Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/06/GR.html
| ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования |
Да, черных дыр здесь нет
Насколько поведение гравитации в римановой Вселенной отличается от ее проявлений в нашем мире?
Вот одно из возможных отличий: поскольку скорость света не фиксирована, а скорость материального тела не имеет верхнего предела, складывается впечатление, что в римановой Вселенной невозможны черные дыры. Если вы можете двигаться со сколь угодно высокой скоростью, то, какова бы ни была вторая космическая скорость массивного тела, в принципе вы наверняка сможете ее достичь.
С другой стороны, при увеличении скорости тела его кинетическая энергия не возрастает без каких-либо ограничений. По мере того, как скорость стремится к бесконечности, кинетическая энергия, как уже обсуждалось ранее, стремится к массе покоя. Что в таком случае произойдет, если вы находитесь в гравитационном колодце, настолько глубоком, что ваша потенциальная энергия меньше –m, т. е. вашей собственной массы покоя, взятой с обратным знаком? Если речь идет о ньютоновской теории гравитации, то потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии r от звезды или планеты массой M, равна:
,
откуда следует, что при r < G M, потенциальный колодец окажется слишком глубоким, чтобы тело смогло из него выбраться, даже если оно движется с бесконечной скоростью и имеет кинетическую энергию, равную m.
Единственный способ решения этой проблемы – воспользоваться общей теорией относительности Эйнштейна, которую несложно адаптировать к риманову 4-пространству. С подробностями можно ознакомиться в статье с дополнительными материалами; здесь же мы лишь в общих чертах опишем без доказательства ряд любопытных результатов римановой теории относительности.
Вторая космическая скорость массивного тела действительно может достигать сколь угодно большой величины, однако ее вид, как выясняется, в точности совпадает с выражением, которое получается, если объединить потенциальную энергию ньютоновской гравитации с ньютоновской же формулой кинетической энергии, которая неограниченно возрастает с увеличением скорости. Если говорить точнее, то оказывается, что в случае тела, находящегося в состоянии свободного падения и радиально приближающегося к массивному объекту, либо удаляющегося от него, величина:
сохраняется. Это аналог закона сохранения энергии в гравитационном поле для случая римановой ОТО. Когда тело падает и набирает скорость, либо замедляется при попытке отдалиться от массивного объекта, данная величина остается неизменной. Таким образом, для того, чтобы некий объект обладал нулевой скоростью, находясь на бесконечном расстоянии от массивного тела – при выполнении данного условия объект будет двигаться со второй космической скоростью – E2 должно быть равно 1. Другими словами:
Последнее уравнение выражает тот факт, что сумма ньютоновской кинетической энергии и ньютоновской потенциальной энергии равна нулю. По сути тот же самый конечный результат справедлив и в нашей Вселенной; разница заключается в том, что в нашей Вселенной v должно быть меньше 1, поэтому при r = 2 G M вырваться из поля тяготения уже невозможно – это означает, что вы пересекли горизонт событий черной дыры. В римановой Вселенной, как изначально и подсказывала наша интуиция, отсутствие верхнего предела v означает, что гравитацию всегда можно преодолеть.
Несмотря на то, что в римановой Вселенной не бывает черных дыр, искривление пространства-времени в окрестности достаточно компактного массивного тела может вызывать ряд необычных эффектов. Во-первых, это замедление времени, которое по сравнению с гравитационным замедлением в нашей Вселенной действует противоположным образом. Если, находясь в римановой Вселенной, вы вначале проведете какое-то время вблизи массивного объекта, а затем вернетесь к своему товарищу, который держался на расстоянии, с его точки зрения затраченное время будет меньше, чем с вашей.
