы получим, что компонент T_tt тензора энергии-импульса имеет большое значение, в то время как его прочие компоненты пренебрежимо малы. Примером такого состояния может служить облако пыли с плотностью ρ и пренебрежимо малым давлением:

$T = \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}$

причем в ортонормированной системе отсчета, относительно которой облако покоится, T_tt = ρ, а все остальные компоненты тензора равны нулю. В этом случае:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ=0, то R_tt > 0 и, следовательно, объем, заключенный внутри пучка геодезических, ориентированных вдоль оси t, будет уменьшаться. Другими словами, в случае скоплений пробных частиц, которые изначально покоятся относительно пылевого облака, гравитация будет действовать, как сила притяжения, сближающая частицы друг с другом. При этом R_xx и прочие компоненты тензора будут отрицательными, поэтому скопления пробных частиц, движущихся сквозь пылевое облако с бесконечной скоростью, будут, наоборот, рассеиваться. След тензора Риччи, также называемый скалярной кривизной, будет меньше нуля.

При достаточно большом положительном значении Λ скалярная кривизна окажется больше нуля, и скопления пробных частиц будут сжиматься вне зависимости от направления движения; при достаточно большом по модулю отрицательном Λ результат меняется на противоположный.

Что, если материя находится в состоянии с высокой энтропией, при котором ее мировые линии могут быть с равной вероятностью ориентированы вдоль произвольного направления в 4-пространстве? В этом случае:

$T_{tt} = T_{xx} = T_{yy} = T_{zz} = \rho$

В римановой Вселенной материя, находящаяся в состоянии высокой энтропии, действует в точности так же, как и космологическая постоянная: ее тензор энергии-импульса пропорционален метрике. Учитывая влияние как ρ, так и Λ, получаем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ равно нулю, то скалярная кривизна, так же, как и все компоненты вида R_aa, будет отрицательной, поэтому пучки геодезических будут расходиться вне зависимости от своей ориентации в 4-пространстве. Если ρ постоянна во всем 4-пространстве, то риманова Вселенная будет иметь вид четырехмерного гиперболического многообразия.

Если космологическая постоянная Λ имеет достаточно большое положительное значение, она перекроет влияние ρ, и кривизна окажется больше нуля, в то время как отрицательные значения Λ по своему эффекту будут аналогичны увеличению ρ и приведут к усилению отрицательной кривизны.

Простые модели

Модели с большим взрывом

Риманова космология, по-видимому, допускает существование сингулярности, описывающей Большой взрыв. Но в отличие от лоренцевой физики (где сингулярность, судя по всему, неизбежна), это происходит только в тех случаях, когда распределение материи во Вселенной подчиняется определенной симметрии.

Если мы представим идеально однородную и изотропную пространственную Вселенную в виде трехмерной сферы, евклидова пространства или гиперболического пространства с зависящим от времени масштабом длины a(t) (как показано Мизнером, Торном и Уилером^[3] для лоренцева случая), уравнение Эйнштейна преобразуется в дифференциальное уравнение относительно a(t):

Динамика однородной и изотропной Вселенной
k = 1 для трехмерной сферы
k = 0 для евклидового пространства
k = –1 для гиперболического пространства

$\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} - \cfrac{3k}{a^2(t)} + \Lambda = 8 \pi \rho(a(t))$	(по Риману)
$\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} + \cfrac{3k}{a^2(t)} - \Lambda = 8 \pi \rho(a(t))$	(по Лоренцу)

Здесь ρ(a(t)) – плотность массы-энергии как функция масштаба длины a(t).

Обратите внимание, что риманова версия уравнения отличается от лоренцевой тем, что Λ и k входят в него с обратным знаком. Забудем на время о влиянии Λ и предположим, что космологическая постоянная равна нулю. Одно из наиболее известных следствий лоренцевой физики состоит в том, что если пространственная часть Вселенной представляет собой трехмерную сферу, то она будет расширяться до некоторого предела, после чего снова начнет сжиматься, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная будет расширяться вечно. Поскольку в римановой версии уравнения k имеет противоположный знак, то при прочих равных верным будет противоположное утверждение: Вселенная, пространственная часть которой имеет форму трехмерной сферы, будут расширяться вечно, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная начнет сжиматься после того, как ее расширение дойдет до некоторого максимального размера.

Есть ли какие-либо отличия в форме, которую плотность энергии приняла бы в римановой Вселенной? В лоренцевом случае одним из стандартных грубых приближений является представление плотности ρ в виде двух слагаемых, характеризующих распределение “материи” и “излучения”. Считается, что давление материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, а ее плотность меняется в соответствии с масштабом длин согласно уравнению:

$\rho_m a^3 = \mathrm{const}$

Другими словами, материя, заключенная в любой заданной области пространства (границы которой описываются угловыми координатами на 3-сфере, либо – в иных сценариях – их аналогами), имеет постоянную массу и по мере сжатия или расширения этой области просто приобретает большую или меньшую плотность. Давление изотропного излучения всегда втрое меньше соответствующей плотности энергии, откуда следует, что при расширении области пространства с объемом V излучение совершает работу и теряет энергию:

$\cfrac{d (\rho_r V)}{d \tau} = - p_r \cfrac{d V}{d \tau} = - \cfrac{1}{3} \rho_r \cfrac{d V}{d \tau}$

Если V = a³, то это соотношение удовлетворяется при:

$\rho_r a^4 = \mathrm{const}$

Таким образом, при малых a плотность энергии излучения будет преобладать. А по мере того, как a приближается к нулю, обе составляющие плотности энергии, очевидно, будут стремиться к бесконечности.

Поскольку в римановой физике нет изотропных векторов, в ней нет и столь принципиального различия между веществом и излучением. Тем не менее, полезно отличать состояния с низкой и высокой энтропией, которые мы описывали в предыдущем параграфе. Давление низкоэнтропийной материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, поэтому с точки зрения вклада в плотность энергии она играет ту же самую роль, что и ρ_m для лоренцева случая. Давление высокоэнтропийной материи сравнимо с ее массой покоя – этим она напоминает лоренцево излучение, но есть два важных отличия. Во-первых, отсутствует множитель 1/3; в состоянии истинной SO(4)-инвариантности, которую мы видели на примере разреженного газа с бесконечной температурой, давление во всех трех пространственных направлениях совпадает с плотностью энергии. Во-вторых, работа, совершаемая, за счет расширения под давлением, в римановом случае имеет противоположный знак (например, риманова система, расширяющаяся при наличии давления со стороны поршня, придает поршню кинетическую энергию, откуда следует, что полная энергия самой системы увеличивается). Таким образом:

$\cfrac{d (\rho_h V)}{d \tau} = p_h \cfrac{d V}{d \tau} = \rho_h \cfrac{d V}{d \tau}$

что достигается при

$\rho_h = \mathrm{const}$

Таким образом, плотность энергии, соответствующей высокоэнтропийной материи, остается постоянной! Если задуматься, этот результат не так уж удивителен: у материи такого рода нет предпочтительных направлений в 4-пространстве, выбор конкретного направления в качестве оси времени t на нее никоим образом не влияет.

Если теперь представить риманову Вселенную, равномерно заполненную низкоэнтропийной материей, все мировые линии которой ортогональны 3-сфере или другой гиперповерхности, которую мы (в силу ее однородности) решили выбрать в качестве “пространства в конкретный момент времени”, то проследовав по этим мировым линиям в прошлое, то есть в сторону их сближения, мы обнаружим, что плотность данной материи будет стремиться к бесконечности точно так же, как плотность спиц на идеализированном велосипедном колесе стремится к бесконечности по мере приближения к точке их пересечения. Но если в лоренцевом случае сингулярность, как было показано, является неизбежным следствием ряда вполне обоснованных допущений^[4], то в римановом случае условие схождения мировых линий к единственному событию – в силу отсутствия световых конусов, которые могли бы ограничить их направление – является не жестким требованием, а всего лишь одним из возможных вариантов – и ко всему прочему довольно-таки надуманным. Очевидно, что можно легко привести примеры однородных римановых Вселенных, в которых нет ни одной сингулярности.

Модели без сингулярностей

Рассмотрим однородную Вселенную, заполненную материей, которая в космологических масштабах находится в SO(4)-инвариантном состоянии, характеризующемся высокой энтропией. Это не исключает существования локализованных градиентов энтропии и стрел времени, однако в масштабе 4-пространства всей Вселенной пучки параллельных мировых линий будут ориентированы случайным образом.

К этой модели можно применить метод, изложенный в предыдущем параграфе. Мы должны иметь возможность разрезать 4-пространство на однородные гиперповерхности, которые являются либо трехмерными сферами, либо гиперповерхностями с евклидовой или гиперболической геометрией. Плотность энергии будет равна некоторой константе ρ. В этом случае зависимость масштабного коэффициента a(t) от временной координаты t, измеренной вдоль оси, перпендикулярной выбранным нами гиперповерхностям, должна удовлетворять уравнению:

(6) $\begin{equation*} a'^2(t) - k = \pm K^2 a^2(t) \end{equation*}$

где положительная вещественная константа K определяется таким образом, что:

$\pm K^2 = \cfrac{8 \pi \rho - \Lambda}{3}$

Эта величина описывает суммарное влияние материи и космологической постоянной, в то время как параметр k определяет вид однородных гиперповерхностей, с которыми мы имеем дело:

k = 1 для трехмерной сферы
k = 0 для евклидова пространства
k = –1 для гиперболического пространства

Каковы возможные решения уравнения (6)?

8 π ρ – Λ > 0Четырехмерное гиперболическое пространство.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = –12 K².
Если k = 1, то a(t) = sinh(K t) / K; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых увеличивается от 0: сначала линейно по t, затем – по экспоненциальному закону.
Если k = 0, то a(t) = exp(K t); срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей, масштаб которых зависит от t по экспоненциальному закону.
Если k = –1, то a(t) = (1/2)[exp(K t) + exp(–K t)/K²]; срезы пространства имеют вид гиперболических гиперповерхностей, масштаб которых растет по экспоненциальному закону относительно t и –t.
8 π ρ – Λ = 0Плоское четырехмерное евклидово пространство.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = 0.
Если k = 1, то a(t) = t; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых с увеличением t линейно возрастает, начиная с 0 (иначе говоря, t представляет собой радиальную координату полярной системы).
Если k = 0, то a(t) = 1; срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей фиксированного масштаба (другими словами, t в этом случае является декартовой координатой).
При k = –1 решений нет.
8 π ρ – Λ < 0Четырехмерная сфера S⁴.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = 12 K².
Если k = 1, то a(t) = sin(K t) / K, и срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых возрастает от 0, достигает максимума, после чего уменьшается.
При k = 0 или –1 решений нет.

Таким образом, геометрия четырехмерного пространства может относиться к одному из трех типов: гиперболическому, плоскому или сферическому. Существует множество способов нарезки этих 4-пространств на однородные трехмерные гиперповерхности, однако на само 4-пространство выбор конкретного способа никак не влияет. И если Вселенная в начальный или конечный момент характеризуется нулевым масштабным коэффициентом, это еще не говорит о наличии в ней сингулярности! Плостность энергии ρ остается постоянной, а те области, в которых масштабный коэффициент обращается в нуль, являются всего лишь следствием выбранного способа нарезки 4-пространства на гиперповерхности.

У нас, как уже обсуждалось ранее, есть основания сделать выбор в пользу конечного 4-пространства, и сказанное в данной статье этого не исключает. В случае положительной кривизны 4-пространство в целом обязательно должно быть конечным, что следует из теоремы Майерса. Однако положительная кривизна несовместима с рядом топологий; на торе, к примеру, нельзя ввести метрику, которая бы обладала положительной скалярной кривизной.^[5]

В случае нулевой и отрицательной кривизны 4-пространство может быть как конечным, так и бесконечным; например, всюду плоскую метрику можно ввести и на R⁴ (бесконечное 4-пространство), и на T⁴ (четырехмерный тор). Тем не менее, некоторые ограничения на возможные топологии существуют и в этом случае. Из теоремы Адамара-Картана следует, что однородное и изотропное пространство отрицательной кривизны не может обладать топологией четырехмерной сферы.

Гравитационные волны

Стандартное описание гравитационных волн^[6] в виде малых возмущений плоской метрики применимо в римановой версии ОТО точно так же, как и в лоренцевой. Получаемые в итоге уравнения (в предположении Λ=0) имеют вид:

Уравнения гравитационной волны, Λ=0

	(по Риману)
	(по Лоренцу)
$\partial_x w^{ax} + \partial_y w^{ay} + \partial_z w^{az} + \partial_t w^{at} = 0$	(поперечное условие)

Первым идет утверждение о том, что компоненты метрики g_ab в выбранной нами системе координат совпадают с компонентами символа Кронекера (δ_ab = 1, когда a=b, и 0, когда a≠b, что дает компоненты плоской метрики в евклидовом пространстве с декартовой системой координат) с добавлением некоторого малого возмущения h_ab, которое, как и сама метрика, будет представлять собой симметричный тензор.

В лоренцевой версии мы используем метрику Минковского η_ab, для которой η_tt=–1, а все остальные компоненты совпадают с соответствующими компонентами δ_ab.

Далее мы вводим новый симметричный тензор w_ab, который равен h_ab за вычетом половины следа h, домноженного на соответствующую метрику плоского пространства: δ в римановом случае, η – в лоренцевом. [В таких случаях обычно используется обозначение в виде горизонтальной черты над исходным возмущением h, но на веб-странице этого добиться сложно] Поднимая один из индексов тензора h_ab, чтобы вычислить его след, мы используем δ или η вместо полной метрики, поскольку нас интересует лишь вклад членов первого порядка h. По этой же причине мы используем метрику плоского пространства при манипуляциях с индексами w_ab.

Смысл этих определений сводится к тому, что в каждом случае уравнение Эйнштейна с точностью до первого порядка возмущения и его производных принимает вид простого волнового уравнения относительно возмущения w, как показано выше, при условии, что w, помимо прочего, удовлетворяет поперечному условию – по аналогии с векторными римановыми волнами.

В римановом случае это “волновое уравнение” имеет вид уравнения Лапласа, поэтому при T=0 любое, отличное от константы, решение будет неограниченным. Сумма вторых производных w должна быть равна нулю, так что если решение в одном направлении ведет себя как периодическая функция (и ее вторая производная совпадает с самой функцией, домноженной на некоторое отрицательное число), то в другом она будет расти по экспоненте (а ее вторая производная будет равна исходной функции, домноженной на положительное число). При наложении граничных условий – например, требования, что риманова Вселенная должна иметь вид T⁴, – мы выясним, что удовлетворить им посредством экспоненциальных решений нельзя, и допустимыми будут лишь решения вида w = const.

Таким образом, в отсутствие космологической постоянной и в предположении, что для римановой Вселенной справедливы граничные условия, необходимые для устранения экспоненциальных решений в случае электромагнитных волн, существование гравитационных волн становится невозможным. Более того, если речь идет об осциллирующем источнике, то с увеличением расстояния от него соответствующие решения будут затухать экспоненциально; происходит это по сути в силу тех же самых причин, по которым поле вокруг проводника с переменным током экспоненциально падает с расстоянием, когда частота тока превышает максимальную частоту ν_max при выполнении граничных условий T⁴ – только в данном случае максимальная частота равна нулю!

Что произойдет, если космологическая постоянная отлична от нуля? Может показаться, что при таком изменении уравнение гравитационной волны из тензорного варианта уравнения Лапласа превратится в нечто, больше напоминающее уравнение Гельмгольца – то есть приобретет дополнительное слагаемое в виде волны, домноженной на некоторую константу, по аналогии с членом ω_m² в уравнении векторной римановой волны, что при подходящем знаке Λ позволило бы получить периодические решения с частотой, ограниченной сверху некоторым максимальным значением.

Но оказывается, что это не так. Детальный анализ довольно сложен, но если для заданного Λ рассмотреть возмущение метрики относительно решения в вакууме, то слагаемые, имеющие отношение к кривизне пространства (и, следовательно, зависящие от Λ) войдут в уравнение возмущения несколько раз – не считая очевидного присутствия Λ в самом уравнении Эйнштейна. В конечном счете все эти слагаемые компенсируют друг друга, и членов, которые бы отличались от искомой волны только постоянным множителем, в итоговом уравнении не возникает.

Таким образом, граничные условия, необходимые для усмирения электромагнитных волн, судя по всему, полностью исключают существование волн гравитационных.

Литература

[1] Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. – Cambridge University Press, Cambridge, 2003 (параграф 15.4).

[2] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграфы 25.2, 25.3).

[3] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., глава 27.

[4] С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. – М.: Мир, 1977, глава 10.

[5] R. Schoen, S. T. Yau. On the structure of manifolds with positive scalar curvature. Manuscripta Mathematica, 1979, т. 28, изд. 1-3, стр. 159 – 183.

[6] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., главы 18 и 35.

Риманова термодинамика [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/05/ThermodynamicsExtra.html

Риманов спектр абсолютно черного тела

Спектр абсолютно черного тела описывает распределение энергии теплового излучения – то есть излучения, возникающего в результате свободного преобразования тепловой энергии в свет – по различным частотам света. Мы не будем пытаться рассчитывать какие-либо свойства различных видов римановой материи, определяющие склонность к обмену энергией с электромагнитным полем; далее мы просто будем исходить из предположения, что энергия может свободно передаваться переходить от света одной частоты к свету другой, как это имело бы место при наличии идеального источника и поглотителя излучения – именно такое предположение обычно используется при анализе сходной ситуации в нашей собственной Вселенной.

Для начала мы рассмотрим электромагнитное поле, заключенное в некотором замкнутом пространстве или полости, считая, что окружающие стенки полностью непрозрачны, а само поле находится в состоянии теплового равновесия с окружающим его веществом. В соответствии с описанием лоренцева случая, приведенным у Рейфа^[1], мы будем считать, что точные граничные условия, наложенные на данное поле, не играю роли. В целях простоты мы рассмотрим полость кубической формы с ребром длины L и объемом V = L³, наложив на нее периодические граничные условия: значение поля на любой из граней куба будет совпадать с его значением в соответствующей точке, лежащей на противоположной грани.

Любое решение уравнения скалярной римановой волны, удовлетворяющее данному условию, можно записать в виде вещественной части линейной комбинации плоских волн следующего вида:

$\begin{equation*} \begin{split} & f_{i, j, k}(x, y, z, t) = \exp(\mathbf{k}_{i, j, k} \cdot (x, y, z, t)) \\ & \mathbf{k}_{i, j, k} = \cfrac{2 \pi}{L} (i \mathbf{e}_x + j \mathbf{e}_y + k \mathbf{e}_z) + \omega_{i, j, k}\mathbf{e}_t \\ & \omega_{i, j, k} = \sqrt{\omega_m^2 - \cfrac{4 \pi^2}{L^2}(i^2 + j^2 + k^2)} \end{split} \end{equation*}$

где i, j и k – целые числа. Они могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, однако тот факт, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня в определении ω_{i, j, k}, должно быть положительным, ограничивает их возможные значения конечным множеством вариантов, соответствующих ограничению, согласно которому пространственная частота не должна превосходить ν_max.

Нам, разумеется, нужно не скалярное, а векторное решение, и каждой тройке целых чисел мы можем сопоставить три единичных вектора, ортогональных как друг другу, так и волновому вектору k_{i, j, k}, что дает нам по три поляризации для каждой колебательной моды. В явном виде:

$\begin{equation*} \begin{split} & \mathbf{f}^{(1)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (i \mathbf{e}_t - j \mathbf{e}_z + k \mathbf{e}_y) - \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_x \right) \\ & \mathbf{f}^{(2)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (-i \mathbf{e}_z - j \mathbf{e}_t + k \mathbf{e}_x) + \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_y \right) \\ & \mathbf{f}^{(3)}_{i, j, k}(x, y, z, t) = \cfrac{1}{\omega_m}\left( \cfrac{2 \pi}{L} (-i \mathbf{e}_y + j \mathbf{e}_x + k \mathbf{e}_t) - \omega_{i, j, k} \mathbf{e}_z \right) \end{split} \end{equation*}$

Предположим теперь, что 4-потенциал электромагнитного поля A представляет собой линейную комбинацию данных векторных мод. Чему будет равна полная энергия электромагнитного поля? Используя выведенную ранее формулу, описывающую плотность энергии плоских волн, можно показать, что если:

$\mathbf{A} = A_{(1)} \mathbf{f}^{(1)}_{i, j, k} + A_{(2)} \mathbf{f}^{(2)}_{i, j, k} + A_{(3)} \mathbf{f}^{(3)}_{i, j, k}$

то общая энергия, заключенная в кубической полости, равна:

$U = \cfrac{V}{2}\left(A_{(1)}^2 + A_{(2)}^2 + A_{(3)}^2\right)\omega_{i, j, k}^2$

При добавлении к потенциалу A новых мод с другими значениями i, j, k энергии будут просто складываться; это следует из того факта, что в пределах полости тригонометрические функции с различными длинами волн взаимно ортогональны. Другими словами, в наиболее общем случае энергию можно представить в виде аналогичной суммы квадратов с соответствующими коэффициентами для каждой моды.

[При желании мы могли бы использовать в качестве мод не плоские, а стоячие волны. Для каждой пары плоских волн, движущихся в противоположных направлениях, f^(p)_{i, j, k} и f^(p)_{–i, –j, –k}, мы можем сформировать две стоячих волны, (f^(p)_{i, j, k} ± f^(p)_{–i, –j, –k})/√2. Особый случай i=j=k=0 уже является стоячей волной. Полные энергии таких мод совпадают с энергиями соответствующих плоских волн.]

Сколько мод заключено в интервал угловых частот от ω до ω+dω? Если предположить, что полость достаточно велика, так что i, j, k принимают очень большие значения, то неплохое приближение можно получить, заменив их непрерывными величинами. Если мы введем r² = i² + j² + k², то число мод будет в три раза больше (по числу поляризаций) объема сферической оболочки радиуса r и толщины |dr|, где:

$\omega^2 = \omega_m^2 - \cfrac{4 \pi^2}{L^2} r^2$

Таким образом, плотность распределения мод имеет вид:

$\rho(\omega) d\omega = 3 \times 4 \pi r^2 |dr| = 3 V \omega \cfrac{\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2} d\omega$

Для правильного описания спектра абсолютно черного тела, понятное дело, требуется привлечение квантовой механики, и вскоре мы выведем соответствующее выражение и для нашего спектра. Тем не менее, есть смысл вначале разобрать вычисления в рамках чисто классической модели. В лоренцевой физике частота света не ограничена сверху, поэтому общее число мод, заключенных в произвольной полости, бесконечно. До появления квантовой механики это следствие вызывало недоумение, так как в соответствии с теоремой о равнораспределении, известной в классической статистической механике, каждая из таких мод должна вносить равный вклад в общую энергию, что в случае бесконечного числа мод не имело смысла. Иными словами, в области высоких частот дать удовлетворительное описание спектра абсолютно черного тела было невозможно. В римановой Вселенной, благодаря конечному числу мод, классические вычисления дают вполне адекватный результат на всем протяжении спектра.

ortnt_05x_01

Согласно теореме о равнораспределении, в системе, находящейся в состоянии равновесия при температуре T, каждая степень свободы, вклад которой в общую энергию системы пропорционален квадрату координаты или импульса в фазовом пространстве, обладает средней энергией, равной (1/2) k T, где k – постоянная Больцмана, задающая температурную шкалу. Однако, несмотря на то, что каждая колебательная мода полости выглядит как отдельная координата, в действительности они содержат как координату, так и импульс: мгновенную амплитуду моды, осциллирующей с частотой ω_{i, j, k}, и скорость ее изменения, то есть соответствующий импульс. Аналогично гармоническому осциллятору (скажем, груза на пружине), потенциальная энергия которого пропорциональна квадрату его смещения, а кинетическая пропорциональна квадрату скорости изменения этого смещения во времени, сумма двух энергий остается постоянной, но если мы рассматриваем систему, состоящую из таких осцилляторов и находящуюся в состоянии теплового равновесия, то средняя энергия, приходящаяся на каждый осциллятор, будет равна k T, а не (1/2) k T.

Таким образом, плотность энергии поля в пределах полости, при заданной частоте ω, будет равна:

$u_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{3kT\omega\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2} d \omega$

Классический спектр плотности энергии всегда будет достигать максимума при частоте:

$\omega_{\mathrm{peak}} = \omega_m/\sqrt{2} \approx 0.707 \omega_m$

независимо от температуры. Плотность полной энергии на всей протяженности спектра определяется интегралом u_classical(ω) при ω, меняющемся от 0 до ω_m:

$u_{\mathrm{classical, total}} = \cfrac{\omega_m^3 kT}{2 \pi^2}$

В лоренцевом случае форма спектра, описывающего излучение, исходящее из полости, в точности совпадает с формой спектра излучения внутри самой полости, поскольку любой излучение, выходящее наружу сквозь малое отверстие, будет двигаться с одной и той же скоростью, равной скорости света. Но в римановой Вселенной каждой частоте соответствует своя скорость, в результате чего спектр излучения абсолютно черного тела будет довольно сильно отличаться от распределения энергии внутри самой полости.

Для вычисления мощности, излучаемой абсолютно черным телом, в расчете на единицу площади, нам, помимо умножения на скорость, соответствующую каждой угловой частоте:

$v(\omega) = \cfrac{\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{\omega}$

потребуется также проинтегрировать полученное выражение по всем пространственным размерностям излучения. Для заданного отверстия с конкретной ориентацией это вводит дополнительный множитель 1/4. В итоге имеем:

$I_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{1}{4} v(\omega) u_{\mathrm{classical}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 kT (\omega_m^2 - \omega^2)}{8 \pi^2}$

Другими словами, классический спектр излучения представляет собой обычную перевернутую параболу, с вершиной в точке ω=0. Влияние температуры сводится к увеличению общей мощности излучения, без какого-либо изменения формы спектра. Очевидно, что этот вывод существенно отличается от спектра абсолютно черного тела в нашей Вселенной, при котором свет, излучаемый более горячим телом достигает пика при более коротких длинах волн, чем более холодный – а полная мощность излучения пропорциональна не самой температуре, как в рассмотренном выше случае, а ее четвертой степени.

Конечно, наши расчеты для риманова случая пока что не выходили за рамки классической физики, поэтому для адекватного сравнения нам потребуется рассмотреть их квантовый аналог. Мы ожидаем, что риманов свет будет подчиняться тем же самым законам квантовой статистики, что и фотоны в нашей Вселенной – то есть обладать свойствами бозонов (более точно, частиц со спином 1), которые не обладают зарядом и, следовательно, являются античастицами по отношению к самим себе. Каждый риманов фотон частоты ν обладает энергией hν, где h – постоянная Планка, или ℏω, где ℏ=h/(2π), а ω – угловая частота.

Соответствующие расчеты с применением квантовой статистической механики^[2] говорит нам о том, что среднее количество римановых фотонов, занимающих каждую моду в электромагнитном поле полости, зависит от температуры и энергии моды:

$n(\omega) = \cfrac{1}{\exp\left(E(\omega)/kT}\right) - 1} = \cfrac{1}{\exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1}$

При высоких температурах (или в пределе при малом ℏ), это выражение обращается в n(ω) ≈ kT/(ℏω), что по сути эквивалентно теореме о равнораспределении: на каждую моду в среднем приходится энергия, равная k T. Заметим, что для отрицательных температур это выражение просто не имеет смысла: подобная система не может находиться в тепловом равновесии, если ее температура отрицательна.

Умножая n(ω) на энергию ℏω и плотность состояний ρ(ω), мы получаем квантовую версию спектра, описывающего плотность энергии полости:

$u_{\mathrm{quantum}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 \hbar \omega^2 \sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}{2 \pi^2 \left( \exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1 \right)} d\omega$

Для получения спектра излучаемой мощности нам, так же, как и в классическом случае, потребуется умножить это выражение на четверть скорости света с той же частотой:

$I_{\mathrm{quantum}}(\omega) d\omega = \cfrac{3 \hbar \omega (\omega_m^2 - \omega^2)}{8 \pi^2 \left( \exp\left(\hbar \omega/kT}\right) - 1 \right)} d\omega$

ortnt_05x_02

ortnt_05x_03

На приведенных выше римановых графиках мы взяли ω_m = 2π × 10¹⁵ Hz, а затем воспользовались реальными значениями постоянных Планка и Больцмана. Мы видим, что с ростом температуры расстояние между классическим и квантовым римановыми спектрами сокращается пропорционально: максимальное расхождение по своей абсолютной величине остается примерно одинаковым, но по мере расширения спектра доля этой величины по отношению к полной энергии будет становиться все меньше и меньше.

При интерпретации этих графиков важно иметь в виду, что в римановой Вселенной положительные температуры для большинства форм материи требуют экстремальных условий – таких как релятивистские скорости в газе – причем экстремальность этих условий возрастает по мере уменьшения положительной температуры. Таким образом, высокие температуры в данном случае соответствуют наименее экстремальным состояниям.

Это обстоятельство указывает на то, что в римановой Вселенной расхождение между квантовым и классическим спектрами абсолютно черного тела будет представлять собой относительно малозначительное явление, которое навряд ли сыграет в развитии квантовой механики ту же самую роль, которую оно сыграло в нашей истории. Если вы сравните это квантово-классическое расхождение с предыдущим графиком, построенным для лоренцева случая, то лоренцева ультрафиолетовая катастрофа практически бросается в глаза, в отличие от римановой физики с ее непримечательным “голубым провисанием”, которое невозможно будет даже обнаружить без точных измерений на всем протяжении спектра.

С излучением полости, однако же, сопряжена и другая “катастрофа”: среднее давление излучения бесконечно, вне зависимости от температуры! Почему? В случае мод, временная угловая частота ω которых близка к нулю, соответствующая амплитуда A должна становиться все больше, так как в противном случае энергия моды, (1/2) V A² ω², не будет равна единой величине k T, определяемой теоремой о равнораспределении. Но если энергия таких мод остается ограниченной в силу малых значений ω, то их пространственная частота будет близка к ω_m, поэтому соответствующие импульс и давление, также пропорциональные A², растут без каких-либо ограничений.

Абсолютно черное тело и идеальное тепловое равновесие – это, разумеется, абстрактные модели, поэтому отсюда вовсе не следует бесконечность какой-либо реальной физической величины. Тем не менее, приведенные рассуждения ясно дают понять, что в любой системе, допускающей свободный обмен энергией между всеми возможными модами, давление излучения будет чрезвычайно высоким.

Статистическая сумма изолированной частицы

Перечисленные в предыдущем разделе состояния, характеризующие излучение полости, по сути являются состояниями, доступными произвольной римановой частице. За исключением множителя 3, который указывает на три поляризации и может варьироваться (в зависимости от спина частицы), а также значения ω_m (зависящего от массы частицы), метод подсчета допустимых состояний частицы остается без изменений. В случае бозонов, разумеется, в каждом конкретном состоянии может находиться произвольное число частиц, в то время как в случае фермионов – не более одной, однако первоначальный шаг, на котором происходит идентификация самих состояний, будет одинаковым как для бозонов, так и для фермионов.

При изучении систем, находящихся в состоянии теплового равновесия при заданной температуре, доступную нам информацию о состояниях системы полезно представить в виде так называемой статистической суммы (см. также ^[3]). В общем случае ее определение имеет вид:

$Z = \sum \limits_r e^{-\beta E_r}$
где $\beta = 1/(kT)$

Индекс r – это просто обозначение произвольного состояния системы, а E_r – его энергия. Мы ввели температурный параметр β, который имеет размерность, обратную энергии, и может быть более удобным в использовании, чем сама температура. β равно нулю в случае бесконечной температуры и стремится к бесконечности в положительном и отрицательном направлении, когда температура приближается к нулю сверху или снизу соответственно.

Каждое слагаемое статистической суммы пропорционально вероятности обнаружить систему в одном из возможных состояний. Чтобы вычислить саму вероятность, нужно разделить соответствующее слагаемое на статистическую сумму, то есть сумму всех таких слагаемых. Таким образом, вероятность обнаружить систему в состоянии r равна:

$P(r) = \cfrac{e^{-\beta E_r}}{Z}$

Одно из наиболее полезных свойств статистической суммы заключается в том, что с ее помощью можно получить различные усредненные характеристики соответствующей системы. Среднюю энергию системы, к примеру, можно определить так:

$\langle E \rangle = \displaystyle \sum _r P(r) E_r = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r e^{-\beta E_r} E_r}{Z} = -\cfrac{\partial_{\beta} Z}{Z} = - \partial_{\beta} \ln Z$

В случае единственной бесспиновой римановой частицы с массой m (и соответственно максимальной угловой частотой m/ℏ) и ограничивающим объемом V статистическая сумма имеет вид:

$\begin{equation*} \begin{split} & Z_m = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp\left(-\beta E_{i, j, k}\right) = \\ & = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp\left(-\beta \hbar \omega_{i, j, k}\right) = \\ & = \displaystyle \sum_{i, j, k} \exp \left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2}{V^{2/3}}(i^2 + j^2 + k^2)}\right) \end{split} \end{equation*}$

где сумма берется по всем целым i, j, k, как положительным, так и отрицательным, при которых выражением под знаком квадратного корня принимает неотрицательное значение. Мы модифицировали выражение для ω_{i, j, k} из предыдущего раздела, выразив его не через максимальную угловую частоту частицы, а через ее массу m, а также заменив размер полости L на V^1/3. В пределе при большом числе состояний эта сумма должна аппроксимироваться интегралом, взятым по сферической области (i, j, k)-пространстве, которую проще всего описать в сферических координатах с помощью уравнения r² = i² + j² + k²:

$Z_m = 4 \pi \displaystyle \int \limits_0^R \exp\left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2}{V^{2/3}}r^2}\right) r^2 dr$ ,

где $R = \cfrac{V^{1/3}m}{2 \pi \hbar}$ – это значение r, при котором энергия обращается в нуль.

Сделав замену переменной r = R s, получаем:

$Z_m = 3Z_0 \displaystyle \int \limits_0^1 \exp\left(-\beta m \sqrt{1 - s^2}\right) s^2 ds$ ,
где $Z_0 = \cfrac{4}{3} \pi R^3 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$ – общее число состояний.

Мы можем сделать еще одну замену s = sin(γ), перейдя тем самым к угловой переменной γ:

$Z_m = 3Z_0 \displaystyle \int \limits_0^{\pi/2} \exp \left(-\beta m \cos\gamma\right) \sin^2 \gamma \cos \gamma d \gamma$

Последнее выражение можно интерпретировать как интеграл по 3-полусфере, в пределах которой должен находиться вектор энергии-импульса частицы.

Как это ни странно, данный интеграл можно выразить в явном виде:

Статистическая сумма изолированной частицы

$Z_m = Z_0 \left(1 + \cfrac{3 \pi (L_2(\beta^*) - I_2(\beta^*))}{2\beta^*}\right)$ ,
где $Z_0 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$
и $\beta^* = \beta m$

(по Риману)

Здесь L₂ обозначает модифицированную функцию Струве, а I₂ – модифицированную функцию Бесселя первого рода.

На следующем графике представлена статистическая сумма вместе с ее квадратичной аппроксимацией, которая подходит для малых значений β, соответствующих очень высоким температурам.

$\lim_{\beta \rightarrow 0} Z_m \approx Z_0 (1 - 3\pi\beta^*/16 + \beta^{*2}/5)$

ortnt_05x_04

Разумеется, ничто не мешает нам при желании аппроксимировать эту функцию многочленом более высокой степени. Существует также аппроксимация, подходящая для больших отрицательных значений β, соответствующих малым отрицательным температурам. Эта аппроксимация становится полезной при β*<–4.

$\lim_{\beta \rightarrow -\infty} Z_m \approx \cfrac{3Z_0}{\beta^{*2}}\left(1 - \cfrac{e^{-\beta^*}(8\beta^* + 15)}{8\sqrt{-2\beta^*/\pi}}\right)$

Идеальные газы

Разреженный газ с фиксированным количеством частиц

Предположим, что газ состоит из фиксированного количества частиц N и является достаточно разреженным, чтобы среднее количество частиц, находящихся в любом конкретном состоянии, было значительно меньше 1. В этом случае не имеет значения, идет ли речь о бозонах или фермионах, и мы в некотором роде имеем дело с классическим пределом. Тем не менее, частицы по-прежнему корректно считать неотличимыми друг от друга – это позволяет избежать ряда проблем, возникающих в настоящей классической интерпретации.

В описанном сценарии общую статистическую сумму газа, которую мы будем обозначать Z_G, выразить в терминах статистической суммы отдельной частицы, выведенной в предыдущем разделе. Воспользовавшись некоторыми общими выкладками, приведенными у Рейфа^[4], имеем:

$\ln Z_G = N - N \ln N + N \ln Z_m$

Мы описали статистическую сумму в виде ее логарифма, поскольку именно эта форма, как правило, наиболее удобна для непосредственного расчета тех или иных макроскопических свойств газа.

Энергия

Величина, которую мы рассчитаем в первую очередь, – это средняя энергия газа.

$\begin{equation*} \begin{split} & \langle E \rangle = -\partial_{\beta} \ln Z_G = \\ & = -N \partial_{\beta} \ln Z_m = \\ & = -\cfrac{N \partial_{\beta} Z_m}{Z_m} = \\ & = 3 N m \left(\cfrac{1}{\beta^*} + \cfrac{\pi L_1(\beta^*) - \pi I_1(\beta^*) + 2}{3 \pi I_2(\beta^*) -3 \pi L_2(\beta^*) - 2 \beta^*} \right) \end{split} \end{equation*}$

где β* = β m. Предел для бесконечной температуры можно легко получить из квадратичной аппроксимации статсуммы:

$\lim_{\beta \rightarrow 0} \langle E \rangle = \cfrac{3 \pi N m}{16} \approx 0.589 Nm$

Как показывает следующий график, при больших по модулю отрицательных значениях β (которым соответствуют малые отрицательные температуры) частицы движутся медленно, а средняя энергия газа примерно равна сумме их энергий массы покоя.

При малых значениях β (и, соответственно, больших температурах) частицы движутся с большей скоростью, а общая энергия газа становится меньше — как мы и ожидаем, исходя из соотношения между полной и кинетической энергией.

Наконец, при больших положительных значениях β (которым соответствуют малые положительные температуры), мы имеем релятивистский газ, кинетическая энергия которого близка к массе покоя, а полная энергия падает практически до нуля.

ortnt_05x_05

Давление

Теперь мы перейдем к вычислению среднего давления газа. Стандартное описание давления в терминах статистической суммы^[5] опирается на следующий факт: если энергия системы зависит от ее объема, то скорость изменения энергии по отношению к объему, взятая с обратным знаком, совпадает с давлением, оказываемым данной системой. (Представьте, что система медленно расширяется, совершая работу против ограничивающей силы. Количество выполненной работы равно произведению силы на линейный размер расширения, или давлению, умноженному на приращение объема.)

$\begin{equation*} \begin{split} & \langle p \rangle = \displaystyle \sum \limits_r P(r) p_r = \\ & = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r) p_r}{Z} = \\ & = \cfrac{\displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r) (-\partial_V E_r)}{Z} = \\ & = \cfrac{\partial_V \displaystyle \sum \limits_r \exp(-\beta E_r)}{\beta Z} = \\ & = \cfrac{\partial_V \ln Z}{\beta} \end{split} \end{equation*}$

Однако в римановой физике этот результат неверен! Одна из менее заметных особенностей римановой физики состоит в том, что скорость изменения энергии относительно объема сама по себе равна давлению, а не противоположной ему величине. По сути это происходит в силу тех же причин, по которым сопряженные импульсы, соответствующие пространственным координатам в гамильтоновом описании свободной частицы, как уже было замечено ранее, противоположны обычным импульсам.

Но даже поменяв здесь знак, мы получим уравнение, которое – несмотря на знакомый вид – в действительности не имеет смысла.

Тем не менее, давайте проделаем эти выкладки, чтобы разобраться, в каком именно месте возникают проблемы. Поскольку Z_m линейна относительно V (в силу зависимости от Z₀), то:

$\partial_V \ln Z_m = \cfrac{\partial_V Z_m}{Z_m} = \cfrac{Z_m/V}{Z_m} = \cfrac{1}{V}$

Перейдя к статсумме всего газа и воспользовавшись стандартной формулой давления с заменой знака для случая соотношения между римановыми энергией/объемом/давлением, имеем:

$\langle p \rangle = -\cfrac{\partial_V \ln Z_G}{\beta} = -\cfrac{N \partial_V \ln Z_m}{\beta} = -\cfrac{N}{\beta V}$ [Неверно!],

что эквивалентно

$\langle p \rangle V = -NkT$ [Неверно!]

Это всего лишь стандартное уравнение состояния идеального газа, взятое с обратным знаком. Однако, несмотря на то, что подобное поведение примерно соответствует нашим ожиданиям для случая низких отрицательных температур, а давление в случае бесконечной температуры, при поверхностном рассмотрении, может также показаться бесконечным… из этого уравнения следует, что при переходе в область положительных температур давление становится отрицательным. Как бы забавно ни было жить в мире, где стенки контейнера, подвергаемого обстрелу релятивистскими частицами, вместо давления испытывают напряжение, с точки зрения физики это полный абсурд.

Разгадка заключается в том, что наша статистическая сумма Z_m содержит дополнительную зависимость от объема контейнера, отсутствующую в лоренцевом случае, для которого и была выведена стандартная формула, связывающая давление со статсуммой. При изменении объема контейнера мы меняем не только энергетические уровни, соответствующие тем или иным состояниям частиц, но и количество самих состояний. В римановом случае контейнер большего объема может вместить большее конечное число состояний, прежде чем будет достигнута минимальная длина волны. В лоренцевом случае минимальной длины волны не существует, и количество состояний всегда бесконечно велико.

Простейшим решение будет вернуться к одной из первых форм Z_m:

$Z_m = \displaystyle \int \limits_0^R \exp\left(-\beta \hbar \sqrt{\left(\cfrac{m}{\hbar}\right)^2 - \cfrac{4 \pi^2 }{V^{2/3}} r^2}\right) r^2 dr$ ,
где $R = \cfrac{V^{1/3}m}{2 \pi \hbar}$

Используя это уравнение, мы можем идентифицировать зависимость верхнего предела интегрирования R от V и, избавившись от него, оставить только нужный нам эффект: изменение энергетических уровней. Соответствующее слагаемое в ∂_V Z_m при данном значении верхнего предела будет равно выражению под знаком интеграла (включая общий множитель 4 π), вычисленному при r = R и домноженному на ∂_V R. В итоге получаем:

$4 \pi \exp(0) R^2 \times \cfrac{1}{3}\cfrac{V^{-2/3}m}{2 \pi \hbar} = \cfrac{4}{3} \cfrac{\pi R^3}{V} = \cfrac{Z_0}{V}$ ,

где $Z_0 = \cfrac{4}{3} \pi R^3 = \cfrac{Vm^3}{6 \pi^2 \hbar^3}$

Повторив наши первоначальные вычисления за вычетом этого паразитного вклада, обусловленного ∂_V Z_m, оставив, таким образом, только среднее значение давления, имеем:

$\langle p \rangle = -\cfrac{N}{Z_m \beta} \left(\cfrac{Z_m}{V} - \cfrac{Z_0}{V} \right) = -\cfrac{N}{\beta V} \left( 1 - \cfrac{Z_0}{Z_m} \right)$

что эквивалентно

$\langle p \rangle V = -NkT \left( 1 - \cfrac{Z_0}{Z_m} \right)$ [Верно!]

В случае отрицательной температуры Z_m > Z₀, поэтому корректирующий множитель в скобках будет больше нуля, а давление, соответственно, положительным. Более того, при малых по модулю отрицательных температурах Z_m крайне велико, а значит, корректирующий множетель примерно равен 1 и мы имеем дело с традиционной моделью идеального газа, скорректированной с учетом знака T.

Если же температура отрицательна, то Z_m < Z₀ и корректирующий множитель будет меньше нуля – таким образом положительный знак давления сохраняется.

