Общая теория относительности в римановой Вселенной [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/06/GRExtra.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Данная статья ориентирована на читателей, уже имеющих некоторое представление о терминологии и результатах общей теории относительности в применении к нашей Вселенной. Если вы хотите быстро освоить ключевые аспекты этой темы, попробуйте обратиться к очеркам о специальной и общей теории относительности из цикла Foundations. Если же вы просто хотите ознакомиться с кратким обзором релятивистских явлений, отличающих риманову Вселенную от нашей, обратитесь к основной части этой статьи.

Риманово решение Шварцшильда

Уравнение Эйнштейна, связывающее кривизну пространства-времени с содержащейся в нем материей, имеет вид:

$G + \Lambda g = 8 \pi T$ ,

где:

g – метрика пространства-времени
G – тензор Эйнштейна, который выражается через метрику и характеризует определенные свойства кривизны пространства-времени.
Λ – космологическая постоянная.
T – тензор энергии-импульса, который описывает всю имеющуюся в наличии материю (включая поля – например, электромагнитное).

Мы прибегнем к сложившейся в общей теории относительности практике и воспользуемся системой мер, при которой в одних и тех же единицах измеряются не только время и пространство, но также и масса, а сами единицы измерения выбраны таким образом, что гравитационная постоянная (которая часто обозначается символом G, что может вызвать путаницу, поскольку точно так же обозначается и тензор Эйнштейна) становится равной 1.

Нет причин считать, что при переходе в риманову Вселенную это уравнение должно каким-либо образом поменяться. В римановой Вселенной соотношение между величиной силы тяготения и другими типами взаимодействий может отличаться от нашего, но поскольку выбранные нами единицы измерения уже включают в себя величину гравитационной постоянной – независимо от ее конкретного значения, – больше мы ничего с этим фактом поделать не можем. Наиболее важное свойство уравнения Эйнштейна заключается в том, что дивергенция тензора Эйнштейна обязательно должна быть равна нулю; то же самое верно и в отношении метрики, умноженной на произвольную константу. Это дает нам основания приравнять сумму данных величин к тензору энергии-импульса, домноженному на константу, поскольку дивергенция этого тензора также должна быть равна нулю – в противном случае не будут выполняться локальные законы сохранения энергии и импульса. Все это будет в равной степени верно и в равной степени применимо в отношении римановой Вселенной.

Таким образом, различие по сути заключается лишь в том, что мы рассматриваем только решения уравнений Эйнштейна, для которых метрика g имеет сигнатуру (++++) – иначе говоря, решения, в которых все измерения являются пространственноподобными.

Существует, конечно, одно допустимое изменение, которое мы могли бы внести, сохранив нулевую дивергенцию левой части уравнения: мы могли бы потребовать, чтобы гравитационная постоянная была отрицательной и, следовательно, даже если ее абсолютное значение принимается равным 1 в силу выбора единиц измерения, в правой части уравнения будет стоять знак “минус”. Но, как выяснится в дальнейшем, если мы хотим, чтобы при медленном движении тел гравитация в римановой Вселенной в общем и целом не отличалась по своему поведению от ньютоновской, то правильным выбором будет положительная гравитационная постоянная.

Во многих случаях космологическую константу в нашей собственной Вселенной можно считать равной нулю, но мы постараемся сохранить максимальную общность рассуждений, включив ее в наши выкладки и принимая равной нулю только для получения ряда конкретных результатов. Поэтому наше исследование гравитации мы начнем с описания “метрики Шварцшильда-Коттлера”^[1], которая представляет собой обобщение метрики Шварцшильда на случай ненулевой космологической постоянной.

Метрика Шварцшильда-Коттлера
r, θ, φ – полярные координаты; начало отсчета совмещено с телом массы M

$g = \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right)$	(по Риману)
$g = - \left( 1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right)$	(по Лоренцу)

Данная метрика описывает геометрию вакуума вокруг сферически симметричного тела массы M. Пока что мы не станем делать каких-либо предположений о конкретном значении, или даже знаке, величины Λ в римановой Вселенной, но будем считать, что |Λ| достаточно мало, чтобы в интересующей нас области выражение 1+2M/r–Λr²/3 сохраняло положительный знак.

Одно из наиболее заметных отличий между лоренцевой и римановой метриками заключается в том, что в римановом случае все радиальные расстояния, измеренные вдоль линий с постоянными значениями t, θ и φ, являются конечными. При Λ=0 мы можем даже получить явное выражение для расстояния от центра координат (в предположении, что решение справедливо вплоть до r=0):

$\mathrm{dist}(r) = \sqrt{r (r + 2M)} - 2M \mathrm{arsh} \sqrt{\cfrac{r}{2M}}$

В контексте этой метрики площадь изоповерхности, соответствующей заданному значению r, совпадает с 4 π r², однако значение dist(r) всегда меньше самого r, поэтому для своего радиуса эти сферы имеют большую площадь поверхности, чем в случае евклидовой геометрии. Это характерная особенность пространства с отрицательной кривизной.

