Часть 7. Квантовая механика в римановой Вселенной

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/07/QM.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Структура твердых тел

В нашей Вселенной электростатическая сила Кулона подчиняется простому закону обратных квадратов. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются, поэтому один положительный заряд, находящийся вблизи другого, также положительного, будет испытывать на себе воздействие “энергетического ландшафта”, напоминающего крутую гладкую гору, склон которой с увеличением расстояния от вершины постепенно понижается до уровня земли. Вокруг отрицательного заряда существует энергетическая яма, представляющая собой перевернутую копию “положительной” горы.

В римановой Вселенной аналогичная сила приводит к ситуации, в которой одноименные заряды притягиваются, а разноименные – отталкиваются. Но это справедливо лишь до определенного расстояния, так как энергетический ландшафт, окружающий заряженную частицу, состоит из регулярно расположенные пиков и углублений, наложенных на обратноквадратичный закон, в соответствии с которым уменьшается амплитуда силы.

На следующих графиках показана зависимость энергии от расстояния. В трехмерном пространстве, окружающем центральную частицу, энергетические пики и ямы образуют концентрические сферы, что позволяет частицам формировать связи, располагаясь друг у друга в соответствующих энергетических ямах.

ortnt_07_01 ortnt_07_02

Тем не менее, есть одна сложность. Если проанализировать эту ситуацию с точки зрения классической физики – то есть без учета квантовомеханических эффектов – то частица, находящаяся в энергетической яме, не будет оставаться неподвижной, так как имеющаяся у частицы энергия, как правило, позволяет ей в определенной степени раскачиваться вперед-назад. Однако в процессе такого движения она будет порождать электромагнитное излучение. В нашей Вселенной это приведет к уменьшению кинетической энергии и замедлению частицы, однако в римановой Вселенной кинетическая энергия по своему смыслу противоположна энергии электромагнитного излучения, поэтому частица, совершающая колебания в энергетической яме, по мере генерации излучения будет двигаться все быстрее и быстрее. Продолжая таким образом накапливать кинетическую энергию, частица рано или поздно покинет свою энергетическую яму.

Одна из возможных ситуаций, в которых частица остается связанной, требует, чтобы частота ее колебаний превышала максимальную частоту электромагнитного излучения, ν_max. Заряженная частица, осциллирующая с частотой, большей ν_max, не будет генерировать излучение.

Однако осцилляции, содержащие только одну, чистую частоту, могут возникнуть лишь в том случае, когда энергетическая яма имеет безукоризненно точную форму – то есть в том случае, когда потенциальная энергия как функция расстояния от центра представляет собой идеальную параболу. Это довольно строгое ограничение, и сила Кулона ему определенно не удовлетворяет. В случае же “неидеальной” энергетической ямы, даже если главная частота колебаний превышает ν_max, движение частицы будет содержать в себе дополнительные компоненты с более низкими частотами.

Каким же образом в таком случае материя может сохранять стабильность в римановой Вселенной? Ответ заключается в квантовой механике. В ближайшее время мы рассмотрим этот вопрос, но для этого нам потребуется сформулировать простой и конкретный пример для демонстрации данного эффекта.

Мы не станем рассматривать риманов аналог водородного атома, состоящего всего из двух частиц, связанных силой электростатического притяжения, а вместо этого начнем с другой крайности и в качестве примера возьмем энергетический ландшафт, в котором оказывается одна частица, окруженная огромным множеством соседей, расположенных в виде регулярной решетки.

Конкретное расположение частиц, которое мы будем рассматривать, имеет несколько названий – в частности, кристаллографам оно известно как “гранецентрированная кубическая система”, а математикам – как “решетка A₃”. Решетка A₃ получается, если взять кубическую сетку и поместить по частице в каждую вершину всех кубов и центр каждой грани. Можно показать, что если мы возьмем все точки (x, y, z), для которых x+y+z является четным целым, то получим вариант решетки, в которой ребра кубов имеют длину 2, а расстояние между частицей и ее ближайшим соседом равно √2. Разумеется, мы можем отмасштабировать всю решетку до любого нужного нам размера, умножив все на некоторый коэффициент s.

Голубые плоскости на приведенном выше рисунке иллюстрируют еще один способ “нарезки” той же самой решетки. Плоскости разбиты на равносторонние треугольники, в вершинах которых находятся частицы. Такое расположение дает естественный способ укладки в плоскости сферических объектов наподобие апельсинов или бильярдных шаров – при этом последующие плоскости наслаиваются на предыдущие точно так же, как вышележащие слои апельсинов вкладываются в углубления нижележащего слоя.