При бесконечной температуре давление остается конечным. Используя нашу квадратичную аппроксимацию Z_m при β, близком к нулю, можно легко показать, что:

$\lim_{\beta \rightarrow 0} \langle p \rangle = \cfrac{3 \pi N m}{16 V}$

По мере того, как β приближается к положительной бесконечности, температура стремится к нулю сверху, постепенно переходя в область все более экстремальных релятивистских скоростей, а давление, как и ожидается, стремится к бесконечности.

ortnt_05x_06

Энтропия

Энтропию системы также можно выразить через соответствующую статистическую сумму^[6]:

$S = k (\ln Z + \beta \langle E \rangle)$

Для разреженного газа имеем:

$S_G = k (\ln Z_G + \beta \langle E \rangle)$
$\ln Z_G = N - n \ln N + N \ln Z_m$
$\langle E \rangle = -\cfrac{N \partial_{\beta} Z_m}{Z_m}$

Мы не будем выписывать все логарифмы и функции Бесселя и Струве, входящие в выражение энтропии. Тем не менее, как показывает график, энтропия достигает конечного максимума при β=0, когда температура обращается в бесконечность.

ortnt_05x_07

Как при различных температурах выглядит распределение N частиц по энергиям? Исходя из нашего предположения о разреженности газа, можно показать, что среднее количество частиц, находящихся в заданном состоянии r, равно^[4]:

$n_r = \cfrac{N \exp(-\beta E_r)}{\sum \limits_s \exp(-\beta E_s)} = \cfrac{N \exp(-\beta E_r)}{Z_m}$

Нас интересует распределение частиц по уровням энергии E = ℏω, которое позволит нам воспользоваться плотностью состояний относительно ω, которую мы вычислили для температурного излучения полости, предварительно убрав из нее множитель 3, описывающий поляризацию, так как идеальный газ в нашей модели состоит из частиц, не имеющих спина.

Rendered by QuickLaTeX.com

Умножая на среднюю заполненность каждого состояния при данной энергии, получаем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Для манипуляций с энергией удобнее заменить ее на коэффициент пропорциональности ε, связывающий ее с массой частицы m, то есть E = ε m:

$n(\varepsilon) d\varepsilon = N \cfrac{3 Z_0}{Z_m} \varepsilon \sqrt{1 - \varepsilon^2} e^{-\beta^* \varepsilon} d\varepsilon$

На диаграмме ниже показаны распределения, соответствующие трем значениям β*. При малых по абсолютной величине температурах – как положительных, так и отрицательных – энергии частиц более или менее ограниченны, в то время как при бесконечной температуре их разброс заметно увеличивается.

ortnt_05x_08

Разреженный газ с бесконечно большой температурой обладает любопытным свойством: его тензор энергии-импульса инвариантен по отношению к преобразованиям группы SO(4). Отсюда следует, что все наблюдатели, движущиеся внутри такого газа, независимо от их скорости, получат для окружающего пространства одни и те же значения давления и плотности энергии. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при бесконечной температуре среднее давление и плотность энергии газа совпадают и равны 3 π N m / (16 V). Отсюда следует, что тензор энергии-импульса кратен единичной матрице и не меняется при переходе к другой системе координат.

Однако при более внимательном взгляде на распределение частиц по энергиям выясняется, что упомянутая инвариантность относительно SO(4) достигается довольно неочевидным образом. При β=0, т. е. бесконечной температуре, распределение имеет вид:

$n_{\infty}(\varepsilon) d\varepsilon = 3 N \varepsilon \sqrt{1 - \varepsilon^2} d\varepsilon$

Перейдя к угловой переменной γ, равной углу между 4-скоростью частицы и осью времени, имеем ε=cos(γ) и, следовательно:

$n_{\infty}(\gamma) |d\gamma| = 3 N \cos \gamma \sin^2 \gamma |d\gamma|$

Ротационно инвариантная мера на 3-сфере после интегрирования по всем остальным координатам, соответствующим различным направлениями в трехмерном пространстве, будет равна sin²γ dγ, откуда можно сделать вывод, что 4-скорости частиц распределены по поверхности 3-сферы неравномерно – вопреки тому, что мы могли ожидать от SO(4)-инвариантного состояния. По сравнению с равномерным распределением, частицы в большей степени тяготеют к низким скоростям, т. е. к области вокруг оси времени, в которой cos γ принимает большие значения.

Откуда же в таком случае возникает SO(4)-инвариантность газа при бесконечной температуре? Если мы рассмотрим частицу с энергией E = m cosγ, то временная компонента u^t соответствующей 4-скорости u будет равна cos γ. Если плотность энергии в собственной системе отсчета частицы равна ρ, то ее тензор энергии импульса имеет вид ρ u ⊗ u. Это означает, что в системе отсчета неподвижного контейнера вклад данной частицы в полную энергию системы равен V ρ (u^t)² = V ρ cos²γ. Приравняв эту величину E = m cosγ, мы получаем плотность энергии в покоящейся системе отсчета, которая возрастает по мере того, как увеличивается скорость частицы и уменьшается cosγ:

$\rho = \cfrac{m}{V \cos \gamma}$

Этот множитель может вызвать недоумение, так как в системе отсчета движущейся частицы ширина контейнера становится больше; это риманов аналог более знакомого явления, которое в лоренцевой физике называется релятивистским сокращение длины. По той же причине расстояние между несколькими частицами, движущимися в контейнере с одной и той же скоростью, в их общей системе отсчета будет уменьшаться по сравнению с системой отсчета, покоящейся относительно контейнера.

Таким образом, если наблюдатель движется сквозь газ на большой скорости, то относительная скорость частиц с малым значением cosγ компенсируется за счет видимого сокращения расстояний между ними. Несмотря на то, что распределение скоростей частиц будет выглядеть иначе, плотность энергии (и давление) в целом остается без изменений.

Фермионный газ с образованием пар

Когда речь идет о разе, состоящем из медленных частиц, вполне естественно предположить, что количество этих частиц будет оставаться постоянным. Когда же частицы движутся с релятивистскими скоростями, это ограничение выглядит довольно искусственным, так как в результате соударений на большой скорости некоторые частицы могут отбрасываться в прошлое (ранее мы уже рассматривали подобные соударения). Потребует ли этот процесс наличия античастиц, зависит от природы самой частицы (некоторые частицы, подобно фотонам в нашей Вселенной, являются античастицами по отношению к самим себе), однако общее количество частиц при этом наверняка изменится.

Предположим, что идеальный газ состоит из частиц со спином ½. Такие частицы являются фермионами, то ест подчиняются статистике Ферми-Дирака: в каждом квантовом состоянии будет находиться не более одной такой частицы. Предположим также, что существует некий механизм создания пар частица-античастица, причем необходимая для этого энергия уравновешивается изменением кинетической энергии газа. В данном случае нас не будут интересовать детали процессов образования и аннигиляции таки пар; наша цель, скорее, будут состоять в том, чтобы выяснить, способна ли такая система находиться в состоянии термодинамического равновесия при положительных и отрицательных температурах. Рассматривая температурное излучение полости, мы выяснили, что система, состоящая из неопределенного количества свободно порождаемых бозонов, будет всегда обладать положительной температурой. Будет ли то же самое верно и в отношении нашего фермионного газа в силу его способности создавать новые частицы?

Поскольку частицы и античастицы создаются и уничтожаются парами, разница между их количеством остается постоянной. Для обозначения переменного количества частиц и античастиц мы будем использовать обозначения N_P и N_A соответственно, а фиксированный избыток частиц обозначим N:

$N = N_P - N_A$

Каждое индивидуальное квантовое состояние r, доступное частицам в нашем контейнере, будет занято 0 или 1 частицей и 0 или 1 античастицей; согласно принципу Паули, в одной и том же состоянии может находиться не более одной частице данного вида, что однако же не запрещает находиться в одном состоянии паре, состоящей из частицы и античастицы. Количество частиц и античастиц, находящихся в состоянии r, мы будем обозначать n_{P, r} и n_{A, r} соответственно.

Для описания состояние газа как единого целого нужно назначить каждому из n_{P, r} и n_{A, r} одно из значений 0 или 1, чтобы при этом суммарный избыток частиц по сравнению с античастицами была равен. Для обозначения статистической суммы газа с конкретным значением N мы будем использовать запись Z_G(N):

$Z_G(N) = \displaystyle \sum_{n_{P, r}, n_{A, r}, N_P - N_A = N} \exp \left(-\beta \displaystyle \sum_r E_r (n_{P, r} + n_{A, r}) \right)$

В данном случае внешнее суммирование производится по всем состояним газа, в которых избыток частиц равен N, а полная энергия каждого такого состояния определяется суммой энергией всех отдельных частиц.

Количество индивидуальных состояний частиц внутри заданного контейнера с объемом V выражается конечной величиной; это значение, равное Z₀, мы нашли в процессе вычисления статистической суммы отдельной частицы, хотя, если быть точным, в данном случае его следует умножить на 2, чтобы учесть два состояния, в которых может находиться спин наших фермионов:

$N_{max} = 2 Z_0 = \cfrac{Vm^3}{3 \pi^2 \hbar^3}$

Если как частицам, так и античастицам доступно N_max состояний, то количество состояний, в которых избыток частиц равен N, можно представить в виде суммы по количеству античастиц:

Rendered by QuickLaTeX.com

Предположим, что β поддерживается постоянной и нас интересует только зависимость статсуммы газа Z_G(N) от N. Количество слагаемых во внешней сумме выражается гауссовой функцией, полученной выше. Среднее значение отдельных слагаемых в этой сумме не будет очень быстро меняться в зависимости от N, так как вне зависимости от конкретного значения N энергии всех возможных состояний будут расщепляться примерно одинаково. Следовательно, мы можем очень приближенно сказать, что и сама сумма Z_G(N) будет вести себя, как величина, кратная гауссиану, вычисляющему количество слагаемых, т. е.

$Z_G(N) \approx C(\beta) \exp \left(-\cfrac{N^2}{N_{max}}\right)$ ,

где константа C(β) зависит от β и включает в себя все остальные множители, зависящие от N_max.

Теперь, умножив Z_G(N) на экспоненциальную функцию N, exp(αN), мы сместим пик гауссовой функции:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если мы хотим, чтобы пик этой функции приходился, скажем, на N₀, то выбираем α следующим образом:

$\alpha = \cfrac{2N_0}{N_{max}}$

Статистическую сумму Z_G(N₀) можно аппроксимировать суммой (без дополнительных ограничений) по N, выделив значение N = N₀ с помощью пика гауссовой функции:

$\sum \limits_{N = 0}^{N_{max}}Z_G(N) \exp(\alpha N) \approx Z_G(N_0) \exp (\alpha N_0) \Delta N$

где ΔN – мера ширины пика. Сумма в левой части этого равенства называется “большой канонической статистической суммой”^[7]; эта сумма берется по всем возможным состояниям газа, независимо от количества частиц, с дополнительным членом для каждого значения энергии. В силу отсутствия ограничений мы можем существенно продвинуться в ее вычислении:

Rendered by QuickLaTeX.com

Логарифм статистической суммы газа можно аппроксимировать следующим образом:

Rendered by QuickLaTeX.com

Произведя ряд дополнительных преобразований по аналогии с приведенными в ^[7], можно показать, что среднее количество частиц и античастиц, находящихся в каждом из состояний, соответственно равно:

$<n_{P, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r - \alpha) + 1}$

$<n_{A, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r + \alpha) + 1}$

В отличие от среднего числа римановых фотонов, приходящихся на каждое из состояний, эти выражения сохраняют физический смысл и при отрицательных температурах; действительно, при любых значениях α и β обе величины будут заключены между 0 и 1, как и требуется в случае фермионов. Чтобы найти α, соответствующее заданным значениям β и N₀, нам потребуется решить уравнение:

$N_0 = \sum_r (<n_{P, r}> - <n_{A, r}>) = \sum_r \cfrac{\mathrm{sh} \alpha}{\mathrm{ch} \alpha + \mathrm{ch} (\beta E_r)}$

относительно α. Так как интегральная версия этой суммы, по всей видимости, не выражается в аналитически замкнутой форме, то в общем случае нам придется воспользоваться численными методами. В качестве отправной точки для итерационного решения мы можем воспользоваться нашим исходным приближением α = 2 N₀ / N_max.

Тем не менее, мы можем проиллюстрировать основные качественные характеристики подобной системы, взяв N₀=0 и рассмотрев газ, в котором количество частиц в точности совпадает с количеством античастиц. В силу симметрии это означает, что α=0 при любом значении β и, следовательно:

$\ln Z_G \approx 2 \sum_r \ln (1 + \exp(-\beta E_r))$
$<n_{P, r}> = <n_{A, r}> = \cfrac{1}{\exp(\beta E_r) + 1}$

На следующем графике показана средняя энергия системы, которая по своей форме примерно соответствует кривой средней энергии в случае разреженного газа, с той лишь разницей, что масштаб энергий в данном случае сравним с произведением массы частицы на общее количество состояний отдельно взятой частицы.

ortnt_05x_09

Средняя энергия была вычислена при помощи численного интегрирования с теми же самыми переменными r и s, которые мы использовали в статистической сумме изолированной частицы:

Rendered by QuickLaTeX.com

При β*=0 и β*→–∞ экспоненциальная функция стремится соответственно к 1 или 0, и интеграл можно взять точно, получив в итоге 3 π N_max m / 16 и 3 π N_max m / 8 соответственно.

Следующий график отображает среднее количество частиц, находящихся в системе (включая и античастицы). При низких отрицательных температурах система близка к насыщению и почти каждое квантовое состояние заполнено одновременно и частицей, и античастицей. При бесконечной температуре состояния в среднем заполнены только наполовину, и при дальнейшем движении в сторону все более низки[ положительных температур уровень заполнения продолжает падать.

ortnt_05x_10

В данном случае интеграл, изображенный на графике, имеет вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Опять-таки при β*=0 и β*→–∞ экспоненциальная функция стремится соответственно к 1 и 0, и интеграл можно взять точно – соответствующие значения равны N_max и 2N_max.

Третий график показывает среднее количество энергии, приходящейся на одну частицу и представляет собой просто отношение кривых, изображенных на первом и втором графиках. При отрицательных температурах вплоть до самой бесконечности эта величина почти не меняется и остается примерно на уровне 3 π m / 16, т. е. средней энергии по всем состояниям. При малых отрицательных температурах это объясняется тем, что практически все состояния являются заполненными, в то время как при больших отрицательных температурах среднее количество частиц в расчете на одно состояние падает, однако распределение частиц по состояниям остается равномерным.

Только при переходе в область низких положительных температур не только уменьшается количество частиц, но и сами частицы начинают занимать состояния с более низкой энергией. Если бы речь шла о системе, в которой разница между количество частиц и количеством античастиц (либо наоборот) равна N₀, то кривая энергия стремилась бы к асимптоте, при которой N₀ частиц заполняют нижние N₀ энергетических состояний. Но поскольку мы взяли N₀ = 0, асимптотическая энергия при низких положительных температурах равна нулю.

ortnt_05x_11

Важно помнить, что все эти выводы не дают никакой информации о механизме или скорости какого бы то ни было процесса образования пар; эти результаты просто исходят из предположения, что подобный процесс имеет место и достиг равновесного состояния. Скорость образования пар может существенным образом зависеть от температуры, и если при некоторой температуре T эта скорость очень мала, то состояние равновесия, достигаемое при такой температуре, вполне вероятно, не даст нам никакой информации о наблюдаемом явлении. Иначе говоря, мы не должны считать, что при отрицательной температуре любой фермионный газ в течение небольшого времени обязательно достигнет описанной ранее конфигурации, в которой практически все квантовые состояния заполнены парами частица-античастица!

Одако если речь идет об ультрарелятивистском газе с положительной температурой, то количество частиц может меняться даже при их классических столкновениях, потому приведенное здесь описание будет применимо с гораздо большей вероятностью.

Среднее давление системы выражается формулой:

$\langle p \rangle = -\cfrac{1}{\beta} \partial_V \ln Z_G$

с той оговоркой, что во избежание ошибки, которую мы обнаружили, вычисляя среднее давление разреженного газа, производную по V нужно вычислить до интегрирования по состояниям индивидуальных частиц. Детали этих расчетов мы опустим.

При бесконечной температуре вычисленноетаким образом давление совпадает с давлением в расчете на одну частицу, которое мы получили для разреженного газа. Таким образом, как минимум при высоких температурах, в ситуации, когда газ изначально содержит N << N_max частиц, дополнительное присутствие пар частица-античастица будет оказывать на систему существенное влияние.

При более низких положительных температурах падение количества пар частица-античастица опережает рост давления, наблюдаемый в случае разреженного газа, что связано с увеличением импульса каждой частицы. Таким образом, можно сделать довольно любопытный вывод: меньше всего образование пар повляет на газ с максимально близкими к нулю положительными температурами, в котором действуют наиболее экстремальные релятивистские условия.

ortnt_05x_12

Литература

[1] Frederick Reif. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — McGraw-Hill, 1965. § 9.13, § 9.14, § 9.15.

[2] Reif, указ. соч. § 9.3, § 9.5.

[3] Reif, указ. соч. § 6.5, § 6.6.

[4] Reif, указ. соч. § 9.8.

[5] Reif, указ. соч. § 6.5, уравнение (§ 6.5.12).

[6] Reif, указ. соч. § 6.6, уравнение (§ 6.6.5).

[7] Reif, указ. соч. § 9.6.

Риманов электромагнетизм [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/04/EMExtra.html

Уравнения Прока в римановой Вселенной

Как бы изменился электромагнетизм в нашей Вселенной, если бы фотоны обладали массой? В 1930-х румынский физик Александру Прока в своей инновационной работе, посвященной объяснению слабого ядерного взаимодействия, обобщил уравнения Максвелла, разработав теорию массивных частиц, являющихся источником взаимодействия, аналогичного электромагнетизму. Заслуженная слава, по-видимому, обошла Прока стороной, но Вольфганг Паули упоминал о его результатах в своей нобелевской лекции 1946 г. Как вы, вероятно, догадались, исходя из связи со слабым взаимодействием, наличие массы покоя у соответствующей частицы-переносчика приводит к уменьшению радиуса действия силы. Если бы фотоны обладали массой в нашей Вселенной, то с увеличением расстояния кулоновский потенциал бы падал по экспоненте.

Тем не менее, кулоновский потенциал в римановой Вселенной, как мы уже убедились, не страдает от экспоненциального спада; вместо этого он осциллирует в пространстве. Вся разница состоит в переходе от геометрии Лоренца к геометрии Римана.

Чтобы получить риманову версию уравнений Прока, мы вначале рассмотрим уравнение векторной римановой волны с источником j, который мы называем 4-током, а также поперечное условие, которое мы накладываем на все векторные волны A, чтобы исключить решения, которые в действительности представляют собой замаскированные скалярные волны.

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = \mathbf{0}$	(ВРВИ)
$\partial _x A^x + \partial _y A^y + \partial _z A^z + \partial _t A^t = 0$	(Поперечное условие)

Из этой пары уравнений можно сразу же получить один замечательный результат:

(1) $\begin{equation*} \partial_x j^x + \partial_y j^y + \partial_z j^z + \partial_t j^t = 0 \end{equation*}$

который следует из поперечного условия и того факта, что 4-ток j представляет собой линейную комбинацию вектора A и его производных. Это утверждение выражает закон сохранения заряда: скорость ∂_t j^t, с которой плотность заряда возрастает со временем в некоторой точке пространства, противоположна дивергенции текущей плотности, или ∂_x j^x + ∂_y j^y + ∂_z j^z, которая описывает общее количество заряда, истекающего из малой окрестности данной точки.

Ранее мы уже обращали внимание на то, что ситуация, в которой вектор энергии-импульса вычисляется различными наблюдателями, сопряжена с серьезными проблемами, так как не существует никакого объективного критерия, позволяющего выбрать одно из двух возможных направлений этого вектора вдоль мировой линии тела. В случае 4-тока подобная проблема не возникает, поскольку он определяется как j = ρ u, где ρ – это плотность заряда в системе отсчета, связанной с самой заряженной материей, а значит, меняя знак u, мы одновременно меняем и знак ρ, поскольку обращенный во времени положительный заряд ведет себя как отрицательный и наоборот. (Разумеется, выбор наименований “положительный” и “отрицательный” по отношению к зарядам – это всего лишь вопрос договоренности, однако этот выбор можно сделать в глобальном масштабе, раз и навсегда.)

Так же, как и в обычной теории электромагнетизма, мы определяем электромагнитное поле F в терминах вектора A:

(2) $\begin{equation*} F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a \end{equation*}$

В данном случае величины A_a являются компонентами дуального вектора, соответствующего вектору A. Это отличие полезно иметь в виду, несмотря на то, что в римановом пространстве при использовании ортонормированной прямоугольной системы координат компоненты векторов, как, например, A^a совпадают с компонентами соответствующих дуальных векторов – таких, как A_a. В лоренцевом пространстве-времени это верно только отчасти; так, A_x = A^x, A_y = A^y и A_z = A^z, но при этом A_t = –A^t.

Предположим, что мы выбрали три координаты и обозначили их a, b и c. Тогда непосредственно из определения F и того факта, что производные коммутируют друг с другом (то есть ∂_a ∂_b = ∂_b ∂_a), имеем:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} &\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = \\ & =\partial_a (\partial_b A_c - \partial_c A_b) + \partial_b (\partial_c A_a - \partial_a A_c) + \partial_c (\partial_a A_b - \partial_b A_a) = \\ & = 0 \end{split} \end{equation*}$

Кроме того, из определения F следует, что:

(4) $\begin{equation*} \begin{split} & \partial_b F^{ab} = \\ & = \partial_b (\partial^a A^b - \partial^b A^a) = \\ & = \partial^a (\partial_b A^b) - \partial_b \partial^b A^a = \\ & = - \partial_b \partial^b A^a \end{split} \end{equation*}$

где мы воспользовались соглашением Эйнштейна о суммировании, а ∂_b A^b исчезает в силу поперечного условия.

Подставив выражение (4) в риманово уравнение векторной волны с источником, (ВРВИ), мы получаем риманово уравнение Прока. У нас также есть уравнение (3), которое следует исключительно из определения F и, следовательно, является общим для римановой и лоренцевой версий электромагнетизма. Для сравнения показаны уравнения Максвелла в четырехмерной форме. В этих уравнениях и всех последующих выкладках мы выбираем единицы измерения таким образом, чтобы скорость света и электрическая постоянна ε₀ были равны 1. Кроме того, в качестве сигнатуры лоренцевой метрики мы используем (– + + +), в отличие от (+ – – –), применяемой некоторыми авторами.

Римановы уравнения Прока

$\partial_b F^{ab} - \omega_m^2 A^a - j^a = 0$	(Риманова часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Уравнения Максвелла

$\partial_b F^{ab} - j^a = 0$	(Лоренцева часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Судьба Гаусса и Ампера

Четырехмерные уравнения римановой теории электромагнетизма довольно компактны, но для того, чтобы четко представить поведение поля в различных ситуациях, а также сравнить его с соответствующими аналогами в лоренцевой физике, будет полезно перевести эти уравнения в трехмерную форму, в которой все величины выражены не через электромагнитное поле F, а через два трехмерных векторных поля: электрическое E и магнитное B.

Общие свойства

Мы начнем с нескольких определений. В качестве компонент электрического поля E мы берем компоненты электромагнитного поля F, у которых на первом месте стоит тот же самый пространственный индекс, а на втором – t, в то время как компонентой магнитного поля B в заданном пространственном направлении будет компонента F, индексы которой соответствуют двум другим пространственным направлениям с сохранением циклического порядка xyz.

Электрическое поле, E

$(E_x, E_y, E_z) = (F_{xt}, F_{yt}, F_{zt})$

(Общая часть)

Магнитное поле, B

$(B_x, B_y, B_z) = (F_{yz}, F_{zx}, F_{xy})$

(Общая часть)

Электромагнитное поле, F
(в качестве сигнатуры лоренцевой метрики используется (– + + +))

$F_{ab} = \left(\begin{array}{cccc}0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&B_z&-B_y\\ E_y&-B_z&0&B_x\\ E_z&B_y&-B_x&0\end{array}\right)$

(Общая часть)

Заметим, что в приведенной выше матрице первый индекс F обозначает номер строки, второй индекс – номер столбца, а t-компоненты занимают первую строку и первый столбец. Поэтому, например, F_xt обозначает элемент, находящийся на пересечении первого столбца и второй строки.

Скалярный электростатический потенциал φ определяется как временная компонента (дуального) 4-потенциала A, взятая с обратным знаком. Оставшаяся часть A представляет собой трехмерный векторный потенциал электромагнитного поля, A₍₃₎.

Электростатический потенциал, φ

$\varphi = -A_t$

(Общая часть)

Векторный потенциал электромагнитного поля, A₍₃₎

$(A_{(3)x}, A_{(3)y}, A_{(3)z}) = (A_x, A_y, A_z)$

(Общая часть)

Наконец, плотность заряда ρ и трехмерную плотность тока j₍₃₎ мы определяем в терминах вектора 4-тока j.

Плотность заряда, ρ

$\rho = j^t$

(Общая часть)

Плотность тока, j₍₃₎

$(j_{(3)}^x, j_{(3)}^y, j_{(3)}^z) = (j^x, j^y, j^z)$

(Общая часть)

Все эти определения – в предложенной нами форме, с точным соблюдением расстановки верхних и нижних индексов – остаются неизменными как в римановой, так и в лоренцевой физике. Но если вы захотите сравнить их с определениями, приводимыми в различной литературе, посвященной лоренцевой физике, помните о том, что поднимая или опуская индекс t, вы получите величину, противоположную исходной. Кроме того, обратите внимание на то, что некоторые авторы используют лоренцеву метрику с сигнатурой (+ – – –), в то время как наши формулы построены на сигнатуре (– + + +).

Помимо выражения F через 4-потенциал A посредством уравнения (2), эти определения позволяют нам описать электрическое поле как величину, противоположную градиенту его потенциала φ за вычетом скорости изменения магнитного потенциала, а магнитное поле – как ротор соответствующего потенциала A₍₃₎. То же самое, опять-таки, верно и в традиционной версии электромагнетизма.

Связь полей с потенциалами

$\mathbf{E} = -\nabla \varphi - \partial_t \mathbf{A}_{(3)}$	(Общая часть)
$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}_{(3)}$	(Общая часть)

Далее рассмотрим четырехмерную силу f, действующую на частицу с зарядом q и 4-скоростью u:

(5) $\begin{equation*} \mathbf{f} = qF\mathbf{u} \end{equation*}$

Скорость изменения вектора энергии-импульса частицы, P, относительно ее собственного времени τ представляет собой 4-силу, поэтому данное выражение эквивалентно следующему:

(6) $\begin{equation*} \partial_{\tau} \mathbf{P} = qF\mathbf{u} \end{equation*}$

Заметим теперь, что пространственная часть P совпадает с трехмерным импульсом p, в то время как пространственная часть u немного отличается от обычной скорости v. Обычная скорость описывает быстроту изменения координат частицы относительно координатного времени t, в то время как пространственная часть u характеризует быстроту изменения относительно собственного времени τ – иными словами, пространственная часть u равна (dt/dτ) v. Мы, однако же, можем избавиться от множителя (dt/dτ), перейдя к скорости изменения p по отношению к координатному времени.

Результатом будет так называемая сила Лоренца. Эта формула тоже является общей в римановой и лоренцевой версиях электромагнетизма (хотя влияние релятивистского движения на импульс частицы p в каждом случае, разумеется, будут отличаться).

Сила Лоренца

$\partial_t \mathbf{p} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$

(Общая часть)

Теперь мы перейдем от ограничений, наложенных на F в определении (3), к соответствующим следствиям относительно E и B. Если в качестве индексов a, b, c в уравнении (3) мы возьмем x, y и z, то получим, что дивергенция вектора B должна быть равна нулю. Это утверждение известное как теорема Гаусса для магнитного поля, выражает отсутствие магнитных монополей (что справедливо для общепринятого варианта электромагнетизма, хотя в некоторых неподтвержденных теориях такие монополи все же существуют).

Если же в качестве a, b, c в уравнении (3) взять t и два пространственных индекса – для каждой из трех пар пространственных координат – то окажется, что сумма ротора E и скорости изменения B во времени равна нулю. Это так называемый закон электромагнитной индукции Фарадея, который описывает формирование электрического поля под действием переменного магнитного.

Теорема Гаусса для магнитного поля

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

(Общая часть)

Закон электромагнитной индукции Фарадея

$\nabla \times \mathbf{E} + \partial_t \mathbf{B} = 0$

(Общая часть)

Отличия

Теперь мы, наконец, можем перейти к отличиям между римановой и лоренцевой версиями электромагнетизма, которые возникают в результате замены уравнения Максвелла, содержащего источник поля, на риманово уравнение Прока.

Подставив t в качестве индекса a в римановых уравнениях Прока или уравнениях Максвелла, мы получаем два варианта теоремы Гаусса, которая в случае уравнений Максвелла говорит нам о том, что линии потока электрической индукции начинаются и заканчиваются только на самих зарядах. В случае уравнений Римана-Прока это уже не так: силовые линии возникают из вакуума, причем электростатический потенциал в этом отношении ведет себя в точности как плотность заряда.

Теорема Гаусса

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \omega_m^2 \varphi - \rho$	(по Риману)
$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho$	(по Лоренцу)

Если же в качестве индекса a в римановых уравнениях Прока или уравнениях Максвелла взять пространственные координаты, то получатся два варианта теоремы о циркуляции магнитного поля (также известной, как теорема Ампера), которая описывает формирование магнитного поля под действием электрического тока, или переменного электрического поля – в римановом случае возникающего непосредственно из векторного электромагнитного потенциала.

Теорема о циркуляции магнитного поля

$\nabla \times \mathbf{B} + \partial_t \mathbf{E} = \omega_m^2 \mathbf{A}_{(3)} + \mathbf{j}_{(3)}$	(по Риману)
$\nabla \times \mathbf{B} - \partial_t \mathbf{E} = \mathbf{j}_{(3)}$	(по Лоренцу)

Примеры из электростатики

Кулоновский потенциал

Мы уже рассматривали риманов аналог кулоновского потенциала в основной статье, посвященной электромагнетизму. Теперь у нас есть все необходимое для его вывода.

Нас будет интересовать поле, окружающее точечный заряд q, покоящийся в нашей системе координат. Такая конфигурация не меняется во времени и обладает точной радиальной симметрией в пространстве, поэтому наша задача по сути является одномерной, и все величины можно представить в виде функций расстояния r, на котором расположен заряд.

Любопытная особенность, которую привносит в эту картину риманов электромагнетизм, состоит в том, что силовые линии электростатического поля – которые в случае лоренцева электромагнетизма всегда начинаются и заканчиваются на электрических зарядах – теперь могут обрываться посреди вакуума, причем величина этого эффекта зависит от потенциала поля. На следующей диаграмме стрелки указывают направление электрического поля – однако изображены на ней не сами векторы, а линии индукции: соответственно, напряженность поля отображается не длиной линий, а плотностью их расположения.

ortnt_04x_01

С точки зрения математики основная трудность, которая присутствует и в лоренцевом случае, заключается в том, что плотность заряда в точке, соответствующей самой частице, обращается в бесконечность. Обойти это можно, воспользовавшись объемным интегралом от плотности заряда; интегрирование по области, включающей в себя заряженную частицу, даст конечное значение q. Но наши уравнения записаны в дифференциальной форме, поэтому, в первую очередь, их нужно привести к более подходящему виду. Для этого мы воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского, теоремой из области чистой математики, в соответствии с которой для любого векторного поля E и произвольной области пространства интеграл от скалярного произведения E на обращенную наружу нормаль к поверхности этой области равен объемному интегралу от дивергенции E:

(7) $\begin{equation*} \iint \limits_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint \limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} dV \end{equation*}$

В качестве векторного поля E мы возьмем электростатическое поле, а в качестве области интегрирования выберем сферу радиуса r вокруг нашего точечного заряда. Мы ожидаем, что электростатический потенциал φ будет зависеть только от r, а электрическое поле – исходя из радиальной симметрии задачи – будет направлено вдоль радиуса к заряду или, наоборот, от него. Учитывая статический характер задачи, мы можем выразить E в терминах одного лишь электростатического потенциала, а именно:

(8) $\begin{equation*} \mathbf{E}(r) = -\nabla \varphi(r) = -\varphi'(r) \mathbf{e}_r \end{equation*}$

где e_r – единичный вектор, направленный в сторону от заряда. Риманова версия теоремы Гаусса позволяет представить ∇ · E в виде функции плотности зарядов ρ и электростатического потенциала φ. Мы применим это соотношение совместно с (8) к интегралам (7), взятым по сферической области, окружающей заряженную частицу. Кроме того, мы воспользуемся тем, что любой объемный интеграл от ρ, взятый по области пространства, содержащей заряд, равен q. Разделив обе части на 4 π, имеем:

(9) $\begin{equation*} -r^2 \varphi'(r) = \omega_m^2 \int \limits_0^r \varphi(s) s^2 ds - \cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

Теперь мы воспользуемся догадкой, основанной на нашем знании традиционной электростатики, предположив, что сможем упростить ситуацию, представив φ в виде некоторой функции f(r), деленной на r:

(10) $\begin{equation*} \varphi(r) = \cfrac{f(r)}{r} \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} \varphi'(r) = \cfrac{f'(r)}{r} - \cfrac{f(r)}{r^2} \end{equation*}$

Переписав уравнение (9) через функцию f, получаем (12); затем мы подставим в (12) r = 0, что даст нам (12a):

(12) $\begin{equation*} f(r) - r f'(r) = \omega_m^2 \displaystyle \int \limits_0^r \varphi(s) s^2 ds - \cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

(12a) $\begin{equation*} f(0) = -\cfrac{q}{4 \pi} \end{equation*}$

Дифференцируя (12) по r, получаем (13), откуда после несложных преобразований следует (14):

(13) $\begin{equation*} -rf''(r) = \omega_m^2 f(r) \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} f''(r) + \omega_m^2 f(r) = 0 \end{equation*}$

Дифференциальное уравнение (14) хорошо известно; его общее решение имеет вид:

(15) $\begin{equation*} f(r) = C_1 \cos (\omega_m r) + C_2 \sin (\omega_m r) \end{equation*}$

Из уравнения (12a) следует, что C₁ = – q / (4 π).

Как быть с C₂? При любом значении C₂ мы получим корректное решение нашей задачи, но поскольку это слагаемое не имеет никакого отношения к нашему точечному заряду q, мы положим C₂ равным нулю. По аналогии с традиционной теорией электромагнетизма наиболее общее решение задачи зачастую содержит некоторую форму излучения, которое просто пронизывает интересующую нас область пространства – в данном случае это радиально симметричное излучение, которое оказывается неподвижным в системе отсчета, связанной с зарядом.

Итак, мы вывели риманов аналог кулоновского потенциала. Ниже мы также приводим формулу соответствующего электрического поля E = –∇φ.

Кулоновский потенциал

$\varphi(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r} \cos (\omega_m r)$	(по Риману)
$\varphi(r) = \cfrac{q}{4 \pi r}$	(по Лоренцу)

Кулоновское поле

$\mathbf{E}(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r^2} (\cos (\omega_m r) + \omega_m r \sin (\omega_m r)) \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \cfrac{q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Функция Грина в римановом электромагнетизме

Зная кулоновский потенциал отдельного неподвижного точечного заряда, мы в принципе можем рассчитать электрическое поле, соответствующее произвольному статическому распределению зарядов, просто взяв соответствующий интеграл по источнику поля. Тем не менее, нам пригодится и более фундаментальное решение уравнений римановой электродинамики: а именно, решение, связанное с мгновенной “вспышкой” заряда, который появляется в определенном событии 4-пространства, а затем сразу же исчезает. Такое поведение, очевидно, нарушает закон сохранения заряда, однако интегрируя решение по мировым линиями произвольного количества зарядов, обладающих полной историей, можно найти решение, при котором суммарный заряд будет сохраняться.

Подобное фундаментальное решение называется функцией Грина.

Для начала мы рассмотрим четырехмерные вращательно симметричные решения уравнения скалярной римановой волны без источника. Это четырехмерное уравнение Гельмгольца, которое с учетом 4-вращательной симметрии принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения для функции G, зависящей от единственной переменной s, расстояния от начала координат в 4-пространстве:

(16) $\begin{equation*} G''(s) + \cfrac{3}{s}G'(s) + \omega_m^2 G(s) = 0 \end{equation*}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

(17) $\begin{equation*} G(s) = \cfrac{C_1}{s}J_1(\omega_m s) + \cfrac{C_2}{s}Y_1(\omega_m s) \end{equation*}$

где J₁ и Y₁ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Несмотря на то, что это решение соответствует уравнению без источника в случае s>0, функция Бесселя Y₁ стремится к минус бесконечности, когда s приближается к нулю, что указывает на наличие особенности, которую мы ожидаем увидеть в функции Грина, описывающей точечный заряд.

В случае точечного неподвижного заряда мы можем явным образом проинтегрировать G вдоль всей его мировой линии, перейдя от переменной t, временной координаты вдоль мировой линии, к s = √(r² + t²), четырехмерному расстояния между событием, находящимся на этой мировой линии, и событием, удаленным от нашего точечного заряда на пространственное расстояние r. Воспользовавшись соотношениями t = √(s² – r²) и dt = (s/t) ds, имеем:

(18) $\begin{equation*} \begin{split} & \displaystyle \int \limits_{-\infty}^{\infty} G(\sqrt{r^2 + t^2}) dt = \\ & = \displaystyle 2 \int \limits_r^{\infty} G(s) \cfrac{s}{\sqrt{s^2 - r^2}} ds = \\ & = \displaystyle 2 \int \limits_r^{\infty} \cfrac{C_1 J_1(\omega_m s) + C_2 Y_1(\omega_m s)}{\sqrt{s^2 - r^2}} ds = \\ & = \displaystyle \cfrac{2(C_1 \sin(\omega_m r) - C_2 \cos (\omega_m r))}{\omega_m r} \end{split} \end{equation*}$

Отсюда можно, в частности, получить риманову версию кулоновского потенциала точечной частицы с зарядом q, положив C₁ = 0 и C₂ = q ω_m / (8 π).

Мы провели вычисления для скалярного потенциала φ, однако наибольшую пользу этот результат принесет, если его выразить в терминах 4-векторов. С этой точки зрения каждый бесконечно малый сегмент мировой линии частицы вносит свой вклад в 4-потенциал A, параллельный 4-скорости частицы u. Мы добавляем знак “минус”, поскольку φ = –A_t.

Функция Грина
Заряд частицы равен q.
Ее мировая линия y(τ) параметризована собственным временем τ.
Ее 4-скорость u(τ) = ∂_τy(τ).
4-потенциал A рассчитывается для события x.

$d\mathbf{A}(\mathbf{x}) = -\mathbf{u}(\tau)\cfrac{q\omega_m}{8 \pi} \cfrac{Y_1 (\omega_m |\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|)}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|} d\tau$

(по Риману)

Мы не будем приводить здесь лоренцев аналог, поскольку это потребует существенного отступления, необходимого для объяснения всех тонкостей и отличий. Отметим лишь, что так называемые потенциалы Лиенара-Вихерта для данного события зависят только от местоположения и 4-скорости заряда на пересечении его мировой линии со световым конусом прошлого по отношению к событию, для которого мы вычисляем A. Другими словами, в лоренцевой физике, как вы, вероятно, и ожидали, на величину A влияет лишь информация о частице, движущейся из прошлого со скоростью света.

Приведенная нами риманова функция Грина не делает различий между прошлым и будущим. Это не вызовет затруднений в случае задач из области электростатики и магнитостатики, но при этом следует иметь в виду, что если она применяется к ситуациям, в которым происходит генерация электромагнитных волн, порождаемые ею решения будут содержать как входящие, так и исходящие волны.

Электрические диполи

Электрический диполь представляет собой пару, состоящую из положительного и отрицательного точечных зарядов равной силы, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга. Если расстояние между зарядами невелико, они, вообще говоря, будут взаимно компенсировать свои кулоновские потенциалы, образуя при этом характерное остаточное дипольное поле.

Чтобы нам было проще представить форму этого поля, можно рассмотреть предельный случай, при котором расстояние между зарядами постепенно уменьшается с одновременным возрастанием величины их зарядов. Если мы определим дипольный момент p как произведение вектора перемещения, направленного от отрицательного заряда к положительному, на величину (положительного) заряда, то далее можно перейти к пределу в предположении, что p остается постоянной и конечной величиной при том, что расстояние между зарядами стремится к нулю, а их величина – к бесконечности.

Самый простой способ вычисления этого предела – продифференцировать кулоновский потенциал вдоль направления, противоположного выбранному дипольному моменту. Форма получаемого в результате потенциала показана на следующей диаграмме, а соответствующие формулы для потенциала и напряженности электрического поля приведены в таблице ниже. В данном случае r – это трехмерный вектор, проведенный из местоположения диполя к точке, в которой вычисляется значения поля, а r – его модуль.

ortnt_04x_02

Потенциал электрического диполя

$\varphi(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos (\omega_m r) + \omega_m r \sin (\omega_m r))$	(по Риману)
$\varphi(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Напряженность электрического поля диполя

	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \cfrac{(3 \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r} - r^2 \mathbf{p}}{4 \pi r^5}$	(по Лоренцу)

Если вы испытали ощущение дежавю при виде потенциала риманова диполя, то, скорее всего, уже видели похожую диаграмму, когда речь шла о потенциале осциллирующего диполя в традиционной теории электромагнетизма. По сути поле статического риманова диполя в точности совпадает с пространственной составляющей стоячей волны, которую в обычном электромагнетизме можно представить в виде суммы входящего и исходящего излучения, соответствующего осциллирующему диполю.

Заряженные сферические оболочки

Предположим, что суммарный заряд Q равномерно распределен по сферической оболочке радиуса R. В лоренцевой теории электромагнетизма хорошо известно, что потенциал снаружи такой сферы в точности совпадает с потенциалом, который бы создал точечный заряд, находящийся в ее центре, в то время как потенциал внутри сферы является постоянным. Но в римановой Вселенной результат совершено иной! Как при интегрировании вкладов отдельных зарядов по всей поверхности сферы, так и при использовании соответствующей формы теоремы Гаусса, мы получаем:

Равномерно заряженная сфера
Радиус сферы: R, суммарный заряд: Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases} -\cfrac{Q}{4 \pi \omega_m R r} \cos(\omega_m R) \sin (\omega_m r) & r < R \\ -\cfrac{Q}{4 \pi \omega_m R r} \sin(\omega_m R) \cos(\omega_m r) & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{Q}{4 \pi R} & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Напряженность поля:

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} -\cfrac{Q \cos(\omega_m R)}{4 \pi \omega_m R r^2} (\sin(\omega_m r) - \omega_m r \cos(\omega_m r)) \mathbf{e}_r & r < R \\ -\cfrac{Q \sin(\omega_m R)}{4 \pi \omega_m R r^2} (\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r)) \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

В римановом случае внешний потенциал оболочки совпадает с потенциалом точечного заряда с дополнительным множителем sin(ω_m R) / (ω_m R), в то время как внутренний потенциал меняет местами роли r и R.

Несмотря на то, что внутренний потенциал, вообще говоря, не является постоянным, при определенных значениях R либо внутренний, либо внешний потенциалы обращаются в нуль. Внутренний потенциал становится равным нулю, когда ω_m R представляет собой нечетное кратное π/2, или, что то же самое, R является нечетным кратным четверти минимальной длины волны λ_min. Внешний потенциал обнуляется, если ω_m R кратно π, или, что то же самое, R кратен половине λ_min.

Конечно, точная компенсация потенциалов существенно зависит от точной геометрии распределения зарядов. Тем не менее, в общем случае внешний потенциал будет заметно снижен по сравнению с потенциалом точечного заряда.

ortnt_04x_03

Заряженные шары

Интегрируя результаты, полученные для сферических оболочек, мы можем получить потенциал и электрическое поле, соответствующие заряду Q, равномерно распределенному по объему некоторого шара.

В лоренцевом случае потенциал и напряженность поля снаружи заряженного шара – так же, как и в случае сферической оболочки – просто совпадают с аналогичными величинами точечного заряда, сосредоточенного в центре шара. Внутреннее поле обусловлено той частью шара, которая находится ближе к его центру, чем интересующая нас точка, поэтому оно линейно возрастает с увеличением расстояния от центра, в то время как потенциал зависит от этого расстояния квадратично.