В случае лоренцевой метрики Шварцшильда все обстоит иначе: радиальные расстояния являются пространственноподобными лишь при r > 2 M, причем в этом случае они всегда превышают разницу по координате r.

Интегралы движения и эффективный потенциал

Нам бы хотелось понять, как с учетом этой метрики будет двигаться небольшая “пробная частица” – движущееся по орбите (или не падающее) тело достаточно малого размера, чтобы его собственное влияние на геометрию пространства было пренебрежимо малым. Общий метод, которым мы будем пользоваться, аналогичен изложенному Мизнером, Торном и Уилером^[2] в их описании тела, движущегося в условиях обычной геометрии Шварцшильда.

Мировая линия нашей пробной частицы будет геодезической, и для обозначения ее 4-скорости, т. е. единичного вектора, направленного по касательной к мировой линии, мы воспользуемся символом u. Компоненты вектора u в нашей системе отсчета совпадают со скоростью изменения соответствующих координат относительно собственного времени τ, измеренного вдоль геодезической:

$u^t = \partial_{\tau} t$
$u^r = \partial_{\tau} r$
$u^{\varphi} = \partial_{\varphi} y$
$u^{\theta} = \partial_{\theta} z$

Поскольку данная геометрия обладает сферической симметрией, мы всегда можем выбрать координаты таким образом, чтобы мировая линия пробной частицы лежала в “экваториальной плоскости” θ=π/2; при этом u^θ = ∂_τ θ = 0.

Поскольку наша метрика не зависит от координат t и φ, координатные векторные поля ∂_t и ∂_φ являются полями Киллинга – иначе говоря, они описывают такие “движения” тела в рамках заданной геометрии, при которых остаются неизменными его форма и размер; аналогичным образом мы можем мысленно увеличить долготу каждой точки некоего острова на 5 градусов, не искажая его географии. (В качестве неформального обсуждения векторных полей Киллинга вы можете обратиться к этой статье; хотя она и начинается цитатой из другого моего романа “Накал“, знакомства с самой книгой в данном случае не требуется.)

Поскольку ∂_t и ∂_φ являются векторными полями Киллинга, их скалярное произведение на касательный вектор к любой геодезической будет постоянным на всем протяжении этой геодезической. Отсюда следует, что для всей мировой линии нашей пробной частицы:

$\mathbf{u} \cdot \partial_t = u_t = E$
$\mathbf{u} \cdot \partial_{\varphi} = u_{\varphi} = L$

где E и L – некоторые константы. Компоненты u_t и u_φ, помеченные нижними индексами, являются компонентами дуального вектора, соответствующего u. Тот факт, что u, как и его дуальный вектор, имеет единичную длину, в терминах дуальных компонент выражается следующим образом:

$g^{ij} u_i u_j = 1$

где мы воспользовались эйнштейновым соглашение о суммировании. В силу диагональности метрики компоненты метрического тензора с верхними индексами g^ij обратны компонентам с нижними индексами, которые мы привели в определении метрики Шварцшильда-Коттлера, поэтому:

Rendered by QuickLaTeX.com

Выразив u_r через u^r = ∂_τ r, имеем:

$u_r = g_{rr} u^r = \cfrac{\partial_{\tau} r}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}$

Следовательно:

$\cfrac{E^2 + (\partial_{\tau} r)^2}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} + \cfrac{L^2}{r^2} = 1$

или:

(1) $\begin{equation*} (\partial_{\tau} r)^2 = \left( 1 - \cfrac{L^2}{r^2} \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) - E^2 \end{equation*}$

Таким образом, у нас есть уравнение, связывающее скорость изменения r относительно времени τ, измеренного пробной частицей, с самой координатой r. Продифференцировав его по τ (с последующим делением обеих частей уравнения на 2 ∂_τ r), мы получаем вторую производную:

(2) $\begin{equation*} \partial_{\tau, \tau} r = \cfrac{L^2 (r + 3M)}{r^4} - \cfrac{M}{r^2} - \cfrac{\Lambda r}{3} \end{equation*}$

Первое слагаемое описывает центробежное ускорение – отталкивание, которое при заданном моменте импульса L убывает примерно по закону обратных кубов. В лоренцевой версии числитель имеет вид r–3M, поэтому при r=3M соответствующее слагаемое меняет знак – именно этим объясняется тот факт, что на более близких расстояниях существование орбит вокруг черной дыры невозможно. Здесь же центробежная сила не только остается центробежной на любых расстояниях, но и всегда превышает соответствующую силу в лоренцевом и ньютоновом случаях.