В A₃-решетке у каждой частицы есть двенадцать соседей: шесть в том же самом “слое апельсинов”, три – в нижележащем и еще три – в вышележащем. Поскольку ближайшие соседи находятся на расстоянии √2, квадрат этого расстояния равен 2. В нашем первоначальном варианте каждая точка решетки имеет координаты (x, y, z), где x+y+z является четным целым, а поскольку:

$(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2) = 2(xy + yz + xz)$ ,

то квадрат расстояния от (0, 0, 0) до (x, y, z) также будет четным целым. Отсюда следует, что соседи (0, 0, 0) находятся на расстояниях:

√2, √4, √6, √8, √10 …

Соседи любой точки в этой решетке будут находиться в той же самой конфигурации. Количество частиц, находящихся на все большем расстоянии выражается количеством представлений 2, 4, 6, 8, 10,… в виде суммы трех квадратов целых чисел (при этом допускаются отрицательные числа и нуль, а различные варианты упорядочивания слагаемых считаются отдельно). Начало этой последовательности имеет вид:

12, 6, 24, 12, 24, 8, 48, 6, 36, 24 …

но простой формулы, описывающей ее члены, не существует.

Предположим теперь, что у нас есть кластер положительно заряженных частиц, расположенных в соответствии с решеткой A₃. Если бы кластер состоял только из четырех частиц, то все они могли бы находиться на равных расстоянии друг от друга, и масштаб решетки можно было бы подобрать таким образом, чтобы каждая из частиц располагалась точно в центре ближайшего энергетического желоба. В случае же большого кластера расстояния между частицами буду включать в себя всевозможные значения из приведенной выше последовательности – квадратные корни из всех четных целых. Очевидно, что все они не могут одновременно быть целыми кратными одного и того же значения, поэтому их невозможно расположить так, чтобы каждая из частиц находилась на дне какого-либо энергетического желоба. В итоге расстояние между ячейками решетки будет результатом компромисса, минимизирующего энергию и уравновешивающего преимущества, которые дает близость расстояние между непосредственными соседями к расстоянию λ_min между соседними желобами кулоновского потенциала, с влиянием данного эффекта на большее количество соседей, расположенных на других расстояниях.

Оказывается, что если кластер очень велик, то его потенциальная энергия достигает минимума, когда:

$s = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{min} \approx 0,866 \lambda_{min}$ ,

а расстояние между ближайшими соседями равно:

$d = \sqrt{2} s = \sqrt{\cfrac{3}{2}} \lambda_{min} \approx 1,2247 \lambda_{min}$

Поскольку эта величина почти на четверть превышает λ_min, энергетический вклад ближайших соседей будет очень мал! Тем не менее, оказывается, что если включить в сумму гораздо более удаленных соседей, то в итоге получится самая глубокая энергетическая яма для заданного значения s.

Здесь нам пригодится постоянная тонкой структуры, α, безразмерная величина, определяемая (в соответствии с применяемой нам системой мер, в которой пространство и время выражаются в одних и тех же единицах) следующим образом:

$\alpha = \cfrac{e^2}{4 \pi \hbar \varepsilon_0}$

Здесь e – это заряд частиц, из которых состоит решетка, ε₀ – электрическая постоянная, определяющая силу электростатического взаимодействия, а ℏ – постоянная Планка, деленная на 2 π. В нашей Вселенной α ≈ 1/137, но в римановой Вселенной эта величина, понятное дело, не обязана иметь то же самое значение.

Кроме того, мы введем величину:

m_фотон = ℏω_m

Энергия каждого кванта для света с заданной угловой частотой равна произведению этой угловой частоты на ℏ. Таким образом, ℏω_m представляет собой энергию, соответствующую свету с максимально возможной угловой частотой. Однако при рассмотрении римановых энергии и импульса мы уже выяснили, что максимум полной энергии частицы совпадает с ее массой покоя. Иными словами, ℏω_m – это масса покоя риманова фотона.

Если мы перемножим эти две константы, то окажется, что αm_фотон в 2π раз превосходит потенциальную энергию пары частиц, находящихся на расстоянии λ_min. Благодаря этому данная величина является удобной единицей измерения, подходящей для любых ситуаций, в которых расстояние между частицами выражается через λ_min.

Следующий билогарифмический график показывает глубину потенциальной ямы с точки зрения частицы, расположенной в центре группы A₃-кластеров, имеющих форму, близкую к сферической. Масштаб по вертикальной оси измеряется в единицах αm_фотон, по горизонтальной – в единицах λ_min.

Приведенная для сравнения красная линия показывает, какова была бы максимальная глубина ямы, если бы эквивалентный заряд был равномерно распределен по той же самой области пространства. Точная глубина, которую можно определить, проинтегрировав риманов потенциал Кулона по объему шара, имеет колебательный характер и осциллирует между данной линией и энергией противоположного знака, для которой яма в действительности является пиком.