Равномерно заряженный шар
Радиус шара: R, суммарный заряд: Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{3Q}{4 \pi \omega_m^2 R^3} \left(1 - (\cos(\omega_m R) + \omega_m R \sin(\omega_m R))\cfrac{\sin(\omega_m r)}{\omega_m r} \right) & r < R \\ \cfrac{-3Q \cos(\omega_m r)}{4 \pi \omega_m^3 R^3 r}(\sin(\omega_m R) - \omega_m R \cos(\omega_m R)) & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\varphi(r) = \begin{cases}\cfrac{Q}{8 \pi R} \left(3 - \left(\cfrac{r}{R}\right)^2 \right) & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Напряженность поля:

	(по Риману)
$\mathbf{E}(r) = \begin{cases}\cfrac{Qr}{4 \pi R^3} \mathbf{e}_r & r < R \\ \cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

В римановом случае внешний потенциал и напряженность поля отличаются от соответствующих величин точечного заряда только множителем, зависящим от размера сферы:

$\cfrac{3(\sin (\omega_m R) - \omega_m R \cos(\omega_m R))}{\omega_m^3 R^3}$

Этот множитель осциллирует относительно R, а его первый нуль приходится на R ≈ 0.715 λ_min.

Внутренний потенциал состоит из двух слагаемых: первое зависит от R, но не осциллирует, второе – осциллирует относительно как R, так и r. Осциллирующую часть можно обратить в нуль, выбрав подходящее R – при этом потенциал будет постоянным внутри сферы; минимальное R, при котором достигается этот эффект, приблизительно равно 0.445 λ_min.

ortnt_04x_04

Конденсаторы

Представим себе две концентрические заряженные сферы, причем их заряды равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Такая система образует заряженный конденсатор. Реальные конденсаторы, применяемые в электронных схема[, как правило, устроены намного сложнее, но благодаря этой простой геометрии, мы сможем произвести расчеты, которые продемонстрируют нам, как действуют конденсаторы в римановой Вселенной.

Сферический конденсатор
Радиус внутренней обкладки: R₁, полный заряд: –Q
Радиус внешней обкладки: R₂, полный заряд: +Q

Потенциал:

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q \sin (\omega_m r) (R_2 \cos(\omega_m R_1) - R_1 \cos(\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q(R_2 \cos(\omega_m r) \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m r) \cos (\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q \cos (\omega_m r) (R_2 \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m R_2))}{4 \pi \omega_m r R_1 R_2} & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q(R_1 - R_2)}{4 \pi R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q(r - R_2)}{4 \pi r R_2} & R_1 < r < R_2 \\0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Напряженность поля:

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (\sin(\omega_m r) - \omega_m r \cos(\omega_m r)) \\ (R_2 \cos(\omega_m R_1) - R_1 \cos(\omega_m R_2)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (R_1 \cos(\omega_m R_2) (\omega_m r \cos(\omega_m r) - \sin(\omega_m r)) + \\ + R_2 \sin(\omega_m R_1) (\omega_m r \sin(\omega_m r) + \cos(\omega_m r))) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q}{4 \pi \omega_m r^2 R_1 R_2} (\omega_m r \sin(\omega_m r) + \cos(\omega_m r)) \\ (R_2 \sin(\omega_m R_1) - R_1 \sin(\omega_m R_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ -\cfrac{Q}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Емкость:

$C = \cfrac{8 \pi \omega_m R_1^2 R_2^2}{4 R_1 R_2 \sin(\omega_m R_1) \cos(\omega_m R_2) - R_1^2 \sin(2 \omega_m R_2) - R_2^2 \sin(2 \omega_m R_1)}$	(по Риману)
$C = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$	(по Лоренцу)

В лоренцевом конденсаторе потенциал всегда будет возрастать от отрицательного значения на внутренней обкладке до нуля на внешней, в то время как напряжение между обкладками определяется положительной величиной:

$V = \varphi (R_2) - \varphi (R_1) = \cfrac{Q(R_2 - R_1)}{4 \pi R_1 R_2}$

Коэффициент пропорциональности между суммарным положительным зарядом и разницей потенциалов называется емкостью конденсатора, C.

$C = \cfrac{Q}{V} = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

В римановом случае разность потенциалов между обкладками также будет пропорциональна полному заряду, а емкость можно определить аналогичным образом, однако соответствующая формула (приведенная в таблице выше) выглядит заметно сложнее и зависит от масштаба расстояний, определяемого минимальной длиной световой волны. В принципе емкость риманова конденсатора может быть как положительной, так и отрицательной, и даже бесконечной. Бесконечная емкость означает, что конденсатор может накапливать сколь угодно большой заряд, не создавая разницы потенциалов между самим обкладками – при том, что электрическое поле с увеличением заряда также будет расти. При отрицательной емкости потенциал положительной обкладки будет ниже, чем у отрицательной, поэтому при их соединении положительная обкладка будет притягивать дополнительный положительный заряд. Обычный конденсатор в случае короткого замыкания разряжается; конденсатор с отрицательной емкостью в случае короткого замыкания, наоборот, увеличивает свой заряд.

ortnt_04x_05

Этот процесс, очевидно, может выйти из-под контроля, и пока что в нашем (крайне упрощенном) анализе нет никаких указаний на его продолжительность. Тем не менее, более детальная модель контура с отрицательной емкостью, в которой учитываются свойства всех применяемых материалов, показывает, что рано или поздно процесс накопления заряда останавливается из-за разного рода осложнений. Аналогичным образом тот факт, что кулоновский потенциал в римановой электростатике сам по себе допускает притягивание одноименных зарядов, на первый взгляд, грозит тем, что в римановой Вселенной все отрицательные заряды могут просто сгруппироваться в одном месте – однако подобный сценарий не учитывает квантовые эффекты, ограничивающие накопление одноименно заряженных частиц.

Важно также отметить, что рассмотренная нами ситуация представляет собой идеальную модель, в которой оболочки являются абсолютно гладкими, а их заряд равномерно распределен по поверхности – с погрешностью, намного меньшей минимальной длины волны. При наличии неровностей большего размера получится устройство, сочетающее положительную и отрицательную емкость, что в свою очередь приведет к компенсационным эффектам, ослабляющим любые электростатические явления в римановой Вселенной.

Кроме того, весь приведенный нами анализ исходит из предположения о том, что любые изменения заряда и напряжения происходят крайне медленно. Конденсаторы в условиях переменного тока будут рассмотрены далее.

Примеры из магнитостатики

Линейный проводник с током

Представим себе длинный, тонкий, прямой провод, по которому течет ток силой I. Риманова версия теоремы о циркуляции позволяет выразить ротор магнитной индукции, ∇ × B, как функцию плотности тока и трехмерного электромагнитного потенциала A₍₃₎. Но поскольку мы хотим представить ток, сконцентрированный в бесконечно тонком проводе, в целях удобства имеет смысл привести эту теорему к интегральной форме, воспользовавшись формулой Кельвина-Стокса, которая соотносит поверхностный интеграл от ротора векторного поля с криволинейным интегралом, взятым вдоль границы соответствующей поверхности:

(19) $\begin{equation*} \int_S (\nabla \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{n} = \int_{\partial S} \mathbf{B} \cdot \mathbf{t} \end{equation*}$

Здесь n – единичная нормаль к поверхности S, а t – единичный касательный вектор ее границы ∂S, направленный против часовой стрелки при обходе поверхности, если мы смотрим на нее “сверху”, причем выбор направления “вверх” определяется вектором n.

Если в качестве поверхности мы выберем диск радиуса r, так что проводник будет проходить через его центр перпендикулярно плоскости диска, то из соображений симметрии ожидаем, что векторный электромагнитный потенциал A₍₃₎ будет направлен параллельно проводнику и будет зависеть только от расстояния r до проводника. Если мы расположим ось z вдоль проводника, то:

(20) $\begin{equation*} \mathbf{A}_{(3)}(r) = A(r)\mathbf{e}_z \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} \begin{split} \mathbf{B}(r) &= \nabla \times \mathbf{A}_ {(3)}(r) = \\ & = \partial_y A(r) \mathbf{e}_x - \partial_x A(r) \mathbf{e}_y = \\ & = A'(r)(\cfrac{y}{r} \mathbf{e}_x - \cfrac{x}{r} \mathbf{e}_y) = \\ & = -A'(r) \mathbf{e}_{\varphi} \end{split} \end{equation*}$

где e_φ – единичное векторное поле, направленное против часовой стрелки относительно проводника с током. Применив теорему Стокса, уравнение (19) и теорему о циркуляции магнитного поля, имеем:

(22) $\begin{equation*} I + 2 \pi \omega_m^2 \int \limits_0^r A(s) s ds = -2 \pi r A'(r) \end{equation*}$

Разделив обе части на 2π и продифференцировав по r, после несложных преобразований получаем:

(23) $\begin{equation*} A''(r) + \cfrac{A'(r)}{r} + \omega_m^2 A(r) = 0 \end{equation*}$

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(24) $\begin{equation*} A(r) = C_1 J_0(\omega_m r) + C_2 Y_0(\omega_m r) \end{equation*}$

где J₀ и Y₀ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Дифференцируя эти функции, имеем:

(25) $\begin{equation*} A'(r) = -\omega_m (C_1 J_1(\omega_m r) + C_2 Y_1(\omega_m r)) \end{equation*}$

Теперь, принимая во внимание этот результат, вычислим предел правой части уравнения (22) при r→0:

(26) $\begin{equation*} \lim \limits_{r \rightarrow 0} (-2 \pi r A'(r)) = -4C_2 \end{equation*}$

в то время как тот же самый предел, взятый по левой части уравнения (22) равен просто силе тока I. Таким образом, C₂ = –I/4. Постоянная C₁ остается неопределенной, но ее, как и в случае с выводом уравнения кулоновского потенциала, мы будем считать неподвижным полем излучения, которое приходит из прошлого и не имеет отношения к самому току I.

Векторный электромагнитный потенциал линейного тока:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I}{4}Y_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I}{2 \pi} \ln r \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Магнитная индукция линейного тока:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = -\cfrac{I \omega_m}{4} Y_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi}$	(по Риману)
$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{2 \pi r} \mathbf{e}_{\varphi}$	(по Лоренцу)

В силу осциллирующего характера функций Бесселя магнитное поле, окружающее ток, меняет свое направление в том же масштабе, что и электрическое поле вокруг точечного заряда.

Поскольку в непосредственной близости от проводника магнитное поле имеет одно и то же направление как в лоренцевом, так и в римановом случаях, и поскольку сила Лоренца в обоих случаях одинакова, то в теории два достаточно близких (и тонких) проводника с параллельными токами будут притягиваться друг к другу. Тем не менее, на объектах, ширина которых превосходит длину волны упомянутых колебаний, магнитное поле – как и электростатическое в силу пространственных колебаний – будет самоподавляться.

В приведенном примере мы снова видим связь между статическими решениями в римановой Вселенной и пространственной составляющей осциллирующих лоренцевых решений. Риманово поле вокруг проводника с током совпадает с пространственной частью стоячей волны, окружающей осциллирующий ток в традиционной теории электромагнетизма. Конечно, в реальном мире осциллирующий ток, как правило, имеет отношение исключительно к исходящей волне, однако в присутствии входящей волны той же интенсивности возникающая в итоге стоячая волна будет обладать именно такой формой.

ORTNT_04x_06

Закон Био-Савара-Лапласа

В традиционной магнитостатике магнитное поле, созданное постоянным током вдоль тонкого проводника, описывается законом Био-Савара-Лапласа:

(27) $\begin{equation*} \mathbf{B} = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl \end{equation*}$

В данном случае переменная интегрирования l представляет собой длину, измеряемую вдоль проводника с током, r – трехмерный вектор смещения между элементом проводника и точкой, в которой рассчитывается поле B, а t – единичный вектор, направленный по касательной к проводнику.

Чтобы получить риманов аналог этого закона, мы воспользуемся выведенной ранее римановой функцией Грина.

Мы будем считать, что каждый элемент проводника длиной dl содержит как движущиеся, так и неподвижные заряды величиной dq = ρ dl, где ρ – линейная плотность зарядов в проводнике. Вклад движущихся зарядов в интеграл от функции Грина составит dq u dτ, где u – 4-скорость каждого движущегося заряда в каждом элементе проводника – однако временная компонента этого вектора, как нам известно, в точности компенсируется противоположным количеством неподвижных зарядов, находящихся в проводнике, который в целом считается электрически нейтральным. Пространственная часть u dτ равна просто v dt, где v – обычная скорость движущихся зарядов, а t – координатное время в системе отсчета, покоящейся относительно проводника. Поскольку ток I, движущийся по проводнику, равен ρ v, или, в векторном виде, I t = ρ v, где t – единичный вектор, направленный по касательной к проводнику, то общий вклад равен:

(28) $\begin{equation*} d q \mathbf{u} d \tau = \rho d l \mathbf{v} d t = I \mathbf{t} d t d l \end{equation*}$

Теперь мы можем проинтегрировать функцию Грина по t, считая I t dl постоянной величиной; соответствующий интеграл будем точно таким же, как и использованный нами для вывода кулоновского потенциала из функции Грина. Неудивительно, что магнитный потенциал, который мы получаем из этого интеграла, по своему виду не отличается от кулоновского, а соответствующее магнитное поле, равное его ротору, имеет ту же самую амплитуду (но не направление), как и электростатическое поле Кулона.

Закон Био-Савара-Лапласа для магнитного потенциала:

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \cos(\omega_m r)}{r} dl$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t}}{r} dl$	(по Лоренцу)

Закон Био-Савара-Лапласа для магнитной индукции:

$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{(\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r)) \mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl$	(по Риману)
$\mathbf{B}(r) = \cfrac{I}{4 \pi} \int \cfrac{\mathbf{t} \times \mathbf{r}}{r^3} dl$	(по Лоренцу)

Проинтегрировав явным образом магнитный потенциал вдоль бесконечного прямого провода, мы с помощью закона Био-Савара-Лапласа получаем результат, который согласуется с ранее выведенной формулой.

Магнитные диполи

Магнитный диполь представляет собой систему, создающую простое высокосимметричное магнитное поле определенного вида. Примером может служить замкнутый проводник с циркулирующим в нем током или заряженная частица, обладающая квантовомеханическим спином, но даже системы с более сложными полями на большом расстоянии зачастую имеют вид магнитных диполей.

В случае замкнутого контура с током магнитным моментом, который мы будем обозначать μ, называется вектор, перпендикулярный плоскости тока и имеющий модуль, равный произведению площади, ограниченной контуром, на силу циркулирующего в нем тока. В соответствии с принятой договоренностью мы считаем, что ток движется в направлении пальцев правой руки, когда большой палец направлен вдоль вектора магнитного момента. Чистое поле диполя можно рассматривать либо в качестве главного члена (который медленнее остальных убывает с расстоянием) в выражении поля, созданного конечным контуром, либо в качестве предельного случая поля в предположении, что площадь контура стремится к нулю, в то время как сила тока стремится к бесконечности, а произведение двух величин остается конечным.

В лоренцевом электромагнетизме оказывается, что магнитное поле, создаваемое магнитным диполем, имеет точно такую же математическую форму, что и электростатическое поле, созданное электрическим диполем. В римановом же случае это невозможно, поскольку магнитное поле B должно всюду удовлетворять условию ∇ · B = 0 – иначе говоря, линии магнитной индукции должны быть замкнуты – что неверно даже в случае риманова электростатического поля, действующего в вакууме; кроме того, силовые линии электрического диполя начинаются и заканчиваются вдали от самого диполя.

Мы можем воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа, чтобы рассчитать потенциал магнитного диполя в предельном случае малого кольцевого тока. Как и в случае электрического диполя, для перехода к пределу мы используем производную подходящей величины. В данном случае мы интегрируем – вдоль половины контура с током – сумму вкладов, вносимых каждым элементом полукольца, а также диаметрально противоположным элементом, вдоль которого ток течет в обратном направлении. Если кольцо мало, то в пределе эта сумма сводится к производной 1/r или cos(ω_m r)/r, взятой по направлению поперек кольца и вычисленной в его центре, а затем умноженной на диаметр кольца и соответствующий касательный вектор.

Потенциал магнитного диполя:
μ – магнитный дипольный момент

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \cfrac{\pmb{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(\omega_m r) + \omega_m r \sin(\omega_m r))$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \cfrac{\pmb{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Поле магнитного диполя:

	(по Риману)
$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{3(\pmb{\mu} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r} - r^2 \pmb{\mu}}{4 \pi r^5}$	(по Лоренцу)

ORTNT_04x_07

В лоренцевом электромагнетизме – при том, что далеко не все материалы поддаются намагничиванию – условия, благодаря которым большое число магнитных диполей (как правило, это спины электронов) могут накладываться друг на друга, порождая гораздо более сильное поле, не так уж строги. Пока векторы магнитных моментов в некотором наборе диполей остаются параллельными, они будут усиливать влияние друг друга на внешнее магнитное поле. В римановом же случае поле магнитного диполя меняет свое направление в довольно малом масштабе, поэтому в любом наборе диполей между их индивидуальными полями будет иметь место сильный компенсационный эффект – и те же самые пространственные осцилляции проявятся и в суммарном поле. В римановой Вселенной невозможно существование аналогов наших постоянных магнитов, поля которых способны поддерживать силу, действующую в строго определенном направлении и на больших расстояниях.

Соленоиды и индуктивность

Соленоидом называется проводник, свернутый в форме винтовой линии. Мы рассчитаем приближенное значение поля внутри и снаружи обмотки при условии, что ток в обмотке является постоянным, а длина соленоида достаточно велика, чтобы пренебречь точной величиной краевых эффектов на его концах. По сути мы займемся анализом бесконечно длинного соленоида, который не так сложен в описании, как конечный, поскольку мы можем аппроксимировать его, приписав одновременно симметрию переноса и вращательную симметрию относительно одной и той же оси.

Если считать, что магнитное поле направлено вдоль оси z, то наиболее общее решение, описывающее магнитный потенциал и индукцию магнитного поля в условиях подобной цилиндрической симметрии, имеет вид:

(29a) $\begin{equation*} \mathbf{A}_{(3)}(r) = (a J_1(\omega_m r) + b Y_1(\omega_m r)) \mathbf{e}_{\varphi} \end{equation*}$

(29b) $\begin{equation*} \mathbf{B}(r) = (a \omega_m J_0(\omega_m r) + b \omega_m Y_0(\omega_m r)) \mathbf{e}_z \end{equation*}$

Мы, однако же, должны учесть, что решения внутри и снаружи соленоида могут отличаться, поэтому в общей сложности нужно найти четыре коэффициента: a_внутр., b_внутр., a_внешн. и b_внешн.. Поскольку решение должно оставаться конечным при r = 0, то b_внутр. = 0; кроме того, мы требуем, чтобы потенциал A₍₃₎ был непрерывным при r = R, где R – радиус обмотки. Третье соотношение мы получаем, применив теорему о циркуляции к тонкому вертикальному прямоугольнику, ограничивающему ток в n витках обмотки, укладывающихся в единице высоты соленоида; в итоге мы получаем, что сила данного тока совпадает с разностью между магнитной индукцией B непосредственно внутри и снаружи обмотки.

Чтобы получить четвертое соотношение, позволяющее однозначно определить решение исходного уравнения, нам потребуется проделать чуть большую работу. Используя закон Био-Савара-Лапласа, нетрудно проинтегрировать элементарные вклады в величину A₍₃₎ вдоль вертикального отрезка обмотки, однако интеграл вокруг обмотки не имеет аналитического выражения. Тем не менее, мы можем разложить элементарный вклад в A₍₃₎ на малом расстоянии от центра обмотки в ряд Тейлора по r, а затем проинтегрировать соответствующий член первого порядка вокруг всей обмотки. Сопоставив этот ряд Тейлора с эквивалентным рядом, полученным из нашего общего решения, мы можем определить величину a_внутр., после чего решить оставшиеся уравнения и найти значения всех коэффициентов. Оказывается, что a_внешн. = 0, поэтому оба решения – и внешнее, и внутреннее – упрощаются до единственного слагаемого.

В традиционной теории электромагнетизма магнитное поле снаружи бесконечного соленоида равно нулю, однако в римановой Вселенной это, вообще говоря, не так.

Длинный соленоид:
R – радиус соленоида, I – сила тока, n – количество витков, приходящихся на единицу длины.
Ось соленоида совпадает с осью z.

Длинный соленоид, магнитный потенциал

$\displaystyle \mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} -\cfrac{1}{2} n I \pi R Y_1(\omega_m R) J_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ -\cfrac{1}{2} n I \pi R J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m r) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\displaystyle \mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \cfrac{n I r}{2} \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ \cfrac{n I R^2}{2r} \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, магнитная индукция

$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \begin{cases} -\cfrac{1}{2} n I \pi \omega_m R Y_1(\omega_m R) J_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z & r < R \\ -\cfrac{1}{2} n I \pi \omega_m R J_1(\omega_m R) Y_0(\omega_m r) \mathbf{e}_z & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \begin{cases} n I \mathbf{e}_z & r < R \\ 0 & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, полный магнитный поток внутри обмотки

$\displaystyle \Phi = -n I \pi^2 R^2 J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle \Phi = n I \pi R^2$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, индуктивность
l – длина соленоида

$\displaystyle L = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle L = n^2 \pi R^2 l$	(по Лоренцу)

В таблице выше мы также привели значение полного магнитного потока, проходящего через соленоид; он равен интегралу по площади от магнитной индукции B, причем в качестве области интегрирования используется поперечное сечение, перпендикулярному оси соленоида.

ORTNT_04x_08

Если ток в обмотке соленоида начинает меняться, то вместе с ним меняется и магнитное поле, которое, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, порождает электрическое поле, ротор которого пропорционален скорости изменения магнитного поля во времени. Следовательно, в силу теоремы Стокса, интеграл электрического поля вдоль произвольного замкнутого контура, окружающего переменное магнитное поле, будет пропорционален интегралу от скорости изменения магнитного поля, взятому по площади, охваченной этим контуром. Но поскольку такой интеграл – это просто временная скорость изменения полного потока магнитной индукции, проходящего через данный контур, то любой контур, охватывающий поток переменной величины, будет окружен электродвижущей силой, пропорциональной скорости изменения потока. Более того, соответствующий коэффициент пропорциональности будет равен просто минус единице.

ЭДС = $-\cfrac{d\varPhi}{dt}$

Если применить эти рассуждения к виткам, составляющим наш соленоид, то получится, что при изменении тока в обмотке возникнет напряжение, пропорциональное скорости изменения силы тока. Коэффициент пропорциональности, взятый с обратным знаком, называется индуктивностью соленоида, L.

ЭДС = $-L\cfrac{dI}{dt}$

В случае соленоида длины l (содержащего, таким образом, в общей сложности nl витков) риманова индуктивность определяется следующим образом:

$L = \cfrac{nl\Phi}{I} = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$ ,

в то время как соответствующая лоренцева индуктивность равна

$L=\cfrac{nl\Phi}{I} = n^2 \pi R^2 l$

Произведение функций Бесселя в формуле римановой индуктивности может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому знак индуктивности также может быть различным. Отрицательная индуктивность, так же, как и отрицательная емкость, может приводить к неконтролируемым последствиям: увеличение силы тока в катушке отрицательной индуктивности создает напряжение, которое еще больше увеличивает силу тока – до тех пор, пока рост тока не остановится из-за разрушения материала или иных эффектов.

Впрочем, описанная здесь модель – так же, как и в случае с отрицательной емкостью, – крайне идеализирована. Разница в геометрии витков между положительной и отрицательной индуктивностью примерно равна минимальной длине световой волны, поэтому если толщина проводника, из которого сделана обмотка, или отклонение ее формы от идеальной окружности, превышает эту величину, то соленоид по сути будет представлять собой комбинацию катушек положительной и отрицательной индуктивности – что, как обычно, приведет к их существенному взаимному ослаблению.

Более того, все наши формулы в данном случае верны в предположении, что ток в обмотке можно приближенно считать постоянным. Соленоиды с переменным током мы рассмотрим далее.

Передача электромагнитной энергии

Эффекты бесконтрольного роста, подобные тем, которые мы наблюдаем в системах с отрицательной емкостью, в нашей Вселенной, очевидно, привели бы к нарушению закона сохранения энергии, однако в римановой Вселенной, где энергия, ассоциированная с материей (включая электромагнитное поле) по своему смыслу противоположна как кинетической, так и потенциальной, понять точную картину происходящего будет сложнее. Мы должны быть в состоянии количественно описать энергию, содержащуюся в электромагнитном поле и переносимую при его участии. Но для этого нам вначале придется ненадолго отвлечься на применение лагранжева метода к описанию риманового электромагнетизма.

Функция Лагранжа в римановом электромагнетизме

В теории поля, подобной электромагнетизму, лагранжиан представляет собой функцию L, которая зависит от поля и его производных, а ее интеграл, взятый по некоторой области 4-пространства, сохраняется в процессе варьирования поля, при условии, что последнее удовлетворяет ряду уравнений. Если мы проинтегрируем L, получив в результате так называемое действие S:

$S(A_k) = \int L(A_k)$ ,

то при условии, что A удовлетворяет уравнениям поля, S, с точностью до первого порядка малости, должно оставаться неизменным при малых вариациях A, подобно обыкновенной функции от обыкновенной переменной в точке локального максимума или минимума.

Если лагранжиан выражен в виде функции компонент поля A_k и их производных ∂_j A_k, то – при условии, что поле обращается в нуль на границе области интегрирования, или же граничные условия носят циклический характер – требование неизменности действия эквивалентно уравнениям Эйлера-Лагранжа:

$\partial_j \left(\partial_{\partial_j A_k} L\right) = \partial_{A_k} L$

Риманов лагранжиан Прока, L_RP, мы определим в виде суммы двух составляющих: полевого лагранжиана L_field и слагаемого L_inter, отвечающего за взаимодействие. В следующей таблице приведены также их аналоги в лоренцевой физике.^[1]

Риманов лагранжиан Прока

$L_{\text{field}} = \cfrac{1}{4} F_{ij} F^{ij} - \cfrac{1}{2} \omega_m^2 A_a A^a = \cfrac{1}{2}(\|\mathbf{B}\|^2 + \|\mathbf{E}\|^2) - \cfrac{1}{2}\omega_m^2(\|\mathbf{A}_{(3)}\|^2 + \varphi^2)$ $L_{\text{inter}} = -A_k j^k = -\mathbf{A}_{(3)} \cdot \mathbf{j}_{(3)} + \varphi \rho$ $L_{\text{RP}} = L_{\text{field}} + L_{\text{inter}}$	(по Риману)
$L_{\text{field}} = -\cfrac{1}{4} F_{ij} F^{ij} = -\cfrac{1}{2}(\|\mathbf{B}\|^2 - \|\mathbf{E}\|^2)$ $L_{\text{inter}} = A_k j^k = \mathbf{A}_{(3)} \cdot \mathbf{j}_{(3)} - \varphi \rho$ $L_{\text{RP}} = L_{\text{field}} + L_{\text{inter}}$	(по Лоренцу)

В случае полных лагранжианов уравнения Эйлера-Лагранжа превращаются в римановы уравнения Прока или уравнения Максвелла соответственно.

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Тензор энергии-импульса риманова электромагнитного поля, который мы будем обозначать T, можно найти с помощью следующей формулы^[2]:

Тензор энергии-импульса, выраженный через полевой лагранжиан

$T_{ab} = -L_{\mathrm{field}} g_{ab} + 2 \partial_{g^{ab}} L_{\mathrm{field}}$	(по Риману)
$T_{ab} = L_{\mathrm{field}} g_{ab} - 2 \partial_{g^{ab}} L_{\mathrm{field}}$	(по Лоренцу)

g_ab и g^ab представляют собой компоненты метрического тензора в 4-пространстве, содержащего либо два нижних, либо два верхних индекса. Матрицы, описывающие эти компоненты, в ортонормированных координатах представляют собой просто единичные матрицы размера 4×4; иначе говоря, значение компонента равно 1, когда a=b, и 0 в противном случае. Но если мы будем рассматривать компоненты вектора, дуального нашему 4-потенциалу A_k, в качестве фундаментальных переменных лагранжевой функции, то всякий раз, когда мы поднимаем индекс, чтобы получить выражение наподобие A_a A^a, используется g^ab (с учетом соглашения Эйнштейна о суммировании):

$A_a A^a = A_a (g^{ab} A_b)$

Таким образом, если мы считаем, что функция Лагранжа зависит от компонентов A_k 4-потенциала и компонентов g^ab метрического тензора, то производная, выраженная через метрику и вычисленная путем подстановки фактической метрики, дает нам второй член в выражении тензора энергии-импульса.

Хоть сколько-нибудь детальное объяснение причин, в силу которых это построение приводит к нужному результату, потребовало бы слишком большого отступления, но в конечном счете оно аналогично процедуре вывода самого уравнения Эйнштейна – связывающего некую производную от метрики, тензорную величину с тензором энергии-импульса имеющейся в наличии материи – из соответствующего лагранжиана. Ключевой момент состоит в том, что построенный таким образом полный тензор энергии-импульса (включающий в себя всю материю) имеет нулевую дивергенцию, откуда следует, что энергия и импульса будут сохраняться.

Результат этих вычислений мы выразим как в терминах электромагнитного поля F и 4-потенциала A, так и трехмерных полей B, E, φ и A₍₃₎.

Риманов электромагнитный тензор энергии-импульса

Лоренцев электромагнитный тензор энергии-импульса

Если j не равно нулю, дивергенция T в случае наличия одного только электромагнитного поля также отлична от нуля. Более точно:

$\partial_b T^{ab} + F^a{}_c j^c = 0$

Второе слагаемое соответствует плотность 4-силы, действующей на ток, который, в свою очередь, будет представлять собой дивергенцию собственного тензора энергии-импульса заряженной материи. Таким образом, сумма тензоров энергии-импульса, соответствующих материи и действующему на нее электромагнитному полю, будет равна нулю.

Плотность энергии и вектор Пойнтинга

Тензоры энергии-импульса могут показаться немного устрашающими, но давайте пока что не будем обращать внимания на элементы, лежащие за пределами первой строки и первого столбца, которые характеризуют напряжения, вызванные давлением и сдвигом. К интересующим нас элементам относится T_tt, равный плотности энергии электромагнитного поля u и вектор S = (T ^tx, T ^ty, T ^tz), который называется вектором Пойнтинга и характеризует скорость переноса энергии через единицу площади. (Заметим, что для получения векторам Пойнтинга мы подняли индекс t вверх, что в лоренцевом случае приводит к изменению знака.)

Плотность электромагнитной энергии

$u = \cfrac{\|\mathbf{E}\|^2 - \|\mathbf{B}\|^2 + \omega_m^2(\|\mathbf{A}_{(3)}\|^2 - \varphi^2)}{2}$	(по Риману)
$u = \cfrac{\|\mathbf{E}\|^2 + \|\mathbf{B}\|^2 }{2}$	(по Лоренцу)

Вектор Пойнтинга

$\mathbf{S} = \mathbf{B} \otimes \mathbf{E} + \omega_m^2 \varphi \mathbf{A}_{(3)}$	(по Риману)
$\mathbf{S} = \mathbf{E} \otimes \mathbf{B}$	(по Лоренцу)

Давайте рассмотрим плотность и поток энергии на нескольких примерах.

Энергия плоских волн

В 4-пространстве плоская волна описывается следующим образом:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$
$F(\mathbf{x}) = (\mathbf{k} \wedge \mathbf{A}_0) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

где |k| = ω_m и A₀ · k = 0. Отсюда можно вычислить тензор энергии-импульса:

$T_{ab} & = - L_{\mathrm{field}}g_{ab} + F_{ac}F_b{}^c - \omega_m^2 A_a A_b$
$T = A_0^2 \mathbf{k} \otimes \mathbf{k} \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})^2 + \omega_m^2 (\mathbf{A}_0 \otimes \mathbf{A}_0 - \cfrac{1}{2} A_0^2 I_4) \cos(2 \mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Если усреднить T по одному колебанию волны, то cos(2 k · x) обращается в нуль, в то время как cos(k · x)² дает 1/2, поэтому в итоге имеем:

$<T> = \cfrac{1}{2} A_0^2 \mathbf{k} \otimes \mathbf{k}$

Именно такой тензор энергии-импульса мы бы ожидали получить в случае равномерного облака материи с 4-скоростью u = k/ω_m и плотностью массы-энергии (покоя), равной ½ A₀² ω_m². Если так определить u и, кроме того, ввести единичный вектор a₀ = A₀/A₀, то тензор энергии-импульса можно записать в виде:

$T = A_0^2 \omega_m^2 (\mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})^2 + (\mathbf{a}_0 \otimes \mathbf{a}_0 - \cfrac{1}{2}I_4) \cos(2 \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}))$

Предположим, что временная угловая частота света равна ω = k_t = ω_m u_t. Тогда плотность энергии u (не путать с 4-скоростью u или одной из ее компонент) имеет вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Очевидно, при некоторых значениях ω и a_{0, t} плотность энергии иногда будет отрицательной: например, если a_{0, t} = 0 и ω < ω_m / √2. Но несмотря на это, среднее значение энергии за время одного колебания будет положительной величиной:

$ = \cfrac{1}{2} A_0^2 \omega^2$

Из выражения для <T> видно, что аналогичное среднее значение вектора Пойнтинга S будет параллельно пространственной проекции волнового вектора k, который, в свою очередь, параллелен обычной скорости v, соответствующей 4-скорости u = k/ω_m. А именно:

$<\mathbf{S}> = \cfrac{1}{2}A_0^2 \omega^2 \mathbf{v}$

Энергия конденсатора

Наши формулы для плотности энергии в электрическом поле можно применить к рассмотренному ранее сферическому конденсатору. В лоренцевом случае электрическое поле вне конденсатора равно нулю, а плотность энергии зависит только от самого поля, поэтому конечный ответ можно получить непосредственным интегрированием.

В римановом случае ситуация оказывается чуть более запутанной. Потенциал и электрическое поле выходят за пределы конденсатора, а рассчитанная по ним плотность энергии отлична от нуля во всем пространстве вплоть до бесконечности. Энергия, содержащаяся внутри сферы заданного радиуса S >> R₂ осциллирует в пределах S, а расстояние между ее пиками не уменьшается с расстоянием, поэтому интеграл на бесконечности не имеет определенного значения. Тем не менее, адекватный конечный ответ можно получить, если принять осциллирующую часть равной нулю, а остаток заменить асимптотическим значением.

Сферический конденсатор, емкость:

$C = \cfrac{8 \pi \omega_m R_1^2 R_2^2}{4 R_1 R_2 \sin(\omega_m R_1) \cos(\omega_m R_2) - R_1^2 \sin(2 \omega_m R_2) - R_2^2 \sin(2 \omega_m R_1)}$	(по Риману)
$C = \cfrac{4 \pi R_1 R_2}{R_2 - R_1}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор, плотность энергии электрического поля:

$u(r) = \cfrac{\|\mathbf{E}(r)\|^2 - \omega_m^2 \varphi(r)^2}{2}$ См. расчет поля конденсатора	(по Риману)
$u(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ \cfrac{Q^2}{32 \pi^2 r^4} & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор, полная энергия электрического поля:

Усредненная по S >> R₂:

Rendered by QuickLaTeX.com

(по Риману)

(по Лоренцу)

Полученные нами ответы – как в римановом, так и в лоренцевом случае – согласуются с потенциальной энергией конденсатора, которую мы ожидаем получить, интегрируя потенциал, необходимый для его зарядки от нуля до полного заряда Q:

Потенциальная энергия = $\int \limits_0^Q V(q) dq = \int \limits_0^Q \cfrac{q}{C} dq = \cfrac{Q^2}{2C}$

В лоренцевом случае эта величина в точности совпадает с количеством энергии, запасенной электрическим полем. В римановом случае она имеет противоположный знак! Объясняется это, конечно же, тем, что в римановой Вселенной потенциальная энергия по своему смыслу противоположна энергии электромагнитного поля.

Энергия катушки индуктивности

Расчет энергии, запасенной соленоидом, производится по той же схеме, что и в случае конденсатора. В лоренцевом случае имеет место постоянное магнитное поле, заключенное в конечном объеме, благодаря чему можно вычислить полную энергию поля довольно просто.

В римановом случае мы не можем пренебречь полем, находящимся снаружи соленоида, а интеграл по бесконечной области пространства оказывается расходящимся; тем не менее, если в качестве области интегрирования мы возьмем шар радиуса S, то заключенная внутри него полная энергия будет осциллировать между максимумами и минимумами, которые в пределе, при переходе к большим S, стремятся к некоторым фиксированным значениям. В приведенной ниже таблице мы используем асимптотическое представление для произведения функций Бесселя от S, выраженное через функцию косинуса. Среднее за период колебаний значение этого косинусоидального члена (которое можно легко найти, просто приравняв его к нулю) в этом случае дает нам результат, согласующийся с величиной энергией, вызванной наличием индуктивности.

Длинный соленоид:
R – радиус соленоида, I – сила тока, n – количество витков, приходящихся на единицу длины.

Длинный соленоид, индуктивность:

$\displaystyle L = -n^2 \pi^2 R^2 l J_1(\omega_m R) Y_1(\omega_m R)$	(по Риману)
$\displaystyle L = n^2 \pi R^2 l$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, плотность энергии магнитного поля:

$u(r) = \begin{cases} \cfrac{n^2 I^2 \pi^2 R^2 \omega_m^2 Y_1(\omega_m R)^2 (J_1(\omega_m r)^2 - J_0(\omega_m r)^2)}{8} & r < R \\ \cfrac{n^2 I^2 \pi^2 R^2 \omega_m^2 J_1(\omega_m R)^2 (Y_1(\omega_m r)^2 - Y_0(\omega_m r)^2)}{8} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$u(r) = \begin{cases} \cfrac{n^2 I^2}{2} & r < R \\ 0 & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид, полная энергия магнитного поля:

Усредненная по S >> R:

Rendered by QuickLaTeX.com

(по Риману)

(по Лоренцу)

В случае катушки индуктивности потенциальную энергию можно найти, рассчитав работу, необходимую, чтобы довести силу тока от нуля до некоторого постоянного значения I. Переходя от тока i к i+di за время dt, мы перемещаем заряд i dt, совершая работу против напряжения V = L di/dt. Следовательно:

Потенциальная энергия = $\int \limit_o^I V(t) i dt = \int \limits_0^I L \cfrac{di}{dt} i dt = \cfrac{L I^2}{2}$

Как и ожидалось, рассчитанная таким образом потенциальная энергия в лоренцевом случае совпадает с полной энергией магнитного поля, а в римановом – ей противоположна.

Переход от магнитостатических решений к осциллирующим

Предположим, что у нас есть магнитостатическое решение риманова уравнения Прока с 4-потенциалом A_MS и 4-током источника j_MS. Говоря о “магнитостатическом” решении, мы имеем в виду, что как A_MS, так и j_MS не меняются во времени, а поле является чисто магнитным: A_MS^t = 0. Мы уже рассмотрели три вида таких решений: линейный ток, магнитный диполь и соленоид с постоянным током.

Теперь предположим, что мы, взяв это решение, подставляем вместо ω_m, максимальной угловой частоты риманова света, меньшее значение k, получая в результат A_{MS, k} и j_{MS, k}, удовлетворяющие уравнению:

$\partial_x^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \partial_y^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \partial_z^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + k^2 \mathbf{A}_{\text{MS}, k} + \mathbf{j}_{\text{MS}, k} = 0$

Далее, возьмем осциллирующее решение:

$\mathbf{A} = \mathbf{A}_{\text{MS}, k} \cos(\omega t)$
$\mathbf{j} = \mathbf{j}_{\text{MS}, k} \cos(\omega t)$

с угловой частотой ω, такой, что:

$k^2 + \omega^2 = \omega_m^2$

Новые величины A и j будут решениями ВРВИ-уравнения:

Rendered by QuickLaTeX.com

Как быть с поперечным условием? Поскольку ему удовлетворяет магнитостатическое решение, а его временная компонента равна нулю, то:

$\partial_x A_{\text{MS}, k}^x + \partial_y A_{\text{MS}, k}^y + \partial_z A_{\text{MS}, k}^z = 0$

Это равенство, как и условие A^t=0, будет выполняться и после умножения A_MS,k на cos(ωt). Таким образом, наше новое осциллирующее решение является настоящим решением риманова уравнения Прока.

В приведенных выше построениях мы могли бы с тем же успехом использовать sin(ωt) вместо cos(ωt). Кроме того, нет никакой разницы в том, используем ли мы направление t или любое другое направление в 4-пространстве, вдоль которого решение остается постоянным, а соответствующая компонента 4-потенциала равна нулю.

При помощи очень похожей процедуры мы могли бы получить из исходного риманова магнитостатического решения аналогичные осциллирующие решения в лоренцевой Вселенной. В лоренцевой теории электромагнетизма 4-потенциал не входит в уравнения Максвелла, и его физический смысл проявляется только в электромагнитном поле F. Однако различные 4-потенциалы A могут порождать абсолютно идентичные поля F, а значит, у нас есть возможность определенным образом поменять A, не оказав какого-либо влияния на его физические свойства; это так называемая свобода калибровки. Один из удобных подходов к свободе калибровки заключается в выборе дополнительного условия, которому должен удовлетворять A, причем в плане упрощения вычислений для разных контекстов подходят разные варианты калибровки. Один из таких вариантов, известный как калибровка Лоренца — заметим, что в данном случае речь идет о совершенно другом Лоренце! — требует:

$\partial_x A^x + \partial_y A^y + \partial_z A^z + \partial_t A^t = 0$

Это лоренцева версия поперечного условия, которое мы наложили на все римановы векторные волны. Таким образом, связь между двумя вариантами электромагнитной теории существенно проясняется, если мы будем описывать лоренцев электромагнетизм с учетом калибровки Лоренца, при которой уравнения Максвелла эквивалентны следующим уравнениям для 4-потенциала:

Уравнения Максвелла для 4-потенциала с калибровкой Лоренца:

$\partial_x^2 \mathbf{A} + \partial_y^2 \mathbf{A} + \partial_z^2 \mathbf{A} - \partial_t^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = 0$	(ВЛВИ)
$\partial_x A^x + \partial_y A^y + \partial_z A^z + \partial_t A^t = 0$	(калибровка)

Если мы возьмем исходное магнитостатическое риманово решение A_MS, соответствующее 4-току j_MS, то получить осциллирующее лоренцево решение можно следующим образом. Сначала мы подставляем произвольную частоту ω вместо ω_m, получая в результате A_{MS, ω} и j_{MS, ω}, а затем умножаем обе величины на cos(ωt):

$\mathbf{A}_L = \mathbf{A}_{\text{MS}, \omega} \cos(\omega t)$
$\mathbf{j}_L = \mathbf{j}_{\text{MS}, \omega} \cos(\omega t)$

Такие функции будут решениями уравнения векторной лоренцевой волны с источником (ВЛВИ):

Rendered by QuickLaTeX.com

Поскольку оба 4-потенциала не содержат временных компонент, калибровка Лоренца для A_L выполняется в силу того факта, что A_{MS, ω} удовлетворяет поперечному условию.

Линейный проводник с переменным током

Если мы применим только что описанный метод к 4-потенциалу постоянного тока в линейном проводнике, то получим решение в виде осциллирующей стоячей волны, окружающей линейный проводник с переменным током.

Линейный проводник с переменным током
Решение в виде стоячей волны
Ток I₀ cos(ωt) движется вдоль оси z
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Линейный проводник с переменным током,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} Y_0(k r) \cos(\omega t) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} Y_0(\omega r) \cos(\omega t) \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
электрическое и магнитное поле

	(по Риману)
	(по Лоренцу)

Решение в виде стоячей волны имеет фиксированную форму в пространстве и просто осциллирует во времени. Именно такую волну мы бы ожидали наблюдать вокруг проводника, расположенного внутри цилиндрической полости. Но что если вместо этого мы хотим получить решение в виде бегущей волны? Стоячую волну можно представить в виде суммы или разности набегающей и исходящей волны, причем верно и обратное: набегающую и исходящую волны можно восстановить, взяв сумму или разность соответствующих стоячих волн. Таким образом, если мы сможем найти второе решение в виде стоячей волны, то должны суметь построить и бегущие волны.