Второе слагаемое – это обычное обратноквадратичное гравитационное притяжение, которое показывает, что выбор знака M соответствует поведению гравитации в ньютоновском пределе.

Наконец, третье слагаемое описывает силу притяжения или отталкивания, зависящую от космологической постоянной, которая в зависимости от знака Λ может как усиливать, так и ослаблять гравитацию в достаточно больших масштабах.

На следующем рисунке показаны графики эффективного потенциала для радиального движения пробной частицы в случае Λ=0, для ряда значений L. Функция:

$V(r) = \left( \cfrac{L^2}{r^2} - 1 \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} \right)$

определяет характер радиального движения посредством уравнения (1), принимающего вид:

$(\partial_{\tau} r)^2 + V(r) = -E^2$

При любом отличном от нуля значении L эффективный потенциал имеет минимальное значение < –1. Это означает, что любая частица с E > 1 и L≠0 будет двигаться по устойчивой, замкнутой орбите, совершая колебания между значениями r, при которых ∂_τr = 0, или V(r) = –E². Пример для случая E² = 1.3, L = M показан на рисунке красной пунктирной линией.

Если E < 1, то гравитация не сможет удержать частицу, и она улетит на бесконечность, причем минимальное сближение будет достигнуто при V(r) = –E². Пример для случая E² = 0.5, L = 4M показан на рисунке синим пунктиром. E – это отношение полной энергии частицы к ее массе покоя, измеренной на бесконечном расстоянии в системе отсчете, относительно которой покоится центральная масса. В лоренцевой физике частица оказывается связанной, если ее энергии меньше массы покоя, что соответствует случаю E < 1, однако в римановой физике действует обратная закономерность: связанная частица обладает большей энергией, чем свободная.

Круговые орбиты

Предположим, что пробная частица движется вокруг центрального тела по круговой орбите. Тогда r=R является постоянной величиной, а значит его первая и вторая производная обращаются в нуль, что дает нам два уравнения, выражающих L² и E² через радиус орбиты R. Решив эти уравнения и подставив результат в выражение 4-скорости u, мы сможем определить орбитальную скорость пробной частицы с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии от центрального тела. Результат выглядит так:

$v^2 = \cfrac{3M + \Lambda R^3}{3R + 6M - \Lambda R^3}$

В случае Λ=0 это выражение принимает вид:

$v^2 = \cfrac{M}{R + 2M}$

Если R велико, а Λ=0, мы получаем ньютоновский предел, при котором кинетическая энергия равна половине модуля отрицательной потенциальной энергии гравитационного поля.

В ньютоновской физике скорость обращающегося тела неограниченно возрастает по мере его приближения к центральной массе. Однако в случае римановых орбит v² при уменьшении R всегда стремится к 1/2. Поскольку центробежная сила больше по величине (меняется обратно пропорционально четвертой степени расстояния при малых r), 1/√2 – это максимальная скорость тела, при которой возможен его захват гравитационным полем с выходом на круговую орбиту (по крайней мере, вблизи центральной массы).

Если космологическая постоянная отлична от нуля, орбиты достаточно большого радиуса претерпевают ряд изменений. При положительной Λ гравитация на больших масштабах становится сильнее, и после падения до минимального значения v² начинает неограниченно возрастать. Если же Λ отрицательна, то космологический член служит источником отталкивания, которое приводит к тому, что начиная с некоторого расстояния движение тела по орбите за счет силы тяготения становится невозможным.

Радиальное движение и вторая космическая скорость

Предположим, что наша пробная частица движется непосредственно в сторону центрального тела или, наоборот, непосредственно от него. Тогда L = 0, и мы можем выразить значение второго интеграла движения, E², через скорость частицы, соответствующую конкретному расстоянию r (с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии).

$E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}{1 + v^2}$

При Λ=0 имеем:

$E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2}$

Если Λ=0, то минимальное значение E², при котором частица сможет улететь на бесконечность, достигается при v→0, когда r→∞, и, следовательно, равно 1. Таким образом, вторая космическая скорость частицы определяется соотношением:

$v_{\mathrm{esc}}^2 = \cfrac{2M}{r}$

Это выражение совпадает с ньютоновской формулой для второй космической скорости – из него очевидным образом следует, что преодоление гравитационного поля возможно на любом расстоянии.

В более общем случае, когда Λ≠0, понятие “второй космической скорости” становится не вполне корректным, поскольку на больших расстояниях на частицу будет действовать сила притяжения/отталкивания, обусловленная космологическим членом. Но вне зависимости от того, что происходит в космологических масштабах, возможность преодолеть непосредственную гравитацию центрального тела сохраняется и в этом случае. В римановой Вселенной не бывает черных дыр.