Из-за того, что график не отражает все возможные размеры кластеров, осцилляции энергии по мере увеличения кластера учитываются не вполне равномерно; тем не менее общий тренд ясен – глубина ямы увеличивается пропорционально размеру кластера и в среднем вдвое превышает глубину ямы в случае равномерно распределенного заряда:

D_центр ≈ [8 / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

Это свойство кристаллических тел кажется неожиданным с точки зрения нашей Вселенной, в которой размер кристалла при достижении некоторого порогового значения перестает влиять на состояние электронов, находящихся ближе к его центру! В этой связи может возникнуть заманчивая идея о том, что подобное воздействие дальнего порядка должно быть связано с решением построить решетку из одних только положительных частиц, без каких-либо отрицательных зарядов, которые могли бы компенсировать их кумулятивный эффект. В действительности же добавление в решетку отрицательных зарядов в этом отношении практически бы не поменяло ситуацию: они бы расположились в своей собственной решетке энергетических минимумов – в точках, где энергия с позиции положительного заряда достигает максимума, – и в результате порожденный ими потенциальный ландшафт лишь увеличил бы глубину энергетических ям, созданных положительными зарядами.

Глубина потенциальной ямы, конечно, важна, но как насчет ее формы? В любом конечном кластере частиц буду существовать потенциальные ямы, которые не обладают идеальной вращательной симметрией и могут отличаться друг от друга в различных местах решетки; тем не менее, идеализированная модель вращательно симметричной ямы, в которой потенциальная энергия определяется исключительно расстоянием от центра, также может принести некоторую пользу. Чтобы приближенно описать форму ямы, можно воспользоваться кривой потенциала, возникающего внутри равномерно заряженной сферической оболочки; полный потенциал будет представлять собой сумму из множества подобных слагаемых, однако каждое из них будет иметь вид произведения некоторой константы и:

$U_s(r) = -\cfrac{\sin(\omega_m r)}{\omega_m r}$

В рамках той точности, которую нам обеспечивает аппроксимация решетки в виде совокупности заряженных сферических оболочек, форма центральной ямы будет отличаться от U_s(r) лишь некоторым постоянным множителем.

U_s(r), понятное дело, не является параболой. На следующем графике синяя кривая отображает функцию U_s(r), в то время как красная представляет собой параболу, вторая производная которой принимает то же значение при r=0. “Несовершенная” форма ямы – даже если мы рассматриваем идеальный случай, приписывая ей вращательную симметрию – означает, что классическая частица, совершающая колебания в такой яме, не будет двигаться с единственной, чистой колебательной частотой. Следовательно, даже если мы позаботимся о том, чтобы главная частота колебаний превосходила ν_max, в рамках классической физики этого условия недостаточно, чтобы помешать частице генерировать излучение за счет низкочастотных компонент своего движения.

Неидеальные гармонические осцилляторы

Когда частица движется в энергетической яме, потенциальная энергия которой (относительно дна ямы) пропорциональна квадрату расстояния от ее центра, сила, притягивающая частицу к центру, будет прямо пропорциональна расстоянию. Подобная система называется гармоническим осциллятором. Примерами могут служить груз, совершающий колебания на конце пружины, или маятник, раскачивающийся под действием силы тяготения — однако, как и в случае с большинством реальных физических систем, форма энергетической ямы лишь приблизительно соответствует параболе, и такое описание дает наилучшие результаты в случае малых колебаний.

Рассмотрим идеально параболическую энергетическую яму, обладающую радиальной симметрией в трех измерениях, и частицу, которая движется в яме без трения, излучения и каких-либо иных осложнений. Если коэффициент пропорциональности между силой и расстоянием равен k, то для потенциальной энергии U и силы F справедливо следующее:

$U = \cfrac{kr^2}{2}$

$\mathbf{F} = -\partial_r U \mathbf{e}_r = -kr \mathbf{e}_r$

Разложим эту радиальную силу на компоненты, направленные вдоль осей x, y и z. Если частица имеет координаты (x, y, z), то радиально направленный единичный вектор равен:

$\mathbf{e}_r = \left(\cfrac{x}{r}, \cfrac{y}{r}, \cfrac{z}{r}\right)$ ,

а значит, отдельные компоненты силы имеют вид:

$(F_x, F_y, F_z) = (-kx, -ky, -kz)$

Выразим вторую производную каждой из координат, используя тот факт, что сила равна произведению массы на ускорение:

$(\partial_t^2 x(t), \partial_t^2 y(t), \partial_t^2 z(t)) = \left(-\cfrac{k}{m}x(t), -\cfrac{k}{m}y(t), -\cfrac{k}{m}z(t)\right)$

Решение этих трех уравнений имеет вид:

$(x(t), y(t), z(t)) = (A_x \cos(\omega t + \varphi_x), A_y \cos(\omega t + \varphi_y)), A_z \cos(\omega t + \varphi_z))$ ,