Чтобы получить вторую стоячую волну, удовлетворяющую нашему уравнению, мы вернемся к исходным расчетам для тока в линейном проводнике И воспользуемся решением без источника, которое никоим образом не зависит от силы тока. Это равносильно замене функции Бесселя Y₀ на J₀ в приведенном выше выражении потенциала. Если мы, кроме того, сделаем так, чтобы фаза нового решения была сдвинута относительно исходного на 90 градусов, заменив множитель cos(ωt) на sin(ωt), а затем сложим оба решения, то в результате получим исходящую волну. Поскольку второе слагаемое не содержит источника, изменять ток не нужно; это просто волна, которая окружает тот же самый проводник с тем же самым током, но при других граничных условиях.

В лоренцевом случае для получения исходящей волны второе решение нужно не прибавлять, а вычесть из первого.

Линейный проводник с переменным током
Решение в виде исходящей волны
Ток I₀ cos(ωt) движется вдоль оси z
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Линейный проводник с переменным током,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} (Y_0(k r) \cos(\omega t) + J_0(k r) \sin(\omega t)) \mathbf{e}_z$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = - \cfrac{I_0}{4} (Y_0(\omega r) \cos(\omega t) - J_0(\omega r) \sin(\omega t)) \mathbf{e}_z$	(по Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
магнитное и электрическое поле

	(по Риману)
	о Лоренцу)

Линейный проводник с переменным током,
вектор Пойнтинга

	(по Риману)
	(по Лоренцу)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{I_0^2 \omega}{16 \pi r} \mathbf{e}_r$	(Общая часть)

Линейный проводник с переменным током,
средняя мощность излучения (на единицу длины проводника)

$\left = \cfrac{I_0^2 \omega}{8}$

(Общая часть)

Тот факт, что эти волны являются исходящими, проще всего заметить по выражению для <S(r)>, средней величине вектора Пойнтинга за период колебаний, – очевидно, что он представляет собой положительное число, умноженное на единичный вектор, радиально направленный в сторону от проводника.

Окончательный результат в римановом случае не зависит от угловой пространственной частоты k, что может показаться немного странным, поскольку мы ожидаем, что скорость волн будет равна k / ω, а плотность потока энергии – произведению этой скорости на плотность энергии. Но оказывается, что плотность энергии обратно пропорциональна k, что не так сложно заметить, если взглянуть на выражение для 4-потенциала при больших r: оно обратно пропорционально квадратному корню из k в силу асимптотического разложения функций Бесселя:

$\mathbf{A}(r) \approx \cfrac{I_0 \cos(kr + \omega t + \pi/4)}{2 \sqrt{2 \pi k r}} \mathbf{e}_z$

В этом случае анализ потока энергии плоской волны, который мы провели ранее, дает тот же самый усредненный вектор Пойнтинга, направленный из плоскости волны, который мы вывели из точного решения.

В лоренцевом случае излучаемая мощность указывает на то, что для поддержания постоянной амплитуды тока нужно совершить некоторую работу. В римановом случае работу в привычном понимании должен совершать сам ток, чтобы его сила не увеличивалась! Каким бы странным ни казался этот результат, именно такое поведение мы бы ожидали увидеть, учитывая то, что энергия электромагнитного поля по своему смыслу противоположна кинетической и потенциальной.

Осциллирующие магнитные диполи

Воспользуемся тем же методом для построения поля осциллирующего магнитного диполя, взяв за основу полученный ранее результат для статического диполя. Мы не будем приводить здесь уравнения стоячих волн, а сразу перейдем к исходящей волне.

Осциллирующий магнитный диполь
Решение в виде исходящей волны
Магнитный момент равен μ cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Осциллирующий магнитный диполь,
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \left ( \cfrac{\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} \right) \left( \cos(k r + \omega t) + k r \sin(k r + \omega t) \right)$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \left ( \cfrac{\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3} \right) \left( \cos(\omega (r - t)) + \omega r \sin(\omega (r - t)) \right)$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
магнитное и электрическое поле

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r} (\sin(kr + \omega t) - kr \cos(kr + \omega t))}{4 \pi r^3}$	(по Риману)
$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{r} (\omega r \cos(\omega (r - t)) - \sin(\omega (r - t)))}{4 \pi r^3}$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{k^3 \omega ((\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu}) - (\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{\omega^4 ((\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu}) - (\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Осциллирующий магнитный диполь,
полная мощность, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{k^3 \omega (\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu})}{12 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{\omega^4 (\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{\mu})}{12 \pi}$	(по Лоренцу)

Если мы рассмотрим асимптотическую форму риманова 4-потенциала при больших r, то окажется, что:

$\mathbf{A}(r) \approx \left( \cfrac{k \sin(k r + \omega t)}{4 \pi r} \right) \pmb{\mu} \times \mathbf{e}_r$

Поляризация всегда будет поперечной, поскольку 4-потенциал лежит в плоскости, перпендикулярной оси диполя. Модуль потенциала максимален, когда радиус-вектор образует с диполем прямой угол, а вдоль самой оси обращается в нуль. Угловое распределение излучаемой мощности полностью совпадает с аналогичным распределением в лоренцевом электромагнетизме.

В римановом случае средняя за период колебаний плотность энергии пропорциональна k² ω². Умножая на скорость волны, k / ω, получаем, что мощность пропорциональна k³ ω, что видно и в таблице, и на представленном ниже графике.

Соленоид с переменным током

С помощью того же самого метода мы можем приспособить магнитостатическое описание соленоида с постоянным током на случай переменного тока. Чтобы получить магнитостатическое решение без источника мы заменяем множитель Y₁, находящийся в выражении для поля снаружи соленоида с постоянным током, на J₁, а затем распространяем полученное решение на любые расстояния до оси z. Комбинируя две стоячих волны, получаем решение, описывающее исходящую волну.

Длинный соленоид (переменный ток)
Решение в виде исходящей волны
Радиус соленоида: R, сила тока: I₀ cos(ωt), число витков на единицу длины: n.
Ось соленоида совпадает с осью z.
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Длинный соленоид (переменный ток),
электромагнитный потенциал

$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \begin{cases} -\cfrac{\pi I_0 n R J_1(kr)}{2}(J_1(kR) \sin(\omega t) + Y_1(kR) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ -\cfrac{\pi I_0 n R J_1(kR)}{2}(J_1(kr) \sin(\omega t) + Y_1(kr) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\mathbf{A}_{(3)}(r) = \begin{cases} \cfrac{\pi I_0 n R J_1(\omega r)}{2}(J_1(\omega R) \sin(\omega t) - Y_1(\omega R) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r < R \\ \cfrac{\pi I_0 n R J_1(\omega R)}{2}(J_1(\omega r) \sin(\omega t) - Y_1(\omega r) \cos(\omega t)) \mathbf{e}_{\varphi} & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
магнитное и электрическое поле

	(по Риману)
	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{\pi I_0^2 n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2}{4r} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R \\ \cfrac{\pi I_0^2 n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2}{4r} \mathbf{e}_r & r > R \end{cases}$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
полная мощность излучения, усредненная по периоду колебаний, для одного витка длины l

$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega_m k^2$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2$ При малых ω: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega^3$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
полный магнитный поток для одного витка

$\Phi = - \pi^2 I_0 n R^2 J_1(kR) (J_1(kR) \sin(\omega t) + Y_1(kR) \cos(\omega t))$	(по Риману)
$\Phi = \pi^2 I_0 n R^2 J_1(\omega R) (J_1(\omega R) \sin(\omega t) - Y_1(\omega R) \cos(\omega t))$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
напряжение на концах витка длины l

$V = \pi^2 I_0 l n^2 R^2 \omega J_1(kR) (Y_1(kR) \sin(\omega t) - J_1(kR) \cos(\omega t))$ При малых k: $V \approx - \pi I_0 l n^2 R^2 \omega_m \sin(\omega t)$	(по Риману)
$V = \pi^2 I_0 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R) (Y_1(\omega R) \sin(\omega t) + J_1(\omega R) \cos(\omega t))$ При малых ω: $V \approx - \pi I_0 l n^2 R^2 \omega \sin(\omega t)$	(по Лоренцу)

Длинный соленоид (переменный ток),
средние затраты электрической мощности
для одного витка длины l

$\left< P \right> = -\cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(kR)^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx -\cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega_m k^2$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{1}{2} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^2 \omega J_1(\omega R)^2$ При малых ω: $\left< P \right> \approx \cfrac{1}{8} \pi^2 I_0^2 l n^2 R^4 \omega^3$	(по Лоренцу)

Первая любопытная особенность риманова решения состоит в том, что теперь масштаб геометрии соленоида определяется не ω_m, как в случае с постоянным током, а пространственной угловой частотой k. Если соленоид с постоянным током будет крайне чувствителен к любым дефектам, сравнимым с минимальной длиной световой волны – а проводник, используемый в реалистичном устройстве, мог бы достигать нескольких длин волн в ширину, в результате чего структура в целом включала бы в себя последовательность отрицательных и положительных индуктивностей, в значительной мере компенсирующих друг друга – то теперь у нас есть возможность использовать волны гораздо большей длины и системы, которые не только лишены упомянутых компенсационных эффектов, но и отличаются меньшей чувствительностью к точной форме витков катушки.

Рассматривая соленоид с постоянным током, мы отметили, что его индуктивность может быть как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, соленоид может как противодействовать изменению тока, так и ему способствовать. В случае переменного тока это различие становится менее актуальным; ключевую роль играет мощность, затрачиваемая в течение одного колебания, а выбранная нами исходящая волна гарантирует, что риманов соленоид будет выступать в качестве источника электрической мощности, в то время как его лоренцев аналог будет соответствующую мощность тратить.

Следующий график показывает, как в римановом и лоренцевом случае меняются во времени напряжение, сила тока и мощность соленоида – для трех различных размеров витка. В данном случае J₁ и Y₁ представляют собой сокращения J₁(kR) и Y₁(kR) в римановом случае, либо J₁(ωR) и Y₁(ωR) в лоренцевом. Мы выбираем знак таким образом, чтобы напряжение обычного резистора всегда находилось в фазе с его током – таким образом, мощность, рассчитанная как произведение VI, дает количество рассеиваемой энергии.

В лоренцевом случае фаза напряжения никогда не расходится с фазой тока более, чем на 90 градусов. В низкочастотном пределе с постоянным током J₁(ωR) Y₁(ωR) ≈ –1/π с точностью до первого порядка малости и напряжение опережает ток точно на 90 градусов. Если мы представим, что через катушку диаметром как минимум в несколько миллиметров течет переменный ток с частотой килогерцового диапазона (или ниже), то длина волны окажется значительно больше размера самого соленоида, так что упомянутый “предельный случай” в действительности является неплохой аппроксимацией для многих типовых цепей переменного тока. Однако по мере увеличения частоты Y₁(ωR) рано или поздно обращается в нуль, в результате чего напряжение выравнивается по фазе с силой тока, а затем становится положительным, после чего фаза напряжения начинает отставать от фазы тока. Тем не менее, вне зависимости от конкретных значений J₁(ωR) и Y₁(ωR), среднее значение рассеиваемой мощности за один период всегда остается неотрицательной величиной.

В римановом случае фазовый сдвиг между напряжением и слой тока всегда составляет как минимум 90 градусов. В предельном случае постоянного тока пространственная частота достигает максимума, а поведение системы оказывается крайне чувствительным к геометрии витков. Только в предельном случае высоких (временных) частот, когда длина волны становится достаточно большой, мы получим J₁(kR) Y₁(kR) ≈ –1/π, и фаза напряжения будет опережать ток ровно на 90 градусов. Но при любых частотах и размерах витка средняя рассеиваемая мощность будет отрицательной или равной нулю – поскольку затраты энергии поля на излучение в римановом случае всегда должны сопровождаться ростом обычной энергии.

Переход от электростатических решений к осциллирующим

Осциллирующие электрические диполи

В случае электростатики трюк, которым мы воспользовались для получения осциллирующих решений из магнитостатических, так легко не уже сработает. Если мы рассмотрим чисто электростатический потенциал φ_ES, скорректируем его с учетом замены ω_m на новую константу k, а затем умножим результат на cos(ωt), то получим решение ВРВИ для источника, равного произведению первоначальной плотности заряда на cos(ωt), где, как обычно, k² + ω² = ω_m². Но такое решение не будет удовлетворять поперечному условию, поскольку временная компонента 4-потенциала, который теперь равен –φ_{ES, k} cos(ωt), имеет ненулевую производную, а пространственных компонент, производные которых могли бы обратить дивергенцию в нуль, у 4-потенциала нет.

Тем не менее, в случае электростатического диполя есть довольно простой обходной путь. Потенциал статического диполя равен взятой с обратным знаком пространственной производной кулоновского потенциала, взятой вдоль оси диполя – скажем, оси z. Поэтому, если мы положим z-компоненту 4-потенциала равной кулоновскому потенциалу (также скорректированному с учетом замены ω_m на k), домноженному на ω sin(ωt), то его пространственная производная в направлении оси z скомпенсирует производную временной компоненты 4-потенциала, удовлетворив тем самым поперечному условию. Дополнительный член, кроме того, будет удовлетворять ВРВИ с аналогичным образом модифицированным источником, и закон сохранения заряда будет выполняться автоматически. Говоря конкретнее, такое преобразование добавляет к источнику точечный осциллирующий ток, фаза которого сдвинута по 90 градусов относительно колебаний диполя.

Как и ранее, с помощью этого метода можно построить две стоячих волны, а затем скомбинировать их, получив в результате исходящую волну. Кроме того, этот метод, так же, как и раньше, можно адаптировать и для получения лоренцевых решений.

Осциллирующий электрический диполь
Решение в виде исходящей волны
Электрический дипольный момент: p cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Осциллирующий электрический диполь, потенциалы

$\varphi(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(kr + \omega t) + kr \sin(kr + \omega t))$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = -\cfrac{\mathbf{p} \omega}{4 \pi r} \sin(kr + \omega t)$

(по Риману)

$\varphi(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi r^3} (\cos(\omega (r - t)) + \omega r \sin(\omega (r - t)))$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \cfrac{\mathbf{p} \omega}{4 \pi r} \sin(\omega (r - t))$

(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
магнитное и электрическое поле

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \mathbf{p} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}(kr \cos(kr + \omega t) - \sin(kr + \omega t))$	(по Риману)
$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \cfrac{\omega \mathbf{p} \times \mathbf{r}}{4 \pi r^3}(\sin(\omega (r - t)) - \omega r \cos(\omega (r - t)))$	(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{k \omega^3 (\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) + k^3 \omega (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r)^2}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \cfrac{\omega^4 ((\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) - (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r)^2)}{32 \pi^2 r^2} \mathbf{e}_r$	(по Лоренцу)

Осциллирующий электрический диполь,
полная мощность, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{(k^3 \omega + 3 k \omega^3)(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})}{24 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = \cfrac{\omega^4 (\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})}{12 \pi}$	(по Лоренцу)

В данном случае риманово решение характеризуется немного иной степенной зависимостью от частоты, нежели осциллирующий магнитный диполь. Кроме того, это первое из наших решений, которое явным образом описывает источник продольно поляризованных волн.

При больших r риманов 4-потенциал можно представить в виде:

$\mathbf{A}(r) \approx \cfrac{\sin(kr + \omega t)}{4 \pi r}(k (\mathbf{p} \cdot \mathbf{e}_r) \mathbf{e}_t - \omega \mathbf{p})$

Это выражение можно разбить на поперечную составляющую A_T и продольную составляющую A_L:

Rendered by QuickLaTeX.com

Поперечная составляющая не содержит временной компоненты и ортогональна e_r, то есть направлению в пространстве, вдоль которого движется волна. Если мы воспользуемся нашим анализом энергии плоских волн, обозначив через θ угол между вектором диполя и направлением волны в пространстве, то в среднем за период локальная плотность энергии – соответственно, для поперечной и продольной мод – будет равна:

Rendered by QuickLaTeX.com

Отсюда видно, что поперечные волны достигают наибольшей силы вдоль направлений, перпендикулярных оси диполя, и обращаются в нуль на самой оси, в то время как продольные волны подчиняются противоположной закономерности: наиболее сильны на оси диполя и обращабтся в нуль на ее перпендикулярах. Угловое распределение энергии поперечных волн совпадает с аналогичным распределением в лоренцевой физике.

Если мы умножим приведенные выше плотности энергии на скорость волны, k / ω, и проинтегрируем по всему объему сферы, то получим полную мощность для каждой из составляющих:

Rendered by QuickLaTeX.com

В сумме эти две величины, разумеется, дают полную мощность излучения, показанную в таблице.

Конденсатор с переменным током

Для того, чтобы рассмотреть поведение сферического конденсатора в цепи переменного тока, попеременно заряжающего и разряжающего его обкладки, нам потребуется каким-то образом включить этот ток в картину происходящего. Единственный способ сделать это, не нарушая сферической симметрии – это заставить симметрично распределенный ток перемещаться непосредственно от одной обкладки к другой, в зазоре между ними. И хотя при этом мы буквально нарушаем работу конденсатора, эту модель можно трактовать как аппроксимацию системы, состоящей из большого количества плоских конденсаторов, которые заряжаются и разряжаются с помощью проводников, расположенных не внутри самих устройств, а рядом с ними. Расположив большое число таких контуров, направленных в разные стороны от центральной точки, мы получим поля, очень похожие на поля, используемые в нашей модели.

Чтобы найти риманов 4-потенциал, возникающий в силу колебаний заряда на сферах конденсатора, мы модифицируем электростатическое решение, подставляя k вместо ω_m и умножая на cos(ωt). Затем мы добавляем 4-потенциал, описывающий движение тока вперед-назад между обкладками – его можно найти как магнитостатическое решение, используя закон Био-Савара-Лапласа, а затем с помощью нашего стандартного метода преобразовать в осциллирующее решение. Заряд сохраняется, поскольку добавленный нами ток характеризует колебания заряда на обкладках конденсатора; следовательно, 4-потенциал удовлетворяет поперечному условию и дает нам верное решение. Затем, как обычно, нам нужно скомбинировать полученное решение со стоячей волной без источника, получив в итоге решение в виде исходящей волны.

Поскольку 4-потенциал обладает радиальной симметрией, магнитное поле отсутствует. Если в лоренцевом случае это означает отсутствие какого-либо излучения, то в римановом – будет иметь место чисто поперечное излучение.

Сферический конденсатор (переменный ток)
Решение в виде исходящей волны
Радиус внутренней обкладки: R₁, полный заряд: –Q₀ cos(ωt)
Радиус внешней обкладки: R₂, полный заряд: +Q₀ cos(ωt)
В случае риманова решения k² + ω² = ω_m²

Сферический конденсатор (переменный ток), потенциалы

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \sin(kr)}{4 \pi kr R_1 R_2} \\ (R_2 \cos(kR_1 + \omega t) - R_1 \cos(kR_2 + \omega t)) & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0}{4 \pi kr R_1 R_2} (R_2 \sin(kR_1) \cos(kr + \omega t) - \\ - R_1 \sin(kr) \cos(kR_2 + \omega t)) & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \cos(kr + \omega t)}{4 \pi kr R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) & r > R_2 \end{cases}$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \omega (kr \cos(kr) - \sin(kr))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1 + \omega t) - R_1 \sin(kR_2 + \omega t)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0 \omega}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (\cos(\omega t) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) + \\ + \sin(\omega t) (R_1 \cos(kR_2) (\sin(kr) - kr \cos(kr)) - \\ - R_2 \sin(kR_1) (kr \sin(kr) + \cos(kr)) + k R_1 R_2)) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \omega (kr \cos(kr + \omega t) - \sin(kr + \omega t))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\varphi(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 (R_1 - R_2) \cos(\omega t)}{4 \pi R_1 R_2} & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0 (r - R_2) \cos(\omega t)}{4 \pi r R_2} & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$

$\mathbf{A}_{(3)}(\mathbf{r}) = 0$

(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток), электрическое поле

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} \cfrac{Q_0 \omega_m^2 (kr \cos(kr) - \sin(kr))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_1 \cos(kR_2 + \omega t) - R_2 \cos(kR_1 + \omega t)) \mathbf{e}_r & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (\cos(\omega t) (\omega_m^2 (R_1 \cos(k R_2) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) + \\ + R_2 \sin(k R_1) (kr \sin(kr) + \cos(kr))) - \\ - \omega^2 k R_1 R_2) + \\ + \omega_m^2 \sin(\omega t) (kr \cos(kr) - \sin(kr)) (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0 \omega_m^2 (kr \sin(kr + \omega t) + \cos(kr + \omega t))}{4 \pi k^3 r^2 R_1 R_2} \\ (R_2 \sin(kR_1) - R_1 \sin(kR_2)) \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$

(по Риману)

$\mathbf{E}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ -\cfrac{Q_0 \cos(\omega t)}{4 \pi r^2} \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ 0 & r > R_2 \end{cases}$

(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду колебаний

$\left< \mathbf{S}(r) \right> = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\ \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{32 \pi^2 k^3 r^3 R_1^2 R_2} \\ (r \sin(k R_1) - R_1 \sin (k r)) \\ (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2)) \mathbf{e}_r & R_1 < r < R_2 \\ \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{32 \pi^2 k^3 r^2 R_1^2 R_2^2} (R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2 \mathbf{e}_r & r > R_2 \end{cases}$	(по Риману)
$\left< \mathbf{S}(r) \right> = 0$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
полная мощность излучения, усредненная по периоду колебаний

$\left< P \right> = \cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{8 \pi k^3 R_1^2 R_2^2}(R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2$ При малых k: $\left< P \right> \approx \cfrac{Q_0^2 (R_2^2 - R_1^2)^2 \omega_m^3 k^3}{288 \pi}$	(по Риману)
$\left< P \right> = 0$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
напряжение между обкладками

При малых k: $V \approx - \cfrac{Q_0(R_2 - R_1) (3 + \omega_m^2 R_1 (R_2 - R_1)) \cos(\omega t)}{12 \pi R_1 R_2}$	(по Риману)
$V = \cfrac{Q_0 (R_2 - R_1) \cos(\omega t)}{4 \pi R_1 R_2}$	(по Лоренцу)

Сферический конденсатор (переменный ток),
средние затраты мощности за период колебаний

$\left = -\cfrac{Q_0^2 \omega_m^2 \omega}{8 \pi k^3 R_1^2 R_2^2}(R_2 \sin(k R_1) - R_1 \sin(k R_2))^2$

При малых k: $\left \approx -\cfrac{Q_0^2 (R_2^2 - R_1^2)^2 \omega_m^3 k^3}{288 \pi}$

(по Риману)

$\left = 0$

(по Лоренцу)

Электрическая мощность, которая тратится в римановом случае, как обычно, противоположна полной мощности излучения, поэтому для поддержания неизменной амплитуды осциллирующего тока, контур должен совершать работу. Точное соотношение фазового сдвига между напряжением и силой тока и частотой колебаний будет иметь довольно сложный вид, но тот факт, что мощность, затраченная контуром, всегда отрицательна (или, в худшем случае, равна нулю) означает, что разность фаз между напряжением и током не может упасть ниже 90 градусов.

В лоренцевом случае фазовый сдвиг между напряжением и током всегда будет составлять ровно 90 градусов, поскольку геометрия пространства-времени исключает потерю энергии на излучение.

Колебательные контуры

Резонанс в лоренцевых цепях

Базовая теория электрических цепей в применении к нашей Вселенной обычно исходит из предположения, что конденсаторы и катушки индуктивности характеризуются некоторыми фиксированными значениями емкости и индуктивности, не зависящими от проходящего через них тока. Это предположение оправданно, поскольку в лоренцевой Вселенной умеренным значениям временной частоты соответствуют длины волн, которые значительно превышают размеры стандартных электронных компонентов.

Но это вовсе не означает, что поведение электрической схемы, содержащей эти устройства, также не меняется в зависимости от частоты. В случае конденсатора величина емкости C фиксирует отношение заряда, запасенного устройством, к напряжению на его обкладках, но если мы рассмотрим соотношение между напряжением и током – вместо заряда – то частота тока войдет в это соотношение вследствие дифференцирования осциллирующего заряда. В следующих уравнениях мы обозначим через Q₀, I₀ и V₀ соответственно амплитуды осциллирующего заряда, силы тока и напряжения, мгновенные значения которых меняются по гармоническому закону.

Rendered by QuickLaTeX.com

В случае катушки индуктивности величина L фиксирует отношение напряжения к скорости изменения тока, откуда следует, что:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если мы определим емкостное реактивное сопротивление X_C и индуктивное реактивное сопротивление X_L следующим образом:

Rendered by QuickLaTeX.com

то X_C и X_L будут играть роль, аналогичную сопротивлению, причем:

$V_0 = I_0 R$ для резистора,
$V_0 = I_0 X_C$ для конденсатора,
$V_0 = I_0 X_L$ для катушки индуктивности

Заметим, что мгновенные значения напряжения в кадом из трех случаев различны: в случае резистора напряжение и ток совпадают по фазе, в случае конденсатора фаза напряжения отстает от силы тока на 90 градусов (если ток изменяется по закону косинуса, но напряжение пропорционально синусу со знаком плюс), а в случае катушки индуктивности – наоборот, на 90 градусов ее опережает (если ток меняется по закону косинуса, то напряжение пропорционально синусу со знаком минус). Это означает, что если все три устройства соединены последовательно, то есть через них течет один и тот же ток, то фазовый сдвиг между напряжениями на конденсаторе и катушке будет равен 180 градусам – иначе говоря, напряжения будут находиться точно в противофазе. Поэтому полное реактивное сопротивление:

$X = X_L - X_C$

определяет суммарное напряжение для этой пары устройств, фаза которых сдвинута относительно силы тока на 90 градусов.

Далее мы введем понятие импеданса, который характеризует как сопротивление, так и общий фазовый сдвиг φ:

Rendered by QuickLaTeX.com

С помощью этих двух величин мы можем описать полное напряжение на последовательном соединении трех устройств: конденсатора, катушки индуктивности и резистора:

Rendered by QuickLaTeX.com

При резонансной частоте ω_res индуктивность и емкость в точности компенсируют друг друга, и амплитуда силы тока, I₀, достигает максимума, который определяется исключительно сопротивлением резистора.

Чтобы привести конкретный пример, рассмотрим соленоид длиной 10 см, радусом витка 5 см и плотностью намотки 1 виток/мм. В единицах СИ его индуктивность в цепи постоянного тока будет равна 0.987 мГн.

Последовательно присоединим к соленоиду сферический конденсатор с радиусом внутренней обкладки 5 см и внешней – 5.01 см. В цепи постоянного тока его емоксть составит 2.787 нФ.

Последовательно с соленоидом и конденсатором включаем в цепь резистор с сопротивлением 1000 Ом. Наша формула дает угловую частоту резонанса, которой соответствует обычная частота ν=95.96 кГц.

На следующем графике показано, как сила тока, проходящего через все три компонента при заданном напряжении, меняется в зависимости от частоты; величины по чатсотной оси отложены в логарифмическом масштабе, а вертикальная ось нормализована таким образом, чтобы ток, проходящий через цепь, состоящую из одного резистора, был равен 1. Как и ожидалось, максимум кривой приходится на частоту около 10⁵ Гц. Наша аппроксимация, исходящая из предположения о том, что индуктивность и емкость не зависят от частоты, не учитывает ряд других резонансных частот, но они появятся лишь по достижении гигагерцового диапазона, когда длины волн станут приближаться к размерам соленоида.

Предположим теперь, что вместо соединения всех трех компонентов с осциллирующим источником напряжения, мы заряжаем конденсатор до величины Q_i, а затем просто замыкаем цепь, открывая путь электрическому току. Что произойдет дальше?

Сумма всех напряжений, составляющих контур, должна быть равна нулю:

Rendered by QuickLaTeX.com

где через β обозначена величина R/(2L). Если учесть, что Q=Q_i и dQ/dt = 0 при t=0, то в предположении, что β < ω_res данное дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

$Q(t) = Q_i \exp(- \beta t) \left( \cos(\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2} t) \cfrac{\beta}{\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2}} \sin(\sqrt{\omega_{res}^2 - \beta^2} t) \right)$

Это уравнение описывает осциллирующую функцию, затухающую по экспоненциальному закону. Частота колебаний будет меньше резонансной частоты ω_res, при которой колебательный контур откликается на возбуждающее напряжение с наименьшим импедансом, но приближается к ней по мере уменьшения сопротивления резистора.

Резонанс в римановых цепях

Понятия, которые мы обсуждали в предыдущем параграфе, можно адаптировать для описания аналогичных ситуаций в римановой Вселенной, но есть ряд существенных отличий. Во-первых, предположение о том, что величины L и C не зависят от ω, в подавляющем большинстве случаев будет необоснованным. В римановой Вселенной длины волн достигают минимума в случае статических полей и с ростом частоты лишь увеличиваются. Рост длины волны становится заметным при больших частотах, после чего резко набирает темп; длина волны становится вдвое больше минимальной только по достижении ω = 0.866 ω_m, но уже при ω = 0.995 ω_m достигает десятикратной отметки, а при ω = 0.99995 ω_m становится в сто раз больше минимума. Таким образом, в большинстве случаев соотношение между силой тока и напряжением на катушке индуктивности или конденсаторе будет определяться взаимодействием длины волны поля с геометрией самого электронного компонента и, следовательно, будет зависеть от частоты гораздо более сложным образом, чем в формулах реактивного сопротивления, которые мы приводили выше для лоренцевой физики; исключением будут лишь электрические цепи, частота колебаний в которых близка к максимальной.

Более того, из-за порождаемого ими электромагнитного излучения римановы катушки индуктивности и конденсаторы приобретают отрицательное сопротивление, существенно зависящее от частоты колебаний. Таким образом, в выражении для сопротивления, входящего в формулы импеданса и фазового сдвига, появляется зависящее от частоты слагаемое $R_{rad}$ :

Rendered by QuickLaTeX.com

где все величины, кроме обычного сопротивления R, теперь зависят от частоты (и даже это предположение упрощает ситуацию). Таким образом, мы больше не можем дать гарантию, что минимальный импеданс Z будет достигнут на той же частоте, при которой X обращается в нуль.

Тем не менее, эти дополнительные осложнения означают, что интересным поведением может обладать даже очень простой контур. Предположим, что у нас есть соленоид, идентичный тому, который мы описывали в предыдущем параграфе: длиной 10 см, с витками радиусом 5 см и плотность намотки 1 виток/мм. Чтобы применить к нему законы римановой физики, мы предположим, что ω_m = 2 π × 10¹⁵ Гц.

На следующем графике изображено активное и реактивное сопротивление соленоида. Обратите внимание, что все представленные длины волн соответствуют частотам, которые находятся чрезвычайно близко к ω_m. Поскольку реактивное сопротивление переходит через нуль даже при наличии одного соленоида, добавлять в контур конденсатор необязательно; если бы мы соединили этот соленоид с обыкновенным резистором, уравновешивающим отрицательное сопротивление соленоида на самой длинной из тех волн, при которых его реактивное сопротивление равно нулю, то контур, состоящий только из этой пары устройств, достигал бы на этой длине волны резонанса и в принципе мог бы неограниченно долго поддерживать электрический ток. При этом соленоид бы излучал электромагнитные волны, увеличивая тем самым обычную энергию контура, которую резистор бы превращал в тепло. Законы термодинамики при этом нарушены бы не были: закон сохранения энергии выполняется в силу того, что энергия электромагнитного поля по своему смыслу противоположна тепловой/кинетической энергии, а энтропия возрастает, благодаря наличию излучения.

Удивительно, что даже поведение этого примитивного контура обладает некоторой степенью устойчивости. Если бы ток стал возрастать по экспоненте, это повлекло бы за собой расширение его частотного спектра, и хотя точка резонанса немного отличается от длины волны, соответствующей минимуму сопротивления, разница временных частот в данном случае настолько незначительна, что даже при очень малой константе роста в экспоненциальной функции расширение спектра приведет к уменьшению скорости переноса энергии от соленоида к электрическому контуру. В случае уменьшения тока тот же самый эффект, разумеется, лишь усугубил бы его падение, поэтому в данной ситуации потребовался бы дополнительный механизм регуляции (например, нелинейный резистор, сопротивление которого возрастает при увеличении силы тока), благодаря которому скорость переноса энергии к контуру оставалась бы постоянной.

Электромагнитные явления в искривленном римановом пространстве

Пока что все сказанное нами по поводу электромагнетизма было выражено в терминах декартовых координат в плоском пространстве (или, в случае лоренцевой физики, в плоском пространстве-времени). Но поскольку мы в действительности не ожидаем, что риманова Вселенная будет идеально плоской – во всяком случае, не более, чем наша собственная, – будет нелишним разобраться в том, как эти уравнения можно переформулировать для описания искривленного пространства. В качестве дополнительного бонуса мы получим возможность без особых трудностей пользоваться в плоском пространстве недекартовыми системами координат.

Если вам еще не приходилось выполнять какие-либо расчеты в искривленном пространстве-времени, то следующий далее краткий обзор может поставить вас в тупик. Для более плавного ознакомления с этим вопросом вы можете обратиться к статье, посвященной основам общей теории относительности.

В лоренцевом варианте общей теории относительности существует эмпирическое правило: при переносе уравнений из плоского в искривленное пространство-время частные производные заменяются на ковариантные. Дифференцируя векторное поле в плоском пространстве, мы неявно подразумеваем, что векторы, расположенные в различных точках, принадлежат одному и тому же векторному пространству; если мы говорим, что производная векторного поля равна нулю и, следовательно, данное поле является постоянной величиной, то это утверждение имеет смысл только в том случае, если мы можем взять вектор в точке A и сравнить его с другим вектором в точке B. Но если речь, к примеру, идет об искривленной поверхности нашей планеты, то как нам сопоставить векторное пространство скоростей, с которыми можно двигаться по земле в Лондоне, с аналогичным векторным пространством в Найроби? Даже если мы посмотрим на Землю со стороны и будем считать все эти векторы трехмерными, то все равно не сможем соотнести все скорости в одной точке со всеми скоростями в другой – а если речь идет об искривленной Вселенной, то “посмотреть на нее со стороны” невозможно в принципе.

Решение состоит в дополнении понятия производной некоторой геометрической структурой, которая называется связностью Леви-Чивиты и характеризует параллельный перенос векторов вдоль кривой линии: иначе говоря, двигаясь вдоль кривой, мы можем “перенести” по тому же маршруту вектор от ее начальной точки так, чтобы на всем пути он оставался “параллельным” своему исходному направлению, согласно определению связности. Связность Леви-Чивиты имеет преимущество в том плане, что она совместима с метрикой; метрика задает скалярное произведение в искривленном пространстве, а связность Леви-Чивиты позволяет осуществить параллельный перенос двух векторов, не меняя их скалярного произведения. Ковариантная производная позволяет рассчитать производную векторного поля относительно связность Леви-Чивиты: параллельный перенос вектора с помощью связности Лечи-Чивиты является стандартом, утверждающим: “этот вектор остается неизменным”; любые изменения, выходящие за его рамки, обнаруживаются посредством ковариантной производной.

Чтобы конкретизировать сказанное, рассмотрим в искривленном пространстве векторное поле v, компоненты которого в некотором координатном базисе имеют вид v^b. Тогда ковариантная производная данного векторного поля в одном из координатных направлений a выражается так:

$\nabla_a v^b = \partial_a v^b + \Gamma^b{}_{ca} v^c$

где Γ – связность Леви-Чивиты, которая показывает нам, как нужно скорректировать частную производную, чтобы результат дифференцирования учитывал параллельный перенос векторов. Если g_ab и g^ab – компоненты метрического тензора в нашей системе координат, то компоненты связности Леви-Чивиты Γ (часто называемые символами Кристоффеля) имеет вид:

$\Gamma^b{}_{ca} = \cfrac{1}{2} g^{bk} \left( \partial_a g_{kc} + \partial_c g_{ka} - \partial_k g_{ca} \right)$

Заметим, что связность Γ симметрична по двум последним индексам: $\Gamma^b{}_{ca} = \Gamma^b{}_{ac}$ .

Мы можем обобщить понятие параллельного переноса вектора на произвольный тензор. Например, если мы осуществляем параллельный перенос векторов v и w из точки A в точку B с помощью связности Леви-Чивиты, получая в результате векторы v‘ и w‘ в точке B, то параллельный перенос тензоров ранга (2,0) из A в B определяется таким образом, что v ⊗ w в точке A переходит в v‘ ⊗ w‘ в точке B. Для дуальных векторов мы вводим требование: если для дуального вектора α в точке A имеет место α(v) = c, то параллельный перенос α из A в B дает в результате вектор α‘, такой, что α‘(v‘) = c.

Эти требования позволяют нам получить следующие выражения для ковариантных производных от тензоров необходимого нам вида:

$\nabla_a A_b = \partial_a A_b - \Gamma^h{}_{ba} A_h$
$\nabla_a F_{bc} = \partial_a F_{bc} - \Gamma^h{}_{ba} F_{hc} - \Gamma^h{}_{ca} F_{bh}$
$\nabla_a F^{bc} = \partial_a F^{bc} + \Gamma^b{}_{ha} F^{hc} + \Gamma^c{}_{ha} F^{bh}$

Применяя второе из этих уравнений к метрике и пользуясь определением Γ, мы получаем ∇_a g_bc = 0. По сути наше определение Γ было выбрано именно с этим расчетом: Γ – это связность, по отношению к которой метрический тензор считается константой.

Если в уравнениях электродинамики мы заменим частные производные ковариантными, то получится следующее:

Римановы уравнения Прока в искривленном пространстве

$\nabla_b F^{ab} - \omega_m^2 A^a - j^a = 0$	(Риманова часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

$\nabla_b F^{ab} - j^a = 0$	(Лоренцева часть)
$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0$	(Общая часть)

Почему в общем уравнении, которое выполняется как в римановой, так и в лоренцевой версии электродинамики, по-прежнему стоят частные, а не ковариантные производные? Если мы запишем это уравнением с ковариантными производными и воспользуемся тем фактом, что тензор F_bc антисимметричен, в то время как связность Γ симметрична по двум последним индексам, то все корректирующие слагаемые взаимно уничтожатся и останутся только частные производные.

Точно так же корректирующие слагаемые исчезают и в соотношении между электромагнитным полем F и 4-потенциалом A.

Выражение поля через 4-потенциал

(Общая часть)

Отсюда следует, что общее часть в римановых уравнениях Прока и уравнениях Максвелла опять-таки выполняется просто за счет данного определения F через компоненты A, поскольку ничего не меняется, и в формуле фигурируют те же самые частные производные, которые мы видели в случае плоского пространства-времени.

Теперь мы переходим к следующему шагу, где нас ожидает небольшой подвох. В плоском пространстве или пространстве-времени частные производные коммутируют друг с другом: если мы дифференцируем два раза подряд, то порядок производных не имеет значения. В случае с ковариантными производными в искривленном пространстве это не так – более того, сам факт некоммутируемости ковариантных производных имеет непосредственное отношение к идее кривизны как таковой.

Предположим, что мы последовательно ковариантно дифференцируем векторное поле v вдоль двух различных направлений, обозначенных индексами a и b, в прямом и обратном порядке. Разность между двумя производными равна:

$\nabla_a \nabla_b \mathbf{v} - \nabla_b \nabla_a \mathbf{v} = R^h{}_{cab} v^c \mathbf{e}_h$

где e_h – базисный вектор в направлении координатной оси, заданной индексом h, а четырехиндексный тензор R – это так называемый риманов тензор кривизны (названный, разумеется, в честь того же самого Георга Фридриха Бернхарда Римана, которого мы упоминали все это время; в искривленном лоренцевом пространстве-времени этот тензор, впрочем, так же полезен, как и в искривленном римановом пространстве). Явным образом выразив ковариантные производные через связность Леви-Чивиты, мы можем представить компоненты риманова тензора кривизны в виде:

$R^h{}_{cab} = \partial_a \Gamma^h{}_{cb} - \partial_b \Gamma^h{}_{ca} + \Gamma^h{}_{ka} \Gamma^k{}_{bc} - \Gamma^h{}_{kb} \Gamma^k{}_{ca}$

Предположим теперь, что 4-потенциал A удовлетворяет ковариантной версии поперечного условия или лоренцевой калибровки:

$\nabla_b A^b = 0$

где к повторяющимся индексам, как обычно, применяется соглашение Эйнштейна о суммировании. Тогда выражение ∇_b ∇_a A^b было бы равно нулю, если бы ковариантные производные коммутировали друг с другом…, но это не так, поэтому результат получается иным:

$\nabla_b \nabla_a A^b = \nabla_b \nabla_a A^b - \nabla_a \nabla_b A^b = R^b{}_{cba} A^c = R_{ca} A^c$

где двухиндексный тензор R, называемый тензором Риччи, вычисляется посредством “свертки” риманова тензора кривизны, то есть суммированием по паре его индексов.

Если мы воспользуемся этим фактом, чтобы выразить ∇_b F^ab – которое входит как в риманово уравнение Прока, так и в уравнения Максвелла – через 4-потенциал A, то окажется, что:

$\begin{equation*} \begin{split} & \nabla_b F^{ab} = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} \nabla_b F_{\alpha \beta} = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} \nabla_b (\nabla_{\alpha} A_{\beta} - \nabla_{\beta} A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} g^{\beta b} (\nabla_b \nabla_{\alpha} A_{\beta} - \nabla_b\nabla_{\beta} A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} (\nabla_b \nabla_{\alpha} A^b - \nabla_b\nabla^b A_{\alpha}) = \\ & = g^{\alpha a} (R_{c \alpha} A^c - \nabla_b\nabla^b A_{\alpha}) = \\ & = R_c{}^a A^c - \nabla_b\nabla^b A^a \end{split} \end{equation*}$

Теперь мы можем выразить все через 4-потенциал A:

Уравнения векторной римановой волны
в искривленном пространстве

$\nabla_b \nabla^b A^a - R_c{}^a A^c + \omega_m^2 A^a + j^a = \mathbf{o}$	(ВРВИ)
$\nabla_c A^c = 0$	(Поперечное условие)

Уравнения Максвелла для 4-потенциала
с лоренцевой калибровкой
в искривленном пространстве-времени

$\nabla_b \nabla^b A^a - R_c{}^a A^c + j^a = \mathbf{o}$	(ВЛВИ)
$\nabla_c A^c = 0$	(калибровка)

Поскольку мы уже затронули тему волновых уравнений в искривленном пространстве, то заодно можем привести здесь и модифицированное уравнение скалярной волны. Ковариантная производная скалярной величины совпадает с частной производной в том же направлении, а градиент скаляра можно определить, не ссылаясь ни на метрику, ни на связность Леви-Чивиты. Тем не менее, сумма вторых производных по всем осям координат, упоминаемым в уравнении скалярной римановой волны, будет независимой от системы координат только при условии, что мы, в общем случае, будем вычислять ее как дивергенцию градиента с использованием ковариантных производных:

$(\mathrm{grad} A)_j = \partial_j A$
$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A = g^{ij} (\partial_i \partial_j A - \Gamma^k{}_{ji} \partial_k A)$

Эта операция, представляющая собой обобщение лапласиана, называется оператором Лапласа-Бельтрами. Если метрический тензор содержит только диагональные компоненты, что верно для многих координатных систем, определитель метрики очень легко вычислить как произведение элементов, стоящих на диагонали. Если мы обозначим через |g| абсолютное значение определителя метрического тензора, то оператор Лапласа-Бельтрами можно представить в следующем виде:

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A = \cfrac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left( \sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j A \right)$

Пользоваться этой формулой проще, чем обременять себя вычислением символов Кристоффеля. Даже если это уравнением не встречалось вам раньше, поразглядывав его достаточно долго, вы, вероятно, узнаете в нем соотношение, лежащее в основе известных вам выражений лапласиана в сферических или цилиндрических координатах.

Уравнение скалярной римановой волны с источником
в искривленном пространстве

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A + \omega_m^2 A + j = 0$

(СРВИ)

Уравнение скалярной лоренцевой волны с источником
в искривленном пространстве-времени

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} A + j = 0$

(СЛВИ)

Дополнительные материалы: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграфы 16.3 и 22.4).

Граничные условия

Начиная разговор о римановых волновых уравнениях, мы уже упоминали, что данные уравнения сопряжены с серьезной проблемой: они допускают решения, угловая частота которых в одном направлении превышает ω_m, в то время как величина волны в другом направлении растет по экспоненте. Удобные и удобные в плане анализа плоские волны, которые мы вывели из уравнения скалярной римановой волны, характеризуются тем, что сумма квадратов их частот по всем четырем измерениям равна постоянной величине, ν_max², поэтому ни одна из этих частот не может превышать ν_max. Тем не менее, уравнение само по себе не исключает решений с экспоненицальным множителем: так, cos (kx) exp(αt) будет удовлетворять уравнению СРВ при условии, что k² – α² = ω_m².