Гравитационное синее смещение и замедление времени

Если пучок света, находящийся на очень большом расстоянии от центральной массы, приближается к ней со скоростью v_∞, то (в предположении Λ=0, так как иначе поведение системы может оказаться неопределенным при r→∞), достигнув расстояния r, он, очевидно, будет двигаться быстрее:

$\cfrac{1}{1 + v_{\infty}^2} = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2(r)}$

$v^2(r) = \left(1 +\cfrac{2M}{r} \right) v_{\infty}^2 + \cfrac{2M}{r}$

Более быстрый свет характеризуется меньшей длиной волны, что на языке Ортогональной Вселенной описывается как синее смещение. Но в отличие от лоренцева случая, уменьшение длины волны будет сопровождаться увеличением периода τ, поэтому вблизи массивного тела измерения покажут, что каждое колебание света занимает больший промежуток времени. А именно:

$\tau(r) = \tau_{\infty} \sqrt{1 + \cfrac{2M}{r}}$

Получается, что с точки зрения путешественника, который движется в космосе по обходному пути, проходящему вблизи массивного тела, путь в целом потребует больше времени, чем с точки зрения путешественника, который летит напрямую. Как и в случае с другими проявлениями эффекта замедления времени, вызванными движением в 4-пространстве, гравитационное замедление времени в римановой Вселенной приводит к тому, что путешественник тратит не меньше, а, наоборот, больше времени.

Гравитационное рассеяние

В гравитационной физике Ньютона пробная частиц, которая приближается к массивному телу с большого расстояния — и при этом достаточно смещена в сторону, чтобы избежать столкновения — будет двигаться по гиперболической траектории, изогнутой в сторону центральной массы. Когда частица снова уйдет на бесконечность, направление ее движения изменится. В этом случае мы говорим, что частица испытала рассеяние на определенный угол, обозначаемый δ.

В лоренцевой гравитации подобные траектории являются нормой, но в экстремальном случае черной дыры частица может сделать несколько разворотов вокруг центральной массы, прежде чем ее захватит гравитационное поле, либо она снова улетит на бесконечность.

В римановой Вселенной нет черных дыр, но если во взаимодействии участвуют компактные и массивные тела или частицы, движущиеся с большой скоростью, траектория будет отклоняться не в сторону центрального тела, а наоборот, от него.

На следующих графиках показаны траектории пробных частиц с различными начальными скоростями v и двумя вариантами прицельного параметра b, который определяется как боковое отклонение траектории относительно центрального соударения (измеряемое в предположении, что частица находится на бесконечности). Кривые красного и оранжевого цвета – соответствующие сравнительно медленным частицам, которые пролетают на достаточно большом расстоянии от массивного тела – напоминают ньютоновские гиперболы, кривая желтого цвета незначительно отклоняется от первоначального пути, а все остальные траектории изгибаются, удаляясь от центральной массы.

За отбрасывание этих части отвечает неньютоновская центробежная сила. Как мы уже видели в случае уравнения (2), при малых r центробежное ускорение для заданной величины момента импульса L будет убывать примерно как единица, деленная на r в четвертой степени, в отличие от ньютоновской физики, характеризуемой законом обратных кубов.

Космология

Кривизна и энтропия

Взяв за основу уравнение Эйнштейна, мы можем получить полезное выражение тензора Риччи через тензор энергии-импульса. Тензор Эйнштейна G определяется через тензор Риччи R и метрику g:

$E = R - \cfrac{1}{2}R_c{}^c g$

где для вычисления следа тензора Риччи мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Если мы запишем уравнение Эйнштейна в компонентной форме, то получим:

Rendered by QuickLaTeX.com

Таким образом, след тензора энергии-импульса можно представить в виде:

$8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - \cfrac{1}{2} R_c{}^c g_e{}^e + \Lambda g_e{}^e$

След g_e^e в случае римановой метрики совпадает с размерностью пространства, т. е. равен 4. Следовательно:

$8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - 2 R_c{}^c + 4 \Lambda = - R_e{}^e + 4 \Lambda$

[В случае 4-мерного лоренцева пространства g_e^e, разумеется, равно 2, в соответствии с договоренностью о выборе сигнатуры (– + + +). Таким образом, приведенное выше уравнение и его следствия неприменимы в лоренцевой Вселенной.]