где $\omega=\sqrt{\cfrac{k}{m}}$

Частица будет совершать колебания вдоль каждого из координатных осей с одной и той же частотой ω. Амплитуды колебаний A_x, A_y и A_z в общем случае будут отличаться, точно так же, как и фазы φ_x, φ_y и φ_z. Но поскольку частота во всех трех случаях одинакова, то вне зависимости от величин этих параметров, по прошествии времени 2 π / ω частица обязательно вернется в ту же самую точку. Она движется по замкнутой орбите, в общем случае имеющей форму эллипса, центр которого совпадает с центром ямы; примером может служить красная линия на следующем рисунке:

ortnt_07_07

Что произойдет, если форма энергетической ямы отличается от идеальной параболы? Сила уже не будет в точности пропорциональна r, и ее отдельные компоненты будут зависеть не только от соответствующих координат. В результате все усложняется, и замкнутыми в таком случае будут лишь круговые орбиты, полностью лишенные радиального движения. Синяя кривая на предыдущем рисунке показывает фрагмент орбиты в энергетической яме формы U_s(r), где U_s – функция, обозначающая потенциальную энергию частицы внутри решетки.

На следующем рисунке показано, как зависит от времени y-компонента движения частицы, а также результат ее преобразования Фурье, которое описывает набор частот, составляющих данное движение. Тот факт, что орбита испытывает прецессию — иначе говоря, что точка ее максимального удаления от центра вращается во времени с угловой частотой, которую мы обозначим ω_p — приводит к расщеплению единственного пика в частотном спектре, достигаемого при орбитальной частоте ω_o(в параболической яме колебания с другой частотой не возникают), на два различных пика, соответствующих частотам ω_o±ω_p.

ortnt_07_08

А поскольку эти пики являются довольно высокими и узкими (обратите внимание, что величина данных компонент изображена в логарифмическом масштабе!), то при ω_o–ω_p > ω_m лишь очень малая часть движения частицы будет происходить в области частот, при которых возможно излучение. Но “очень мало”, тем не менее, не равно нулю, поэтому со временем частица все равно будет накапливать энергию и рано или поздно будет вынуждена покинуть энергетическую яму.

Квантовые эффекты в твердых телах

Пока что наше изложение не выходило за рамки классической физики, однако для полноценного понимания описанной ситуации нам потребуется прибегнуть к помощи квантовой механики. Классическая физика частиц, движущихся со сравнительно малыми скоростями, как в нашей, так и в римановой Вселенной описывается ньютоновской механикой, а поскольку нерелятивистская квантовая механика представляет собой квантовый аналог механики Ньютона, мы можем непосредственно воспользоваться многими из ее результатов. В частности, для потенциальной ямы параболической формы квантовый гармонический осциллятор ведет себя точно так же, как и в нашей Вселенной.

В квантовой механике состояние частицы описывается не конкретным положением и скоростью, а некоторой волновой функцией. Эта функция сопоставляет каждой точке пространства, в которой может находиться частица, некое комплексное число, называемое амплитудой; вероятность обнаружить частицу в соответствующей точке пропорциональна квадрату абсолютного значения амплитуды.

Форма волновых функций, при которых частица обладает определенным значением энергии, не меняется во времени. На следующем графике показано несколько примеров. Полные волновые функции зависят от трех пространственных координат; то, что показано на графике, в действительности является всего лишь зависимостью от расстояния до центра потенциальной ямы, r.

ortnt_07_09

Числа n и l представляют собой квантовые числа, позволяющие классифицировать допустимые волновые функции для квантового гармонического осциллятора в трех измерениях. Квантовое число n связано с полной энергией частицы:

$E_n = (n + 3/2) \hbar \omega$

Здесь n – неотрицательное целое число, ℏ – постоянная Планка, деленная на 2 π, а ω – угловая частота колебаний соответствующего классического осциллятора. Таким образом, частица характеризуется последовательностью равноотстоящих энергетических уровней. Состояние с минимально возможной энергией, соответствующее n=0, не находится на дне ямы; оно находится на полтора ℏω-шага выше, после чего все последующие уровни разделяются интервалом в один шаг.

Квантовое число l описывает полный момент импульса, которым обладает частица. Как видно из графиков волновой функции, увеличение l повышает вероятность обнаружить частицу на большем расстоянии от центра ямы. Примечательное свойство гармонического осциллятора, однако же, состоит в том, что l никоим образом не влияет на полную энергию частицы. Квантовое число l может принимать значения между n и 0; кроме того, оно должно быть четным, когда n четно, и нечетным, когда n нечетно. Третье квантовое число, которое обычно обозначается m, может принимать любое целочисленное значение в промежутке от –l до l и определяет величину момента импульса вдоль конкретной оси координат; m ни влияет ни на энергию, ни на радиальную составляющую волновой функции, однако его значение совместно с l определяет поведение волновой функции под различными углами к оси.

В общей сложности частица, описываемая трехмерным гармоническим осциллятором, может занимать (n+1)(n+2)/2 различных квантовых состояний, обладающих одной и той же энергией E_n.

