Геометрия и волны

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/03/Waves.html

^{ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования}

Плоские волны

Представим себе идеальную световую волну, которая движется в нашей лоренцевой Вселенной – бесконечно длинную синусоиду, характеризуемую единственной, строго определенной частотой. Эту частоту принято обозначать ν (греческая буква “ню”). Пока что мы оставим в стороне вопрос поляризации и величину волны будем описывать единственным числом A.

Предположим, что в нашей системе координат волна движется вдоль оси x. Если единицы измерения выбраны таким образом, что скорость света равна 1, то математическое представление такой волны будем иметь вид:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(2 \pi \nu (x - t))$

Величина, обратная частоте, представляет собой период волны, τ – время, необходимое на одно полное колебание. Поскольку синус в точности повторяет свое значение, если его аргумент увеличивается или уменьшается на 2π, то наша световая волна A(x, y, z, t) будет повторяться, когда t увеличивается или уменьшается на τ = 1/ν:

$A(x, y, z, t \pm \tau) = A(x, y, z, t)$

Если скорость света в выбранных единицах измерения равна 1, то длина световой волны будет совпадать с ее периодом: λ = 1/ν. Значения нашей волны A(x, y, z, t) будут повторяться всякий раз, когда x увеличивается или уменьшается на длину волны:

$A(x \pm \lambda, y, z, t) = A(x, y, z, t)$

Предположим теперь, что мы определили изотропный вектор k, компоненты которого в нашей системе координат выражаются следующим образом:

$k^x = 2 \pi \nu$
$k^y = 0$
$k^z = 0$
$k^t = 2 \pi \nu$

Мы будем называть его волновым вектором нашей световой волны. Амплитуду волны в этом случае можно выразить так:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z - k^t t)$

Выражение k^x x + k^y y + k^z z – k^t t, содержащее произведения компонент волнового вектора k на соответствующие компоненты x = (x, y, z, t), напоминает скалярное произведение, которое мы определили для задач римановой геометрии; единственная разница – знак “-” у произведения t-компонент. По сути это точный лоренцев аналог выражения k · x; значение данной величины будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя лоренцевой Вселенной, вне зависимости от характера его движения.

Это наводит на мысль о том, что в римановой Вселенной уравнение волны, движущейся в вакууме, должно иметь вид:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$ ,

где используется риманово скалярное произведение. В римановой Вселенной не существует изотропных векторов; все направления в 4-пространстве в сущности эквивалентны. Так что вектор k, на первый взгляд, может быть совершенно произвольным.

Мы однако же всегда можем выбрать систему координат таким образом, чтобы вектор k оказался в плоскости xt. В этом случае k^y = k^z = 0 и, следовательно:

$A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^t t)$

Волновые фронты, или “гребни” данной волны определяются соотношением sin(k · x) = 1, или k · x = π/2 + 2nπ, n – целое число. Если мы найдем одну точку, в которой k · x принимает такое значение, то в 4-пространстве можно будет указать три направления, перпендикулярных k вдоль которых k · x остается без изменений, а значит, волновые фронты будут представлять собой последовательность равноотстоящих трехмерных областей, перпендикулярных вектору k. На наших диаграммах представлен двумерный срез 4-пространства, а упомянутые области внутри такого среза выглядят как последовательность прямых линий.

Чему будут равны длина λ и период τ такой волны? Нетрудно показать, что:

$A(x \pm \cfrac{2 \pi}{k^x}, y, z, t) = A(x, y, z, t)$
$A(x, y, z, t \pm \cfrac{2 \pi}{k^t}) = A(x, y, z, t)$ ,

поэтому длина и период волны равны соответственно

$\lambda = \cfrac{2 \pi}{k^x}$
$\tau = \cfrac{2 \pi}{k^t}$

Величину, обратную длине волны, мы будем называть пространственной частотой, κ (греческая буква “каппа”); она является точным аналогом временной частоты ν и показывает, сколько колебаний волны укладывается в единице длины. Теперь компоненты волнового вектора k можно записать следующим образом:

$k^x = \cfrac{2 \pi}{\lambda} = 2 \pi \kappa$
$k^y = 0$
$k^z = 0$
$k^t = \cfrac{2 \pi}{\tau} = 2 \pi \nu$