Воспользовавшись этим фактом, можно записать:

$8 \pi (T_{ab} - \cfrac{1}{2}T_e{}^e g_{ab}) = 8 \pi T_{ab} + \left(\cfrac{1}{2} R_e{}^e - 2 \Lambda \right) g_{ab}$

Подставляя сюда выражение 8 π T_ab из уравнения Эйнштейна, имеем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Это позволяет нам выразить тензор Риччи через тензор энергии-импульса и метрику:

(3) $\begin{equation*} R_{ab} = 8 \pi \left(T_{ab} - \cfrac{1}{2} T_e{}^e g_{ab} \right) + \Lambda g_{ab} \end{equation*}$

Преобразуем полученный ранее результат, связывающий следы тензора Риччи и тензора энергии и импульса:

(4) $\begin{equation*} R_c{}^c = - 8 \pi T_c{}^c + 4 \Lambda \end{equation*}$

Помимо следа тензора Риччи, нас также будут интересовать отдельные элементы, стоящие на его диагонали. Если мы имеем дело с локально ортонормированными координатами и, следовательно, g_aa = 1 для любого a, то (по парам повторяющихся нижних индексов суммирование не производится):

(5) $\begin{equation*} R_{aa} = 8 \pi \left(T_{aa} - \cfrac{1}{2} T_c{}^c \right) + \Lambda \end{equation*}$

Величина R_aa показывает нам, как будет сближаться или, наоборот, расходиться пучок геодезических, изначально расположенных вдоль направления a – в том смысле, что вторая производная объема, заключенного внутри этого пучка (и ограниченного гиперповерхностью, ортогональной направлению a) может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Точнее:

$\cfrac{\partial_a \partial_a V}{V} = -R_{aa}$

Теперь мы можем в общем и целом разделить материю римановой Вселенной на две большие категории. Если речь идет о состоянии с низкой энтропией, которое характеризуется тем, что материя движется в более или менее едином направлении (твердое тело, газ с низкой отрицательной температурой или система гравитационно связанных тел), то расположив нашу ось времени t вдоль мировых линии материальных частиц, мы получим, что компонент T_tt тензора энергии-импульса имеет большое значение, в то время как его прочие компоненты пренебрежимо малы. Примером такого состояния может служить облако пыли с плотностью ρ и пренебрежимо малым давлением:

$T = \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}$

причем в ортонормированной системе отсчета, относительно которой облако покоится, T_tt = ρ, а все остальные компоненты тензора равны нулю. В этом случае:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ=0, то R_tt > 0 и, следовательно, объем, заключенный внутри пучка геодезических, ориентированных вдоль оси t, будет уменьшаться. Другими словами, в случае скоплений пробных частиц, которые изначально покоятся относительно пылевого облака, гравитация будет действовать, как сила притяжения, сближающая частицы друг с другом. При этом R_xx и прочие компоненты тензора будут отрицательными, поэтому скопления пробных частиц, движущихся сквозь пылевое облако с бесконечной скоростью, будут, наоборот, рассеиваться. След тензора Риччи, также называемый скалярной кривизной, будет меньше нуля.

При достаточно большом положительном значении Λ скалярная кривизна окажется больше нуля, и скопления пробных частиц будут сжиматься вне зависимости от направления движения; при достаточно большом по модулю отрицательном Λ результат меняется на противоположный.

Что, если материя находится в состоянии с высокой энтропией, при котором ее мировые линии могут быть с равной вероятностью ориентированы вдоль произвольного направления в 4-пространстве? В этом случае:

$T_{tt} = T_{xx} = T_{yy} = T_{zz} = \rho$

В римановой Вселенной материя, находящаяся в состоянии высокой энтропии, действует в точности так же, как и космологическая постоянная: ее тензор энергии-импульса пропорционален метрике. Учитывая влияние как ρ, так и Λ, получаем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ равно нулю, то скалярная кривизна, так же, как и все компоненты вида R_aa, будет отрицательной, поэтому пучки геодезических будут расходиться вне зависимости от своей ориентации в 4-пространстве. Если ρ постоянна во всем 4-пространстве, то риманова Вселенная будет иметь вид четырехмерного гиперболического многообразия.

Если космологическая постоянная Λ имеет достаточно большое положительное значение, она перекроет влияние ρ, и кривизна окажется больше нуля, в то время как отрицательные значения Λ по своему эффекту будут аналогичны увеличению ρ и приведут к усилению отрицательной кривизны.

Простые модели

Модели с большим взрывом

Риманова космология, по-видимому, допускает существование сингулярности, описывающей Большой взрыв. Но в отличие от лоренцевой физики (где сингулярность, судя по всему, неизбежна), это происходит только в тех случаях, когда распределение материи во Вселенной подчиняется определенной симметрии.

Если мы представим идеально однородную и изотропную пространственную Вселенную в виде трехмерной сферы, евклидова пространства или гиперболического пространства с зависящим от времени масштабом длины a(t) (как показано Мизнером, Торном и Уилером^[3] для лоренцева случая), уравнение Эйнштейна преобразуется в дифференциальное уравнение относительно a(t):

Динамика однородной и изотропной Вселенной
k = 1 для трехмерной сферы
k = 0 для евклидового пространства
k = –1 для гиперболического пространства

$\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} - \cfrac{3k}{a^2(t)} + \Lambda = 8 \pi \rho(a(t))$	(по Риману)
$\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} + \cfrac{3k}{a^2(t)} - \Lambda = 8 \pi \rho(a(t))$	(по Лоренцу)

Здесь ρ(a(t)) – плотность массы-энергии как функция масштаба длины a(t).