Если же форма энергетической ямы отличается от идеальной параболы, то форма всех волновых функций слегка меняется. Наиболее важное следствие этих изменений заключается в том, что теперь полная энергия частицы зависит и от l, квантового числа, отвечающего за момент импульса. Таким образом, уровни, которые в параболической яме были представлены всего одним значением, теперь распадаются на несколько уровней, расположенных близко друг к другу.

На следующей диаграмме показаны энергетические уровни для некоторых значений массы частицы и глубины ямы. Уровни красного цвета в каждом из случаев соответствуют идеальной параболической яме, в то время как синие – яме той же глубины, но имеющей форму U_s(r), приблизительно отражающую форму потенциальной энергии, которую мы ожидаем увидеть, когда частица находится внутри решетки.

ortnt_07_10

В квантовой механике заряженная частица не излучает непрерывным образом, как это имело бы место с точки зрения классической физики. Вместо этого происходит следующее: если частица находится в некотором состоянии с энергией E_A, и существует другое, доступное для нее, состояние с энергией E_B, она может испустить фотон, энергия которого равна разности между двумя уровнями и совершить скачок из состояния A в состояние B. Именно электроны, находящиеся в атомах, излучают свет в нашей Вселенной. Но в римановой физике имеют место два отличия. Во-первых, если при описании E_A и E_B мы условились считать кинетическую энергию положительной, то энергия фотона имеет противоположный знак. Таким образом, переход произойдет только при условии, что E_B > E_A, а испускание фотона будет сопровождаться скачком частицы на более высокий уровень энергии.

Второе отличие состоит в том, что в римановой физике энергия фотона ограничена сверху величиной m_фотон, и это необходимо учитывать. Если E_B – E_A > m_фотон, то достичь перехода посредством единственного фотона будет невозможно. В принципе частица может испустить два, или три, или четыре фотона, но по мере увеличения количества необходимых фотонов вероятность такого перехода становится все меньше и меньше.

Таким образом, состояние частицы, заключенной в потенциальную яму, будет устойчивым, если интервал, отделяющий его от следующего по величине состояния, в несколько раз превышает максимальную энергию фотона. В квантовой механике редко встречаются состояния, способные сохранять стабильность неограниченное время, однако чем больше разрыв между энергетическими уровнями, тем более устойчивым будет статус-кво. Например, если взять предыдущую диаграмму, то в случае частицы, находящейся на самом нижнем энергетическом уровне первой ямы, величина этого интервала составит 5.2 m_фотон, а значит, переход в состояние с более высокой энергией потребует эмиссии шести фотонов.

Следует особо подчеркнуть, что подобная стабильность не обязательно должна нарушаться при замене параболы на яму неидеальной формы, которую мы ожидаем увидеть в случае решетки. В какой-то мере энергетические уровни сдвигаются и расщепляются, однако во многих ямах все равно найдутся уровни, отделенные от вышележащего интервалом, в несколько раз превосходящим максимальную энергию фотона. Даже если под одним из таких уровней имеется гораздо меньший интервал, благодаря которому частица могла бы вначале поглотить фотон из внешней среды и опуститься на уровень ниже, а затем снова испустить фотон и вернуться на исходное место, это бы все равно не имело значения. Такие переходы всего лишь дают твердым телам возможность взаимодействовать со светом без каких-либо отрицательных эффектов в плане стабильности. (В действительности существует ряд нюансов, от которых зависит возможность перехода с участием единственного фотона даже в тех случаях, когда разрыв между энергетическими уровнями меньше m_фотон.)

Какие именно твердые тела будут обладать квантовомеханической стабильностью, зависит от целого ряда параметров, включая массу частиц, из которых состоит решетка и глубину соответствующих потенциальных ям. Глубина ям, в свою очередь, зависит от размера решетки, силы риманового электростатического взаимодействия и заряда каждой из частиц. Наши предыдущие выкладки показали, что:

D_центр ≈ [8 / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

где R – радиус кластера, а D_центр – глубина ямы, расположенной непосредственно в его центре. Чтобы учесть два небольших осложнения, мы введем в эту формулу кое-какие изменения. Во-первых, мы хотим гарантировать стабильность даже тех ям, которые расположены на границе кластера, поэтому для начала уменьшим приведенную выше оценку в два раза. Во-вторых, мы хотим учесть возможность, что в каждой яме может находиться больше одной частицы. Для этого мы умножим нашу оценку на W, количество частиц в каждой яме, поскольку вклад каждой частицы в общее поле решетки будет более-менее одинаковым.

D_центр ≈ [4 W / (3 √3 π)] (R/λ_min) αm_фотон

Очевидно, что реальное твердое тело, так же, как и в нашей Вселенной, не обязательно обладает идеальной кристаллической структурой на всем своем протяжении и вполне может состоять из множества мелких кристаллов; в этом случае R обозначает радиус одного из таких кристаллов, а не твердого тела в целом.