Если вы уже прочитали первый том трилогии Ортогональная Вселенная, то знаете, как можно избежать подобных экспоненциальных решений. Если же вы не читали книгу, но уже добрались до этого места в наших заметках, несмотря на предупреждение о спойлерах, то сейчас вам предоставляется последняя возможность, чтобы передумать и не читать дальше.

Развернуть

Если риманова Вселенная конечна, но не имеет границы, то потребовав, чтобы решения волновых уравнения были непрерывными и имели непрерывные производные, мы исключим решения с экспоненциальным множителем. В отличие от экспоненты, периодическая функция в силу своих свойств может гладким образом замкнуться сама на себя, когда ее аргумент меняется в соответствии с уравнением некоторой замкнутой кривой. (При переходе от свободной волны в вакууме к полю с источником все становится немного сложнее – некоторые примеры мы рассмотрим в следующих параграфах.)

До этого момента мы, как правило, считали риманову Вселенную бесконечным, идеально плоским четырехмерным пространством, отмечая, тем не менее, что это всего лишь аппроксимация, подобная плоскому пространству-времени Минковского, которое служит приближенной, но при этом полезной моделью лоренцевой Вселенной. В том же ключе мы можем рассмотреть и две идеализированные модели римановой Вселенной, которые являются конечными, но по-прежнему опираются на ряд упрощающих допущений относительно ее кривизны. В одной из этих моделей, четырехмерном торе, риманова Вселенная также является идеально плоской. Во второй модели, представляющей собой четырехмерную сферу, Вселенная обладает постоянной положительной кривизной.

Четырехмерный тор

Рассмотрим область плоского четырехмерного пространства в форме прямоугольной гиперпризмы. Координаты (x, y, z, t) этой области мы выберем таким образом, чтобы они находились в пределах от –L^x/2 до L^x/2, от –L^y/2 до L^y/2, от –L^z/2 до L^z/2 и от –L^t/2 до L^t/2 соответственно. Далее, будем считать, что каждая из восьми трехмерных гиперграней данной гиперпризмы “приклеена” к противоположной. Например, все точки вида (x, y, z, –L^t/2) отождествляются с соответствующими точками вида (x, y, z, L^t/2). Это четырехмерный аналог процедуры, которая совмещает друг с другом противоположные стороны прямоугольника на плоскости, превращая его в тор.

Следует, однако же, заметить, что 4-пространство в целом остается идеально плоским; мы не “сворачиваем” гиперпризму в пространство большей размерности, мы просто предписываем, что данная модель римановой Вселенной конечна во всех направлениях и что ее топология принимает описанную нами форму, которая называется 4-тором. Сделанный нами выбор топологии не требует, чтобы кривизна 4-пространства была всюду равна нулю, но он определенно это допускает.

Далее мы будем называть эту модель Вселенной T⁴. Мы примем как данность тот факт, что 4-пространство в целом является плоским и что координаты выбраны так, как было показано выше. Выбор начала отсчета или точек, в которых координаты скачкообразно меняется с Lⁱ/2 на –Lⁱ/2, разумеется, не имеет какого особого физического смысла, и любое решение уравнений римановой физики, полученное в наших первоначальных координатах, останется верным и после параллельного переноса на произвольный вектор. С другой стороны, граничные условия, диктуемые формой Вселенной T⁴ не обладают вращательной симметрией, поэтому если мы возьмем некоторое решение и подвергнем его произвольному повороту, то оно, вообще говоря, уже не будет удовлетворять данным граничным условиям.

Любую достаточно хорошую скалярную функцию A(x, y, z, t), заданную на T⁴, можно представить в виде ряда Фурье:

$A(x, y, z, t) = \sum \limits_{i, j, k, l} a_{i, j, k, l} f_{i, j, k, l}(x, y, z, t)$

где суммирование ведется по всем целочисленным значениям (положительным, отрицательным и нулю) i, j, k, l, и:

Rendered by QuickLaTeX.com

Функции f_{i, j, k, l} мы будем назвать функциями Фурье-базиса T⁴. Если ввести внутреннее произведение функций как интеграл по пространству T⁴:

$\left< f, g \right> = \displaystyle \int \limits_{T^4} fg$

то различные функции базиса будут ортогональны друг другу, а квадрат нормы любой из них будет равен V / 16, где V = L^x L^y L^z L^t – четырехмерный объем пространства T⁴.

Каждая из функций базиса представляет собой стоячую волну, совершающую в объеме Вселенной по |i|, |j|, |k| и |l| колебаний в направлениях осей x, y, z и t соответственно. Мы можем явным образом вычислить коэффициенты Фурье a_{i, j, k, l} для заданной функции A(x, y, z, t):

$a_{i, j, k, l} = \cfrac{16}{V} \displaystyle \int \limits_{T^4} f_{i, j, k, l}(x, y, z, t) A(x, y, z, t)$

Далее нам бы хотелось узнать, существует ли функция f_{i, j, k, l}(и если да, то какая), удовлетворяющая риманову уравнению скалярной волны без источника. Применяя соответствующее дифференциальное уравнение к функциям Фурье-базиса, мы получаем алгебраическое уравнение:

$\left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 = \nu_{max}^2$

где ν_max = ω_m / (2 π). Если числа Lⁱ и ν_max выбираются совершенно произвольным образом, то этому уравнению не будут удовлетворять никакие целые числа i, j, k, l. Таким образом, нам нужно рассмотреть два варианта: общий случай, в котором СРВ-уравнение без источника, вообще говоря, не имеет решений, и частный случай, в котором значения Lⁱ и ν_max допускают существование каких-либо решений.

Частный случай, допускающий решения без источника

Чтобы проиллюстрировать данный вариант примером, рассмотрим ситуацию, в которой все Lⁱ = 1, а ν_max = √90. Тогда любой четверке целых чисел i, j, k, l, сумма квадратов которых равна 90, будет соответствовать функции Фурье-базиса f_{i, j, k, l}, удовлетворяющие уравнению СРВ. С учетом всех перестановок и вариантов выбора знака, количество таких целочисленных четверок составляет 1872, однако все их можно получить из следующих девяти равенств:

0²+0²+3²+9² = 90
0²+1²+5²+8² = 90
0²+4²+5²+7² = 90
1²+2²+2²+9² = 90
1²+2²+6²+7² = 90
1²+3²+4²+8² = 90
2²+5²+5²+6² = 90
3²+3²+6²+6² = 90
3²+4²+4²+7² = 90

Если бы отношение размера римановой Вселенной к минимальной длине световой волны было сравнимо, скажем, с размером нашей наблюдаемой Вселенной, выраженном в длинах волн ультрафиолетового света, то есть около 10³⁴, то число решений, соответствующих выбору подходящих значений Lⁱ и ν_max было бы крайне велико. Мы не станем углубляться в вопросы теории чисел, связанные с подсчетом количества решений (в качестве ознакомления можно обратиться к статье о функции “Сумма квадратов” энциклопедии MathWorld), но с интуитивной точки зрения кажется правдоподобным, что в масштабах всего космоса число дискретных решений вполне может оказаться настолько большим, чтобы создать иллюзию непрерывности. Другими словами, несмотря на то, что плоские волны без источника в римановой Вселенной могут двигаться лишь вдоль конечного числа конкретных волновых векторов, их фактический набор будет настолько велик, чтобы казаться континуумом, включающим в себя абсолютно все направления.

Поскольку все решения для случая без источника построены из конечного числа функций Фурье-базиса, они всюду будут гладкими и конечными. Ни одна из их частот по какому-либо из направлений не может превышать ν_max, а сами решения можно с равным успехом представить в виде суперпозиции конечного числа плоских волн – именно так мы изначально и представляли себе построение общего решения волнового уравнения.

Что можно сказать о решениях скалярного волнового уравнения с источником, который мы обозначим H?

$\partial_x^2 A(\mathbf{x}) + \partial_y^2 A(\mathbf{x}) + \partial_z^2 A(\mathbf{x}) + \partial_t^2 A(\mathbf{x}) + \omega_m^2 A(\mathbf{x}) + H(\mathbf{x}) = 0$

(СРВИ)

Если мы разложим в ряд Фурье функции A и H – с коэффициентами a и h соответственно, – то:

$a_{i, j, k, l} \left[ \left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 - \nu_{max}^2 \right] = \cfrac{h_{i, j, k, l}}{4 \pi^2}$

Для значений i, j, k, l, удовлетворяющих уравнению без источника – и, следовательно, обращающих в нуль выражение в квадратных скобках – Фурье-коэффициенты источника h_{i, j, k, l} должны быть равны нулю, так как в противном случае решения просто не будет, в то время как a_{i, j, k, l} можно выбрать произвольным образом. Для всех остальных значений приведенное выше уравнение можно решить, получив в результате:

$a_{i, j, k, l} = \cfrac{h_{i, j, k, l}}{4 \pi^2 \left( \left( \cfrac{i}{L^x} \right)^2 + \left( \cfrac{j}{L^y} \right)^2 + \left( \cfrac{k}{L^z} \right)^2 + \left( \cfrac{l}{L^t} \right)^2 - \nu_{max}^2 \right)}$

Таким образом, информация об источнике позволяет рассчитать все коэффициенты, не соответствующие решениям без источника, после чего мы можем свободно добавлять любые дополнительные решения без источника по собственному выбору.

Общий случай, не допускающий решения без источника

Если значения Lⁱ и ν_max выбираются произвольно, то ни одна из функций Фурье-базиса, вообще говоря, не будет решением СРВ-уравнения без источника. В этом случае ни одна из Фурье-компонент источника не обязана равняться нулю и для получения решения мы всегда можем использовать:

подразумевая сходимость соответствующего ряда Фурье.

Плоскостный заряд

В качестве очень простого примера рассмотрим неподвижный плоский лист с единичным зарядом – так, чтобы он лежал в плоскости yz, рассекая пополам риманову Вселенную T⁴. Источник временной компоненты 4-потенциала в таком случае будет описываться одномерной дельта-функцией Дирака по координате x. Так как в этом примере все функции будут зависеть только от x, мы опустим в обозначениях компонентов и интегралов Фурье оставшиеся три размерности, а L^xобозначим просто как L.

В этом случае ненулевые коэффициенты Фурье, описывающие источник, будут иметь вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Конкретно этот источник может существовать только при условии, что ν_max L не является целым числом, поэтому мы будем исходить из допущения, что это действительно так. Тогда ненулевые Фурье-компоненты решения, описывающего временную компоненту 4-потенциала, будут равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы не станем вычислять сумму соответствующего ряда Фурье напрямую, а воспользуемся другим методом. Используя симметрию задачи и риманову версию теоремы Гаусса, можно легко установить, что 4-потенциал, связанный с единичным плоскостным зарядом в отсутствие граничных условий имеет вид:

$A_{t, src} = - \cfrac{\sin(\omega_m |x|)}{2 \omega_m}$

С другой стороны, у нас есть решение без источника, которое обладает точно такой же симметрией и которое мы можем свободно прибавить к предыдущему с произвольным коэффициентом:

$A_{t, nsrc} = \cfrac{\cos(\omega_m x)}{2 \omega_m}$

Обе функции четны по переменной x (т. е. их значение не зависит от знака x при любом x), поэтому любое решение будет непрерывным в точке x=±L/2. Но поскольку производная четной функции принимает в точках ±x противоположные значения, то решение может гладко замыкаться само на себя при x=±L/2 только в том случае, когда производная в этих точках равна нулю. Подбирая константу C в общем решении A_{t, src} + C A_{t, nsrc} мы можем добиться обращения производной в нуль при x=±L/2. После упрощений результат принимает вид:

$A_{t, bc} = - \cfrac{\cos(\pi \nu_{max} (L - 2 |x|))}{4 \pi \nu_{max} \sin (\pi \nu_{max} L)}$

Фурье-коэффициенты функции A_{t, bc} в точности совпадают с теми, которые мы привели выше, откуда следует, что оба метода согласуются друг с другом. Данное решение описывает фазовый сдвиг потенциала, благодаря которому он может гладким образом оборачивать Вселенную, сохраняя при этом именно такой разрыв на плоскостном заряде, который необходим для выполнения в этой области теоремы Гаусса.

Линейный заряд

Рассмотрим неподвижный отрезок с единичным зарядом, расположенный на оси z римановой Вселенной T⁴. Источник временной компоненты 4-потенциала будет представлять собой дельта-функцию Дирака от переменных x и y. Мы опустим координаты z и t в обозначениях коэффициентов Фурье и для простоты будем считать, что L^x = L^y = L. Ненулевые коэффициенты Фурье, соответствующие источнику, равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Такой источник возможен лишь при условии, что L² ν_max² не является суммой квадратов двух целых чисел, поэтому мы будем считать, что это условие выполнено. Ненулевые коэффициенты в Фурье-разложении решения, описывающего временную компоненту 4-потенциала, имеют вид:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы можем явным образом выразить сумму по одному из индексов и свести это выражение к ряду Фурье по другому индексу. Представить выражение целиком в замкнутой форме нельзя, однако уменьшив количество индексов вдвое, мы упрощаем применение численных методов.

Rendered by QuickLaTeX.com

Заметим, что вначале, пока j / L не превосходит ν_max, α_j будет принимать мнимые значения, а пока эти величины являются мнимыми, функции β_j(u) будут иметь колебательный характер, поскольку гиперболический косинус мнимого аргумента ix – это просто косинус x.

При вещественных α_j функции β_j(u) монотонно убывают от положительного максимума, соответствующего u = 0 до минимума (также положительного), который достигается при u = 1/2 и соответствует точке, удаленной от источника на расстояние, равное половине ширины Вселенной. Падение не является экспоненциальным в буквальном смысле – поcкольку экспоненциально затухающая функция никогда не достигает минимума – но очень на него похоже. Таким образом, неосциллирующие слагаемые очень быстро убывают по мере увеличения расстояния от источника.

На следующих графиках, изображающих изолинии нулевого потенциала в плоскости, перпендикулярной линии заряда, видно, как форма поля искажается под действием рассмотренных нами граничных условий. [Поскольку на графике не показаны изолинии ненулевых потенциалов, судить о величине поля мы не можем – по сути расстояние между изолиниями в данном случае представляет собой всего лишь длину волны.] На верхнем графике изображена Вселенная в целом – при этом параметры выбраны таким образом, что в L всего несколько длин волн, и эффект выражен сильно. На нижнем графике показана область того же размера (выраженного в длинах волн), однако теперь это лишь малая часть Вселенной, уступающая ей по размеру в тысячу раз – в этом случае уже в окрестности заряда поле начинает приобретать более радиально симметричный вид. Таким образом, несмотря на то, что увидеть, как поле теряет радиальную симметрию под влиянием граничных условий, было бы довольно интересно, во Вселенной реалистичных размеров – диаметром не менее 10³⁰ длин волн или около того – обнаружить соответствующие эффекты опытным путем, скорее всего, будет невозможно.

Линейный переменный ток

Первоначальной мотивацией, которой мы руководствовались, вводя эти граничные условия, было избежать экспоненциального взрыва высокочастотных волн. Мы убедились в том, что если во Вселенной T⁴ могут существовать волны без источника, то их частота гарантированно не превосходит гипотетической максимальной частоты, входящей в волновое уравнение. Таким образом, возникает очевидный вопрос: что произойдет во Вселенной T⁴ при наличии некоторого источника, совершающего колебаний с частотой, превышающей этот максимум?

Простейшей в плане анализа разновидностью источника является линейный переменный ток. Если ток движется вдоль оси z римановой Вселенной T⁴, совершая колебания с частотой l_AC / L^t, где l_AC – некоторое целое число, то во временном направлении Фурье-коэффициенты источника и решения волнового уравнения будут совпадать, что позволяет нам исключить их из рассмотрения и практически без изменений применить метод предыдущей задачи для учета пространственной зависимости данного решения. Отличие состоит в том, что к сумме квадратов индексов, которая раньше состояла из одного слагаемого j² прибавляется постоянный член l_AC². Как и ранее, в целях простоты мы будем считать, что ширина Вселенной по всем направлениям (включая выбранную нами ось времени) одинакова и равна L. В этом случае:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если частота колебаний тока, l_AC / L, превосходит ν_max, то выражение под знаком квадратного корня в определении α_j всегда будет положительным и, следовательно, α_j будет вещественным числом при любом j. Как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, при вещественном α_j функции β_j(u) убывают, довольно сильно напоминая своим поведением экспоненциальное затухание – правда, в отличие от последнего достигают минимума, в котором их производная равна нулю, на расстоянии, равном половине размера Вселенной.

Мы не можем выразить бесконечную сумму по j в замкнутой форме, но результат суммирования большого количества членов этого ряда показан на следующем графике. Очевидно, что высокочастотные колебания источника будут сопровождаться полем, которое играет заметную роль лишь вблизи самого источника и с увеличением расстояния затухает гораздо быстрее, чем поле излучения, окружающее линейный переменный ток с частотой меньше ν_max.

Данные коши и предсказания

В нашей Вселенной, где свет в вакууме подчиняется уравнению лоренцевой волны, мы можем, зная одновременно величину электромагнитного поля и значение его производной по времени во всех точках некоторой области пространства R и в определенный момент t₀, предсказать, какой будет величина поля по прошествии некоторого времени. Электромагнитные волны, конечно же, всегда могут попасть внутрь этой области через ее границу, так что по мере удаления текущего момента времени от t₀ область пространства, в которой мы можем делать прогнозы, будет сжиматься со скоростью света, но с принципиальной точки зрения в пространстве-времени всегда будет существовать конкретная, четко определенная область, в пределах которой наши начальные данные позволяют нам предсказывать будущую величину поля.

Данные такого рода – значение функции и ее производной по времени во всех точках некоторой пространственной области и в конкретный момент времени – называются данными Коши. Тот факт, что данные Коши позволяют нам отчасти заглядывать в будущее, есть следствие самой природы уравнений лоренцевой волны, представляющих собой гиперболические дифференциальные уравнения второго порядка.

Другим примером гиперболического уравнения, позволяющего использовать данные Коши, может служить волновое уравнение, описывающее малые колебания упругой струны. Предположим, что струна имеет конечную длину и оба ее конца закреплены. Тогда, зная, чему в конкретный момент равно смещение струны и его производная по времени во всех точках струны, мы в принципе можем предсказать движение струны в любой будущий момент. Более того, даже если бы наши знания ограничивались лишь частью струны, в силу того, что скорость бегущих по ней волн не может превосходить некоторого максимального значения c_max, мы все равно могли бы с уверенностью сделать прогноз в отношении той части струны, которая получится в результате сжатия известного нам фрагмента, который с каждого из концов укорачивается со скоростью c_max.

Римановы волновые уравнения, в отличие от лоренцевых, относятся к классу эллиптических дифференциальных уравнений. Как правило, для того, чтобы решить эллиптическое дифференциальное уравнение в некоторой области, требуются данные о значениях решения на всей ее границе. Частные случаи эллиптических дифференциальных уравнений в нашей Вселенной относятся к областям пространства, а не пространства-времени. Так, равновесная температура, достигаемая в твердых телах, описывается эллиптическим дифференциальным уравением – так называемым уравнением Лапласа – и для того, чтобы определить температуру во всех точках некоторой области данного твердого тела в общем случае нужно знать температуру во всех точках, расположенных на границе этой области. Знание температуры, скажем, на одной из граней железного куба – вместе с соответствующей производной в направлении от этой грани к центру куба, что в совокупности как раз и составляет данные Коши – не дает надежного способа вычислить температуру во всех точках куба.

Предположим, к примеру, что мы располагаем информацией всего об одной грани куба, а грань, расположенная напротив нее, характеризуется распределением температуры, состоящим из близко расположенных горячих и холодных полос, чередующихся друг с другом. Наши данные в таком случае могли бы описывать чрезвычайно слабый и размытый отголосок этих полос. Последовательное изменение температуры между известной нам и противоположной гранью включает в себя экспоненциальный рост разницы температур, который значительно усилит любые погрешности, имеющиеся в наших данных, вплоть до того, что наличие только лишь информации о размытых полосах и их производных служит довольно слабым ориентиром в отношении точных значений температуры на противоположной грани. Если же вместо одной грани мы бы располагали информацией о температуре на всех гранях куба, то интерполяция распределения температуры внутри области, удовлетворяющей уравнению Лапласа, давала бы гораздо более надежные результаты.

В бесконечной римановой Вселенной задача предсказания решений волновых уравнений на основе данных Коши была бы настолько же трудоемкой, как и попытка рассчитать температуру внутри куба, располагая только данными об одной из его граней. Поскольку уравнение является эллиптическим, мы могли бы прийти к выводу, что его решения допускают лишь постгнозирование: вначале мы собираем данные о начальных значениях поля в некоторой области пространства, его конечных значениях по прошествии некоторого интервала времени, а также о событиях, произошедших в течение этого интервала на границе той же самой области, а затем используем всю эту информацию на границе интересующего нас фрагмента 4-пространства, чтобы постфактум рассчитать эволюцию поля внутри него. Такая ситуация допускала бы проверку законов физики, но заметно бы усложнила предвидение будущего и подготовку к грядущим событиям.

В конечной римановой Вселенной – например, такой, как Вселенная T⁴, – дела обстоят несколько лучше. Поскольку в T⁴волны без источника могут состоять лишь из конечного числа функций Фурье-базиса, то сумев определить все соответствующие коэффициенты, мы узнаем полную историю волны. При добавлении источника – который и сам должен удовлетворять уравнению того же самого общего вида – задача становится сложнее, но принцип решения остается тем же.

Для простоты ограничимся рассмотрением скалярной волны без источника. Допустим, что нам известна величина самой волны и ее производной по времени во всем пространстве на конкретный момент. Мы введем систему координат таким образом, чтобы моменту времени, о котором у нас есть данные, соответствовало t=0, где в качестве “времени”, разумеется, может выступать любое из четырех направлений, задающих замкнутый путь на поверхности тора.

Предположим, что некоторые из функций Фурье-базиса f_{i, j, k, l} являются решениями волнового уравнения без источника. Если l ≤ 0, то зависимый от времени множитель, входящий в эту функцию, f_l(t / L^t), будет представлять собой либо косинус, либо постоянную функцию и, следовательно, будет отличен от нуля при t=0, так что коэффициент при f_{i, j, k, l} можно определить просто за счет Фурье-анализа наших данных в момент t=0. Если же l > 0, то зависящий от времени множитель окажется синусом и, значит, будет равен нулю при t=0. Зато его производная при t=0 будет отлично от нуля, поэтому соответствующий коэффициент можно будет вычислить, подвергнув Фурье-анализу данные о значении производной по времени в момент t=0. Таким образом, располагая данными как о самом решении, так и о его производной, мы можем вычислить коэффициенты всех базисных функций, входящих в разложение волны без источника и, следовательно, рассчитать величины волны в любой момент времени – как в прошлом, так и в будущем.

Разумеется, было бы абсурдным предполагать, что кто-либо из обитателей римановой Вселенной может обладать информацией о величине электромагнитного поля в масштабе всей Вселенной. С другой стороны, пытаясь спрогнозировать события нашей собственной Вселенной на ближайшие пять минут, мы никогда не обладаем идеальной информацией обо все, что происходит вокруг нас в радиусе пяти световых минут (около 90 миллионов километров). Но это не мешает нам проверять научные теории и достаточно точно предугадывать будущее, чтобы обеспечить свое выживание – пока что. Дело в том, что занимаемая нами область пространства-времени достаточно упорядочена и спокойна, и это позволяет нам в большинстве случаев действовать, исходя из допущения, что наиболее важные источники электромагнитного излучения расположены вблизи нас – как, например, Солнце – и как следствие, обладают хорошо известным и относительно предсказуемым поведением. Тот факт, что законы физики допускают внезапные и массивные притоки излучения от неизвестных нам источников, которые, случись подобное, застали бы нас врасплох, не лишил нас ни способности заниматься наукой, ни возможности планировать собственное будущее.

В своей классической статье “Is ‘the Theory of Everything’ Merely the Ultimate Ensemble Theory?” (“Является ли “теория всего” не более, чем теорией конечного ансамбля”), Макс Тегмарк высказывает предположение, что эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие Вселенную без времениподобных направлений, исключают возможность прогнозирования будущего и, как следствие, сильно затрудняют эффективное функционирование “субструктур, обладающих самосознанием”, как он сам их называет. Но если риманова Вселенная конечна и в ней существуют относительно спокойные и упорядоченные локальные области – а именно эти качества лежат в основе нашей эволюции и процветания – то строгая зависимость между возможностью прогнозирования и наличием данных Коши, охватывающих всю Вселенную, будет ограничивать потенциал биологической эволюции не более, чем аналогичная зависимость между наличием данных Коши для области радиусом 90 миллионов километров и возможность предугадать события ближайших пяти минут.

Четырехмерная сфера

Граница гипершара в пятимерном пространстве представляет собой конечное четырехмерное пространство, не имеющее границы и называемое четырехмерной сферой, или S⁴. 4-сфера не обязательно должна быть вложена в пространство большей размерности и не обязана иметь постоянную кривизну, однако в целях простоты мы рассмотрим риманову Вселенную, которая не только характеризуется данной топологией, но и действительно обладает всеми геометрическими свойствами, которые 4-сфера имеет, будучи вложенной в пятимерное пространство. Если мы обозначим радиус гиперсферы через R, то ее четырехмерный объем будет равен:

$V = \cfrac{8}{3} \pi^2 R^4$

а максимальная длина любой геодезической в пределах 4-сферы составит 2πR. Скалярная кривизна Риччи – которая характеризует, насколько медленнее объем шара растет с увеличением его радиуса по сравнению с шаром в евклидовом пространстве – в каждой точке будет равна 12 / R².

Замечательное свойство S⁴ как модельной Вселенной состоит в том, что она более симметрична, чем T⁴. Если мы рассмотрим симметрии S⁴, при которых некоторая точка остается неподвижной, то окажется, что они образуют ту же самую группу O(4), что и в случае евклидова пространства. А вместо параллельных переносов евклидова пространства мы просто расширяем эту группу до O(5).

Но это удобство имеет свою цену – теперь нам приходится иметь дело с искривленным 4-пространством. В отличие от T⁴ пространство с топологией S⁴ не может быть абсолютно плоским во всех своих точках. Почему? При четных n Эйлерова характеристика Sⁿ всегда равна 2 (доказать это можно, просто подсчитав количество элементов гиперкуба). Согласно обобщенной формуле Гаусса-Бонне, эйлерова характеристика равна интегралу от некоторой функции, связанной с кривизной пространства, и если кривизна равна нулю, то этот интеграл также должен обратиться в нуль – что противоречит известному значению эйлеровой характеристики.

Мы можем ввести на S⁴некоторое подобие полярных координат, представленных четырьмя углами:

$0 \leqslant \xi \leqslant \pi$
$0 \leqslant \psi \leqslant \pi$
$0 \leqslant \theta \leqslant \pi$
$0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$

с помощью которых точку на 4-сфере радиуса R в пятимерном пространстве можно параметрически представить в виде:

$(R \cos \xi, R \sin \xi \cos \psi, R \sin \xi \sin \psi \cos \theta, R \sin \xi \sin \psi \sin \theta \cos \varphi, R \sin \xi \sin \psi \sin \theta \sin \varphi)$

С точки зрения этих координат метрика имеет диагональную форму и ее ненулевые компоненты равны:

$g_{\xi \xi} = R^2$
$g_{\psi \psi} = R^2 \sin^2 \xi$
$g_{\theta \theta} = R^2 \sin^2 \xi \sin^2 \psi$
$g_{\varphi \varphi} = R^2 \sin^2 \xi \sin^2 \psi \sin^2 \theta$

откуда следует, что квадратный корень из определителя метрики равен:

$\sqrt{|g|} = R^4 \sin^3 \xi \sin^2 \psi \sin \theta$

Подобно тому, как скалярную функцию в T⁴ можно разложить в ряд Фурье, любую достаточно хорошую функцию в пространстве S⁴ можно представить в виде суммы четырехмерных сферических гармоник:

Rendered by QuickLaTeX.com

где P – присоединенная функция Лежандра первого рода. Индексы m, j, k, l являются целыми числами, которые удовлетворяют следующим условиям:

$0 \leqslant |m| \leqslant j \leqslant k \leqslant l$

Функция Φ_m(φ) имеет простую тригонометрическую форму, но как выглядят функции, зависящие от трех других координат? Все они в общем и целом подчинятся общей закономерности: когда их верхний индекс имеет максимально возможное значение, они меняются от нуля при нулевом значении координаты до единственного максимума или минимума, который достигается при π/2, после чего снова возвращаются к нулю, когда значение координаты становится равным π. По мере уменьшения верхнего индекса количество экстремумов между двумя нулями функции увеличивается на единицу. Когда индекс достигает нулевого значения, количество экстремумов также увеличивается на единицу, но теперь функция уже не обращается в нуль на концах своей области определения.

Общее число упомянутых сферических гармоник для заданного l можно найти, воспользовавшись неравенствами, ограничивающими значения индексов:

$N(l) = \cfrac{(l + 1) (l + 2) (2l + 3)}{6}$

Любые две сферические гармоники, отличающиеся индексами, взаимно ортогональны – иными словами, если мы проинтегрируем их произведение с весом √|g| по всему пространству S⁴, то в результате получим нуль. В данном случае мы добавили множитель, который, помимо прочего, гарантирует, что интеграл от квадрата любой гармоники равен единице.

Какие из сферических гармоник удовлетворяют уравнению скалярной римановой волны на сфере, которое мы вывели в параграфе, посвященном искривленному пространству? Нетрудно показать, что сферические гармоники представляют собой собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами, причем:

$\mathrm{div} \enspace \mathrm{grad} Y_{j, k, l}^m = -\cfrac{l (l + 3)}{R^2} Y_{j, k, l}^m$

Таким образом, если ω_m² R² является целым число вида l(l+3), то все N(l) сферических гармоник, соответствующих значению l, будут решениями волнового уравнения без источника. Если ω_m² R² не является таким числом, то решений без источника не будет. Иначе говоря, ситуация очень напоминает пространство T⁴, в котором решения источника не существовали при произвольном выборе максимальной частоты и размера Вселенной, но если существование решений без источника в принципе допускается геометрией пространства, то они всегда будут состоять из конечного числа мод. В данном случае мы можем очень легко подсчитать количество мод, не беспокоясь о каких-либо теоретико-числовых тонкостях, которые требовались в случае T⁴. Так как при ω_m² R² = l(l+3) общее число мод равно N(l), то при больших l имеем:

$l \approx \omega_m R$
$N(l) \approx N(\omega_m R) \approx (\omega_m R)^3/3$

Если риманова Вселенная хотя бы примерно сопоставима по масштабу с наблюдаемой частью нашей Вселенной, то это число, конечно же, будет очень велико. Но в действительности симметрия S⁴ приводит к тому, что если решения без источника вообще существуют, то существуют и решения, которые локально выглядят как плоские волны, волновой вектор которых не ограничивается значениями из большого, но дискретного набора, а может быть в буквальном смысле любым. Представим, что наблюдатель находится в точке в точке с ξ=ψ=θ=π/2 и произвольным значением φ, а затем рассмотрим гармонику Y_{l, l, l}^l, где l – целое, удовлетворяющее равенству l(l+3) = ω_m² R². Наблюдатель окажется в области очень широкого и плоского экстремума функций, зависящих от координат ξ, ψ и θ, в то время как зависимость от φ будет иметь вид cos(l φ) ≈ cos(ω_m R φ), что в малой окрестности будет выглядеть, как плоская волна того же самого вида, который мы описывали для случая евклидова 4-пространства. При этом вне зависимости от выбора положения наблюдателя и волнового вектора мы можем просто подобрать координаты, удовлетворяющие описанным нами условиям и представить в этих координатах то же самое решение.

Если мы рассмотрим уравнение СРВ с источником H и обозначим через h_{j, k, l}^m и a_{j, k, l}^m коэффициенты сферических гармоник источника и решения A соответственно, то окажется, что:

$a_{j, k, l}^m \left[ l (l + 3) - \omega_m^2 R^2 \right] = h_{j, k, l}^m R^2$

Если существует такое l, что l(l+3) = ω_m² R², то источник не может включать в себя каких-либо сферических гармоник, соответствующих этому значению l, в то время как решение может содержать эти гармоники в любом количестве. При прочих зрачениях l коэффициенты решения однозначно определяются соответствующими коэффициентами источника:

$a_{j, k, l}^m = \cfrac{h_{j, k, l}^m R^2}{l (l + 3) - \omega_m^2 R^2}$

Функция Грина для 4-сферы

Рассмотрим в пространстве S⁴ точечный всплеск источника, описываемый дельта-функцией. Какое решение соответствует такому источнику? Наши ожидания подсказывают, что оно должно отчасти напоминать функцию Грина, которую мы ранее вывели для мгновенного всплеска заряда в евклидовом 4-пространстве, обнаружив, что она пропорциональна Y₁(ω_m s) / s, где Y₁ – функция Бесселя второго рода.

Для простоты ограничимся уравнением скалярной волны. Если мы разместим источник в полюсе нашей системы координат, где ξ=ψ=θ=0, а значение φ не определено (точно так же, как не определена долгота на северном и южном полюсах Земли), то отличными от нуля будут только те коэффициенты сферических гармоник, для которых m = j = k = 0, поскольку в точке полюса все остальные значения обращают гармоники Y_{j, k, l}^m в нуль. Таким образом, ненулевые коэффициенты равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

Мы предполагаем, что ни одно целое l не удовлетворяет равенству l(l+3) = ω_m² R². Решение имеет вид:

$A(\xi) = -R^2 \sum \limits_{l = 0}^{\infty} \cfrac{(2l + 3) P^1_{l + 1}(\cos \xi)}{8 \pi^2 (l (l + 3) - \omega_m^2 R^2) \sin \xi}$

Численная аппроксимация этой суммы показана на следующем графике. В первой половине области определения поведение функции в общем и целом соответствует нашим ожиданиям: она совершает колебания, амплитуда которых падает по мере удаления от источника. Однако затем происходит нечто совершенно неожиданное: по мере приближения к противоположному полюсу функция снова набирает силу. Это следствие симметрии S⁴; в менее однородном пространстве с той же самой топологией данный эффект был бы выражен значительно слабее.

Стоит отметить, что даже при такой идеальной симметрии поле в противолежащей точке – в отличие от точки, в которой находится сам источник – будет конечным. При ξ=π результат суммирования можно выразить явным образом:

$A(\pi) = - \cfrac{R^2 (\omega_m^2 R^2 + 2)}{16 \pi \cos \left( \cfrac{\pi}{2} \sqrt{4 \omega_m^2 R^2 + 9} \right)}$

Cтоящий в знаменателе косинус обратится в нуль только в том случае, когда наше допущение о целочисленности ω_m² R² окажется неверным, поэтому поле в данной точке будет конечным.

Данные Коши и предсказания

В случае со Вселенной T⁴ мы выяснили, что наличие данных Коши по всей ширине Вселенной в конкретный момент времени (где ось времени может быть любой из четырех координат, огибающих 4-тор), позволило бы нам определить значения конечного числа коэффициентов свободной волны и тем самым реконструировать ее полную историю во времени.

В S⁴ для той же цели можно использовать данные Коши на любой “большой 3-сфере”, т. е. любой 3-сфере радиуса R. Если мы предположим, что геометрия 4-пространства допускает существование волн без источника, то всем сферическим гармоникам Y_{j, k, l}^m(ξ, ψ, θ, φ), удовлетворяющим волновому уравнению без источника, будет соответствовать одно и то же значение l. Выберем систему координат так, чтобы для 3-сферы, покрытой данными Коши, выполнялось равенство ξ=π/2. Коэффициенты гармоник, достигающих максимума или минимума при ξ=π/2 можно найти, опираясь на величину поля на данной 3-сфер; для тех же гармоник, который при ξ=π/2 обращаются в нуль, максимума или минимума в этой точке будут достигать их производные по направлению ξ, а значит, соответствующие коэффициенты можно будет найти, используя значения производной поля. Таким образом, с помощью данных Коши на 3-сфере мы можем реконструировать полную историю решения.

Что, если мы располагаем данными о 3-сфере меньшего радиуса, которую можно было бы описать как гиперповерхность вида ξ=ξ₀ для некоторого ξ₀ < π/2? Если мы знаем фактическое значение ξ₀, то на данной 3-сфере множители Ξ^k_l(ξ) и ∂_ξΞ^k_l(ξ) также будут известными величинами (которые никогда не обращаются в нуль одновременно), поэтому принципиальная возможность рассчитать все коэффициенты решения должна иметь место и в этом случае.

Это приводит нас к любопытному наблюдению о том, что в принципе мы могли бы реконструировать полное решение, даже располагая данными Коши для очень маленькой 3-сферы. Ведь такая 3-сфера является границей сразу двух конечных областей – своей внутренности в обычном понимании и всей остальной Вселенной S⁴, подобно тому, как полярный круг окружает как область вокруг северного полюса, так и всю остальную поверхность Земли. Впрочем, если ξ значительно меньше π/2, то на практике значения Ξ^k_l(ξ) становятся чрезвычайно малы по сравнению со значениями при π/2, а максимумы остальных множителей в выражениях гармоник оказываются все ближе друг к другу, вплоть до того, что экстраполяция данных о соответствующей 3-сфере на всю Вселенную потребует непомерно высокой точности данных.

Литература

[1] John David Jackson. Classical Electrodynamics. – John Wiley & Sons, 1999.
В параграфе 12.7 приводится лагранжиан для традиционной электромагнитной теории, а в 12.8 – лагранжина для случая лоренцевой электродинамики Прока. (Заметим, что единицы измерения, используемые у Джексона, отличаются от принятых нами, а лоренцева метрика представлена сигнатурой (+ – – -), поэтому сопоставление данных формул требует некоторой аккуратности.)

[2] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграф 21.3).

Часть 7. Квантовая механика в римановой Вселенной

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/07/QM.html

Структура твердых тел

В нашей Вселенной электростатическая сила Кулона подчиняется простому закону обратных квадратов. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются, поэтому один положительный заряд, находящийся вблизи другого, также положительного, будет испытывать на себе воздействие “энергетического ландшафта”, напоминающего крутую гладкую гору, склон которой с увеличением расстояния от вершины постепенно понижается до уровня земли. Вокруг отрицательного заряда существует энергетическая яма, представляющая собой перевернутую копию “положительной” горы.

В римановой Вселенной аналогичная сила приводит к ситуации, в которой одноименные заряды притягиваются, а разноименные – отталкиваются. Но это справедливо лишь до определенного расстояния, так как энергетический ландшафт, окружающий заряженную частицу, состоит из регулярно расположенные пиков и углублений, наложенных на обратноквадратичный закон, в соответствии с которым уменьшается амплитуда силы.

На следующих графиках показана зависимость энергии от расстояния. В трехмерном пространстве, окружающем центральную частицу, энергетические пики и ямы образуют концентрические сферы, что позволяет частицам формировать связи, располагаясь друг у друга в соответствующих энергетических ямах.

ortnt_07_01 ortnt_07_02

Тем не менее, есть одна сложность. Если проанализировать эту ситуацию с точки зрения классической физики – то есть без учета квантовомеханических эффектов – то частица, находящаяся в энергетической яме, не будет оставаться неподвижной, так как имеющаяся у частицы энергия, как правило, позволяет ей в определенной степени раскачиваться вперед-назад. Однако в процессе такого движения она будет порождать электромагнитное излучение. В нашей Вселенной это приведет к уменьшению кинетической энергии и замедлению частицы, однако в римановой Вселенной кинетическая энергия по своему смыслу противоположна энергии электромагнитного излучения, поэтому частица, совершающая колебания в энергетической яме, по мере генерации излучения будет двигаться все быстрее и быстрее. Продолжая таким образом накапливать кинетическую энергию, частица рано или поздно покинет свою энергетическую яму.

Одна из возможных ситуаций, в которых частица остается связанной, требует, чтобы частота ее колебаний превышала максимальную частоту электромагнитного излучения, ν_max. Заряженная частица, осциллирующая с частотой, большей ν_max, не будет генерировать излучение.

Однако осцилляции, содержащие только одну, чистую частоту, могут возникнуть лишь в том случае, когда энергетическая яма имеет безукоризненно точную форму – то есть в том случае, когда потенциальная энергия как функция расстояния от центра представляет собой идеальную параболу. Это довольно строгое ограничение, и сила Кулона ему определенно не удовлетворяет. В случае же “неидеальной” энергетической ямы, даже если главная частота колебаний превышает ν_max, движение частицы будет содержать в себе дополнительные компоненты с более низкими частотами.

Каким же образом в таком случае материя может сохранять стабильность в римановой Вселенной? Ответ заключается в квантовой механике. В ближайшее время мы рассмотрим этот вопрос, но для этого нам потребуется сформулировать простой и конкретный пример для демонстрации данного эффекта.

Мы не станем рассматривать риманов аналог водородного атома, состоящего всего из двух частиц, связанных силой электростатического притяжения, а вместо этого начнем с другой крайности и в качестве примера возьмем энергетический ландшафт, в котором оказывается одна частица, окруженная огромным множеством соседей, расположенных в виде регулярной решетки.

Конкретное расположение частиц, которое мы будем рассматривать, имеет несколько названий – в частности, кристаллографам оно известно как “гранецентрированная кубическая система”, а математикам – как “решетка A₃”. Решетка A₃ получается, если взять кубическую сетку и поместить по частице в каждую вершину всех кубов и центр каждой грани. Можно показать, что если мы возьмем все точки (x, y, z), для которых x+y+z является четным целым, то получим вариант решетки, в которой ребра кубов имеют длину 2, а расстояние между частицей и ее ближайшим соседом равно √2. Разумеется, мы можем отмасштабировать всю решетку до любого нужного нам размера, умножив все на некоторый коэффициент s.

Голубые плоскости на приведенном выше рисунке иллюстрируют еще один способ “нарезки” той же самой решетки. Плоскости разбиты на равносторонние треугольники, в вершинах которых находятся частицы. Такое расположение дает естественный способ укладки в плоскости сферических объектов наподобие апельсинов или бильярдных шаров – при этом последующие плоскости наслаиваются на предыдущие точно так же, как вышележащие слои апельсинов вкладываются в углубления нижележащего слоя.

В A₃-решетке у каждой частицы есть двенадцать соседей: шесть в том же самом “слое апельсинов”, три – в нижележащем и еще три – в вышележащем. Поскольку ближайшие соседи находятся на расстоянии √2, квадрат этого расстояния равен 2. В нашем первоначальном варианте каждая точка решетки имеет координаты (x, y, z), где x+y+z является четным целым, а поскольку:

$(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2) = 2(xy + yz + xz)$ ,

то квадрат расстояния от (0, 0, 0) до (x, y, z) также будет четным целым. Отсюда следует, что соседи (0, 0, 0) находятся на расстояниях:

√2, √4, √6, √8, √10 …

Соседи любой точки в этой решетке будут находиться в той же самой конфигурации. Количество частиц, находящихся на все большем расстоянии выражается количеством представлений 2, 4, 6, 8, 10,… в виде суммы трех квадратов целых чисел (при этом допускаются отрицательные числа и нуль, а различные варианты упорядочивания слагаемых считаются отдельно). Начало этой последовательности имеет вид:

12, 6, 24, 12, 24, 8, 48, 6, 36, 24 …

но простой формулы, описывающей ее члены, не существует.

Предположим теперь, что у нас есть кластер положительно заряженных частиц, расположенных в соответствии с решеткой A₃. Если бы кластер состоял только из четырех частиц, то все они могли бы находиться на равных расстоянии друг от друга, и масштаб решетки можно было бы подобрать таким образом, чтобы каждая из частиц располагалась точно в центре ближайшего энергетического желоба. В случае же большого кластера расстояния между частицами буду включать в себя всевозможные значения из приведенной выше последовательности – квадратные корни из всех четных целых. Очевидно, что все они не могут одновременно быть целыми кратными одного и того же значения, поэтому их невозможно расположить так, чтобы каждая из частиц находилась на дне какого-либо энергетического желоба. В итоге расстояние между ячейками решетки будет результатом компромисса, минимизирующего энергию и уравновешивающего преимущества, которые дает близость расстояние между непосредственными соседями к расстоянию λ_min между соседними желобами кулоновского потенциала, с влиянием данного эффекта на большее количество соседей, расположенных на других расстояниях.