Обратите внимание, что риманова версия уравнения отличается от лоренцевой тем, что Λ и k входят в него с обратным знаком. Забудем на время о влиянии Λ и предположим, что космологическая постоянная равна нулю. Одно из наиболее известных следствий лоренцевой физики состоит в том, что если пространственная часть Вселенной представляет собой трехмерную сферу, то она будет расширяться до некоторого предела, после чего снова начнет сжиматься, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная будет расширяться вечно. Поскольку в римановой версии уравнения k имеет противоположный знак, то при прочих равных верным будет противоположное утверждение: Вселенная, пространственная часть которой имеет форму трехмерной сферы, будут расширяться вечно, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная начнет сжиматься после того, как ее расширение дойдет до некоторого максимального размера.

Есть ли какие-либо отличия в форме, которую плотность энергии приняла бы в римановой Вселенной? В лоренцевом случае одним из стандартных грубых приближений является представление плотности ρ в виде двух слагаемых, характеризующих распределение “материи” и “излучения”. Считается, что давление материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, а ее плотность меняется в соответствии с масштабом длин согласно уравнению:

$\rho_m a^3 = \mathrm{const}$

Другими словами, материя, заключенная в любой заданной области пространства (границы которой описываются угловыми координатами на 3-сфере, либо – в иных сценариях – их аналогами), имеет постоянную массу и по мере сжатия или расширения этой области просто приобретает большую или меньшую плотность. Давление изотропного излучения всегда втрое меньше соответствующей плотности энергии, откуда следует, что при расширении области пространства с объемом V излучение совершает работу и теряет энергию:

$\cfrac{d (\rho_r V)}{d \tau} = - p_r \cfrac{d V}{d \tau} = - \cfrac{1}{3} \rho_r \cfrac{d V}{d \tau}$

Если V = a³, то это соотношение удовлетворяется при:

$\rho_r a^4 = \mathrm{const}$

Таким образом, при малых a плотность энергии излучения будет преобладать. А по мере того, как a приближается к нулю, обе составляющие плотности энергии, очевидно, будут стремиться к бесконечности.

Поскольку в римановой физике нет изотропных векторов, в ней нет и столь принципиального различия между веществом и излучением. Тем не менее, полезно отличать состояния с низкой и высокой энтропией, которые мы описывали в предыдущем параграфе. Давление низкоэнтропийной материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, поэтому с точки зрения вклада в плотность энергии она играет ту же самую роль, что и ρ_m для лоренцева случая. Давление высокоэнтропийной материи сравнимо с ее массой покоя – этим она напоминает лоренцево излучение, но есть два важных отличия. Во-первых, отсутствует множитель 1/3; в состоянии истинной SO(4)-инвариантности, которую мы видели на примере разреженного газа с бесконечной температурой, давление во всех трех пространственных направлениях совпадает с плотностью энергии. Во-вторых, работа, совершаемая, за счет расширения под давлением, в римановом случае имеет противоположный знак (например, риманова система, расширяющаяся при наличии давления со стороны поршня, придает поршню кинетическую энергию, откуда следует, что полная энергия самой системы увеличивается). Таким образом:

$\cfrac{d (\rho_h V)}{d \tau} = p_h \cfrac{d V}{d \tau} = \rho_h \cfrac{d V}{d \tau}$

что достигается при

$\rho_h = \mathrm{const}$

Таким образом, плотность энергии, соответствующей высокоэнтропийной материи, остается постоянной! Если задуматься, этот результат не так уж удивителен: у материи такого рода нет предпочтительных направлений в 4-пространстве, выбор конкретного направления в качестве оси времени t на нее никоим образом не влияет.

Если теперь представить риманову Вселенную, равномерно заполненную низкоэнтропийной материей, все мировые линии которой ортогональны 3-сфере или другой гиперповерхности, которую мы (в силу ее однородности) решили выбрать в качестве “пространства в конкретный момент времени”, то проследовав по этим мировым линиям в прошлое, то есть в сторону их сближения, мы обнаружим, что плотность данной материи будет стремиться к бесконечности точно так же, как плотность спиц на идеализированном велосипедном колесе стремится к бесконечности по мере приближения к точке их пересечения. Но если в лоренцевом случае сингулярность, как было показано, является неизбежным следствием ряда вполне обоснованных допущений^[4], то в римановом случае условие схождения мировых линий к единственному событию – в силу отсутствия световых конусов, которые могли бы ограничить их направление – является не жестким требованием, а всего лишь одним из возможных вариантов – и ко всему прочему довольно-таки надуманным. Очевидно, что можно легко привести примеры однородных римановых Вселенных, в которых нет ни одной сингулярности.