Предположим, что характерная глубина ямы в кристаллической решетке равна D. В таком случае наилучшее параболическое приближение потенциальной энергии будет иметь вид:

$U_p(r) = D \left[ \cfrac{1}{6}\omega_m^2 r^2 - 1 \right]$

Помимо того, что эта функция также имеет глубину, равную D, ее вторая производная при r = 0 принимает точно такое же значение, как и вторая производная потенциальной энергии решетки U_s(r). Сила, действующая на классическую частицу в такой яме, имеет вид:

$\mathbf{F} = -\partial_r U_p(r) \mathbf{e}_r = -\cfrac{D}{3} \omega_m^2 r \mathbf{e}_r$

откуда следует, что коэффициент пропорциональности силы k равен (D/3) ω_m², а естественная частота колебаний для частицы массой m, находящейся в потенциальной яме, равна:

$\omega = \sqrt{\cfrac{k}{m}} = \omega_m \sqrt{\cfrac{D}{3m}}$

Это означает, что соотношение интервала между энергетическими уровнями в потенциальной яме, ℏω, и максимальной энергией фотона m_фотон = ℏω_m, имеет вид:

(ℏω)/m_фотон = ω/ω_m = √[D/(3m)]

Таким образом, если закрыть глаза на сдвиги и расщепление уровней энергии, стабильность решетки будет зависеть от величины √[D/(3m)]. Если √[D/(3m)] ≤ 1, то решетка не будет стабильной; при этом стабильность решетки будет увеличиваться с ростом этой величины. Данный эффект проиллюстрирован на предыдущей диаграмме: энергетические уровни для различных значений n сближаются друг с другом либо при увеличении массы частицы m, либо при уменьшении D.

Если мы хотим обеспечить

(ℏω)/m_фотон = √[D/(3m)] > S

для некоторого “запаса прочности” S, то отношение массы частицы к массе фотона должно быть меньше критического значения, приведенного в (1a). Если это соотношение фиксировано, то эквивалентного уровня стабильности можно достичь в том случае, когда размер решетки превосходит пороговое значение, указанное в (1b).

Условия стабильности решетки:

m/m_фотон < [4Wα / (9√3πS²)] (R/λ_min)	(1a)
R/λ_min > [9√3πS² / (4Wα)] (m/m_фотон)	(1b)

Частицы малой массы благоприятно влияют на стабильность, так как при этом увеличиваются промежутки между энергетическими уровнями, а значит, для их преодоления требуется большее число фотонов. Однако масса может оказаться слишком низкой. В случае идеального гармонического осциллятора энергетическая яма имеет бесконечную протяженность – ее стенки просто вздымаются на неограниченную высоту, – однако ямы, возникающие в кристаллической решетке, ограничены как по высоте, так и по ширине. Если энергетический разрыв намного превышает глубину ямы, то частицы, занимающие в ней уровни с максимальной энергией, вместо скачка на более высокое связанное состояние рискуют просто вылететь из ямы. Более того, если промежутки между уровнями слишком велики, то внутри ямы могут просто не поместиться необходимые нам W состояний.

Если предположить, что частицы, составляющие решетку, являются фермионами, то есть, подобно электронам в нашей Вселенной, не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, то W частиц распределятся по нескольким уровнями энергии. Для каждого значения квантового числа n существует (n+1)(n+2)/2 различных состояний, но если учесть также и состояния, отличающиеся спином, их число увеличится вдвое, поэтому общее количество состояний, в которых главное квантовое число не превышает заданного n, равно:

$\displaystyle \sum_{i=0}^n (i + 1) (i + 2) = \cfrac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{3}$

Точное решение этого уравнения для уровня максимальной энергии, занятого в общей сложностью W частицами, довольно громоздко, но мы можем сделать грубую прикидку и сказать, что:

$n \approx \sqrt[3]{3 W}$

Требование уместить в яме первые n энергетических уровней ограничивает отношение масс снизу; соответствующее соотношение приведено в (1c), а эквивалентное условие R – в (1d).

Заметим теперь, что по мере увеличения размера решетки нижняя граница массы, (1c), уменьшается, а верхняя, (1a), увеличивается, поэтому достаточно большая решетка будет устойчивой независимо от конкретных значений α и S. Аналогичным образом для решетки достаточно малого радиуса можно достичь такого состояния, при котором верхняя граница сравняется с нижней, и одновременно удовлетворить двум неравенствам будет невозможно. Условие (1e) выражает тот факт, что размер решетки достаточно велик, чтобы исключить такой вариант.