Другой эффект заключается во влиянии кривизны пространства-времени на центробежную силу. В нашей Вселенной центробежная сила на достаточно малом расстоянии от черной дыры по сути меняет знак и начинает, наоборот, затягивать вас внутрь дыры. В римановой Вселенной центробежная сила всегда остается силой отталкивания и может даже превосходить свой аналог в ньютоновском мире. В результате, оказавшись слишком близко к компактному массивному телу вы, вместо того, чтобы обогнуть его по ньютоновской гиперболической орбите, отразитесь от него рикошетом.
Большая величина центробежной силы ограничивает максимальную скорость орбитального движения планеты – независимо от того, насколько массивна звезда и на каком расстоянии вокруг нее обращается планета. Скорость движения по круговой орбите не может превышать 1/√2; если планета будет двигаться быстрее, то центробежная сила превзойдет гравитационное притяжение.
Как и гравитационных волн
Уравнение, описывающее гравитационные волны в римановой Вселенной, в принципе может быть подвержено той же проблеме, которую мы видели на примере световых волн, а именно: если частота волны в одном измерении слишком высока, то в другом величина волны будет возрастать по экспоненте. В случае гравитационных волн проблема стоит еще более остро, так как подобное поведение будет наблюдаться при любой частоте. Нет никакой максимальной частоты, при превышении которой эффект вступает в силу.
В результате существование волн гравитации полностью исключается, благодаря механизму, предотвращающему экспоненциальный рост световых волн. В нашей Вселенной два массивных тела, вращающихся вокруг друг друга на очень малом расстоянии, будут излучать энергию в виде гравитационных волн. Это приведет к их взаимному сближению и, в конечном счете, вызовет столкновение. В римановой Вселенной энергия, затраченная на создание гравитационных волн, произвела бы противоположный эффект, заставив вращающиеся тела отдаляться друг от друга… однако на самом деле этого не случится, поскольку гравитационное излучение физически невозможно.
И Большого Взрыва, скорее всего, тоже
Проследив историю наиболее простых моделей лоренцевой Вселенной назад во времени, мы приходим к моменту, когда Вселенная имеет бесконечную плотность, а классические законы общей теории относительности должны перестать работать – то есть к Большому Взрыву.
В римановой физике подобная модель Вселенной также возможна, хотя и является чересчур искусственной и надуманной. Она исходит из предположения, что Вселенная заполнена материей, все мировые линии которой направлены примерно в одном и том же направлении. Такое предположение может быть естественным в случае лоренцевой Вселенной, так как ее мировые линии сосредоточены внутри конуса времениподобных направлений, однако в римановой Вселенной мировые линии могут быть ориентированы в 4-пространстве произвольным образом.
Если мы примем более естественное для римановой Вселенной предположение, что в масштабах всего космоса мировые линии не имеют какого-либо предпочтительного направления, то при выборе конкретного направления в качестве “оси времени” средняя плотность материи при движении в прошлое вполне может оставаться неизменной. Вселенная может сжаться до нулевого объема, но конкретное событие, при котором наблюдается такое явление, будет всего лишь следствием выбора определенного направления в качестве временной оси – точно так же, как сжатие кругов заданной широты до нуля по мере приближения к северному и южному полюсам является следствием искусственно выбранной нами системы координат.
В целях простоты на приведенных выше рисунках эти модели изображены на поверхности сферы, однако 4-пространство будет обладать положительной кривизной во всех направлениях только при наличии достаточно большой положительной космологической постоянной – что в римановом случае эквивалентно большой отрицательной энергии вакуума. В отсутствие космологической постоянной первая модель будет обладать положительной кривизной в направлении “оси времени” и отрицательной – в направлении остальных трех осей. Это означает, что облако частиц, находящихся в состоянии свободного падения, будет сжато до меньшего объема, если их мировые линии более или менее параллельны мировым линиям всей остальной материи; если же по отношению к окружающей материи они движутся с бесконечной скоростью, объем их облака будет, наоборот, увеличиваться.
Вторая модель, в отсутствие космологической постоянной, будет обладать отрицательной кривизной во всех направлениях.
Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.