При этом пространственная частота κ, временная частота ν и модуль волнового вектора |k| будут связаны следующим соотношением:

$|\mathbf{k}|^2 = (k^x)^2 + (k^t)^2 = (2 \pi \kappa)^2 + (2 \pi \nu)^2$

и, следовательно:

$\kappa ^2 + \nu ^2 = \cfrac{|\mathbf{k}|^2}{4 \pi ^ 2}$

Заметим теперь, что наблюдатели, движущиеся с различными скоростями в римановой Вселенной, не будут испытывать разногласий по поводу величины |k|, т. е. модуля волнового вектора, точно так же, как любой наблюдатель в лоренцевой Вселенной согласится с тем, что волновой вектор, соответствующий световой волне, является изотропным. Исходя из этого, мы сделаем предположение, что конкретное физическое явление, играющее роль света в римановой Вселенной, будет состоять из волн, характеризуемых одним и тем же значением |k|.

Геометрически постоянство |k| означает, что расстояние между соседними волновыми фронтами всегда одинаково – при условии, что измеряется оно не в произвольном направлении, выбранном каким-либо наблюдателем, а по перпендикуляру к самим фронтам, т. е. вдоль волнового вектора. В римановом пространстве это расстояние всегда будет равно 2 π / |k|.

(Как мы увидим впоследствии, значение |k| зависит от массы покоя частицы, соответствующей данной волне в ее квантовомеханическом описании, поэтому предполагая, что “любой свет характеризуется одной и той же величиной |k|”, мы по сути настаиваем на выборе конкретной частицы в качестве аналога наших фотонов. Фотон не имеет массы покоя, однако в римановой Вселенной из-за отсутствия изотропных векторов частицы с нулевой массой покоя не существуют, поэтому мы вынуждены остановить свой выбор на некотором ненулевом значении.)

При фиксированном |k| становится понятно, что рост пространственной частоты κ сопровождается уменьшением временной частоты ν, и наоборот – причем происходит это таким образом, чтобы сумма их квадратов оставалась постоянной. Если одна из этих частот равна нулю, то другая достигает максимально возможного значения, которое мы обозначим ν_max. Эта частота пропорциональна |k|.

$\nu_{max} = \cfrac{|\mathbf{k}|}{2 \pi}$

Соотношение между κ и ν принимает вид:

$\kappa^2 + \nu^2 = \nu_{max}^2$

Как мы уже убедились при разборе дуальной теоремы Пифагора, именно такое соотношение мы ожидаем получить, когда речь идет о пространственных частотах, измеряемых вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. В римановой Вселенной временная частота ничем не отличается от частоты, измеренной в любом другом направлении, поэтому ее математическое свойства оказываются точно такими же. Частота ν_max – это просто количество колебаний волны, приходящихся на единицу длины и измеренных самым непосредственным образом – по перпендикуляру к волновым фронтам в 4-пространстве.

Если теперь предположить, что мировая линия светового импульса направлена вдоль его волнового вектора, то окажется, что скорость света v, будет равна отношению x- и t-компонент вектора k:

$v = \cfrac{k^x}{k^t} = \cfrac{\kappa}{\nu}$

Самый медленный свет, для которого v = 0, имеет бесконечную длину волны λ = ∞. Это случай мы назовем “инфракрасным пределом”. Временная частота такого света будет равна ν_max.

Самый быстрый свет, для которого v = ∞, будет обладать минимально возможной длиной волны λ = 1 / ν_max. Этот случай мы будем называть “ультрафиолетовым пределом”. Временная частота такого света будет равна нулю, поэтому его период выражается бесконечностью.

ortnt_03_01

ortnt_03_02

ortnt_03_03

ortnt_03_04

ortnt_03_05

ortnt_03_06

Но почему мы решили, что мировая линия светового импульса должна быть направлена вдоль соответствующего волнового вектора?

Волны, которые мы описывали до настоящего момента, являются плоскими: их фронты имеют вид бесконечных плоскостей в пространстве и представляют собой срезы четырехмерных гиперплоскостей в 4-пространстве. Они очень просты с математической точки зрения, но при этом, понятное дело, крайне идеализированны – к тому же амплитуда плоской волны никоим образом не похожа на четкую мировую линию, параллельную волновому вектору. Яркие полосы максимальной амплитуды на приведенной ниже диаграмме перпендикулярны волновому вектору, который направлен против движения соответствующих волновых фронтов во времени!