Модели без сингулярностей

Рассмотрим однородную Вселенную, заполненную материей, которая в космологических масштабах находится в SO(4)-инвариантном состоянии, характеризующемся высокой энтропией. Это не исключает существования локализованных градиентов энтропии и стрел времени, однако в масштабе 4-пространства всей Вселенной пучки параллельных мировых линий будут ориентированы случайным образом.

К этой модели можно применить метод, изложенный в предыдущем параграфе. Мы должны иметь возможность разрезать 4-пространство на однородные гиперповерхности, которые являются либо трехмерными сферами, либо гиперповерхностями с евклидовой или гиперболической геометрией. Плотность энергии будет равна некоторой константе ρ. В этом случае зависимость масштабного коэффициента a(t) от временной координаты t, измеренной вдоль оси, перпендикулярной выбранным нами гиперповерхностям, должна удовлетворять уравнению:

(6) $\begin{equation*} a'^2(t) - k = \pm K^2 a^2(t) \end{equation*}$

где положительная вещественная константа K определяется таким образом, что:

$\pm K^2 = \cfrac{8 \pi \rho - \Lambda}{3}$

Эта величина описывает суммарное влияние материи и космологической постоянной, в то время как параметр k определяет вид однородных гиперповерхностей, с которыми мы имеем дело:

k = 1 для трехмерной сферы
k = 0 для евклидова пространства
k = –1 для гиперболического пространства

Каковы возможные решения уравнения (6)?

8 π ρ – Λ > 0Четырехмерное гиперболическое пространство.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = –12 K².
Если k = 1, то a(t) = sinh(K t) / K; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых увеличивается от 0: сначала линейно по t, затем – по экспоненциальному закону.
Если k = 0, то a(t) = exp(K t); срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей, масштаб которых зависит от t по экспоненциальному закону.
Если k = –1, то a(t) = (1/2)[exp(K t) + exp(–K t)/K²]; срезы пространства имеют вид гиперболических гиперповерхностей, масштаб которых растет по экспоненциальному закону относительно t и –t.
8 π ρ – Λ = 0Плоское четырехмерное евклидово пространство.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = 0.
Если k = 1, то a(t) = t; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых с увеличением t линейно возрастает, начиная с 0 (иначе говоря, t представляет собой радиальную координату полярной системы).
Если k = 0, то a(t) = 1; срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей фиксированного масштаба (другими словами, t в этом случае является декартовой координатой).
При k = –1 решений нет.
8 π ρ – Λ < 0Четырехмерная сфера S⁴.
Скалярная кривизна Риччи: R_c^c = 12 K².
Если k = 1, то a(t) = sin(K t) / K, и срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых возрастает от 0, достигает максимума, после чего уменьшается.
При k = 0 или –1 решений нет.

Таким образом, геометрия четырехмерного пространства может относиться к одному из трех типов: гиперболическому, плоскому или сферическому. Существует множество способов нарезки этих 4-пространств на однородные трехмерные гиперповерхности, однако на само 4-пространство выбор конкретного способа никак не влияет. И если Вселенная в начальный или конечный момент характеризуется нулевым масштабным коэффициентом, это еще не говорит о наличии в ней сингулярности! Плостность энергии ρ остается постоянной, а те области, в которых масштабный коэффициент обращается в нуль, являются всего лишь следствием выбранного способа нарезки 4-пространства на гиперповерхности.

У нас, как уже обсуждалось ранее, есть основания сделать выбор в пользу конечного 4-пространства, и сказанное в данной статье этого не исключает. В случае положительной кривизны 4-пространство в целом обязательно должно быть конечным, что следует из теоремы Майерса. Однако положительная кривизна несовместима с рядом топологий; на торе, к примеру, нельзя ввести метрику, которая бы обладала положительной скалярной кривизной.^[5]

В случае нулевой и отрицательной кривизны 4-пространство может быть как конечным, так и бесконечным; например, всюду плоскую метрику можно ввести и на R⁴ (бесконечное 4-пространство), и на T⁴ (четырехмерный тор). Тем не менее, некоторые ограничения на возможные топологии существуют и в этом случае. Из теоремы Адамара-Картана следует, что однородное и изотропное пространство отрицательной кривизны не может обладать топологией четырехмерной сферы.