Условия стабильности решетки, продолжение:

m/m_фотон > [3^7/6 π / (4α ³√W)] (λ_min/R)	(1c)
R/λ_min > [3^7/6π / (4α ³√W)] (m_фотон/m)	(1d)
R/λ_min > 3^11/6πS / (4W^2/3α)	(1e)

Так, если α=1/137 (таково значение постоянной тонкой структуры в нашей Вселенной), а S=4 (то есть мы хотим гарантировать, что для совершения перехода из основного состояния любой частице потребуется испустить не меньше четырех фотонов), условие (1e) требует, чтобы:

R/λ_min > 3225 / W^2/3

На следующем графике показан приблизительный спектр условий, при которых возможно существование стабильных кристаллических решеток. Мы не учли эффекты, связанные с расщеплением уровней, которое может оказывать дестабилизирующее воздействие на уровни с наивысшей энергией, а также не приняли в расчет взаимодействие между частицами, находящимися в одной и той же потенциальной яме, которое может увеличивать стабильность за счет понижения некоторых уровней энергии. Тем не менее, общий тренд, очевидный на представленном графике, должен сохраняться: если масса частицы фиксирована, то добавление новых частиц в каждую из ям позволяет увеличить стабильность решеток меньшего размера.

ortnt_07_11

Римановы атомы?

После того, как мы рассмотрели решетку, содержащую миллионы частиц, давайте теперь перейдем к анализу системы, в которой имеются всего две одинаковые частицы. В принципе связать друг с другом их можно двумя разными способами. Можно расположить частицы на расстоянии около λ_min, поместив каждую из них в первую “энергетическую траншею” соседа. Второй вариант – сблизить частицы на расстояние менее λ_min/4, в результате чего каждая из них попадет в “потенциальный колодец” своего соседа – бездонную яму электростатического притяжения, которое возникает до того, как электростатическое взаимодействие начинает осциллировать между притяжением и отталкиванием.

Однако, как показывает проведенный нами расчет решеток, пара частиц, расположенных в энергетических траншеях друг друга, с высокой вероятностью окажется нестабильной. Несмотря на то, что в этой ситуации действуют иные нюансы, нежели в случае решетки, глубина энергетических ям и величина промежутков между энергетическими уровнями зависят от тех же самых факторов. При W=1 и R=λ_min условие (1e) принимает вид:

α > (3^11/6 π / 4) S ≈ 5.89 S

Даже если предположить, что мы можем свободно варьировать значения всех фундаментальных констант в римановой Вселенной, выбор большого α с целью удовлетворить приведенному выше ограничению, лишь приведет к росту частоты скачков между уровнями, а это, в свою очередь, потребует увеличения S, чтобы обеспечить стабильность системы.

Если расстояние между частицами гораздо меньше, то мы можем полностью забыть о гребенчатом характере силы Кулона и считать, что электростатическое притяжение подчиняется закону обратных квадратов. Энергетические уровни подобной квантовомеханической системы прекрасно известны, так как если не считать ряда отличий в некоторых константах, они по сути совпадают с энергетическими уровнями атома водорода. Атом водорода, конечно же, состоит из отрицательно заряженного электрона, связанного с протоном, который имеет положительный заряд и намного большую массу, однако математические свойства волновой функции, определяемой притяжением по закону обратных квадратов, в обоих случаях будут по сути одинаковыми.

Скорректировав квантовую механику водородного атома, мы получим, что энергетические уровни простейшего риманова атома, состоящего из двух частиц, выражаются следующим образом:

E₁ = –m α² / 4

E_n = E₁ / n²

Здесь m – масса отдельной частицы, α – постоянная тонкой структуры, а квантовое число n принимает целые значения, большие или равные 1. Теоретически в атоме водорода n может принимать сколь угодно большие значения, однако в случае риманова атома при слишком большом n волновая функция выйдет за пределы потенциальной ямы, и аппроксимация, основанная на законе обратных квадратов, станет неприменимой. В этой связи нам нужно, чтобы данное предположение было справедливым как минимум до n=2. Масштаб расстояний для волновой функции можно найти, скорректировав величину, которая называется боровским радиусом атома водорода; значение, подходящее для нашей ситуации, имеет вид:

a₀ = 2 ℏ / (m α)

Для того, чтобы волновая функция была достаточно локализованной при n=2, должно выполняться условие:

a₀ < λ_min / 64

Множитель 1/64 в данном случае выбран отчасти произвольно, однако он гарантирует, что частицы окажутся на расстоянии больше λ_min / 4 (в этой точке находится первый нуль потенциала) с вероятностью, не превышающей 0.1%. При этом соответствующее ограничение на отношение массы частицы к массе фотона имеет вид:

Атом из двух частиц, условия стабильности:

m/m_фотон > 64 / (πα)

(2a)

Зададимся теперь вопросом: при каком условии атом будет оставаться стабильным в состоянии n = 1? Разность между первым и вторым энергетическими уровнями составляет:

ΔE = E₂ – E₁ = (–3/4) E₁ = 3mα² / 16

Ключевой величиной является количество масс фотонов, содержащихся в этой разности энергий:

ΔE / m_фотон = [3α² / 16] [m/m_фотон]

Если мы хотим обезопасить атом от спонтанной эмиссии фотонов, данное соотношение должно превосходить некоторый запас прочности S, следовательно:

Атом из двух частиц, условия стабильности (продолжение):

m/m_фотон > 16S / (3α²)

(2b)

При S=4 и α=1/137 это означает, что m/m_photon > 400 000! Таким образом для двухчастичного атома масса частицы должна быть намного больше, чем в случае стабильной решетки некоторого адекватного размера.