0071

Сказанное, впрочем, относится к бесконечным волнам, занимающим все 4-пространство. Если же мы хотим получить локализованную волну, нужно скомбинировать друг с другом волны различной частоты. Точка, в которой эти волны взаимно усиливают друг друга, будет перемещаться с иной скоростью, нежели любой из фронтов волн-слагаемых; ее скорость будет совпадать с групповой скоростью системы в целом, в отличие от фазовой скорости волновых фронтов.

Чтобы вычислить групповую скорость комбинации волн, можно воспользоваться соотношением между x и t, благодаря которому две плоских волны со слегка отличающимися частотами будут совпадать по фазе. Если пространственная и временная частоты первой волны равны соответственно κ и ν, а второй – соответственно κ+Δκ и ν+Δν, и фазы обеих волн должны совпадать, то:

$\kappa x + \nu t = (\kappa + \Delta \kappa)x + (\nu + \Delta \nu)t$
$x = -t \cfrac{\Delta \nu}{\Delta \kappa}$

Следовательно,

$v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa}$

Применив этот результат к известному нам соотношению между ν и κ, имеем:

$\nu = \sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}$
$v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa} = \cfrac{\kappa}{\sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}} = \cfrac{\kappa}{\nu}$

Это согласуется со скоростью k^x / k^t, полученной непосредственно из волнового вектора.

Следующее изображение, полученное сложением 61 плоской волны (часть стрелок, отображающих соответствующие волновые векторы, слишком бледные, поэтому на картинке их не видно), дает вполне адекватное представление об истории светового импульса в римановой Вселенной. Более реалистичная модель подразумевает комбинацию континуума плоских волн вместо их конечного числа.

0081

Результат в общем и целом параллелен усредненному волновому вектору, хотя и определенно отличается от идеально тонкой мировой линии – или даже “мировой трубки” или “мировой ленты” постоянной ширины. Однако видимое распределение импульса во времени – это именно то, что мы ожидаем: в Римановой Вселенной скорость света меняется в зависимости от его частоты, поэтому любая локализованная волна, состоящая из множества различных частот, будет постепенно рассеиваться подобным образом.

Скалярные волны

В предыдущем разделе мы рассмотрели математические выражения, описывающие ряд довольно простых волн, однако в действительности нам бы хотелось получить уравнение, которому будут удовлетворять все волны, движущиеся в вакууме римановой Вселенной, независимо от своей формы.

В нашей собственной Вселенной волны описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, которые выражаются некую взаимосвязь между скоростями изменения амплитуды в различных направлениях. Если величина A зависит от нескольких переменных – например, координат, приписанных определенной области 4-пространства, x, y, z и t, – то частная производная A по одной из переменных представляет собой просто скорость изменения A при условии, что интересующую нас переменную мы можем варьировать, в то время как все остальные переменные сохраняют фиксированные значения.

Рассмотрим, к примеру, плоскую риманову волну с волновым вектором k:

$A = A_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)$

Если мы зафиксируем y, z и t и будем менять x, то A примет вид синусоидальной волны. Скорость изменения синуса относительно своего аргумента совпадает с косинусом того же аргумента, но поскольку в данном случае аргумент синуса представляет собой x, умноженный на k^x, скорость изменения A домножается на тот же коэффициент; это один из примеров простого правила, которое применяется в дифференциальном исчислении и называется также формулой сложной производной.