Гравитационные волны

Стандартное описание гравитационных волн^[6] в виде малых возмущений плоской метрики применимо в римановой версии ОТО точно так же, как и в лоренцевой. Получаемые в итоге уравнения (в предположении Λ=0) имеют вид:

Уравнения гравитационной волны, Λ=0

	(по Риману)
	(по Лоренцу)
$\partial_x w^{ax} + \partial_y w^{ay} + \partial_z w^{az} + \partial_t w^{at} = 0$	(поперечное условие)

Первым идет утверждение о том, что компоненты метрики g_ab в выбранной нами системе координат совпадают с компонентами символа Кронекера (δ_ab = 1, когда a=b, и 0, когда a≠b, что дает компоненты плоской метрики в евклидовом пространстве с декартовой системой координат) с добавлением некоторого малого возмущения h_ab, которое, как и сама метрика, будет представлять собой симметричный тензор.

В лоренцевой версии мы используем метрику Минковского η_ab, для которой η_tt=–1, а все остальные компоненты совпадают с соответствующими компонентами δ_ab.

Далее мы вводим новый симметричный тензор w_ab, который равен h_ab за вычетом половины следа h, домноженного на соответствующую метрику плоского пространства: δ в римановом случае, η – в лоренцевом. [В таких случаях обычно используется обозначение в виде горизонтальной черты над исходным возмущением h, но на веб-странице этого добиться сложно] Поднимая один из индексов тензора h_ab, чтобы вычислить его след, мы используем δ или η вместо полной метрики, поскольку нас интересует лишь вклад членов первого порядка h. По этой же причине мы используем метрику плоского пространства при манипуляциях с индексами w_ab.

Смысл этих определений сводится к тому, что в каждом случае уравнение Эйнштейна с точностью до первого порядка возмущения и его производных принимает вид простого волнового уравнения относительно возмущения w, как показано выше, при условии, что w, помимо прочего, удовлетворяет поперечному условию – по аналогии с векторными римановыми волнами.

В римановом случае это “волновое уравнение” имеет вид уравнения Лапласа, поэтому при T=0 любое, отличное от константы, решение будет неограниченным. Сумма вторых производных w должна быть равна нулю, так что если решение в одном направлении ведет себя как периодическая функция (и ее вторая производная совпадает с самой функцией, домноженной на некоторое отрицательное число), то в другом она будет расти по экспоненте (а ее вторая производная будет равна исходной функции, домноженной на положительное число). При наложении граничных условий – например, требования, что риманова Вселенная должна иметь вид T⁴, – мы выясним, что удовлетворить им посредством экспоненциальных решений нельзя, и допустимыми будут лишь решения вида w = const.

Таким образом, в отсутствие космологической постоянной и в предположении, что для римановой Вселенной справедливы граничные условия, необходимые для устранения экспоненциальных решений в случае электромагнитных волн, существование гравитационных волн становится невозможным. Более того, если речь идет об осциллирующем источнике, то с увеличением расстояния от него соответствующие решения будут затухать экспоненциально; происходит это по сути в силу тех же самых причин, по которым поле вокруг проводника с переменным током экспоненциально падает с расстоянием, когда частота тока превышает максимальную частоту ν_max при выполнении граничных условий T⁴ – только в данном случае максимальная частота равна нулю!

Что произойдет, если космологическая постоянная отлична от нуля? Может показаться, что при таком изменении уравнение гравитационной волны из тензорного варианта уравнения Лапласа превратится в нечто, больше напоминающее уравнение Гельмгольца – то есть приобретет дополнительное слагаемое в виде волны, домноженной на некоторую константу, по аналогии с членом ω_m² в уравнении векторной римановой волны, что при подходящем знаке Λ позволило бы получить периодические решения с частотой, ограниченной сверху некоторым максимальным значением.

Но оказывается, что это не так. Детальный анализ довольно сложен, но если для заданного Λ рассмотреть возмущение метрики относительно решения в вакууме, то слагаемые, имеющие отношение к кривизне пространства (и, следовательно, зависящие от Λ) войдут в уравнение возмущения несколько раз – не считая очевидного присутствия Λ в самом уравнении Эйнштейна. В конечном счете все эти слагаемые компенсируют друг друга, и членов, которые бы отличались от искомой волны только постоянным множителем, в итоговом уравнении не возникает.

Таким образом, граничные условия, необходимые для усмирения электромагнитных волн, судя по всему, полностью исключают существование волн гравитационных.

Литература

[1] Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. – Cambridge University Press, Cambridge, 2003 (параграф 15.4).

[2] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграфы 25.2, 25.3).

[3] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., глава 27.

[4] С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. – М.: Мир, 1977, глава 10.

[5] R. Schoen, S. T. Yau. On the structure of manifolds with positive scalar curvature. Manuscripta Mathematica, 1979, т. 28, изд. 1-3, стр. 159 – 183.

[6] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., главы 18 и 35.