Если атом состоит не из двух, а из Z частиц, энергетические уровни возрастут в Z² раз. Но если мы предположим, что речь идет о фермионах, то Z частиц распределятся по нескольким уровням энергии. Существует 2n² различных квантовых состояний, соответствующих заданному квантовому числе n, поэтому верхние n значений можно определить так:

$Z = 2 (1 + 4 + 9 + \dots + n^2) = \frac{n (n + 1) (2n + 1)}{3} \approx \frac{2n^3}{3}$

$n \approx \sqrt[3]{\cfrac{3Z}{2}}$

(Заметим, что эти вычисления представляют собой грубые прикидки, справедливые лишь для больших значений Z, и их нельзя применить к нашему атому из двух частиц.) Теперь нам потребуется безопасный интервал не между n=1 и n=2, а между n и n+1:

$\Delta Z = Z^2(E_{n + 1} - E_n) =$
$= Z^2(-E_1)\left(\cfrac{1}{n^2} - \cfrac{1}{(n + 1)^2}\right) =$
$= Z^2 \cfrac{m \alpha^2}{4} \cfrac{2n + 1}{(n + 1)^2 n^2} \approx$
$\approx 2 Z^2 \cfrac{m \alpha^2}{4} \cfrac{1}{n^3} \approx$
$\approx \cfrac{Z m \alpha^2}{3}$

Если запас прочности равен S, то должно выполняться следующее условие:

Атом из Z частиц, условия стабильности (аппроксимация для больших Z):

m/m_фотон > 3S / (Zα²)

(3)

При S=4 и α=1/137 даже атом с Z=1000 потребует m/m_photon > 225.

Макромолекулы

В промежутке между твердой кристаллической решеткой и римановым атомом должен существовать некоторый спектр структур, которые можно построить из частиц любой заданной массы. Наиболее очевидный критерий их стабильности состоит в том, что энергетические уровни отдельных частиц должны включать состояния, которые отделены от более высоких уровней достаточно большим интервалом; как мы уже видели, достичь этого можно путем увеличения глубины ямы, однако данный способ может потребовать включения в структуру сотен или даже тысяч отдельных частиц.

Для того, чтобы система частиц обладала стабильностью, точно такие же промежутки должны существовать и между уровнями системы в целом – чтобы совокупные вибрации, деформации и вращения “молекулы” также были защищены от неконтролируемой генерации света. Энергия вращательных состояний пропорциональна квадрату соответствующего квантового числа, а поскольку расстояния между квадратами целых чисел увеличиваются по мере их роста, спектр вращательной энергии рано или поздно примет вид, при котором каждое состояние отделено от вышележащего достаточно большим интервалом. В случае с колебательными движениями и деформациями дело обстоит сложнее: помимо того, что в энергетическом спектре каждой из степеней свободы, которыми обладает молекула, должны присутствовать промежутки подходящего размера, структура должна быть достаточно симметричной, чтобы полный набор энергетических уровней не превратился в некое подобие случайной мешанины из плотно расположенных линий: совокупность из тысячи идентичных осцилляторов, характеризующихся одной и той же величиной энергетического интервала ΔE, будет иметь спектр с минимальным интервалом, равным ΔE, в то время как совокупность из тысячи осцилляторов с различными энергетическими интервалами могла бы получить количество энергии, уступающее по своей величине кванту любого из составляющих осцилляторов – это произойдет, например, в том случае если один из осцилляторов перепрыгнет на более высокий, а другой, в то же самое время, – на более низкий уровень.

Точное описание молекул, которые будут сохранять стабильность с учетом всех этих рисков, стало бы крупным достижением в области вычислительной квантовой химии, поэтому все, что мы можем сделать – это обрисовать общую картину. Наибольшими шансами будут обладать большие – возможно, даже слоистые – молекулы наподобие полимеров; результатом может стать ситуация, при которой наиболее распространенные агрегатные состояния, за исключением разреженных газов, будут отличаться сравнительно высокой степенью дальнего порядка. Иными словами, вместо знакомых нам бурлящих жидкостей, состоящих из небольших молекул, взаимодействующих друг с другом случайным образом, химия римановой Вселенной в значительной мере будет протекать в среде, больше напоминающей жидкие кристаллы. Регулярная структура энергетических ям, наблюдаемая внутри решетки, в действительности продолжается и на некотором расстоянии за ее пределами; то же самое может оказаться верным и в отношении многих стабильных молекул большого размера, так что их взаимодействие будет приводить к движению друг относительно друга на манер храпового механизма, при котором каждая из молекул то цепляется за “зубцы” в энергетическом ландшафте своего соседа, то выскальзывает из них.