Для обозначения частной производной некоторой величины A по переменной x, мы будем использовать запись ∂_xA. Это обозначения может показаться немного устрашающим, если вы не пользовались им раньше, однако его смысл очень прост: нужно просто представить в пространстве прямую линию, все координаты которой, кроме x, фиксированы, после чего задуматься, как дифференцируемая вами величина меняется вдоль этой прямой, не обращая внимания на ее поведение во всех остальных направлениях. Используя данную нотацию, можно записать:

$\partial _x A = k^x A_0 \cos (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)$

Что произойдет, если мы вычислим скорость изменения этой величины относительно x? Скорость изменения косинуса по отношению к его аргументу равна синуса того же аргумента, взятому с противоположным знаком; кроме того, в силу цепного правила мы снова получаем дополнительный множитель k^x. Обозначим вторую частую производную ∂_x²A, имеем:

$\partial _x ^2 A = -(k^x)^2 A_0 \sin (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t) = -(k^x)^2 A$

Далее, вторые частные производные по оставшимся координатам равны соответственно:

$\partial _y ^2 A = -(k^y)^2 A$
$\partial _z ^2 A = -(k^z)^2 A$
$\partial _t ^2 A = -(k^t)^2 A$

Сложив все четыре выражения, получаем:

$\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A = -((k^x)^2 + (k^y)^2 + (k^z)^2 + (k^t)^2) A = - |\mathbf{k}|^2 A$

В данном случае мы с помощью операции взятия вторичной скорости роста A по направлению каждой из координатных осей умножили исходную функцию волны на некой число, пропорциональное квадрату ее частоты вдоль соответствующей оси. Сложив после этого все вторичные скорости роста, мы получаем сумму квадратов, равную |k|², то есть множитель, который никоим образом не зависит от конкретного направления волнового вектора

Далее, |k| = 2πν_max, однако для краткости (чтобы избежать постоянного упоминания множителя 2π) мы введем понятие “угловой частоты”, которая обозначается символом ω и представляет собой обычную частоту ν, домноженную на 2π. При этом |k| = 2 π ν_max = ω_m, и последнее уравнение можно записать в виде:

$\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A + \omega_m^2 A = 0$

(СРВ)

В данном уравнение нет каких-либо отсылок к особенностям исходной плоской волны. В нем упоминается лишь некоторая величина A, значение которой меняется в 4-пространстве, и число ω_m, не зависящее от формы волны.

Приведенное выше уравнение мы будем называть уравнением скалярной римановой волны (СРВ). Термин “скалярный” всего лишь указывает на некое число, определенное в любой точке 4-пространства, и не меняющееся при переходе от одного наблюдателя к другому – в отличие, скажем, от компонент вектора, которые зависят от выбора системы координат. Данное уравнение представляет собой четырехмерную версию так называемого уравнения Гельмгольца, которое имеет место в нашей собственной физике.

Вычисление скорости роста – линейная операция: если s – постоянная величина, а A и B – функции переменной x:

$\partial_x(sA) = s\partial_x A$
$\partial_x(A + B) = \partial_x A + \partial_x B$

То же самое касается и вторичных скоростей роста, и, разумеется, операции умножения на константу – например, ω_m². Иными словами, уравнение СРВ является линейным: если мы сложим два его решения друг с другом или умножим решение на константу, то в результате снова получим решение исходного уравнения. Поскольку все плоские римановы волны, характеризуемые одним и тем же значением ω_m, удовлетворяют уравнению СРВ, то волна, представляющая собой произвольную сумму таких плоских волн, также будет его решением. К Так, решением уравнения СРВ будет волна, описанная в конце предыдущего параграфа и полученная в результате суммирования 61 плоской волны.

Уравнение СРВ содержит одну – в потенциале катастрофическую – проблему. Рассмотрим следующую волну:

$A = \sin\left(\cfrac{5}{4} \omega_m x \right) \exp \left( \cfrac{3}{4} \omega_m t \right)$

Скорость роста экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией, а вычисление вторичной скорости роста дает в итоге исходную функцию, домноженную на некоторое положительное число – в отличие от отрицательного множителя, который мы получали для синусов и косинусов. Таким образом,

$\partial _x ^2 A = -\cfrac{25}{16}\omega_m^2 A$
$\partial _y ^2 A = 0$
$\partial _z ^2 A = 0$
$\partial _t ^2 A = \cfrac{9}{16}\omega_m^2 A$

Складывая эти выражения, можно убедиться в том, что представленная здесь волна удовлетворяет уравнению СРВ. Однако амплитуда такой волны экспоненциально возрастает во времени! Экспоненциальный множитель допустим в силу того, что положительный знак соответствующей ему вторичной скорости роста уравновешивается пространственной частотой, которая по другой координате превышает величину ν_max: обратите внимание на угловую частоту (5/4) ω_m в sin[(5/4) ω_m x]. От того, что мы просто назовем “ν_max максимально возможной частотой” она таковой не станет, а гарантировать это условие с помощью одного лишь уравнения СРВ нельзя. Если же мы допускаем подобные волны, то любое изначально крошечное возмущение с достаточно высокой частотой быстро разрастется по амплитуде и перевесит все остальное.