Оказывается, что если кластер очень велик, то его потенциальная энергия достигает минимума, когда:

$s = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{min} \approx 0,866 \lambda_{min}$ ,

а расстояние между ближайшими соседями равно:

$d = \sqrt{2} s = \sqrt{\cfrac{3}{2}} \lambda_{min} \approx 1,2247 \lambda_{min}$

Поскольку эта величина почти на четверть превышает λ_min, энергетический вклад ближайших соседей будет очень мал! Тем не менее, оказывается, что если включить в сумму гораздо более удаленных соседей, то в итоге получится самая глубокая энергетическая яма для заданного значения s.

Здесь нам пригодится постоянная тонкой структуры, α, безразмерная величина, определяемая (в соответствии с применяемой нам системой мер, в которой пространство и время выражаются в одних и тех же единицах) следующим образом:

$\alpha = \cfrac{e^2}{4 \pi \hbar \varepsilon_0}$

Здесь e – это заряд частиц, из которых состоит решетка, ε₀ – электрическая постоянная, определяющая силу электростатического взаимодействия, а ℏ – постоянная Планка, деленная на 2 π. В нашей Вселенной α ≈ 1/137, но в римановой Вселенной эта величина, понятное дело, не обязана иметь то же самое значение.

Кроме того, мы введем величину:

m_фотон = ℏω_m

Энергия каждого кванта для света с заданной угловой частотой равна произведению этой угловой частоты на ℏ. Таким образом, ℏω_m представляет собой энергию, соответствующую свету с максимально возможной угловой частотой. Однако при рассмотрении римановых энергии и импульса мы уже выяснили, что максимум полной энергии частицы совпадает с ее массой покоя. Иными словами, ℏω_m – это масса покоя риманова фотона.

Если мы перемножим эти две константы, то окажется, что αm_фотон в 2π раз превосходит потенциальную энергию пары частиц, находящихся на расстоянии λ_min. Благодаря этому данная величина является удобной единицей измерения, подходящей для любых ситуаций, в которых расстояние между частицами выражается через λ_min.

Следующий билогарифмический график показывает глубину потенциальной ямы с точки зрения частицы, расположенной в центре группы A₃-кластеров, имеющих форму, близкую к сферической. Масштаб по вертикальной оси измеряется в единицах αm_фотон, по горизонтальной – в единицах λ_min.

Приведенная для сравнения красная линия показывает, какова была бы максимальная глубина ямы, если бы эквивалентный заряд был равномерно распределен по той же самой области пространства. Точная глубина, которую можно определить, проинтегрировав риманов потенциал Кулона по объему шара, имеет колебательный характер и осциллирует между данной линией и энергией противоположного знака, для которой яма в действительности является пиком.

Из-за того, что график не отражает все возможные размеры кластеров, осцилляции энергии по мере увеличения кластера учитываются не вполне равномерно; тем не менее общий тренд ясен – глубина ямы увеличивается пропорционально размеру кластера и в среднем вдвое превышает глубину ямы в случае равномерно распределенного заряда:

D_центр ≈ [8 / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

Это свойство кристаллических тел кажется неожиданным с точки зрения нашей Вселенной, в которой размер кристалла при достижении некоторого порогового значения перестает влиять на состояние электронов, находящихся ближе к его центру! В этой связи может возникнуть заманчивая идея о том, что подобное воздействие дальнего порядка должно быть связано с решением построить решетку из одних только положительных частиц, без каких-либо отрицательных зарядов, которые могли бы компенсировать их кумулятивный эффект. В действительности же добавление в решетку отрицательных зарядов в этом отношении практически бы не поменяло ситуацию: они бы расположились в своей собственной решетке энергетических минимумов – в точках, где энергия с позиции положительного заряда достигает максимума, – и в результате порожденный ими потенциальный ландшафт лишь увеличил бы глубину энергетических ям, созданных положительными зарядами.

Глубина потенциальной ямы, конечно, важна, но как насчет ее формы? В любом конечном кластере частиц буду существовать потенциальные ямы, которые не обладают идеальной вращательной симметрией и могут отличаться друг от друга в различных местах решетки; тем не менее, идеализированная модель вращательно симметричной ямы, в которой потенциальная энергия определяется исключительно расстоянием от центра, также может принести некоторую пользу. Чтобы приближенно описать форму ямы, можно воспользоваться кривой потенциала, возникающего внутри равномерно заряженной сферической оболочки; полный потенциал будет представлять собой сумму из множества подобных слагаемых, однако каждое из них будет иметь вид произведения некоторой константы и:

$U_s(r) = -\cfrac{\sin(\omega_m r)}{\omega_m r}$

В рамках той точности, которую нам обеспечивает аппроксимация решетки в виде совокупности заряженных сферических оболочек, форма центральной ямы будет отличаться от U_s(r) лишь некоторым постоянным множителем.

U_s(r), понятное дело, не является параболой. На следующем графике синяя кривая отображает функцию U_s(r), в то время как красная представляет собой параболу, вторая производная которой принимает то же значение при r=0. “Несовершенная” форма ямы – даже если мы рассматриваем идеальный случай, приписывая ей вращательную симметрию – означает, что классическая частица, совершающая колебания в такой яме, не будет двигаться с единственной, чистой колебательной частотой. Следовательно, даже если мы позаботимся о том, чтобы главная частота колебаний превосходила ν_max, в рамках классической физики этого условия недостаточно, чтобы помешать частице генерировать излучение за счет низкочастотных компонент своего движения.

Неидеальные гармонические осцилляторы

Когда частица движется в энергетической яме, потенциальная энергия которой (относительно дна ямы) пропорциональна квадрату расстояния от ее центра, сила, притягивающая частицу к центру, будет прямо пропорциональна расстоянию. Подобная система называется гармоническим осциллятором. Примерами могут служить груз, совершающий колебания на конце пружины, или маятник, раскачивающийся под действием силы тяготения — однако, как и в случае с большинством реальных физических систем, форма энергетической ямы лишь приблизительно соответствует параболе, и такое описание дает наилучшие результаты в случае малых колебаний.

Рассмотрим идеально параболическую энергетическую яму, обладающую радиальной симметрией в трех измерениях, и частицу, которая движется в яме без трения, излучения и каких-либо иных осложнений. Если коэффициент пропорциональности между силой и расстоянием равен k, то для потенциальной энергии U и силы F справедливо следующее:

$U = \cfrac{kr^2}{2}$

$\mathbf{F} = -\partial_r U \mathbf{e}_r = -kr \mathbf{e}_r$

Разложим эту радиальную силу на компоненты, направленные вдоль осей x, y и z. Если частица имеет координаты (x, y, z), то радиально направленный единичный вектор равен:

$\mathbf{e}_r = \left(\cfrac{x}{r}, \cfrac{y}{r}, \cfrac{z}{r}\right)$ ,

а значит, отдельные компоненты силы имеют вид:

$(F_x, F_y, F_z) = (-kx, -ky, -kz)$

Выразим вторую производную каждой из координат, используя тот факт, что сила равна произведению массы на ускорение:

$(\partial_t^2 x(t), \partial_t^2 y(t), \partial_t^2 z(t)) = \left(-\cfrac{k}{m}x(t), -\cfrac{k}{m}y(t), -\cfrac{k}{m}z(t)\right)$

Решение этих трех уравнений имеет вид:

$(x(t), y(t), z(t)) = (A_x \cos(\omega t + \varphi_x), A_y \cos(\omega t + \varphi_y)), A_z \cos(\omega t + \varphi_z))$ ,

где $\omega=\sqrt{\cfrac{k}{m}}$

Частица будет совершать колебания вдоль каждого из координатных осей с одной и той же частотой ω. Амплитуды колебаний A_x, A_y и A_z в общем случае будут отличаться, точно так же, как и фазы φ_x, φ_y и φ_z. Но поскольку частота во всех трех случаях одинакова, то вне зависимости от величин этих параметров, по прошествии времени 2 π / ω частица обязательно вернется в ту же самую точку. Она движется по замкнутой орбите, в общем случае имеющей форму эллипса, центр которого совпадает с центром ямы; примером может служить красная линия на следующем рисунке:

ortnt_07_07

Что произойдет, если форма энергетической ямы отличается от идеальной параболы? Сила уже не будет в точности пропорциональна r, и ее отдельные компоненты будут зависеть не только от соответствующих координат. В результате все усложняется, и замкнутыми в таком случае будут лишь круговые орбиты, полностью лишенные радиального движения. Синяя кривая на предыдущем рисунке показывает фрагмент орбиты в энергетической яме формы U_s(r), где U_s – функция, обозначающая потенциальную энергию частицы внутри решетки.

На следующем рисунке показано, как зависит от времени y-компонента движения частицы, а также результат ее преобразования Фурье, которое описывает набор частот, составляющих данное движение. Тот факт, что орбита испытывает прецессию — иначе говоря, что точка ее максимального удаления от центра вращается во времени с угловой частотой, которую мы обозначим ω_p — приводит к расщеплению единственного пика в частотном спектре, достигаемого при орбитальной частоте ω_o(в параболической яме колебания с другой частотой не возникают), на два различных пика, соответствующих частотам ω_o±ω_p.

ortnt_07_08

А поскольку эти пики являются довольно высокими и узкими (обратите внимание, что величина данных компонент изображена в логарифмическом масштабе!), то при ω_o–ω_p > ω_m лишь очень малая часть движения частицы будет происходить в области частот, при которых возможно излучение. Но “очень мало”, тем не менее, не равно нулю, поэтому со временем частица все равно будет накапливать энергию и рано или поздно будет вынуждена покинуть энергетическую яму.

Квантовые эффекты в твердых телах

Пока что наше изложение не выходило за рамки классической физики, однако для полноценного понимания описанной ситуации нам потребуется прибегнуть к помощи квантовой механики. Классическая физика частиц, движущихся со сравнительно малыми скоростями, как в нашей, так и в римановой Вселенной описывается ньютоновской механикой, а поскольку нерелятивистская квантовая механика представляет собой квантовый аналог механики Ньютона, мы можем непосредственно воспользоваться многими из ее результатов. В частности, для потенциальной ямы параболической формы квантовый гармонический осциллятор ведет себя точно так же, как и в нашей Вселенной.

В квантовой механике состояние частицы описывается не конкретным положением и скоростью, а некоторой волновой функцией. Эта функция сопоставляет каждой точке пространства, в которой может находиться частица, некое комплексное число, называемое амплитудой; вероятность обнаружить частицу в соответствующей точке пропорциональна квадрату абсолютного значения амплитуды.

Форма волновых функций, при которых частица обладает определенным значением энергии, не меняется во времени. На следующем графике показано несколько примеров. Полные волновые функции зависят от трех пространственных координат; то, что показано на графике, в действительности является всего лишь зависимостью от расстояния до центра потенциальной ямы, r.

ortnt_07_09

Числа n и l представляют собой квантовые числа, позволяющие классифицировать допустимые волновые функции для квантового гармонического осциллятора в трех измерениях. Квантовое число n связано с полной энергией частицы:

$E_n = (n + 3/2) \hbar \omega$

Здесь n – неотрицательное целое число, ℏ – постоянная Планка, деленная на 2 π, а ω – угловая частота колебаний соответствующего классического осциллятора. Таким образом, частица характеризуется последовательностью равноотстоящих энергетических уровней. Состояние с минимально возможной энергией, соответствующее n=0, не находится на дне ямы; оно находится на полтора ℏω-шага выше, после чего все последующие уровни разделяются интервалом в один шаг.

Квантовое число l описывает полный момент импульса, которым обладает частица. Как видно из графиков волновой функции, увеличение l повышает вероятность обнаружить частицу на большем расстоянии от центра ямы. Примечательное свойство гармонического осциллятора, однако же, состоит в том, что l никоим образом не влияет на полную энергию частицы. Квантовое число l может принимать значения между n и 0; кроме того, оно должно быть четным, когда n четно, и нечетным, когда n нечетно. Третье квантовое число, которое обычно обозначается m, может принимать любое целочисленное значение в промежутке от –l до l и определяет величину момента импульса вдоль конкретной оси координат; m ни влияет ни на энергию, ни на радиальную составляющую волновой функции, однако его значение совместно с l определяет поведение волновой функции под различными углами к оси.

В общей сложности частица, описываемая трехмерным гармоническим осциллятором, может занимать (n+1)(n+2)/2 различных квантовых состояний, обладающих одной и той же энергией E_n.

Если же форма энергетической ямы отличается от идеальной параболы, то форма всех волновых функций слегка меняется. Наиболее важное следствие этих изменений заключается в том, что теперь полная энергия частицы зависит и от l, квантового числа, отвечающего за момент импульса. Таким образом, уровни, которые в параболической яме были представлены всего одним значением, теперь распадаются на несколько уровней, расположенных близко друг к другу.

На следующей диаграмме показаны энергетические уровни для некоторых значений массы частицы и глубины ямы. Уровни красного цвета в каждом из случаев соответствуют идеальной параболической яме, в то время как синие – яме той же глубины, но имеющей форму U_s(r), приблизительно отражающую форму потенциальной энергии, которую мы ожидаем увидеть, когда частица находится внутри решетки.

ortnt_07_10

В квантовой механике заряженная частица не излучает непрерывным образом, как это имело бы место с точки зрения классической физики. Вместо этого происходит следующее: если частица находится в некотором состоянии с энергией E_A, и существует другое, доступное для нее, состояние с энергией E_B, она может испустить фотон, энергия которого равна разности между двумя уровнями и совершить скачок из состояния A в состояние B. Именно электроны, находящиеся в атомах, излучают свет в нашей Вселенной. Но в римановой физике имеют место два отличия. Во-первых, если при описании E_A и E_B мы условились считать кинетическую энергию положительной, то энергия фотона имеет противоположный знак. Таким образом, переход произойдет только при условии, что E_B > E_A, а испускание фотона будет сопровождаться скачком частицы на более высокий уровень энергии.

Второе отличие состоит в том, что в римановой физике энергия фотона ограничена сверху величиной m_фотон, и это необходимо учитывать. Если E_B – E_A > m_фотон, то достичь перехода посредством единственного фотона будет невозможно. В принципе частица может испустить два, или три, или четыре фотона, но по мере увеличения количества необходимых фотонов вероятность такого перехода становится все меньше и меньше.

Таким образом, состояние частицы, заключенной в потенциальную яму, будет устойчивым, если интервал, отделяющий его от следующего по величине состояния, в несколько раз превышает максимальную энергию фотона. В квантовой механике редко встречаются состояния, способные сохранять стабильность неограниченное время, однако чем больше разрыв между энергетическими уровнями, тем более устойчивым будет статус-кво. Например, если взять предыдущую диаграмму, то в случае частицы, находящейся на самом нижнем энергетическом уровне первой ямы, величина этого интервала составит 5.2 m_фотон, а значит, переход в состояние с более высокой энергией потребует эмиссии шести фотонов.

Следует особо подчеркнуть, что подобная стабильность не обязательно должна нарушаться при замене параболы на яму неидеальной формы, которую мы ожидаем увидеть в случае решетки. В какой-то мере энергетические уровни сдвигаются и расщепляются, однако во многих ямах все равно найдутся уровни, отделенные от вышележащего интервалом, в несколько раз превосходящим максимальную энергию фотона. Даже если под одним из таких уровней имеется гораздо меньший интервал, благодаря которому частица могла бы вначале поглотить фотон из внешней среды и опуститься на уровень ниже, а затем снова испустить фотон и вернуться на исходное место, это бы все равно не имело значения. Такие переходы всего лишь дают твердым телам возможность взаимодействовать со светом без каких-либо отрицательных эффектов в плане стабильности. (В действительности существует ряд нюансов, от которых зависит возможность перехода с участием единственного фотона даже в тех случаях, когда разрыв между энергетическими уровнями меньше m_фотон.)

Какие именно твердые тела будут обладать квантовомеханической стабильностью, зависит от целого ряда параметров, включая массу частиц, из которых состоит решетка и глубину соответствующих потенциальных ям. Глубина ям, в свою очередь, зависит от размера решетки, силы риманового электростатического взаимодействия и заряда каждой из частиц. Наши предыдущие выкладки показали, что:

D_центр ≈ [8 / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

где R – радиус кластера, а D_центр – глубина ямы, расположенной непосредственно в его центре. Чтобы учесть два небольших осложнения, мы введем в эту формулу кое-какие изменения. Во-первых, мы хотим гарантировать стабильность даже тех ям, которые расположены на границе кластера, поэтому для начала уменьшим приведенную выше оценку в два раза. Во-вторых, мы хотим учесть возможность, что в каждой яме может находиться больше одной частицы. Для этого мы умножим нашу оценку на W, количество частиц в каждой яме, поскольку вклад каждой частицы в общее поле решетки будет более-менее одинаковым.

D_центр ≈ [4 W / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

Очевидно, что реальное твердое тело, так же, как и в нашей Вселенной, не обязательно обладает идеальной кристаллической структурой на всем своем протяжении и вполне может состоять из множества мелких кристаллов; в этом случае R обозначает радиус одного из таких кристаллов, а не твердого тела в целом.

Предположим, что характерная глубина ямы в кристаллической решетке равна D. В таком случае наилучшее параболическое приближение потенциальной энергии будет иметь вид:

$U_p(r) = D \left[ \cfrac{1}{6}\omega_m^2 r^2 - 1 \right]$

Помимо того, что эта функция также имеет глубину, равную D, ее вторая производная при r = 0 принимает точно такое же значение, как и вторая производная потенциальной энергии решетки U_s(r). Сила, действующая на классическую частицу в такой яме, имеет вид:

$\mathbf{F} = -\partial_r U_p(r) \mathbf{e}_r = -\cfrac{D}{3} \omega_m^2 r \mathbf{e}_r$

откуда следует, что коэффициент пропорциональности силы k равен (D/3) ω_m², а естественная частота колебаний для частицы массой m, находящейся в потенциальной яме, равна:

$\omega = \sqrt{\cfrac{k}{m}} = \omega_m \sqrt{\cfrac{D}{3m}}$

Это означает, что соотношение интервала между энергетическими уровнями в потенциальной яме, ℏω, и максимальной энергией фотона m_фотон = ℏω_m, имеет вид:

(ℏω)/m_фотон = ω/ω_m = √[D/(3m)]

Таким образом, если закрыть глаза на сдвиги и расщепление уровней энергии, стабильность решетки будет зависеть от величины √[D/(3m)]. Если √[D/(3m)] ≤ 1, то решетка не будет стабильной; при этом стабильность решетки будет увеличиваться с ростом этой величины. Данный эффект проиллюстрирован на предыдущей диаграмме: энергетические уровни для различных значений n сближаются друг с другом либо при увеличении массы частицы m, либо при уменьшении D.

Если мы хотим обеспечить

(ℏω)/m_фотон = √[D/(3m)] > S

для некоторого “запаса прочности” S, то отношение массы частицы к массе фотона должно быть меньше критического значения, приведенного в (1a). Если это соотношение фиксировано, то эквивалентного уровня стабильности можно достичь в том случае, когда размер решетки превосходит пороговое значение, указанное в (1b).

Условия стабильности решетки:

m/m_фотон < [4Wα / (9√3πS²)] (R/λ_min)	(1a)
R/λ_min > [9√3πS² / (4Wα)] (m/m_фотон)	(1b)

Частицы малой массы благоприятно влияют на стабильность, так как при этом увеличиваются промежутки между энергетическими уровнями, а значит, для их преодоления требуется большее число фотонов. Однако масса может оказаться слишком низкой. В случае идеального гармонического осциллятора энергетическая яма имеет бесконечную протяженность – ее стенки просто вздымаются на неограниченную высоту, – однако ямы, возникающие в кристаллической решетке, ограничены как по высоте, так и по ширине. Если энергетический разрыв намного превышает глубину ямы, то частицы, занимающие в ней уровни с максимальной энергией, вместо скачка на более высокое связанное состояние рискуют просто вылететь из ямы. Более того, если промежутки между уровнями слишком велики, то внутри ямы могут просто не поместиться необходимые нам W состояний.

Если предположить, что частицы, составляющие решетку, являются фермионами, то есть, подобно электронам в нашей Вселенной, не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, то W частиц распределятся по нескольким уровнями энергии. Для каждого значения квантового числа n существует (n+1)(n+2)/2 различных состояний, но если учесть также и состояния, отличающиеся спином, их число увеличится вдвое, поэтому общее количество состояний, в которых главное квантовое число не превышает заданного n, равно:

$\displaystyle \sum_{i=0}^n (i + 1) (i + 2) = \cfrac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{3}$

Точное решение этого уравнения для уровня максимальной энергии, занятого в общей сложностью W частицами, довольно громоздко, но мы можем сделать грубую прикидку и сказать, что:

$n \approx \sqrt[3]{3 W}$

Требование уместить в яме первые n энергетических уровней ограничивает отношение масс снизу; соответствующее соотношение приведено в (1c), а эквивалентное условие R – в (1d).

Заметим теперь, что по мере увеличения размера решетки нижняя граница массы, (1c), уменьшается, а верхняя, (1a), увеличивается, поэтому достаточно большая решетка будет устойчивой независимо от конкретных значений α и S. Аналогичным образом для решетки достаточно малого радиуса можно достичь такого состояния, при котором верхняя граница сравняется с нижней, и одновременно удовлетворить двум неравенствам будет невозможно. Условие (1e) выражает тот факт, что размер решетки достаточно велик, чтобы исключить такой вариант.

Условия стабильности решетки, продолжение:

m/m_фотон > [3^7/6 π / (4α ³√W)] (λ_min/R)	(1c)
R/λ_min > [3^7/6π / (4α ³√W)] (m_фотон/m)	(1d)
R/λ_min > 3^11/6πS / (4W^2/3α)	(1e)

Так, если α=1/137 (таково значение постоянной тонкой структуры в нашей Вселенной), а S=4 (то есть мы хотим гарантировать, что для совершения перехода из основного состояния любой частице потребуется испустить не меньше четырех фотонов), условие (1e) требует, чтобы:

R/λ_min > 3225 / W^2/3

На следующем графике показан приблизительный спектр условий, при которых возможно существование стабильных кристаллических решеток. Мы не учли эффекты, связанные с расщеплением уровней, которое может оказывать дестабилизирующее воздействие на уровни с наивысшей энергией, а также не приняли в расчет взаимодействие между частицами, находящимися в одной и той же потенциальной яме, которое может увеличивать стабильность за счет понижения некоторых уровней энергии. Тем не менее, общий тренд, очевидный на представленном графике, должен сохраняться: если масса частицы фиксирована, то добавление новых частиц в каждую из ям позволяет увеличить стабильность решеток меньшего размера.

ortnt_07_11

Римановы атомы?

После того, как мы рассмотрели решетку, содержащую миллионы частиц, давайте теперь перейдем к анализу системы, в которой имеются всего две одинаковые частицы. В принципе связать друг с другом их можно двумя разными способами. Можно расположить частицы на расстоянии около λ_min, поместив каждую из них в первую “энергетическую траншею” соседа. Второй вариант – сблизить частицы на расстояние менее λ_min/4, в результате чего каждая из них попадет в “потенциальный колодец” своего соседа – бездонную яму электростатического притяжения, которое возникает до того, как электростатическое взаимодействие начинает осциллировать между притяжением и отталкиванием.

Однако, как показывает проведенный нами расчет решеток, пара частиц, расположенных в энергетических траншеях друг друга, с высокой вероятностью окажется нестабильной. Несмотря на то, что в этой ситуации действуют иные нюансы, нежели в случае решетки, глубина энергетических ям и величина промежутков между энергетическими уровнями зависят от тех же самых факторов. При W=1 и R=λ_min условие (1e) принимает вид:

α > (3^11/6 π / 4) S ≈ 5.89 S

Даже если предположить, что мы можем свободно варьировать значения всех фундаментальных констант в римановой Вселенной, выбор большого α с целью удовлетворить приведенному выше ограничению, лишь приведет к росту частоты скачков между уровнями, а это, в свою очередь, потребует увеличения S, чтобы обеспечить стабильность системы.

Если расстояние между частицами гораздо меньше, то мы можем полностью забыть о гребенчатом характере силы Кулона и считать, что электростатическое притяжение подчиняется закону обратных квадратов. Энергетические уровни подобной квантовомеханической системы прекрасно известны, так как если не считать ряда отличий в некоторых константах, они по сути совпадают с энергетическими уровнями атома водорода. Атом водорода, конечно же, состоит из отрицательно заряженного электрона, связанного с протоном, который имеет положительный заряд и намного большую массу, однако математические свойства волновой функции, определяемой притяжением по закону обратных квадратов, в обоих случаях будут по сути одинаковыми.

Скорректировав квантовую механику водородного атома, мы получим, что энергетические уровни простейшего риманова атома, состоящего из двух частиц, выражаются следующим образом:

E₁ = –m α² / 4

E_n = E₁ / n²

Здесь m – масса отдельной частицы, α – постоянная тонкой структуры, а квантовое число n принимает целые значения, большие или равные 1. Теоретически в атоме водорода n может принимать сколь угодно большие значения, однако в случае риманова атома при слишком большом n волновая функция выйдет за пределы потенциальной ямы, и аппроксимация, основанная на законе обратных квадратов, станет неприменимой. В этой связи нам нужно, чтобы данное предположение было справедливым как минимум до n=2. Масштаб расстояний для волновой функции можно найти, скорректировав величину, которая называется боровским радиусом атома водорода; значение, подходящее для нашей ситуации, имеет вид:

a₀ = 2 ℏ / (m α)

Для того, чтобы волновая функция была достаточно локализованной при n=2, должно выполняться условие:

a₀ < λ_min / 64

Множитель 1/64 в данном случае выбран отчасти произвольно, однако он гарантирует, что частицы окажутся на расстоянии больше λ_min / 4 (в этой точке находится первый нуль потенциала) с вероятностью, не превышающей 0.1%. При этом соответствующее ограничение на отношение массы частицы к массе фотона имеет вид:

Атом из двух частиц, условия стабильности:

m/m_фотон > 64 / (πα)

(2a)

Зададимся теперь вопросом: при каком условии атом будет оставаться стабильным в состоянии n = 1? Разность между первым и вторым энергетическими уровнями составляет:

ΔE = E₂ – E₁ = (–3/4) E₁ = 3mα² / 16

Ключевой величиной является количество масс фотонов, содержащихся в этой разности энергий:

ΔE / m_фотон = [3α² / 16] [m/m_фотон]

Если мы хотим обезопасить атом от спонтанной эмиссии фотонов, данное соотношение должно превосходить некоторый запас прочности S, следовательно:

Атом из двух частиц, условия стабильности (продолжение):

m/m_фотон > 16S / (3α²)

(2b)

При S=4 и α=1/137 это означает, что m/m_photon > 400 000! Таким образом для двухчастичного атома масса частицы должна быть намного больше, чем в случае стабильной решетки некоторого адекватного размера.

Если атом состоит не из двух, а из Z частиц, энергетические уровни возрастут в Z² раз. Но если мы предположим, что речь идет о фермионах, то Z частиц распределятся по нескольким уровням энергии. Существует 2n² различных квантовых состояний, соответствующих заданному квантовому числе n, поэтому верхние n значений можно определить так:

$Z = 2 (1 + 4 + 9 + \dots + n^2) = \frac{n (n + 1) (2n + 1)}{3} \approx \frac{2n^3}{3}$

$n \approx \sqrt[3]{\cfrac{3Z}{2}}$

(Заметим, что эти вычисления представляют собой грубые прикидки, справедливые лишь для больших значений Z, и их нельзя применить к нашему атому из двух частиц.) Теперь нам потребуется безопасный интервал не между n=1 и n=2, а между n и n+1:

$\Delta Z = Z^2(E_{n + 1} - E_n) =$
$= Z^2(-E_1)\left(\cfrac{1}{n^2} - \cfrac{1}{(n + 1)^2}\right) =$
$= Z^2 \cfrac{m \alpha^2}{4} \cfrac{2n + 1}{(n + 1)^2 n^2} \approx$
$\approx 2 Z^2 \cfrac{m \alpha^2}{4} \cfrac{1}{n^3} \approx$
$\approx \cfrac{Z m \alpha^2}{3}$

Если запас прочности равен S, то должно выполняться следующее условие:

Атом из Z частиц, условия стабильности (аппроксимация для больших Z):

m/m_фотон > 3S / (Zα²)

(3)

При S=4 и α=1/137 даже атом с Z=1000 потребует m/m_photon > 225.

Макромолекулы

В промежутке между твердой кристаллической решеткой и римановым атомом должен существовать некоторый спектр структур, которые можно построить из частиц любой заданной массы. Наиболее очевидный критерий их стабильности состоит в том, что энергетические уровни отдельных частиц должны включать состояния, которые отделены от более высоких уровней достаточно большим интервалом; как мы уже видели, достичь этого можно путем увеличения глубины ямы, однако данный способ может потребовать включения в структуру сотен или даже тысяч отдельных частиц.

Для того, чтобы система частиц обладала стабильностью, точно такие же промежутки должны существовать и между уровнями системы в целом – чтобы совокупные вибрации, деформации и вращения “молекулы” также были защищены от неконтролируемой генерации света. Энергия вращательных состояний пропорциональна квадрату соответствующего квантового числа, а поскольку расстояния между квадратами целых чисел увеличиваются по мере их роста, спектр вращательной энергии рано или поздно примет вид, при котором каждое состояние отделено от вышележащего достаточно большим интервалом. В случае с колебательными движениями и деформациями дело обстоит сложнее: помимо того, что в энергетическом спектре каждой из степеней свободы, которыми обладает молекула, должны присутствовать промежутки подходящего размера, структура должна быть достаточно симметричной, чтобы полный набор энергетических уровней не превратился в некое подобие случайной мешанины из плотно расположенных линий: совокупность из тысячи идентичных осцилляторов, характеризующихся одной и той же величиной энергетического интервала ΔE, будет иметь спектр с минимальным интервалом, равным ΔE, в то время как совокупность из тысячи осцилляторов с различными энергетическими интервалами могла бы получить количество энергии, уступающее по своей величине кванту любого из составляющих осцилляторов – это произойдет, например, в том случае если один из осцилляторов перепрыгнет на более высокий, а другой, в то же самое время, – на более низкий уровень.

Точное описание молекул, которые будут сохранять стабильность с учетом всех этих рисков, стало бы крупным достижением в области вычислительной квантовой химии, поэтому все, что мы можем сделать – это обрисовать общую картину. Наибольшими шансами будут обладать большие – возможно, даже слоистые – молекулы наподобие полимеров; результатом может стать ситуация, при которой наиболее распространенные агрегатные состояния, за исключением разреженных газов, будут отличаться сравнительно высокой степенью дальнего порядка. Иными словами, вместо знакомых нам бурлящих жидкостей, состоящих из небольших молекул, взаимодействующих друг с другом случайным образом, химия римановой Вселенной в значительной мере будет протекать в среде, больше напоминающей жидкие кристаллы. Регулярная структура энергетических ям, наблюдаемая внутри решетки, в действительности продолжается и на некотором расстоянии за ее пределами; то же самое может оказаться верным и в отношении многих стабильных молекул большого размера, так что их взаимодействие будет приводить к движению друг относительно друга на манер храпового механизма, при котором каждая из молекул то цепляется за “зубцы” в энергетическом ландшафте своего соседа, то выскальзывает из них.

Часть 6. Общая теория относительности в римановой Вселенной

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/06/GR.html

Да, черных дыр здесь нет

Насколько поведение гравитации в римановой Вселенной отличается от ее проявлений в нашем мире?

Вот одно из возможных отличий: поскольку скорость света не фиксирована, а скорость материального тела не имеет верхнего предела, складывается впечатление, что в римановой Вселенной невозможны черные дыры. Если вы можете двигаться со сколь угодно высокой скоростью, то, какова бы ни была вторая космическая скорость массивного тела, в принципе вы наверняка сможете ее достичь.

С другой стороны, при увеличении скорости тела его кинетическая энергия не возрастает без каких-либо ограничений. По мере того, как скорость стремится к бесконечности, кинетическая энергия, как уже обсуждалось ранее, стремится к массе покоя. Что в таком случае произойдет, если вы находитесь в гравитационном колодце, настолько глубоком, что ваша потенциальная энергия меньше –m, т. е. вашей собственной массы покоя, взятой с обратным знаком? Если речь идет о ньютоновской теории гравитации, то потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии r от звезды или планеты массой M, равна:

$U = -\cfrac{GMm}{r}$ ,

откуда следует, что при r < G M, потенциальный колодец окажется слишком глубоким, чтобы тело смогло из него выбраться, даже если оно движется с бесконечной скоростью и имеет кинетическую энергию, равную m.

Единственный способ решения этой проблемы – воспользоваться общей теорией относительности Эйнштейна, которую несложно адаптировать к риманову 4-пространству. С подробностями можно ознакомиться в статье с дополнительными материалами; здесь же мы лишь в общих чертах опишем без доказательства ряд любопытных результатов римановой теории относительности.

Вторая космическая скорость массивного тела действительно может достигать сколь угодно большой величины, однако ее вид, как выясняется, в точности совпадает с выражением, которое получается, если объединить потенциальную энергию ньютоновской гравитации с ньютоновской же формулой кинетической энергии, которая неограниченно возрастает с увеличением скорости. Если говорить точнее, то оказывается, что в случае тела, находящегося в состоянии свободного падения и радиально приближающегося к массивному объекту, либо удаляющегося от него, величина:

$E^2 = \cfrac{1 + 2GM/r}{1 + v^2}$

сохраняется. Это аналог закона сохранения энергии в гравитационном поле для случая римановой ОТО. Когда тело падает и набирает скорость, либо замедляется при попытке отдалиться от массивного объекта, данная величина остается неизменной. Таким образом, для того, чтобы некий объект обладал нулевой скоростью, находясь на бесконечном расстоянии от массивного тела – при выполнении данного условия объект будет двигаться со второй космической скоростью – E² должно быть равно 1. Другими словами:

$\displaystyle \cfrac{1 + 2GM/r}{1 + v_{esc}(r)^2} = 1$

$\displaystyle v_{esc}^2(r) = \cfrac{2GM}{r}$

$\displaystyle \cfrac{m v_{esc}^2(r)}{2} - \cfrac{GMm}{r} = 0$

Последнее уравнение выражает тот факт, что сумма ньютоновской кинетической энергии и ньютоновской потенциальной энергии равна нулю. По сути тот же самый конечный результат справедлив и в нашей Вселенной; разница заключается в том, что в нашей Вселенной v должно быть меньше 1, поэтому при r = 2 G M вырваться из поля тяготения уже невозможно – это означает, что вы пересекли горизонт событий черной дыры. В римановой Вселенной, как изначально и подсказывала наша интуиция, отсутствие верхнего предела v означает, что гравитацию всегда можно преодолеть.

Несмотря на то, что в римановой Вселенной не бывает черных дыр, искривление пространства-времени в окрестности достаточно компактного массивного тела может вызывать ряд необычных эффектов. Во-первых, это замедление времени, которое по сравнению с гравитационным замедлением в нашей Вселенной действует противоположным образом. Если, находясь в римановой Вселенной, вы вначале проведете какое-то время вблизи массивного объекта, а затем вернетесь к своему товарищу, который держался на расстоянии, с его точки зрения затраченное время будет меньше, чем с вашей.

Другой эффект заключается во влиянии кривизны пространства-времени на центробежную силу. В нашей Вселенной центробежная сила на достаточно малом расстоянии от черной дыры по сути меняет знак и начинает, наоборот, затягивать вас внутрь дыры. В римановой Вселенной центробежная сила всегда остается силой отталкивания и может даже превосходить свой аналог в ньютоновском мире. В результате, оказавшись слишком близко к компактному массивному телу вы, вместо того, чтобы обогнуть его по ньютоновской гиперболической орбите, отразитесь от него рикошетом.

Большая величина центробежной силы ограничивает максимальную скорость орбитального движения планеты – независимо от того, насколько массивна звезда и на каком расстоянии вокруг нее обращается планета. Скорость движения по круговой орбите не может превышать 1/√2; если планета будет двигаться быстрее, то центробежная сила превзойдет гравитационное притяжение.

ortnt_06_01

Как и гравитационных волн

Уравнение, описывающее гравитационные волны в римановой Вселенной, в принципе может быть подвержено той же проблеме, которую мы видели на примере световых волн, а именно: если частота волны в одном измерении слишком высока, то в другом величина волны будет возрастать по экспоненте. В случае гравитационных волн проблема стоит еще более остро, так как подобное поведение будет наблюдаться при любой частоте. Нет никакой максимальной частоты, при превышении которой эффект вступает в силу.

В результате существование волн гравитации полностью исключается, благодаря механизму, предотвращающему экспоненциальный рост световых волн. В нашей Вселенной два массивных тела, вращающихся вокруг друг друга на очень малом расстоянии, будут излучать энергию в виде гравитационных волн. Это приведет к их взаимному сближению и, в конечном счете, вызовет столкновение. В римановой Вселенной энергия, затраченная на создание гравитационных волн, произвела бы противоположный эффект, заставив вращающиеся тела отдаляться друг от друга… однако на самом деле этого не случится, поскольку гравитационное излучение физически невозможно.

И Большого Взрыва, скорее всего, тоже

ortnt_06_02

ortnt_06_03

Проследив историю наиболее простых моделей лоренцевой Вселенной назад во времени, мы приходим к моменту, когда Вселенная имеет бесконечную плотность, а классические законы общей теории относительности должны перестать работать – то есть к Большому Взрыву.

В римановой физике подобная модель Вселенной также возможна, хотя и является чересчур искусственной и надуманной. Она исходит из предположения, что Вселенная заполнена материей, все мировые линии которой направлены примерно в одном и том же направлении. Такое предположение может быть естественным в случае лоренцевой Вселенной, так как ее мировые линии сосредоточены внутри конуса времениподобных направлений, однако в римановой Вселенной мировые линии могут быть ориентированы в 4-пространстве произвольным образом.

Если мы примем более естественное для римановой Вселенной предположение, что в масштабах всего космоса мировые линии не имеют какого-либо предпочтительного направления, то при выборе конкретного направления в качестве “оси времени” средняя плотность материи при движении в прошлое вполне может оставаться неизменной. Вселенная может сжаться до нулевого объема, но конкретное событие, при котором наблюдается такое явление, будет всего лишь следствием выбора определенного направления в качестве временной оси – точно так же, как сжатие кругов заданной широты до нуля по мере приближения к северному и южному полюсам является следствием искусственно выбранной нами системы координат.

В целях простоты на приведенных выше рисунках эти модели изображены на поверхности сферы, однако 4-пространство будет обладать положительной кривизной во всех направлениях только при наличии достаточно большой положительной космологической постоянной – что в римановом случае эквивалентно большой отрицательной энергии вакуума. В отсутствие космологической постоянной первая модель будет обладать положительной кривизной в направлении “оси времени” и отрицательной – в направлении остальных трех осей. Это означает, что облако частиц, находящихся в состоянии свободного падения, будет сжато до меньшего объема, если их мировые линии более или менее параллельны мировым линиям всей остальной материи; если же по отношению к окружающей материи они движутся с бесконечной скоростью, объем их облака будет, наоборот, увеличиваться.

Вторая модель, в отсутствие космологической постоянной, будет обладать отрицательной кривизной во всех направлениях.

Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Глоссарий

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/99/Glossary.html

В этом глоссарии приведены некоторые из терминов, используемых в заметках о физике Ортогональной Вселенной. Несмотря на то, что для широко используемых математических и естественнонаучных терминов в данных заметках приводятся ссылки на Википедию, в некоторых случаях более краткое и менее формальное объяснение дается в этом словаре.

Это не словарь терминов, используемых в трилогии. Если вам интересно, сколько мизеров умещается в поступи, или сколько нужно чахликов, чтобы уравновесить ручник, обращайтесь к приложению в конце книги.

O(4)

Множество вещественных матриц размера 4×4, для которых соответствующая транспонированная матрица совпадает с обратной, обозначается O(4). Это множество образует группу, в которой роль групповой операции играет умножение матриц, и также известно как ортогональная группа степени 4.

Линейные функции, соответствующие этим матрицам в 4-пространстве, описывают все вращения и отражения данного пространства.

Подробности см. в заметках по симметриям.

SO(4)

Множество вещественных матриц размера 4×4, для которых соответствующая транспонированная матрица совпадает с обратной, а определитель равен 1, обозначается SO(4). Это множество образует группу, в которой роль групповой операции играет умножение матриц, и также известно как специальная ортогональная группа степени 4.

Линейные функции, соответствующие этим матрицам в 4-пространстве, описывают все вращения данного пространства.

Подробности см. в заметках по симметриям.

БАЗИС

Базисом в n-мерном векторном пространстве V называется такой набор из n векторов {e₁, e₂, … e_n}, что любой вектор v в пространстве V можно представить в виде суммы векторов, кратных векторам базиса:

v = v¹ e₁ + v² e₂ + … + vⁿ e_n

Числа v¹, v², … vⁿ называются координатами или компонентами вектора v в данном базисе. В различных базисах один и тот же вектор будет иметь различные компоненты.

ortnt_99_01

В данных заметках нас, главным образом, будут интересовать четырехмерные векторные пространства, поэтому в качестве индексов базисных векторов мы часто будем использовать не числа 1, 2, 3, 4, а латинские буквы: e_x, e_y, e_z and e_t.

Применяемые нами базисы, как правило, будут ортонормированными: “нормированный” в данном случае означает, что все векторы базиса имеют длину, равную 1, “орто” – что все они взаимно перпендикулярны.

В векторном пространстве 4-кортежей, составленных из вещественных чисел, R⁴, при использовании стандартного скалярного произведения, примером ортонормированного базиса может служить стандартный базис:

e_x = (1, 0, 0, 0)
e_y = (0, 1, 0, 0)
e_z = (0, 0, 1, 0)
e_t = (0, 0, 0, 1)

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Векторным пространством V называется множество объектов, которые можно складывать друг с другом и умножать на числа определенного вида (в данных заметках будут использоваться действительные или комплексные числа).

В каждом векторном пространстве существует нулевой вектор, 0, прибавление которого к любому вектору v оставляет v без изменений: v+0 = v.
Каждому вектору v соответствует противоположный вектор, –v, такой, что v+(–v) = 0.
Умножение обладает распределительным свойством относительно сложения: s (v+w) = s v + s w and (r + s) v = r v + s v.
Кроме того, можно определить разность двух векторов: v–w = v+(–w).
Векторное пространство должно быть замкнуто относительно этих операций. Если мы выбрали конкретное множество V и определили на нем все вышеупомянутые операции, их результат никогда не должен выходить за пределы V.

Для примера рассмотрим множество всех четверок вещественных чисел, R⁴. Затем очевидным образом определим на нем сложение, умножение, а также нулевой и противоположный векторы.

(x, y, z, t) + (a, b, c, d) = (x+a, y+b, z+c, t+d)
s (x, y, z, t) = (sx, sy, sz, st)
0 = (0, 0, 0, 0)
–(x, y, z, t) = (–x, –y, –z, –t)

ГРУППА

В математике группой называется множество G с определенной на нем “операцией” – неким правилом, согласно которому скомбинировав два элемента G, можно получить третий. Групповая операция иногда называется “умножением”, а элемент, получаемый комбинированием элементов g и h обычно записывается в виде gh. Операция должна удовлетворять обычным свойствам умножения положительных чисел, но не обязана быть коммутативной: иначе говоря, допускается случай gh≠hg.

“Умножение” группы должно быть ассоциативным: (gh)k = g(hk).
Группа должна содержать нейтральный элемент, который обычно обозначается e (но иногда заменяется на 1 или, в случае матричных групп, на I), причем ge = eg = g.
Каждому элементу группы g должен соответствовать обратный элемент, g^–1, такой, что gg^–1 = g^–1g = e.

Примеры коммутативных групп:

Множество положительных действительных чисел, R⁺; роль групповой операции играет обычное умножение.
Векторное пространство кортежей, состоящих из вещественных чисел, Rⁿ; роль групповой операции играет векторная сумма, а роль нейтрального элемента – нулевой вектор.

Примеры некоммутативных групп:

GL(n): Множество вещественных матриц размера n×n с ненулевым определителем;роль групповой операции играет матричное умножение.
O(n): Множество вещественных матриц размера n×n, для которых транспонированная матрица совпадает с обратной; роль групповой операции играет матричное умножение.

ДУАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ

Если V – вещественное векторное пространство, то дуальным, или ковариантным вектором на пространстве V называется всякая линейная функция f, отображающая V на множество действительных чисел R.

Сопряженным по отношению к V пространством V* называется векторное пространство, построенное из множества всех дуальных векторов на V.

Если {e₁, e₂, … e_n} – базис в пространстве V, то дуальным базисом в пространстве V*, {e¹, e², … eⁿ} называется набор функций на V, удовлетворяющих следующим условиям:

eⁱ(e_j) = δⁱ_j,

где δⁱ_j, также известный как символ Кронекера, равен 1, если i=j, и 0, если i≠j.

Подробности см. в заметках по дуальным векторам.

ЕВКЛИДОВА ВСЕЛЕННАЯ

Термин “Евклидова Вселенная” в данных заметках используется для описания идеализированной четырехмерной римановой Вселенной, которая является бесконечной и плоской, и, следовательно, подчиняется постулатам евклидовой геометрии.

В нашей собственной Вселенной геометрия небольших областей пространства, удаленных от сильных гравитационных полей, довольно близка к геометрии Евклида, чего нельзя сказать о геометрии пространства-времени, поскольку временные интервалы не подчиняются теореме Пифагора. В нашей Вселенной аппроксимацией почти плоского пространства-времени служит пространство Минковского.

NB: в научной литературе, термин “евклидов” часто применяется в отношении вариаций физических законов, полученных с помощью поворота Вика. В Ортогональной Вселенной эти законы не действуют.

ЕВКЛИДОВА ГРУППА

Евклидовой группой E(n) называется группа, состоящая из всех симметрий n-мерного евклидова пространства и включающая параллельные переносы, вращения и отражения. В данных заметках мы в основном будем пользоваться E(4), группой симметрий четырехмерного евклидова пространства.

Подгруппа евклидовой группы, включающая в себя только параллельные переносы и вращения, но исключающая отражения, называется специальной евклидовой группой, SE(n).

Подробности см. в заметках о симметриях.

ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА

Единичной матрицей размера n×n , I_n, называется матрица, все компоненты которой раны нулю, за исключением главной диагонали, которая состоит из одних единиц. Если n понятно из контекста, вместо I_n мы будем писать просто I.

Матриц I₄, к примеру, имеет вид:

$\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$

При умножении на единичную матрицу любая другая матрица остается неизменной; если A – произвольная матрица размера n×n, то

$A I_n = I_n A = A$

ИЗОТРОПНЫЙ (СВЕТОПОДОБНЫЙ) ВЕКТОР

Вектор, направленный по касательной к мировой линии, описывающей движение света в обычном пространстве-времени.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейной функций называется функция, отображающая одно векторное пространство на другое (в частности, то же самое), при условии, что ее результат не зависит от того, применяется ли она до сложения векторов/умножения их на число или же после. Иначе говоря, функция f является линейной, если:

f(v + w) = f(v) + f(w)
f(s v) = s f(v)

Если функция f отображает m-мерное векторное пространство V на n-мерное векторное пространство W, и в пространствах V и W выбраны базисы {e₁, e₂, … e_m} и {e’₁, e’₂, … e’_n} соответственно, то функцию f можно представить в форме матрицы M размера n×m. Матричный компонент Mⁱ_j представляет собой i-ый компонент вектора f(e_j), по отношению к выбранному базису W; используя соглашение Эйнштейна о суммировании, можно записать:

f(v) = f(v^j e_j) = v^j f(e_j) = Mⁱ_j v^j e’_i

ЛОРЕНЦЕВ

Прилагательное “лоренцев” в данных заметках используется по отношению к физике, действующей в нашей Вселенной, чтобы отличить ее от физики “Ортогональной Вселенной”.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

[Почему “лоренцев”? Хендрик Антон Лоренц был нидерландским физиком, разработавшим математический аппарат, которым Эйнштейн воспользовался для описания теории относительности. Термин “лоренцев” обозначает геометрию, в которой одно из измерений выделено в качестве временного. В римановом пространстве все измерения, наоборот, по существу ничем не отличаются друг от друга.]

МАТРИЦА

Матрицей M размера n×m называется таблица чисел (в данных заметках мы ограничиваемся вещественными и комплексными числами), состоящая из n строк по m чисел в каждой. Отдельные числа называются компонентами матрицы; для обозначения j-го числа в i-ой строке матрицы M мы будем использовать запись Mⁱ_j.

Если A – матрицы размера n×m, а B – матрица размера m×p, то матрицы A и B можно перемножить; результатом будет n×p-матрица C=AB, причем:

Cⁱ_j = Aⁱ₁ B¹_j + Aⁱ₂ B²_j + … + Aⁱ_m B^m_j,

что можно упростить, применив соглашение Эйнштейна о суммировании:

Cⁱ_j = Aⁱ_k B^k_j

Заметим, что матричное произведение AB определено только в том случае, когда количество столбцов матрицы A совпадает с количеством строк матрицы B. Если A и B – квадратные матрицы одного размера, то определены оба произведения AB и BA, которые, вообще говоря, не равны друг другу.

Матрицу M размера n×m можно интерпретировать как линейную функцию, отображающую m-мерное векторное пространство V на n-мерное векторное пространство W, если представить произвольный вектор v из пространства V в виде матрицы размера m×1, состоящей из единственного столбца чисел, выражающих m компонент v в некотором фиксированном базисе. В этом случае результат матричного умножения Mv представляет собой n×1-матрицу, которую можно интерпретировать как n компонент вектора из пространства W по отношению к выбранному базису. Таким образом, M, при определенном выборе базисов в пространствах V и W, определяется линейную функцию f из V в W.

Если {e₁, e₂, … e_m} – базис в пространстве V, а {e’₁, e’₂, … e’_n} – базис в пространстве W, то, используя соглашение Эйнштейна о суммировании, можно записать:

f(v) = f(v^j e_j) = v^j f(e_j) = Mⁱ_j v^j e’_i

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Если A – n×n-матрица, то ее обратной матрицей называется n×n-матрица A^–1, удовлетворяющая условию:

AA^–1 = A^–1A = I_n,

где I_n – единичная матрица размера n×n. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы A отличен от нуля.

Обращение произведения матриц равносильно перемножению (в обратном порядке) обращенных сомножителей.

(AB)^–1 = B^–1 A^–1

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Определитель n×n–матрицы A, обозначаемый det(A), – это число, которое показывает, во сколько раз линейная функция, соответствующая A, меняет объем n-мерного куба. Определитель равен нулю, если A сплющивает n-куб, уменьшая число его измерений. Определитель отрицателен, если A меняет ориентацию n-куба на противоположную.

В двумерном случае, к примеру, точки {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)} являются вершинами квадрата единичного размера, перечисленными против часовой стрелки. Если мы воздействуем на эти точки функцией A, то получим новый набор из четырех точек. Абсолютная величина det(A) будет равна площади параллелограмма, вершина которого совпадают с новыми точками; det(A) будет отрицательным, если новые точки будут расположены по часовой стрелке.

Предположим, что A – матрица размера 2×2:

$\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)$

Две стороны параллелограмма представляют собой векторы v=(a, c) и w=(b, d).

Поскольку вектор p=(–c, a) перпендикулярен вектору v, “высота” h параллелограмма – если сторона v играет роль “основания” – совпадает с длиной проекции w на единичный вектор p/|p|:

$h = \cfrac{\mathbf{w} \cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}$

В данном случае h будет меньше нуля, если конец вектора w окажется ниже начала v, т. е. если исходный квадрат был преобразован в параллелограмм таким образом, что его вершины расположились по часовой стрелке. Площадь параллелограмма равна произведению одной из сторон и опущенной на нее высоты, поэтому:

$\det(A) = h |\mathbf{v}| = h |\mathbf{p}| = \mathbf{w} \cdot \mathbf{p} = ad - bc$

ortnt_99_02

В общем случае для вычисления определителя матрицы A размера n×n, нужно составить список всех перестановок множества {1,2,…n}. Каждой перестановке сопоставляется число, которое называется ее знаком: оно равно +1, если данную перестановку можно получить из исходной с помощью четного количества попарных обменов, и -1, если количество обменов нечетно. Для каждой перестановки ее знак умножается на произведение n компонентов матрицы, по одному из каждой строки, причем номер столбца определяется соответствующим числом в перестановке. Сумма всех этих произведений и является определителем:

$\det A = \sum \limits_p \mathrm{sign}(p) A^1_{p(1)} A^2_{p(2)} \dots A^n_{p(n)}$ ,

где суммирование ведется по всем перестановкам множества {1,2,…n}.

В нашем примере с матрицей 2×2, перестановками {1,2} будет сама пара {1,2}, со знаком +1, и пара {2,1}, со знаком –1, поэтому соответствующий определитель равен:

$\det A = A^1_1 A^2_2 - A^1_2 A^2_1 = ad - bc$

Одним из важных частных случаев является определитель диагональной матрицы, D, все компоненты которой, за исключение главной диагонали, равны нулю. В этом случае единственной перестановкой, для которой произведение соответствующих элементов не выходит за пределы диагонали, будет перестановка, не меняющая порядок чисел {1,2,…n}, и, следовательно:

$\det D = D^1_1 D^2_2 \dots D^n_n$

ПОВОРОТ ВИКА

Поворот Вика – это метод, применяемый в современной физике для анализа ряда задач, возникающих в нашей собственной Вселенной. При повороте Вика время t заменяется мнимым числом iτ, а все остальное не меняется.

Физика Ортогональной Вселенной, с другой стороны, требует изменения знаков некоторых параметров в ряде уравнений, что дает совершенно иные результаты, нежели поворот Вика.

Так, обычное, лоренцево уравнение Клейна-Гордона в естественной системе единиц имеет вид:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ – ∂_t²ψ – m² ψ = 0

(1)

(Часто это уравнение можно увидеть в форме ∂^μ∂_μψ + m² ψ = 0, при которой суммирование по μ подразумевается в силу соглашения Эйнштейна, однако положительный знак при слагаемом m² ψ связан с тем, что автор использует для метрики Минковского сигнатуру (+–––), т. е. ∂^μ∂_μψ = ∂_t²ψ – ∂_x²ψ – ∂_y²ψ – ∂_z²ψ.)

Вариант уравнения, записанный с использованием поворота Вика, т. е. заменой t → iτ, выглядит следующим образом:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ + ∂_τ²ψ – m² ψ = 0

(2)

Похожий вид имеет и риманова версия, действующая в Ортогональной Вселенной, которая отличается лишь знаком слагаемого, содержащего m²:

∂_x²ψ + ∂_y²ψ + ∂_z²ψ + ∂_τ²ψ + m² ψ = 0

(3)

Обычное уравнение Клейна-Гордона (1) имеет решения в виде ограниченных плоских волн:

ψ(x) = sin(k^x x + k^y y + k^z z – k^t t)

(4)

где k – произвольный времениподобный вектор, удовлетворяющий условию (k^x)² + (k^y)² + (k^z)² – (k^t)² = –m².

Версия (3), применимая в мире Ортогональной Вселенной, также имеет решения в виде ограниченных плоских волн:

ψ(x) = sin(k · x)

(5)

где |k|² = m².

Однако все решения уравнения (2), полученного в результате поворота Вика, характеризуются экспоненциальным ростом, по крайней мере, в одном из направлений. Подставив решение (5) в уравнение (2), мы бы получили |k|² = –m², откуда следует, что как минимум одна компонента вектора k должна быть мнимым числом – а синус мнимого аргумента возрастает по экспоненте.

ПОДПРОСТРАНСТВО

Подпространством векторного пространства V называется подмножество V, которое само является векторным пространством.

Так, в векторном пространстве с размерностью не ниже двух, любая линия, проходящая через начало координат, будет одномерным подпространством исходного векторного пространства. С другой стороны, далеко не все подмножества векторного пространства являются его подпространствами: сфера, образованная всеми векторами единичной длины, не образует подпространства, поскольку сложив два единичной длины, можно получить вектор, длина которого уже не равна единице и который, следовательно, не принадлежит указанному подмножеству.

РИМАНОВ

Прилагательное “риманов” в данных заметках используется по отношению к физике, действующей в романах “Ортогональной Вселенной”, чтобы отличить ее от физики нашего собственного мира.

Подробности см. в заметках по лоренцевой и римановой геометриям.

[Почему “риманов”? Георг Фридрих Бернхард Риман был одним из основателей дифференциальной геометрии – раздела математики, обобщающего евклидову геометрию на случай искривленных поверхностей и пространств. В рамках этой дисциплины математики используют термин “риманов” для описаний геометрий, обычно воспринимаемых как различные виды пространств – как плоских, так и искривленных, – в которых все измерения по сути являются равноправными. В лоренцевом пространстве-времени, описывающем нашу Вселенную, дело обстоит иначе: одно из измерений, время, выделено и интерпретируется особым образом.]

СКАЛЯР

Число, значение которого будет одинаковым для любого наблюдателя, так как не зависит от выбора системы координат. Так, давление воздуха является скалярной величиной, в отличие от “проекции электрического поля на ось x“.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

В четырехмерной римановой геометрии, скалярное произведение векторов v и w, обозначаемое как v·w, выражается следующим образом:

v·w = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z + v^t w^t,

где v^x,… и w^x,… – компоненты соответствующих векторов в ортонормированном базисе.

Эта формула очевидным образом обобщается на случай n измерений. Если применить к ней соглашение Эйнштейна о суммировании, то:

v·w = vⁱ wⁱ

Скалярное произведение можно выразить через длины векторов и угол θ между ними:

v·w = |v||w|cosθ

Приведенное здесь определение, основанное на понятии ортонормированного базиса, подходит для физических задач, в которых возможность измерить длину вектора и определить, исходя из физических соображений, перпендикулярен ли он другому вектору, воспринимается нами как данность.

Однако в чистой математике в качестве отправной точки для определения ортонормированного базиса приходится использовать само скалярное произведение; именно тот факт, что e_x · e_y = 0, указывает на ортогональность e_x и e_y, а равенство e_x · e_x = 1, в свою очередь, говорит о том, что длина e_x равна 1. Иначе говоря, если мы, к примеру, имеем дело с векторным пространством четверок вещественных чисел, R⁴, то обычно пользуемся стандартным скалярным произведением, которое определяется так:

(v^x, v^y, v^z, v^t) · (w^x, w^y, w^z, w^t) = v^x w^x + v^y w^y + v^z w^z + v^t w^t

В силу этого определения стандартный базис пространства R⁴ является ортонормированным.

Подробности см. в заметке о скалярном произведении.

СОГЛАШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА О СУММИРОВАНИИ

Соглашение Эйнштейна о суммировании – это удобная сокращенная запись, применяемая для обозначения сумм в выражениях, использующих компоненты векторов и матриц. В соответствии с этим соглашением всякий раз, когда одна и та же индексная переменная дважды встречается в произведении, подразумевается, что данное произведение в действительности представляет собой сумму по всем допустимым значениям соответствующего индекса. Иначе говоря, если мы пишем:

Mⁱ_j v^j,

где v^j обозначает компоненту n-мерного вектора v , то индекс j входит в выражение дважды, и в соответствии с соглашением о суммировании мы интерпретируем приведенную выше запись как:

Mⁱ_j v^j = Mⁱ₁ v¹ + Mⁱ₂ v² + … + Mⁱ_n vⁿ

Заметим, что в слагаемом вида v^x w^x, повторяющийся “x” обозначает конкретную компоненту каждого из двух векторов, поэтому соглашение о суммировании не применяется. Всякий раз, как x, y, z или t используются в качестве верхних или ниэних индексов, они просто обозначают наименования соответствующих координатных осей, а не индексные переменные, по которым необходимо осуществлять суммирование.

ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА

Если A – матрица размера n×m, то транспонированной матрицей A^T называется матрица размера m×n, столбцы которой совпадают со строками матрицы A.

Транспонирование произведения матриц равносильно перемножению (в обратном порядке) транспонированных сомножителей.

(AB)^T = B^T A^T

УРАВНЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ РИМАНОВОЙ ВОЛНЫ (СРВ)

Это уравнение описывает движение скалярной волны A в вакууме римановой Вселенной:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A = 0

(СРВ)

Подробности см. в заметке о скалярных волнах.

УРАВНЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ РИМАНОВОЙ ВОЛНЫ (ВРВ)

Эти уравнения описывает движение векторной волны A в вакууме римановой Вселенной:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A = 0	(ВРВ)
∂_x A^x + ∂_y A^y + ∂_z A^z + ∂_t A^t = 0	(Поперечное условие)

Подробности см. в заметке о векторных волнах.

Первое уравнение можно расширить, добавив в него слагаемое, учитывающее источник волн:

∂_x²A + ∂_y²A + ∂_z²A + ∂_t²A + ω_m² A + j = 0

(ВРВИ)

Подробности см. в заметке о римановом электромагнетизме.

Риманов электромагнетизм

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/04/EM.html

Три поляризации

В нашей Вселенной свет, движущийся в вакууме, представляет собой идеальную поперечную волну: электрическая и магнитная составляющие всегда осциллируют в направлениях, перпендикулярных направлению распространения самой волны.

В римановой Вселенной, как мы уже отмечали, говоря о векторных волнах, аналогичная разновидность волны в определенном смысле является поперечной и по отношению к направлению распространения: четырехмерный вектор A, описывающий колеблющееся поле, будет перпендикулярен четырехмерному волновому вектору k. Если волна имеет вид:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

то должно соблюдаться условие k · A₀ = 0. В контексте этого условия вектор A₀ может располагаться вдоль одного из трех независимых направлений. Предположим, к примеру, что волновой вектор k находится в плоскости xt, как на диаграмме ниже. Тогда если A₀ будет направлен вдоль оси y, вдоль оси z или будет лежать в самой плоскости xt, образуя прямой угол с k, то три перечисленных направления будут ортогональны как друг другу, так и вектору k. (Второй вариант на диаграмме не показан, так как мы опустили ось z, чтобы показать ось t.)

ortnt_04_01

Если же все эти векторы спроецировать в трехмерное пространство, то первые два будут по-прежнему ортогональны направлению движения волны, в то время как третий окажется ему параллелен (или антипараллелен). В этом смысле риманов аналог света может включать в себя продольную моду, при которой направление колебаний поля совпадает с направлением движения волны. (На диаграмме представлены проекции на плоскость xy. Поскольку используемые нами векторы в любом случае лишены компоненты z, результат совпадает с проекцией в трехмерное пространство.)

Важно отметить, что три упомянутых состояния поляризации – два из которых выглядят, как поперечные моды, а третье, как продольная – становятся полностью идентичными друг другу, если рассмотреть свет сам по себе, в виде плоской волны в 4-пространстве. В каждом случае векторы k и A₀ ортогональны друг другу. Продольная поляризация приобретает смысл только после того, как мы выберем конкретное направление в качестве временной оси и станем различать по отношению к ней направления в 4-пространстве. В свете сказанного такое поведение принципиально отличается от ситуации с двумя поляризациями, которую мы наблюдаем в нашей Вселенной. Если риманов аналог поляризационного фильтра подавляет одну из поперечных компонент света, то на выходе пары “перекрещенных фильтров” – полностью блокирующей свет в нашей Вселенной – от света со случайной поляризацией останется продольная компонента.

Эффект Доплера

Эффект Доплера – это хорошо известное явление, при котором частота и длина световой волны, измеряемые некоторым наблюдателем, меняются в зависимости от его движения.

На следующей диаграмме показана одна и та же последовательность волновых фронтов, движущихся мимо трех различных наблюдателей в лоренцевой Вселенной; свет движется с правой стороны. Под “эталонным наблюдателем” подразумевается наблюдатель, находящийся в состоянии покоя по отношению к источнику света, в то время как два других соответственно приближаются к источнику и удаляются от него.

ortnt_04_02

Измерив интервал между соседними фронтами, эталонный наблюдатель получит в качестве периода волны величину OR. В случае наблюдателя, приближающегося к источнику света, столкновению с фронтами будут соответствовать события O и F, однако евклидова длина отрезка OF, которую мы видим на диаграмме, не совпадает с интервалом времени, зафиксированным этим наблюдателем, так как последний вычисляется согласно лоренцевой версии теоремы Пифагора. Для простоты сравнения мы воспользовались гиперболой – которая в лоренцевой Вселенной является кривой постоянного собственного времени по аналогии с дугой окружности, представляющей собой кривую постоянного расстояния в евклидовом пространстве – чтобы отразить соответствующий интервал на мировой линии эталонного наблюдателя. Теперь мы однозначно видим, что OF’ короче OR, то есть наблюдатель, движущийся вперед, получит меньшее значение периода и, соответственно, большее значение частоты. Это явление называется синим смещением, поскольку синий цвет располагается в высокочастотной области видимого спектра.

Аналогичным образом, для наблюдателя, движущегося назад, столкновение с волновыми фронтами придется на события O и B; в целях сравнения мы отобразили этот интервал в OB’, который, очевидно, длиннее OR. Таким образом, наблюдатель, движущийся в противоположном направлении, в соответствии с собственными измерениями получит больший период и меньшую частоту. Это так называемое красное смещение.

Предположим, что событие F имеет координаты (x_F, t_F). Если наблюдатель движется со скоростью v, то x_F = v t_F. Период световой волны с точки зрения эталонного наблюдателя, то есть OR, обозначим τ_R. Поскольку в нашей системе единиц волновой фронт преодолевает интервал от F до R со скоростью 1, то:

$\tau_R = t_F + x_F = t_F(1 + v)$
$t_F = \cfrac{\tau_R}{1 + v}$

Тогда период световой волны, согласно измерениям приближающегося наблюдателя, можно вычислить, используя лоренцеву версию теоремы Пифагора:

$\tau_F = \sqrt{t_F^2 - x_F^2} = t_F \sqrt{1 - v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 - v^2}}{1 + v} = \tau_R \sqrt{\cfrac{1 - v}{1 + v}}$

Отношение частот в случае лоренцева синего смещения обратно отношению соответствующих периодов:

$\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \sqrt{\cfrac{1 + v}{1 - v}}$

Коэффициент лоренцева синего смещения не зависит от конкретной частоты света. Предположим, что скорость источника v = 0.6, то есть составляет 60% скорости света. В этом случае коэффициент синего смещения равен двум, и наблюдаемая частота света, который движется в вашу сторону под прямым углом, увеличится вдвое по сравнению с неподвижным наблюдателем. И наоборот, если свет удаляется от вас, то его частота покажется вам вдвое меньшей.

В римановой Вселенной все обстоит немного сложнее, поэтому вначале мы рассмотрим идентичный сценарий, при котором один наблюдатель приближается к источнику света, а другой, наоборот, от него удаляется – причем оба движутся медленнее самого света.

В данном случае, как легко видеть на диаграмме, OF’, период световой волны с точки зрения приближающегося наблюдателя, будет больше OR, в то время как OB’, то есть период с точки зрения удаляющегося наблюдателя, – меньше OR.

ortnt_04_03

Означает ли это, что наблюдатель, приближающийся к источнику света, увидит “красное смещение”? Здесь нам придется сделать паузу и задаться вопросом, каким именно языком мы собираемся пользоваться для описания видимого спектра в римановой Вселенной. Речь не идет о философских сомнениях в том, что инопланетяне из альтернативной Вселенной способны испытывать то же невыразимое ощущение “красноты” или “синевы”, что и мы сами; их цветовое восприятие мы могли бы перевести на свой язык так, как нам заблагорассудится – при условии, что будем последовательны в своем выборе. Но каким бы образом ни воспринимали свет обитатели римановой Вселенной, мы в любом случае не сможем придумать идеальное соответствие, полностью учитывающее объективные, физические свойства света. В нашей Вселенной красный свет обладает большей длиной волны и большим периодом, чем синий. Но в римановой Вселенной нет такого света, который бы одновременно имел и большую длину волны, и больший период по сравнению с каким-либо другим светом. Соотношение между этими величинами носит обратный характер: большей длине волны всегда соответствует меньший период.

Иначе говоря, нам придется сделать выбор. Конкретное решение может быть совершенно произвольным, однако в трилогии “Ортогональная Вселенная” подразумевается, что “синий/фиолетовый” свет соответствует наиболее коротким длинам волн видимого света, поэтому термин “синее смещение” в данном случае означает смещение в сторону “более коротких длин волн”.

Определившись с терминологией, сделаем шаг вперед и рассчитаем наиболее простую величину, роль которой опять-таки играет не отношение длин волн, а отношение периодов или частот. Если скорость света в системе отсчета эталонного наблюдателя равна c, то волновые фронты будут двигаться со скоростью 1/c в направлении, противоположном волновому вектору, поскольку наклон линии, перпендикулярной прямой с наклоном c, равен –1/c. Воспроизведя наши предыдущие расчеты в римановой версии, получим:

$\tau_R = t_F - \cfrac{x_F}{1/c} = t_F(1 - vc)$
$t_F = \cfrac{\tau_R}{1 - vc}$
$\tau_F = \sqrt{t_F^2 + x_F^2} = t_F \sqrt{1 + v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 + v^2}}{1 - vc}$

Таким образом, мы имеем дело с римановой версией “синего смещения”, связанной с уменьшением наблюдаемой частоты с точки зрения наблюдателя, приближающегося к источнику света:

$\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \cfrac{1 - vc}{\sqrt{1 + v^2}}$

Когда скорость наблюдателя v достигает величины 1/c, наблюдаемая частота света падает до нуля. На диаграмме примером такого поведения служит наблюдатель с мировой линией OG. С точки зрения такого наблюдателя свет движется с бесконечной скоростью и обладает минимально возможной длиной волны.

Что произойдет, если наблюдатель будет приближаться к источнику света со скоростью большей 1/c (как, например, в случае наблюдателя с мировой линией OH)? С точки зрения этого наблюдателя, волновой вектор, исходящий от источника, будет направлен назад во времени, поэтому при любом взаимодействии с таким светом наблюдатель будет воспринимать в качестве источника самого себя, считая, что волновой вектор направлен в противоположную сторону.

ortnt_04_04

Чтобы получить соотношение частот для наблюдателя, движущегося в обратном направлении, то есть удаляющегося от источника света, можно просто подставить в ту же самую формулу отрицательное значение v. Исходя из диаграммы, мы видим, что при v = –c происходит кое-что интересное: наблюдатель, мировая линия которого обозначена прямой OC, движется со скоростью света, а значит, его относительная скорость равна нулю. С точки зрения такого наблюдателя частота достигает максимального значения, совпадающего с ν_max, то есть физическим максимумом частоты, поскольку наблюдатель движется под прямым углом к волновым фронтам.

Что произойдет, если наблюдатель обгонит свет и будет двигаться назад со сверхсветовой скоростью? Согласно нашей формуле, отношение частот будет положительным и в данном случае меньше максимального, поэтому свет по-прежнему должен быть виден. Но каким же образом можно принимать световой сигнал от источника, если вы удаляетесь от него быстрее самого света? Мы предполагаем, что свет генерируется на протяжении продолжительного отрезка времени (что справедливо, например, в отношении света звезд), поэтому речь не идет о гонке между наблюдателем и отдельным световым импульсом. Если наблюдатель движется быстрее, чем интересующий нас свет – как, например, наблюдатель с мировой линией OD, – то постепенно он будет догонять “старый” свет, который имел достаточно большую фору и просто поджидает его впереди. Причем наблюдателю будет казаться, что этот свет движется не в сторону источника, а в том же направлении, что и сам наблюдатель.

Исходя из геометрии описанной ситуации, можно сделать вывод, что помимо эффекта Доплера, влияющего на частоту света, имеет место и так называемый эффект аберрации, который заключается в том, что величины углов между световыми лучами будут различными в случае движущегося и эталонного наблюдателя. В римановом случае понять поведение света в случае эффекта Доплера и аберрации нам поможет обычная евклидова геометрия.

Предположим, что эталонный наблюдатель воспринимает свет определенного оттенка от множества источников, равномерно распределенных в небе.В 4-пространстве входящие лучи свет образуют конус, ось которого совпадает с мировой линией наблюдателя. Если мы спроецируем все волновые векторы в собственное пространство наблюдателя, они расположатся в виде круга, поделенного на равные сектора (на диаграмме ниже они показаны серым).

Наблюдатель, который находится в том же месте, но движется вправо с некоторой скоростью v, увидит, что направление света соответствует проекции тех же самых лучей, составляющих конус, в его собственное пространство – наклоненное по отношение к собственному пространству эталонного наблюдателя. Это приведет к двум эффектам: во-первых, изменится длина проекций волновых векторов; во-вторых, изменятся углы между проекциями. Длина проекции волнового вектора в собственное пространство наблюдателя пропорциональна пространственной частоте света (мы обсуждали это, когда впервые затронули тему волн), а значит, более длинная проекция соответствует более короткой длине волны.

Результат при различных скоростях наблюдателя показан на диаграмме ниже в предположении, что скорость падающего света в системе отсчета эталонного наблюдателя составляет 0.75. Изображенные цвета соответствуют правилам перевода видимых оттенков, принятым в романе; ультрафиолетовый и инфракрасный свет обозначены пунктирными линиями.

027

В первом случае, когда v = 0.25, свет, движущийся навстречу наблюдателю, претерпевает синее смещение, а его источники в небе выглядят так, будто сближаются друг с другом. Свет, движущийся в противоположном направлении, подвергается красному смещению и рассредоточивается по небу. В такой формулировке – когда красное и синее смещения относятся не к частоте света, а к длине его волны – данный вывод в точности совпадает со своей лоренцевой версией.

Когда v становится равной c, наблюдателю начинает казаться, что источник света находится впереди него. При v=1/c=4/3 (не показано), лучи, приходящие из точек впереди наблюдателя, будут двигаться назад во времени и, следовательно, станут невидимыми; по той же причине при v=2, исчезнет значительная часть конуса.

В случае v=2 мы имеем дело с необычным явлением, которое совершенно невозможно в лоренцевой физике: два луча разных цветов, которые выглядят так, будто движутся в одном направлении, хотя в действительности создаются различными источниками. Там, где лучи красного, желтого и зеленого цвета перемешиваются с ультрафиолетом, источник более красного света в действительности находится позади (с точки зрения эталонного наблюдателя), однако движущемуся наблюдателю из-за наклона системы отсчета кажется, что источник света, наоборот, расположен перед ним, а созданные им лучи накладываются на свет, который действительно движется ему навстречу.

В случае v=∞ источник света, который с точки эталонного наблюдателя движется навстречу, теперь располагается в будущем движущегося наблюдателя, поэтому созданный им свет становится невидимым. Наблюдатель сможет увидеть только свет, который достигает его сзади; при этом весь свет будет сосредоточен в секторе неба, угловая величина которого совпадает с углом при вершине конуса падающих лучей.

Следует иметь в виду, что все сказанное относится к свету, который с точки зрения эталонного наблюдателя содержит один конкретный цвет. Даже с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно среднего движения звезд, сами звезды в римановой Вселенной он будет воспринимать в виде разноцветных шлейфов, так как в промежутке между временем излучения красного света, который в данный момент достигает наблюдателя, и более поздним моментом излучения синего света, который, обладая большей скоростью, добирается до наблюдателя одновременной с красным, звезда успевает переместиться на небольшое расстояние. Влияние эффекта Доплера и аберраций на вид звездных шлейфов обсуждается в первой части трилогии. Иллюстрации этого явления можно увидеть в анонсе книги, а также в учебных видеоматериалах, посвященных данной теме.

Риманово электромагнитное поле

До этого момента мы говорили об “осциллирующем поле” A, не уточняя, что именно оно из себя представляет. Оказывается, что всю теорию риманова электромагнетизма можно построить по аналогии с лоренцевым электромагнетизмом, действующим в нашей собственной Вселенной. Это, в частности, относится к векторным полям, которые можно вполне обоснованно назвать электрическим и магнитным, а также определенному свойству материи, которое играет роль, аналогичную электрическому заряду, и позволяет ей вступать во взаимодействие с электромагнитными силами, а также становиться источником электромагнитных волн.

В данном контексте поле, которое мы обозначали как A, является так называемым 4-векторным потенциалом. По аналогии с электростатическим потенциалом, представляющим собой величину, скорость роста которой относительно пространства описывает электрическое поле, 4-векторный потенциал – это вектор, производные которого полностью описывают электромагнитное поле. Если говорить конкретнее, компоненты электромагнитного поля F имеют вид:

$F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i$ ,

где i и j пробегают x, y, z и t. Иначе говоря, F – это матрица размера 4×4, выражающаяся через 4-векторный потенциал A.

Какой смысл несет эта матрица? Представим себе частицу с зарядом q; пусть u – единичный вектор, направленный по касательной к ее мировой линии, то есть 4-скорость частицы. Если мы умножим u на величину заряда q и матрицу F, то получим силу f, действующую на заряженную частицу:

$\mathbf{f} = q F \mathbf{u}$

В ньютоновской механике сила, конечно же, является трехмерным вектором, однако в релятивистской физике – как лоренцевой, так и римановой – более адекватным будет представление силы в виде 4-вектора. По аналогии со знаменитой формулой Ньютона

$\mathbf{f} = m \mathbf{a}$

(сила равна массе, умноженной на ускорение) 4-вектор силы f связан с 4-вектором ускорения a,… который, в свою очередь, выражается через 4-скорость:

$\mathbf{a} = \partial_{\tau} \mathbf{u}$

4-ускорение представляет собой скорость изменения 4-скорости по отношению к собственному времени τ, то есть времени, измеряемому вдоль мировой линии частицы. Если мы теперь сложим все эти кусочки воедино, то получим, что воздействие электромагнитного поля F на движение частицы с зарядом q и массой m описывается следующим образом:

$\partial_{\tau} \mathbf{u} = \cfrac{q}{m} F \mathbf{u}$

Длина 4-скорости u всегда равна 1. Любое изменение вектора u, параллельное самому u, изменит его длину, поэтому вектор, описывающий скорость его изменения, должен быть ортогонален u. Это означает, что F должна принадлежать особому классу матриц, таких, что при умножении любого вектора на F получается вектор, ортогональный исходному. Нетрудно показать, что этому условию удовлетворяет любая антисимметричная матрица – то есть матрица, равная транспонированной с обратным знаком: F_ij = –F_ji. Тогда, воспользовавшись соглашением Эйнштейна о суммировании, имеем:

$\mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u}) = u^i F_{ij} u^j = u^i (-F_{ij}) u^j = - \mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u})$ ,

откуда следует, что скалярное произведение должно быть равно нулю. Определение матрицы F в терминах A гарантирует ее антисимметричность.

Как будет выглядеть мировая линия частицы, движущейся в постоянном электромагнитном поле? В простейшем случае матрица F принимает следующий несложный вид:

$F_{ij} = b_i c_j - b_j c_i$ ,

где b и c – произвольные векторы, не параллельные друг другу. (Если b отличается от c только скалярным множителем, то правая часть обращается в нуль.) Для краткости мы будем использовать обозначение:

$F = \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$

Символ “∧” называется “внешним произведением”. В данном случае матричное произведение F на вектор u можно выразить через b и c:

$F \mathbf{u} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{c}$

Очевидно, что результатом такой операции всегда будет вектор, лежащий в плоскости, проходящей через векторы b и c. Кроме того, он будет зависеть только от проекции u на ту же самую плоскость; если же u ортогонален этой плоскости (иначе говоря, если b · u = c · u = 0), то F u будет равно нулю.

Полученный результат в общем случае будет соответствовать следующей диаграмме. Если u не лежит в плоскости, проходящей через векторы b и c и при этом не образует с ней прямой угол, частица будет продолжать движение перпендикулярно плоскости, сохраняя вдоль этого направления постоянную скорость, в то время как ее проекция на плоскость будет двигаться по кругу. В целом мировая линия частицы будет представлять собой винтовую линию.

ortnt_04_06

Если векторы, через которые проходит плоскость, с вашей точки зрения соответствуют направлениям в пространстве (другими словами, эта плоскость перпендикулярна вашей мировой линии), то круговая часть движения покажется вам движением в пространстве: частица будет либо двигаться по кругу в некоторой фиксированной плоскости, либо будет перемещаться в пространстве вдоль винтовой линии. Именно такое поведение в нашей Вселенной ассоциируется с магнитным полем. К примеру, в циклотроне – немного устаревшей разновидности ускорителя частиц – постоянное магнитное поле используется для того, чтобы заставить частицы подобным образом двигаться по кругу. В соответствии с соглашениями, применяемыми для описания магнитного поля, в качестве его направление выбирается перпендикуляр к плоскости движения частицы.

Если же плоскость содержит направление, которое вы считаете осью времени, то ускорение частицы в другом, пространственном, направлении той же плоскости будет описываться кривизной ее мировой линии. Когда заряженная частица подобным образом движется с ускорением в нашей Вселенной, мы считаем ее движение результатом воздействия электрического поля. В лоренцевой физике мировая линия ускоряющейся частицы представляет собой дугу гиперболы, а не окружности, но во всех прочих отношениях эффект остается тем же самым. Мы приписываем электрическому полю вектор, лежащий в той же плоскости.

Таким образом, простое электромагнитное поле вида F = b ∧ c можно воспринимать как:

магнитное поле, перпендикулярное обоим векторам b и c, если и b, и c представляют собой направления в пространстве;
электрическое поле с пространственным направлением, лежащим в плоскости, проходящей через векторы b и c, если эта плоскость содержит вашу ось времени.

Если плоскость нельзя однозначно отнести ни к одной из этих категорий, F будет восприниматься как комбинация электрического и магнитного полей.

Воспользуемся этими описаниями, чтобы понять, что именно происходит с поперечными и продольными модами риманова света. В общем случае, если:

$\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

то электромагнитное поле описывается матрицей F вида:

$\mathrm{F} (\mathbf{x}) = (\mathbf{k} \wedge \mathbf{A}_0) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Предположим, что волновой вектор света зафиксирован в плоскости xt, а скорость света в направлении оси x равна 1, т.е. k = e_x + e_t. (На самом деле, эту сумму нужно домножить на некий коэффициент, чтобы удовлетворить условию |k| = ω_m, но в дальнейших рассуждениях значение ω_m не играет роли.)

Для начала рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как поперечную моду с A₀ = e_y. Плоскость, проходящая через векторы k и A₀ не является полностью пространственной и при этом не содержит нашу ось времени e_t, поэтому волна будет представлять собой смесь электрического и магнитного полей. Тем не менее, мы можем разделить F на две части, которые соответствуют электрическому и магнитному полям в нашей системе координат:

$F(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge \mathbf{e}_y) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = (\mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) + (\mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Первое слагаемое лежит в плоскости, проходящей через e_x и e_y, и представляет собой осциллирующее магнитное поле, направленное вдоль оси z. Второе слагаемое, лежащее в плоскости e_t и e_y, – это электрическое поле, направленное вдоль оси y. Эта ситуация довольно сильно напоминает поведение света в нашей Вселенной: электрическое поле, магнитное поле и направление движения волны взаимно перпендикулярны друг другу.

Теперь рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как продольную с A₀ = e_x – e_t.

$\mathrm{F}(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge (\mathbf{e}_x - \mathbf{e}_t)) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = 2 \mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_x \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Для упрощения внешних произведений мы воспользовались тем, что внешнее произведение любого вектора на самого себя равно нулю, а b ∧ c = –c ∧ b. Результатом является осциллирующее, чисто электрическое поле, направленное вдоль оси x, параллельно движению самого света.

Гребенчатая сила Кулона

Уравнение римановой векторной волны описывает 4-векторный потенциал A электромагнитного поля в вакууме – то есть в отсутствие какой-либо заряженной материи, которая могла бы породить соответствующее поле сама по себе. Однако РВВ-уравнение можно легко расширить, добавив в него “источник” – слагаемое, описывающее распределение зарядов:

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = \mathbf{0}$

(ВРВИ)

Четырехмерный вектор j, который мы только что добавили в уравнение, в данном случае несет очень простой смысл. Предположим, что в интересующей нас области пространства находится некая заряженная материя, причем плотность заряда с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно этой материи, равна ρ. Если 4-скорость заряженной материи равна u, то мы по определению считаем, что:

$\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}$

Напомним, что u – это единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела. Однако в каждой точке мировой линии имеется два таких вектора, направленных в противоположные стороны? Как нам выбрать правильный? В одном из направлений – с точки зрения наблюдателя, выбравшего u в качестве своей временной оси – материя будет иметь положительный заряд; в другом направлении тот же самый заряд будет казаться отрицательным. При переходе от одного варианта к другом ρ и u умножаются на -1, поэтому итоговый результат остается без изменений. Иными словами, выбор конкретного варианта не имеет значения.

Вектор j мы будем называть 4-током. Наблюдатель, который попытается измерить компоненты j, находясь в движении относительно заряженной материи, обнаружит как плотность заряда, j^t, так и плотность тока, с компонентами j^x, j^y и j^z, описывающими движение зарядов.

Одним из простейших и наиболее важных решений данного уравнения является так называемый кулоновский потенциал. Таким потенциалом обладает точечный заряд q, находящийся в покое относительно некой системы координат. Это, разумеется, идеализация, которая ко всему прочему отличается неприятной особенностью с точки зрения математики: плотность заряда вдоль мировой линии частицы равна бесконечности. Тем не менее, найти решение не так уж сложно. Подробности вывода этого решения можно найти в дополнительных материалах; здесь же мы просто воспользуемся готовым результатом. Если r – расстояние до частицы, то 4-векторный потенциал имеет вид:

$\mathbf{A}(r) = \cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r) \mathbf{e}_t$

Когда A, как и этот вектор, содержит только t-компоненту и при этом не меняется во времени, проще забыть о полном 4-векторном потенциале и ограничиться электрическим потенциалом φ, который равен A_t, взятому с обратным знаком.

Кулоновский потенциал

$\varphi(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r)$	(Риманов)
$\varphi(r) = \cfrac{q}{4 \pi r}$	(Лоренцев)

Электрический потенциал равен потенциальной энергии “пробной частицы” с единичным положительным зарядом – и, как и любая потенциальная энергия, меняющаяся от точки к точке, является источником силы. Проекция силы на любое из направлений равна скорости роста потенциала φ в этом же направлении, взятой с обратным знаком (частица будет ускоряться в направлении, противоположном росту потенциальной энергии, подобно камню, который скользит вниз по склону холма):

$\mathbf{f} = -(\partial_x \varphi \mathbf{e}_x + \partial_y \varphi \mathbf{e}_y + \partial_z \varphi \mathbf{e}_z)$ ,

что можно записать короче, воспользовавшись символом градиента “∇”:

$\mathbf{f} = -\nabla \varphi$

Чтобы проверить приведенное выше простое соотношение между φ и A^t достаточно убедиться в том, что оба потенциала порождают одну и ту же силу, действующую на пробную частицу.

Как выглядит φ? На верхней диаграмме показан электрический потенциал вокруг положительного заряда – в римановой и лоренцевой версии электромагнетизма. Нижняя диаграмма отображает аналогичный потенциал отрицательного заряда.

ortnt_04_07

ortnt_04_08

Между римановым и лоренцевым потенциалами есть два существенных отличия. В нашей Вселенной, как известно, разноименные заряды притягиваются, в то время как одноименные – отталкиваются. Однако в римановой Вселенной положительный заряд окружен не барьером, а потенциальной ямой, поэтому два одноименных заряда, находящихся достаточно близко друг к другу, будут притягиваться. Разноименные заряды на достаточно близком расстоянии будут, наоборот, отталкиваться.

Второе отличие заключается в том, что заряды могут притягиваться или отталкиваться в зависимости от расстояния между ними. Если в лоренцевой Вселенной электростатическая сила просто уменьшается с расстоянием, то в римановой Вселенной ее направление, помимо прочего, в зависимости от расстояния осциллирует между плюсом и минусом. Исходя из формы нашего решения φ, мы видим, что пространственная частота этих осцилляций совпадает с максимальной частотой света ν_max (так как ω_m = 2 π ν_max). Или, что то же самое, длина волны, соответствующая этим осцилляциям, равна минимальной длине световой волны: λ_min = 1 / ν_max.

В том, что наше решение A удовлетворяет уравнению ВРВИ, убедиться несложно; к тому же в осцилляциях потенциала нет ничего неожиданного, поскольку мы уже знаем, что плоской волне в ультрафиолетовом пределе также соответствует электромагнитное поле, которое, оставаясь неизменным во времени, осциллирует с пространственной частотой, равной ν_max. Уравнение требует, чтобы сумма квадратов частот во всех направлениях была постоянной, поэтому любое статическое поле, не меняющееся во времени, должно осциллировать в пространстве.