Существует способ избежать этой проблемы, но его открытие составляет важную часть романа, поэтому я не стану раскрывать сюжет книги, обсуждая его в этих заметках.

Векторные волны

Свет в нашей Вселенной представляет собой разновидность электромагнитной волны. При этом электромагнитное поле характеризуется не числом, меняющимся от точки к точке, а вектором. Таким образом, мы хотим понять, какого рода векторные волны имеют смысл в контексте римановой Вселенной.

Предположим, что в нашей системе координат задан фиксированный вектор A₀с компонентами A₀^x, A₀^y, A₀^z и A₀^t . В этом случае мы можем рассмотреть векторную волну вида:

$\mathbf{A}(x, y, z, t) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Это уравнение очень похоже на рассмотренные выше плоские скалярные волны. По сути каждая отдельная компонента вектора A в нашей системе координат удовлетворяет уравнению СРВ при условии, что |k| = ω_m. Эти компоненты, конечно же, меняются при переходе в другую систему координат…, но если они являются решением СРВ в одной системе, то останутся решением и в любой другой. (Заметим, что речь в данном случае идет только о прямоугольных координатах, в отличие от, скажем, сферических.)

Все это довольно просто, но есть один нюанс, который нам придется затронуть. Несмотря на то, что компоненты A, то есть A^x, A^y, A^z и A^t, меняются при переходе к другой системе координат, на основе записанной выше векторной волны можно построить скалярную:

$D(x, y, z, t) = \mathbf{k} \cdot \mathbf{A}(x, y, z, t) = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})$

Это настоящая скалярная волна – в том смысле, что ее значение будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя, независимо от выбранной им системы координат. Это может показаться не столь важным, однако, как подсказывает опыт взаимодействия с нашей собственной физической Вселенной, скалярные и векторные волны ассоциируются с явлениями различной природы. В квантовой механике скалярные волны соответствуют частицам с нулевым спином, в то время как векторные волны соответствуют частицам, спин которых отличен от нуля – таким, как фотоны. Таким образом, мы ожидаем, что аналог света в римановой Вселенной будет представлять собой чисто векторную волну, без сопровождающей ее скалярной волны наподобие D.

По этой причине мы наложим на векторную волну типа A дополнительное ограничение k · A₀ = 0. Это условие означает, что вектор, описывающий собственно волну, перпендикулярен волновому вектору, а значит, A₀ должен находиться в трехмерном подпространстве, ортогональном k. Поскольку это пространство содержит три измерения, риманов свет будет обладать тремя направлениями поляризации, в отличие от двух направлений, характерных для света в нашей Вселенной. Чуть более подробно мы рассмотрим этот вопрос в статье, посвященной риманову электромагнетизму.

Нам нужно переформулировать условие “безскалярности” таким образом, чтобы его можно было применить к произвольной векторной функции A(x, y, z, t). В случае плоской волны A(x, y, z, t) = A₀ sin(k · x), где данное условие имеет вид k · A₀ = 0, мы видим, что:

(1) $\begin{equation*} \begin{aligned} \partial _x A + \partial _y A + \partial _z A + \partial _t A = \\ = (A_0^x k^x + A_0^y k^y + A_0^z k^z + A_0^t k^t) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = 0 \end{aligned} \end{equation*}$

Итак, следующую пару уравнений мы будем называть уравнениями векторной римановой волны (ВРВ):

$\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} = \mathbf{0}$	(ВРВ)
$\partial _x A^x + \partial _y A^y + \partial _z A^z + \partial _t A^t = 0$	(Поперечное условие)

где первое уравнение говорит нам о том, что все четыре компоненты A удовлетворяют уравнению СРВ, а поперечное условие гарантирует чистоту вектора A.