Но почему мы уверены в том, что уравнение соответствует действительности? Если мы изменим знак j в нашем уравнении, то получим аналогичное решение, взятое с обратным знаком – при этом одноименные заряды на близком расстоянии будут отталкиваться друг от друга. Что мешает нам отказаться от исходного предположения и допустить, что законы электромагнетизма в римановой Вселенной устроены именно так?

Простейший ответ – вспомнить то, что мы обсуждали в заметках об энергии и импульсе, когда выяснили, что полная релятивистская энергия в римановой Вселенной по своему смыслу противоположна потенциальной и кинетической. В лоренцевой Вселенной электрическое и магнитное поля обладают энергией, пропорциональной квадрату их напряженности. При наличии положительного и отрицательного заряда энергия поля будет падать по мере уменьшения расстояния между зарядами, поскольку их поля будут все лучше компенсировать друг друга. Однако в римановой Вселенной минимизация потенциальной энергии означает максимизацию энергии поля. Если два одноименных заряда находятся достаточно близко друг к другу, дальнейшее сближение приведет ко все более точному наложению полей, имеющих практически одинаковую форму, тем самым, уменьшая их взаимную компенсацию и увеличивая общую энергию поля.

Непопулярная электроника

В нашей Вселенной крошечные электрические поля, окружающие заряженные частицы – например, электроны, – могут легко усиливать друг друга вплоть до того, что их воздействие начинает приобретать видимый эффект. Стоит с десяток раз потереть пластмассовой ручкой о подходящую ткань, и она приобретет избыточный заряд, который, в свою очередь, создаст электрическое поле, достаточно сильное, чтобы поднять клочок бумаги, преодолев действующую на него силу тяготения. (Суммарный заряд самой бумаги равен нулю, однако под действием электрического поля ручки на поверхности бумаги происходит разделение зарядов.) Точное распределение зарядов по поверхности ручки особой роли не играет; пока имеется избыток заряд, все его составляющие будут усиливать друг друга, увеличивая тем самым электрическое поле вокруг ручки – причем это поле будет устойчивым как во времени, так и в пространстве, а его направление в достаточно протяженной области пространства будет оставаться более или менее постоянным и не изменится до тех пор, пока заряд медленно не утечет наружу.

В римановой Вселенной, вследствие пространственных осцилляций кулоновского потенциала, наличие избыточного заряда приводит к совершенно иному эффекту. Если у нас имеется большое число одинаковых частиц, расположенных случайным образом, то на небольшом расстоянии их вклад в потенциал окружающего поля будет как положительным, так и отрицательным, поэтому заряды в значительной степени скомпенсируют друг друга. Компенсация, конечно, будет неидеальной, но так или иначе остаточное поле будет представлять собой последовательность плотно расположенных “гор” и “долин”, в отличие от монотонного неосциллирующего поля, которое мы наблюдаем в лоренцевой Вселенной.

ortnt_04_09

Если заряды образуют упорядоченную структуру (как на следующей диаграмме), их взаимная компенсация может оказаться меньше, чем при случайном расположении, однако соответствующий ей потенциальный ландшафт по-прежнему будет осциллировать в пространстве. Ситуация, при которой пробная частица с положительным зарядом будет отталкиваться от подобного набора зарядов, изначально находясь справа от них в состоянии покоя, вполне возможна, однако воспроизвести этот эффект будет не так просто, как в случае его аналога в лоренцевой физике. Более того, любое тело, помещенное в такое поле, состоящее не из одной, а из нескольких частиц, будет испытывать на себе воздействие суммы отдельных сил, которые зависят от состояния поля во множестве различных точек пространства, что, в свою очередь, будет только усиливать взаимную компенсацию зарядов.

ortnt_04_10

Таким образом, электромагнитные явления в римановой Вселенной, будут проявлять чувствительность к детальным, микроскопическим особенностям распределения зарядов, и в общем случае их обнаружение и применение на практике будет сопряжено с большими трудностями, чем в нашей собственной Вселенной.

Аналогичными свойствами будет обладать и магнитное поле. В нашем мире взаимного усиления полей, созданных огромным числом микроскопических магнитных диполей, можно добиться просто за счет расположения их в одном и том же направлении; именно так устроены постоянные магниты. Однако в римановой Вселенной даже в случае параллельного расположения диполей каждый из них, в зависимости от расстояния, будет постоянно переключаться между двумя взаимно противоположными направлениями, поэтому в любой конкретной точке будет наблюдаться взаимная компенсация полей, созданных различными диполями на слегка различающихся расстояниях.

С другой стороны, несмотря на то, что описанные проблемы исключают простые и низкотехнологичные эксперименты, аналогичные тем, что дали нам первые подсказки насчет природы электромагнитного поля, их нельзя назвать непреодолимым препятствием. По мере того, как в дело вступают колебания во времени, сверхкороткие волны, при которых поля становятся такими капризными и проявляют склонность к взаимной компенсации, постепенно уступают место волнам большей длины. Изготовление электронных блоков, способных работать в схемах постоянного тока, потребует чрезвычайно высокой точности, в то время как аналогичные блоки, предназначенные для схем переменного тока с достаточно высокой частотой, будут обладать гораздо большей устойчивостью к дефектам.

Но какая частота является “достаточно большой”? Чтобы достичь длины волны, превышающей минимальную в десять раз, необходима частота не меньше 0.995 ω_m, поэтому в качестве платы за практически полезную устойчивость к пространственным дефектам обитателям риманового мира придется по сути иметь дело с самым высокочастотным электромагнитным излучением, какое только можно встретить в их Вселенной. Эта задача сама по себе потребует решения определенных технических проблем – но эти проблемы будут несколько иного рода, нежели трудности, с которыми сопряжено использование высокочастотного излучения в нашей собственной Вселенной и которые отчасти связаны не столько с частотой, сколько с длиной электромагнитных волн.

Риманова термодинамика

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/05/Thermodynamics.html

Горячее бесконечно горячего

Сколько различных состояний частицы могут соответствовать заданному уровню энергии E? Выбирая конкретное значение энергии частицы, мы фиксируем модуль p соответствующего вектора импульса p, однако направление этого вектора может произвольным образом меняться в трехмерном пространстве, поэтому его конец может лежать в любой точке на поверхности сферы. Если мы не знаем точное значение энергии, а знаем только, что оно заключено между E и E+δE, где δE – некоторая малая величина, то p будет заключен между p и p+δp, зависящими от этих энергий, в то время как вектор импульса будет заключен внутри сферической оболочки. Внутри такой оболочки, понятное дело, находится бесконечно много векторов, поэтому вопрос “сколько” в отношении состояний, энергия которых заключена в заданном интервале, не вполне уместен – во всяком случае, если речь идет о классической механике; в квантовой механике ситуация меняется таким образом, что множество возможных состояний действительно становится дискретным. В классической же физике, как выясняется, более полезной величиной является объем области пространства, в которой находится частица — будь то объем в пространстве импульсов, обычном пространстве, или их комбинация.

ortnt_05_01 Если мы представим состояние частицы в виде точки некоторого абстрактного пространства, которое называется фазовым и в качестве координат точки содержит как ее расположение, так и импульс в трех измерениях, то зная, что энергия частицы заключена в интервале от E до E+δE, мы можем сделать вывод об области фазового пространства, в пределах которой лежит состояние системы. Если мы предположим, что в обычном пространстве частица ограничена фиксированным объемом, не зависящим от ее энергии, то соответствующий ей объем в фазовом пространстве будет зависеть от набора векторов импульса, допустимых в заданном интервале энергий – то есть заключенных внутри описанной выше сферической оболочки.

Почему, кстати говоря, нас должен интересовать именно объем в фазовом пространстве, а не какое-то другое описание состояния частицы? Причина заключается в одном утверждении из области прикладной математики, которое называется теоремой Лиувилля и описывает изменение во времени вероятности обнаружить систему в заданной точке фазового пространства. Используя теорему Лиувилля, можно показать, что если в нашем распоряжении имеется огромное число версий некоторой системы и их состояния равномерно распределены в фазовом пространстве, то с течением времени и по мере движения точек, соответствующих различных системам, их равномерное распределение будет оставаться неизменным. Если бы мы выбрали любое из предыдущих описаний состояний системы, то это свойство бы не соблюдалось; оно выполняется лишь в силу особых математических свойств, отличающих движение состояний в фазовом пространстве.

Это становится важным, если мы хотим изучить статистические свойства системы. Если мы производим какое-либо действие над сложной системой, состоящей из миллиардов частиц – например, приводим раскаленный газ в контакт с холодным твердым телом – а затем ждем, когда в системе не прекратятся изменения и она не окажется в состоянии равновесия, мы не рассчитываем отследить положение и импульс каждой частицы. Но как только система приходит к равновесию, теорема Лиувилля позволяет нам считать, что система может с равной вероятностью находиться в любом месте фазового пространства, при условии, что оно не противоречит известной нам информации об этой системе. Если это утверждение кажется вам очевидным, задумайтесь о многочисленных альтернативах, которые тоже “выглядят очевидными”, но при этом ложны: например, вероятность обнаружить систему в состоянии с произвольной энергией из допустимого диапазона, как правило, распределена неравномерно.

Возвращаясь к примеру с одной частицей, давайте рассчитаем объем области фазового пространства, в которой должна находиться частица, если ее энергия лежит в интервале от E до E+δE, а положение ограничено некоторой областью пространства с объемом V.

В лоренцевой физике полная энергия свободной частицы не может быть меньше ее массы покоя m, а соотношение между энергией и импульсом имеет вид:

$p^2 = E^2 - m^2$ ,

откуда следует, что

$\cfrac{dp}{dE} = \cfrac{E}{p} = \cfrac{E}{\sqrt{E^2 - m^2}}$

Если энергия частицы заключена в малом интервале значений от E до E+δE, то объем области фазового пространства, в котором должна находиться эта частица, равен:

$\Omega_{Lorentzian} = 4 \pi p^2 \delta p V = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{E^2 - m^2} E \delta E V$

В римановой физике полная энергия свободной частицы заключена между нулем и ее массой покоя, причем:

$p^2 = m^2 - E^2$
$\cfrac{dp}{dE} = -\cfrac{E}{p} = -\cfrac{E}{\sqrt{m^2 - E^2}}$

Тот факт, что импульс уменьшается с ростом энергии, важен и сам по себе, но для того, чтобы найти объем фазового пространства нам достаточно взять абсолютное значение δp = (dp/dE) δE:

$\Omega_{Riemannian} = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{m^2 - E^2} E \delta E V$

ortnt_05_02

Графики Ω наглядно демонстрируют принципиальное различием между этими функциями. Тем не менее, стоит заметить, что если энергия частицы близка к массе покоя, m, оба графика являются практически зеркальными отражениями друг друга. Объясняется это тем, что при низких скоростях частицы в обеих Вселенных по сути подчиняются законам обычной ньютоновской физики; единственная особенность римановой Вселенной заключается в том, что полная энергия уменьшается с ростом кинетической.

Наиболее явное отличие состоит в том, что Ω_Lorentzian всегда возрастает с увеличением энергии. Какова бы ни была энергия частицы, добавив к ней еще чуть-чуть, мы всегда получим больший объем доступного фазового пространства. В случае с Ω_Riemannian, напротив, объем фазового пространства, доступного частице с определенным уровнем энергии, ограничен некоторым максимальным значением. Рассчитав в каждом из двух случаев скорость роста фазового объема относительно энергии, мы получим:

$\cfrac{d\Omega_{Lorentzian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (2E^2 - m^2)} {\sqrt{E^2 - m^2}}$
$\cfrac{d\Omega_{Riemannian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (m^2 - 2E^2)} {\sqrt{m^2 - E^2}}$

Таким образом, объем фазового пространства в римановой модели достигает максимума при E = m/√2. Может показаться, что максимальный объем фазового пространства должен соответствовать максимальному значению импульса, p=m, которое достигается при E = 0. Но несмотря на то, что при этом обеспечивается максимальный радиус сферической оболочки в пространстве импульсов, мы не должны забывать о ее переменной толщине. При E = 0, dp/dE обращается в нуль, поэтому δp, то есть толщина оболочки, также равна нулю. В действительности максимальный объем достигается в результате компромисса между радиусом и толщиной оболочки.

Какое значение имеет характер зависимости между объемом фазового пространства и энергией? Чтобы разобраться в этом, предположим, что у нас имеются две системы, и нам известны как их энергии, E₁ и E₂, так и зависимости между объемом соответствующего фазового пространства и энергией системы, Ω₁(E₁) и Ω₂(E₂). Если мы объединим две системы в одну, то сможем определить новое фазовое пространство, содержащее позиционные и импульсные координаты всех частиц в обеих исходных системах. В этом случае объем, который занимает объединенная система в своем фазовом пространстве представляет собой обычное произведение объемов, соответствующих исходным системам:

$\Omega(E_1, E_2) = \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2)$

Предположим теперь, что мы допускаем передачу энергии между системами. Полная энергия E₁ + E₂ должна оставаться постоянной, однако энергии отдельных систем могут меняться. Если система 1 передает системе 2 количество энергии, равное Q, то:

$\Omega(E_1 - Q, E_2 + Q) = \Omega_1(E_1 - Q) \Omega_2(E_2 + Q)$ ,

а соответствующее влияние на полный объем фазового пространства описывается величиной

$\cfrac{d\Omega(E_1, E_2)}{dQ} = -cfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 + \Omega_1 \cfrac{d\Omega_2}{dE_2}$ ,

где мы воспользовались правилом, согласно которому для дифференцирования произведения нужно продифференцировать каждый сомножитель и сложить результаты.

Что происходит с полным объемом фазового пространства Ω, когда энергия переходит от системы 1 к системе 2: увеличивается ли он, уменьшается или остается неизменным? Ответить на этот вопрос будет проще, если для каждой из подсистем мы введем новую величину – ее температуру T:

$T_1 = \cfrac{\Omega_1}{\frac{d\Omega_1}{dE_1}}$
$T_2 = \cfrac{\Omega_2}{\frac{d\Omega_2}{dE_2}}$

Если нам известно соотношение между T₁ и T₂, то домножив обе его части на производные, стоящие в знаменателях, мы сможем определить знак величины dΩ / dQ. Предположим для начала, что dΩ₁ / dE₁ и dΩ₂ / dE₂ положительны; поскольку объем Ω сам по себе всегда положителен, отсюда следует и положительность обеих температур T₁ и T₂. В этом случае имеет место один из следующих вариантов:

Если T₁ > T₂ > 0, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) > Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ положительна.
Если T₂ > T₁ > 0, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) < Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ отрицательна.
Если T₁ = T₂, то Ω₁ (dΩ₂ / dE₂) = Ω₂ (dΩ₁ / dE₁) и dΩ / dQ равна нулю.

На язык физики эти утверждения можно перевести следующим образом:

Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более горячей системы к более холодной, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, увеличивается.
Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более холодной системы к более горячей, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, уменьшается.
Если системы имеют одинаковую температуру, то в процессе передачи энергии между ними общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, не меняется.

При взгляде на эти утверждения возникает желание объявить с беззаботным видом, что “энергия передается от горячего тела к холодному”, однако по размышлении все оказывается не так просто, поскольку вне зависимости от выбора конкретного направления в качестве оси времени мы в равной степени имеем право выбрать направление, противоположное ему…, а сделанный нами вывод не может быть справедлив в обоих направлениях сразу! Иначе говоря, нам нужно прояснить следующий момент: интуитивно ожидая, что комбинированная система с течение времени “сбежит” из меньшей области фазового пространства в большую, мы исходим из существования четко определенной стрелы времени, вдоль которой энтропия увеличивается по мере движения в выбранном нами направлении будущего.

Итак, давайте будем придерживаться этого предположения, которое точно выполняется в нашей мире и вполне может быть справедливым в отношении некоторых областей римановой Вселенной. Это дает нам право утверждать, что мы смогли ввести некое полезное свойство, называемое температурой, и что при контакте двух систем, обладающих положительной температурой, перенос энергии будет осуществляться от системы с большей температурой к системе с меньшей температурой.

Если речь об обычных системах в лоренцевой Вселенной, то ни что другое рассчитывать не приходится. Тем не менее, ряд экзотических систем в нашей Вселенной в действительности обладают отрицательной температурой…, а в римановой Вселенной отрицательные температуры в определенном смысле являются нормой, так как возникают в тех случаях, когда частицы движутся со вполне заурядными скоростями, заключенными между нулем и – в случае единственной частицы – скоростью v₀, при которой полная энергия становится равной m/√2 (т. е. энергии, при которой система достигает максимального объема в фазовом пространстве):

$E = \cfrac{m}{\sqrt(1 + v_0^2)} = \cfrac{m}{\sqrt{2}}$
$v_0 = 1$

Вероятно, вам доводилось слышать, что температура представляет собой “эмерджентное свойство”, которое имеет смысл только в отношении систем, состоящих из огромного числа частиц, хотя, строго говоря это не так; наше определение температуры имеет смысл для любой системы, даже если эта система состоит всего лишь из одной частицы. Большое количество частиц гарантирует лишь близкую к 100% вероятность того, что перенос энергии будет происходить именно в том направлении, которое мы ожидаем, исходя из разницы в температуре. Если в результате взаимодействия двух отдельных частиц более горячая случайно заберет энергию у более холодной, в этом не будет ничего удивительного. С другой стороны, вероятность того, что перенос энергии от холодного тела к горячему произойдет в системе, состоящей из 10²³ частиц, астрономически мала.

К каким последствиям приводит наличие отрицательных температур? Наши рассуждения относительно направления передачи энергии для случая систем с положительной температурой были основаны на умножении связывающего их неравенства на (dΩ₁ / dE₁) (dΩ₂ / dE₂). Если температура обеих систем отрицательна, произведение двух производных также будет положительным, поэтому наш аргумент остается в силе.

Это означает, что если T₂ < T₁ < 0, то мы ожидаем, что энергия будет передаваться от системы 1 к системе 2.В римановой Вселенной газ, состоящий из относительно медленных частиц будет иметь отрицательную температуру, превышающую (т. е. более близкую к нулю) температуру газ с чуть более быстрыми частицами, поэтому энергия будет передаваться от более медленных частиц к более быстрым. В данном случае речь идет о полной энергии, которая по своему смыслу противоположна кинетической. Таким образом, теряя полную энергию, более медленные частицы будут приобретать кинетическую энергию за счет чуть более быстрых. Другими словами, перемещение энергии будет точно таким же, как и в нашей Вселенной.

Если же газ состоит из частиц, движущихся с достаточно большой скоростью, то его температура в соответствии с римановым определением окажется положительной, а значит, независимо от принятого нами способа определения энергий будет явно противоположна температуре обычного газа. Каким образом будет происходить перенос энергии, если эти системы войдут друг с другом в контакт? На этот раз произведение производных (dΩ₁ / dE₁) (dΩ₂ / dE₂) окажется отрицательным, поэтому при умножении на него обеих частей соотношения между температурами знак неравенства поменяется на противоположный. Оказывается, что если T₁ < 0 < T₂, то dΩ / dQ будет положительной величиной – поэтому мы ожидаем, что энергия будет перемещаться от системы с отрицательной температурой к системе с положительной температурой. Иными словами, можно сказать, что система с отрицательной температурой горячее бесконечного горячего: она будет отдавать энергию любой системе с положительной температурой, насколько бы горячей та ни была.

Здесь мы опять-таки имеем в виду полную энергию, в то время как перенос кинетической энергии в римановой Вселенной будет происходить в противоположном направлении: система с отрицательной температурой будет получать кинетическую энергию от любой другой системы, при условии, что ее температура положительна. Это приводит нас к более, чем логичному результату: газ, частицы которого движутся настолько быстро, что придают ему положительную температуру, всегда будет отдавать кинетическую энергию газа, состоящему из более медленных частиц.

Таким образом, температурная шкала в римановой Вселенной такова, что газ, состоящий из медленных частиц, имеет температуру чуть ниже абсолютного нуля. По мере ускорения частиц температура понижается, достигает минус бесконечности на релятивистских скоростях, перескакивает на большие положительные значения, а затем, по мере того, как скорость частицы приближается к бесконечности, температура стремится к абсолютному нулю – на этот раз сверху.

ortnt_05_03

На всем протяжении этого дважды-бесконечного диапазона температур по-прежнему мы по-прежнему имеем дело с совершенно нормальным поведением: газ, состоящий из более быстрых частиц, будет отдавать теплоту в пользу газа, состоящего из более медленных частиц. Может показаться, что эта ситуация ничем не отличается от поведения, характерного для нашей Вселенной, а деление температур на положительные и отрицательные – не более, чем математическая абстракция. Однако физические системы – как в нашей, так и в римановой Вселенной, вовсе не ограничиваются газами, состоящими из фиксированного количества частиц. Если система может свободно создавать свет, то мы можем задаться вопросом о температуре соответствующего “фотонного газа” при том, что количество составляющих его частиц может меняться со временем. Ответом будет именно положительная температура. С интуитивной точки зрения понять это несложно. Преобразование энергии в новую частицу предположительно должно увеличивать количество доступных возможностей, позволяя системе расширить область, занимаемую в фазовом пространстве. Это указывает на то, что dΩ/dE будет больше нуля, т е. положительную температуру.

В римановой Вселенной невозможно тепловое равновесие между светом и обычной системой вроде газа, состоящего из фиксированного количества медленных частиц. Имея отрицательную температуру, обычная система всегда будет проявлять склонность к передаче полной энергии в пользу света с положительной температурой и, следовательно, к увеличению собственной кинетической энергии.

Именно поэтому способность создавать свет представляет собой такую опасность в римановой Вселенной. Если этого можно добиться контролируемым способом, то свет вовсе не обязан находиться в тепловом равновесии со своим источником; температурное свечение горячего тела, возникающее из-за случайного обмена энергией с фотонами, – не единственный способ создания света. Но если процесс выходит из-под контроля и превращается именно в такой случайный обмен, то источник света сам по себе рискует разогреться до положительной температуры – что в римановой Вселенной приводит к распаду с образованием релятивистского газа.

Геометрия и волны

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/03/Waves.html

Плоские волны

Представим себе идеальную световую волну, которая движется в нашей лоренцевой Вселенной – бесконечно длинную синусоиду, характеризуемую единственной, строго определенной частотой. Эту частоту принято обозначать ν (греческая буква “ню”). Пока что мы оставим в стороне вопрос поляризации и величину волны будем описывать единственным числом A.

Предположим, что в нашей системе координат волна движется вдоль оси x. Если единицы измерения выбраны таким образом, что скорость света равна 1, то математическое представление такой волны будем иметь вид:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(2 \pi \nu (x - t))$

Величина, обратная частоте, представляет собой период волны, τ – время, необходимое на одно полное колебание. Поскольку синус в точности повторяет свое значение, если его аргумент увеличивается или уменьшается на 2π, то наша световая волна A(x, y, z, t) будет повторяться, когда t увеличивается или уменьшается на τ = 1/ν:

$A(x, y, z, t \pm \tau) = A(x, y, z, t)$

Если скорость света в выбранных единицах измерения равна 1, то длина световой волны будет совпадать с ее периодом: λ = 1/ν. Значения нашей волны A(x, y, z, t) будут повторяться всякий раз, когда x увеличивается или уменьшается на длину волны:

$A(x \pm \lambda, y, z, t) = A(x, y, z, t)$

Предположим теперь, что мы определили изотропный вектор k, компоненты которого в нашей системе координат выражаются следующим образом:

$k^x = 2 \pi \nu$
$k^y = 0$
$k^z = 0$
$k^t = 2 \pi \nu$

Мы будем называть его волновым вектором нашей световой волны. Амплитуду волны в этом случае можно выразить так:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z - k^t t)$

Выражение k^x x + k^y y + k^z z – k^t t, содержащее произведения компонент волнового вектора k на соответствующие компоненты x = (x, y, z, t), напоминает скалярное произведение, которое мы определили для задач римановой геометрии; единственная разница – знак “-” у произведения t-компонент. По сути это точный лоренцев аналог выражения k · x; значение данной величины будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя лоренцевой Вселенной, вне зависимости от характера его движения.

Это наводит на мысль о том, что в римановой Вселенной уравнение волны, движущейся в вакууме, должно иметь вид:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

где используется риманово скалярное произведение. В римановой Вселенной не существует изотропных векторов; все направления в 4-пространстве в сущности эквивалентны. Так что вектор k, на первый взгляд, может быть совершенно произвольным.

Мы однако же всегда можем выбрать систему координат таким образом, чтобы вектор k оказался в плоскости xt. В этом случае k^y = k^z = 0 и, следовательно:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^t t)$

Волновые фронты, или “гребни” данной волны определяются соотношением sin(k · x) = 1, или k · x = π/2 + 2nπ, n – целое число. Если мы найдем одну точку, в которой k · x принимает такое значение, то в 4-пространстве можно будет указать три направления, перпендикулярных k вдоль которых k · x остается без изменений, а значит, волновые фронты будут представлять собой последовательность равноотстоящих трехмерных областей, перпендикулярных вектору k. На наших диаграммах представлен двумерный срез 4-пространства, а упомянутые области внутри такого среза выглядят как последовательность прямых линий.

Чему будут равны длина λ и период τ такой волны? Нетрудно показать, что:

$A(x \pm \cfrac{2 \pi}{k^x}, y, z, t) = A(x, y, z, t)$
$A(x, y, z, t \pm \cfrac{2 \pi}{k^t}) = A(x, y, z, t)$ ,

поэтому длина и период волны равны соответственно

$\lambda = \cfrac{2 \pi}{k^x}$
$\tau = \cfrac{2 \pi}{k^t}$

Величину, обратную длине волны, мы будем называть пространственной частотой, κ (греческая буква “каппа”); она является точным аналогом временной частоты ν и показывает, сколько колебаний волны укладывается в единице длины. Теперь компоненты волнового вектора k можно записать следующим образом:

$k^x = \cfrac{2 \pi}{\lambda} = 2 \pi \kappa$
$k^y = 0$
$k^z = 0$
$k^t = \cfrac{2 \pi}{\tau} = 2 \pi \nu$

При этом пространственная частота κ, временная частота ν и модуль волнового вектора |k| будут связаны следующим соотношением:

$|\mathbf{k}|^2 = (k^x)^2 + (k^t)^2 = (2 \pi \kappa)^2 + (2 \pi \nu)^2$

и, следовательно:

$\kappa ^2 + \nu ^2 = \cfrac{|\mathbf{k}|^2}{4 \pi ^ 2}$

Заметим теперь, что наблюдатели, движущиеся с различными скоростями в римановой Вселенной, не будут испытывать разногласий по поводу величины |k|, т. е. модуля волнового вектора, точно так же, как любой наблюдатель в лоренцевой Вселенной согласится с тем, что волновой вектор, соответствующий световой волне, является изотропным. Исходя из этого, мы сделаем предположение, что конкретное физическое явление, играющее роль света в римановой Вселенной, будет состоять из волн, характеризуемых одним и тем же значением |k|.

Геометрически постоянство |k| означает, что расстояние между соседними волновыми фронтами всегда одинаково – при условии, что измеряется оно не в произвольном направлении, выбранном каким-либо наблюдателем, а по перпендикуляру к самим фронтам, т. е. вдоль волнового вектора. В римановом пространстве это расстояние всегда будет равно 2 π / |k|.

(Как мы увидим впоследствии, значение |k| зависит от массы покоя частицы, соответствующей данной волне в ее квантовомеханическом описании, поэтому предполагая, что “любой свет характеризуется одной и той же величиной |k|”, мы по сути настаиваем на выборе конкретной частицы в качестве аналога наших фотонов. Фотон не имеет массы покоя, однако в римановой Вселенной из-за отсутствия изотропных векторов частицы с нулевой массой покоя не существуют, поэтому мы вынуждены остановить свой выбор на некотором ненулевом значении.)

При фиксированном |k| становится понятно, что рост пространственной частоты κ сопровождается уменьшением временной частоты ν, и наоборот – причем происходит это таким образом, чтобы сумма их квадратов оставалась постоянной. Если одна из этих частот равна нулю, то другая достигает максимально возможного значения, которое мы обозначим ν_max. Эта частота пропорциональна |k|.

$\nu_{max} = \cfrac{|\mathbf{k}|}{2 \pi}$

Соотношение между κ и ν принимает вид:

$\kappa^2 + \nu^2 = \nu_{max}^2$

Как мы уже убедились при разборе дуальной теоремы Пифагора, именно такое соотношение мы ожидаем получить, когда речь идет о пространственных частотах, измеряемых вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. В римановой Вселенной временная частота ничем не отличается от частоты, измеренной в любом другом направлении, поэтому ее математическое свойства оказываются точно такими же. Частота ν_max – это просто количество колебаний волны, приходящихся на единицу длины и измеренных самым непосредственным образом – по перпендикуляру к волновым фронтам в 4-пространстве.

Если теперь предположить, что мировая линия светового импульса направлена вдоль его волнового вектора, то окажется, что скорость света v, будет равна отношению x- и t-компонент вектора k:

$v = \cfrac{k^x}{k^t} = \cfrac{\kappa}{\nu}$

Самый медленный свет, для которого v = 0, имеет бесконечную длину волны λ = ∞. Это случай мы назовем “инфракрасным пределом”. Временная частота такого света будет равна ν_max.

Самый быстрый свет, для которого v = ∞, будет обладать минимально возможной длиной волны λ = 1 / ν_max. Этот случай мы будем называть “ультрафиолетовым пределом”. Временная частота такого света будет равна нулю, поэтому его период выражается бесконечностью.

ortnt_03_01

ortnt_03_02

ortnt_03_03

ortnt_03_04

ortnt_03_05

ortnt_03_06

Но почему мы решили, что мировая линия светового импульса должна быть направлена вдоль соответствующего волнового вектора?

Волны, которые мы описывали до настоящего момента, являются плоскими: их фронты имеют вид бесконечных плоскостей в пространстве и представляют собой срезы четырехмерных гиперплоскостей в 4-пространстве. Они очень просты с математической точки зрения, но при этом, понятное дело, крайне идеализированны – к тому же амплитуда плоской волны никоим образом не похожа на четкую мировую линию, параллельную волновому вектору. Яркие полосы максимальной амплитуды на приведенной ниже диаграмме перпендикулярны волновому вектору, который направлен против движения соответствующих волновых фронтов во времени!

0071

Сказанное, впрочем, относится к бесконечным волнам, занимающим все 4-пространство. Если же мы хотим получить локализованную волну, нужно скомбинировать друг с другом волны различной частоты. Точка, в которой эти волны взаимно усиливают друг друга, будет перемещаться с иной скоростью, нежели любой из фронтов волн-слагаемых; ее скорость будет совпадать с групповой скоростью системы в целом, в отличие от фазовой скорости волновых фронтов.

Чтобы вычислить групповую скорость комбинации волн, можно воспользоваться соотношением между x и t, благодаря которому две плоских волны со слегка отличающимися частотами будут совпадать по фазе. Если пространственная и временная частоты первой волны равны соответственно κ и ν, а второй – соответственно κ+Δκ и ν+Δν, и фазы обеих волн должны совпадать, то:

$\kappa x + \nu t = (\kappa + \Delta \kappa)x + (\nu + \Delta \nu)t$
$x = -t \cfrac{\Delta \nu}{\Delta \kappa}$

Следовательно,

$v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa}$

Применив этот результат к известному нам соотношению между ν и κ, имеем:

$\nu = \sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}$
$v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa} = \cfrac{\kappa}{\sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}} = \cfrac{\kappa}{\nu}$

Это согласуется со скоростью k^x / k^t, полученной непосредственно из волнового вектора.

Следующее изображение, полученное сложением 61 плоской волны (часть стрелок, отображающих соответствующие волновые векторы, слишком бледные, поэтому на картинке их не видно), дает вполне адекватное представление об истории светового импульса в римановой Вселенной. Более реалистичная модель подразумевает комбинацию континуума плоских волн вместо их конечного числа.

0081

Результат в общем и целом параллелен усредненному волновому вектору, хотя и определенно отличается от идеально тонкой мировой линии – или даже “мировой трубки” или “мировой ленты” постоянной ширины. Однако видимое распределение импульса во времени – это именно то, что мы ожидаем: в Римановой Вселенной скорость света меняется в зависимости от его частоты, поэтому любая локализованная волна, состоящая из множества различных частот, будет постепенно рассеиваться подобным образом.

Скалярные волны

В предыдущем разделе мы рассмотрели математические выражения, описывающие ряд довольно простых волн, однако в действительности нам бы хотелось получить уравнение, которому будут удовлетворять все волны, движущиеся в вакууме римановой Вселенной, независимо от своей формы.

В нашей собственной Вселенной волны описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, которые выражаются некую взаимосвязь между скоростями изменения амплитуды в различных направлениях. Если величина A зависит от нескольких переменных – например, координат, приписанных определенной области 4-пространства, x, y, z и t, – то частная производная A по одной из переменных представляет собой просто скорость изменения A при условии, что интересующую нас переменную мы можем варьировать, в то время как все остальные переменные сохраняют фиксированные значения.

Рассмотрим, к примеру, плоскую риманову волну с волновым вектором k:

$A = A_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)$

Если мы зафиксируем y, z и t и будем менять x, то A примет вид синусоидальной волны. Скорость изменения синуса относительно своего аргумента совпадает с косинусом того же аргумента, но поскольку в данном случае аргумент синуса представляет собой x, умноженный на k^x, скорость изменения A домножается на тот же коэффициент; это один из примеров простого правила, которое применяется в дифференциальном исчислении и называется также формулой сложной производной.

Для обозначения частной производной некоторой величины A по переменной x, мы будем использовать запись ∂_xA. Это обозначения может показаться немного устрашающим, если вы не пользовались им раньше, однако его смысл очень прост: нужно просто представить в пространстве прямую линию, все координаты которой, кроме x, фиксированы, после чего задуматься, как дифференцируемая вами величина меняется вдоль этой прямой, не обращая внимания на ее поведение во всех остальных направлениях. Используя данную нотацию, можно записать:

$\partial _x A = k^x A_0 \cos (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)$

Что произойдет, если мы вычислим скорость изменения этой величины относительно x? Скорость изменения косинуса по отношению к его аргументу равна синуса того же аргумента, взятому с противоположным знаком; кроме того, в силу цепного правила мы снова получаем дополнительный множитель k^x. Обозначим вторую частую производную ∂_x²A, имеем:

$\partial _x ^2 A = -(k^x)^2 A_0 \sin (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t) = -(k^x)^2 A$

Далее, вторые частные производные по оставшимся координатам равны соответственно:

$\partial _y ^2 A = -(k^y)^2 A$
$\partial _z ^2 A = -(k^z)^2 A$
$\partial _t ^2 A = -(k^t)^2 A$

Сложив все четыре выражения, получаем:

$\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A = -((k^x)^2 + (k^y)^2 + (k^z)^2 + (k^t)^2) A = - |\mathbf{k}|^2 A$

В данном случае мы с помощью операции взятия вторичной скорости роста A по направлению каждой из координатных осей умножили исходную функцию волны на некой число, пропорциональное квадрату ее частоты вдоль соответствующей оси. Сложив после этого все вторичные скорости роста, мы получаем сумму квадратов, равную |k|², то есть множитель, который никоим образом не зависит от конкретного направления волнового вектора

Далее, |k| = 2πν_max, однако для краткости (чтобы избежать постоянного упоминания множителя 2π) мы введем понятие “угловой частоты”, которая обозначается символом ω и представляет собой обычную частоту ν, домноженную на 2π. При этом |k| = 2 π ν_max = ω_m, и последнее уравнение можно записать в виде:

$\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A + \omega_m^2 A = 0$

(СРВ)

В данном уравнение нет каких-либо отсылок к особенностям исходной плоской волны. В нем упоминается лишь некоторая величина A, значение которой меняется в 4-пространстве, и число ω_m, не зависящее от формы волны.

Приведенное выше уравнение мы будем называть уравнением скалярной римановой волны (СРВ). Термин “скалярный” всего лишь указывает на некое число, определенное в любой точке 4-пространства, и не меняющееся при переходе от одного наблюдателя к другому – в отличие, скажем, от компонент вектора, которые зависят от выбора системы координат. Данное уравнение представляет собой четырехмерную версию так называемого уравнения Гельмгольца, которое имеет место в нашей собственной физике.

Вычисление скорости роста – линейная операция: если s – постоянная величина, а A и B – функции переменной x:

$\partial_x(sA) = s\partial_x A$
$\partial_x(A + B) = \partial_x A + \partial_x B$

То же самое касается и вторичных скоростей роста, и, разумеется, операции умножения на константу – например, ω_m². Иными словами, уравнение СРВ является линейным: если мы сложим два его решения друг с другом или умножим решение на константу, то в результате снова получим решение исходного уравнения. Поскольку все плоские римановы волны, характеризуемые одним и тем же значением ω_m, удовлетворяют уравнению СРВ, то волна, представляющая собой произвольную сумму таких плоских волн, также будет его решением. К Так, решением уравнения СРВ будет волна, описанная в конце предыдущего параграфа и полученная в результате суммирования 61 плоской волны.

Уравнение СРВ содержит одну – в потенциале катастрофическую – проблему. Рассмотрим следующую волну:

$A = \sin\left(\cfrac{5}{4} \omega_m x \right) \exp \left( \cfrac{3}{4} \omega_m t \right)$

Скорость роста экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией, а вычисление вторичной скорости роста дает в итоге исходную функцию, домноженную на некоторое положительное число – в отличие от отрицательного множителя, который мы получали для синусов и косинусов. Таким образом,

$\partial _x ^2 A = -\cfrac{25}{16}\omega_m^2 A$
$\partial _y ^2 A = 0$
$\partial _z ^2 A = 0$
$\partial _t ^2 A = \cfrac{9}{16}\omega_m^2 A$

Складывая эти выражения, можно убедиться в том, что представленная здесь волна удовлетворяет уравнению СРВ. Однако амплитуда такой волны экспоненциально возрастает во времени! Экспоненциальный множитель допустим в силу того, что положительный знак соответствующей ему вторичной скорости роста уравновешивается пространственной частотой, которая по другой координате превышает величину ν_max: обратите внимание на угловую частоту (5/4) ω_m в sin[(5/4) ω_m x]. От того, что мы просто назовем “ν_max максимально возможной частотой” она таковой не станет, а гарантировать это условие с помощью одного лишь уравнения СРВ нельзя. Если же мы допускаем подобные волны, то любое изначально крошечное возмущение с достаточно высокой частотой быстро разрастется по амплитуде и перевесит все остальное.

Существует способ избежать этой проблемы, но его открытие составляет важную часть романа, поэтому я не стану раскрывать сюжет книги, обсуждая его в этих заметках.

Векторные волны

Свет в нашей Вселенной представляет собой разновидность электромагнитной волны. При этом электромагнитное поле характеризуется не числом, меняющимся от точки к точке, а вектором. Таким образом, мы хотим понять, какого рода векторные волны имеют смысл в контексте римановой Вселенной.

Предположим, что в нашей системе координат задан фиксированный вектор A₀с компонентами A₀^x, A₀^y, A₀^z и A₀^t . В этом случае мы можем рассмотреть векторную волну вида:

$\mathbf{A}(x, y, z, t) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Это уравнение очень похоже на рассмотренные выше плоские скалярные волны. По сути каждая отдельная компонента вектора A в нашей системе координат удовлетворяет уравнению СРВ при условии, что |k| = ω_m. Эти компоненты, конечно же, меняются при переходе в другую систему координат…, но если они являются решением СРВ в одной системе, то останутся решением и в любой другой. (Заметим, что речь в данном случае идет только о прямоугольных координатах, в отличие от, скажем, сферических.)

Все это довольно просто, но есть один нюанс, который нам придется затронуть. Несмотря на то, что компоненты A, то есть A^x, A^y, A^z и A^t, меняются при переходе к другой системе координат, на основе записанной выше векторной волны можно построить скалярную:

$D(x, y, z, t) = \mathbf{k} \cdot \mathbf{A}(x, y, z, t) = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Это настоящая скалярная волна – в том смысле, что ее значение будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя, независимо от выбранной им системы координат. Это может показаться не столь важным, однако, как подсказывает опыт взаимодействия с нашей собственной физической Вселенной, скалярные и векторные волны ассоциируются с явлениями различной природы. В квантовой механике скалярные волны соответствуют частицам с нулевым спином, в то время как векторные волны соответствуют частицам, спин которых отличен от нуля – таким, как фотоны. Таким образом, мы ожидаем, что аналог света в римановой Вселенной будет представлять собой чисто векторную волну, без сопровождающей ее скалярной волны наподобие D.

По этой причине мы наложим на векторную волну типа A дополнительное ограничение k · A₀ = 0. Это условие означает, что вектор, описывающий собственно волну, перпендикулярен волновому вектору, а значит, A₀ должен находиться в трехмерном подпространстве, ортогональном k. Поскольку это пространство содержит три измерения, риманов свет будет обладать тремя направлениями поляризации, в отличие от двух направлений, характерных для света в нашей Вселенной. Чуть более подробно мы рассмотрим этот вопрос в статье, посвященной риманову электромагнетизму.

Нам нужно переформулировать условие “безскалярности” таким образом, чтобы его можно было применить к произвольной векторной функции A(x, y, z, t). В случае плоской волны A(x, y, z, t) = A₀ sin(k · x), где данное условие имеет вид k · A₀ = 0, мы видим, что:

(1) $\begin{equation*} \begin{aligned} \partial _x A + \partial _y A + \partial _z A + \partial _t A = \\ = (A_0^x k^x + A_0^y k^y + A_0^z k^z + A_0^t k^t) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = 0 \end{aligned} \end{equation*}$

Итак, следующую пару уравнений мы будем называть уравнениями векторной римановой волны (ВРВ):

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} = \mathbf{0}$	(ВРВ)
$\partial _x A^x + \partial _y A^y + \partial _z A^z + \partial _t A^t = 0$	(Поперечное условие)

где первое уравнение говорит нам о том, что все четыре компоненты A удовлетворяют уравнению СРВ, а поперечное условие гарантирует чистоту вектора A.

Автор: Грег Иган

Год издания: 2011-2012

Риманово решение Шварцшильда

Интегралы движения и эффективный потенциал

Круговые орбиты

Радиальное движение и вторая космическая скорость

Гравитационное синее смещение и замедление времени

Гравитационное рассеяние

Космология

Кривизна и энтропия

Простые модели

Модели с большим взрывом

Модели без сингулярностей

Гравитационные волны

Литература

Риманов спектр абсолютно черного тела

Статистическая сумма изолированной частицы

Идеальные газы

Разреженный газ с фиксированным количеством частиц

Энергия

Давление

Энтропия

Фермионный газ с образованием пар

Литература

Уравнения Прока в римановой Вселенной

Судьба Гаусса и Ампера

Общие свойства

Отличия

Примеры из электростатики

Кулоновский потенциал

Функция Грина в римановом электромагнетизме

Электрические диполи

Заряженные сферические оболочки

Заряженные шары

Конденсаторы

Примеры из магнитостатики

Линейный проводник с током

Закон Био-Савара-Лапласа

Магнитные диполи

Соленоиды и индуктивность

Передача электромагнитной энергии

Функция Лагранжа в римановом электромагнетизме

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Плотность энергии и вектор Пойнтинга

Энергия плоских волн

Энергия конденсатора

Энергия катушки индуктивности

Переход от магнитостатических решений к осциллирующим

Линейный проводник с переменным током

Осциллирующие магнитные диполи

Соленоид с переменным током

Переход от электростатических решений к осциллирующим

Осциллирующие электрические диполи

Конденсатор с переменным током

Колебательные контуры

Резонанс в лоренцевых цепях

Резонанс в римановых цепях

Электромагнитные явления в искривленном римановом пространстве

Граничные условия

Четырехмерный тор

Частный случай, допускающий решения без источника

Общий случай, не допускающий решения без источника

Плоскостный заряд

Линейный заряд

Линейный переменный ток

Данные коши и предсказания

Четырехмерная сфера

Функция Грина для 4-сферы

Данные Коши и предсказания

Литература

Структура твердых тел

Неидеальные гармонические осцилляторы

Квантовые эффекты в твердых телах

Римановы атомы?

Макромолекулы

Да, черных дыр здесь нет

Как и гравитационных волн

И Большого Взрыва, скорее всего, тоже

O(4)

SO(4)