Стрелы времени. Приложение 3. Мягкий перехват

Оригинал:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/E3/SoftInterception.html


В третьей главе перед Рамиро и Тарквинией встает необходимость перехватить неподконтрольный им космический корабль, который движется с ускорением вдоль фиксированной траектории. Их цель – попасть на борт судна, поэтому просто оказаться у него на пути недостаточно – нужно еще и сравняться с ним в скорости. Это и есть мягкий перехват.

По какой траектории должны двигаться герои, чтобы как можно быстрее осуществить перехват корабля мятежников, учитывая, что их собственные двигатели могут сколь угодно долго поддерживать режим максимальной тяги? Поскольку скорости, о которых идет речь, не настолько велики, чтобы вызвать какие-либо релятивистские эффекты, альтернативная физика Ортогональной Вселенной в данном случае себя никак не проявляет (не считая того, что именно благодаря ей работают двигатели этих кораблей, которые создают кинетическую энергию за счет излучения света и не нуждаются ни в топливе, ни в рабочем теле). Это означает, что мы можем воспользоваться теми же самыми законами Ньютона, которые действуют в нашей Вселенной при малых скоростях.

Подобная задача – определение математической функции, при которой заданная величина достигает минимума или максимума – решается с помощью вариационного исчисления. В данном случае интересующая нас функция будет описывать траекторию в пространстве как функцию времени, а величина, значение которой мы хотим минимизировать, представляет собой время, необходимое, чтобы добраться по этой траектории от начального местоположения москита-преследователя до некоторой точки, лежащей на траектории мятежного корабля.

Предположим, что в момент начала погони положение москита Рамиро и Тарквинии характеризуется вектором p0, его скорость – вектором v0, а максимальное ускорение, которое могут выдать их двигатели равно A. Корабль мятежников движется по прямой с постоянным ускорением; если мы обозначим соответствующий вектор ускорения через a, то траектория корабля как функция времени описывается уравнением:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{w}_0 t + \cfrac{\mathbf{a} t^2}{2}

Мы будем вести отсчет времени с момента начала погони, поэтому при t=0 преследующий москит характеризуется радиус-вектором p0 и скоростью v0, в то время как корабль мятежников имеет радиус-вектор r0 и движется со скоростью w0.

К каждой из возможных траекторий преследующего москита, p(t) мы предъявляем следующие требования:

  • p(0) = p0 – чтобы траектория начиналась в нужном нам месте.
  • p(0) = v0 – чтобы в начале траектории москит двигался с нужной нам скоростью.
  • p(T) = r(T) в некоторый момент времени T, чтобы преследователь догнал корабль мятежников.
  • p‘(T) = r’(T) при том же самом T, чтобы в этот момент оба москита двигались с одной и той же скоростью.
  • |p’’(T)| ⩽ A при всех 0 ⩽ tT, чтобы преследующему москиту не пришлось ускоряться сверх своих возможностей.

Наша цель – найти такую траекторию p(t), при которой время T, необходимое на перехват, достигает минимального значения с учетом приведенных выше ограничений.

Мы слегка упростим наш анализ, предположив без доказательства, что преследующий москит должен поддерживать максимальную тягу своих двигателей в течение всего пути, меняя лишь направление своего выхлопа. Интуиция подсказывает, что движение с максимально возможным ускорением непременно принесет какую-то выгоду (более обстоятельный анализ это подтверждает). Благодаря этому допущению, неравенство в последнем условии можно заменить равенством:

  • |p’’(T)| = A при всех 0 ⩽ tT – иначе говоря, преследующий москит на всем протяжении пути движется с максимальным ускорением – не больше и не меньше.

Это условие также можно представить в виде:

\mathbf{p}''(t) \cdot \mathbf{p}''(t) - A^2 = 0

Так вот, если бы речь шла о задаче из области обыкновенного математического анализа, то для поиска минимума функции F(x, y, z) с учетом некоторого ограничения, представленного, к примеру, в виду G(x, y, z)=0, мы бы воспользовались следующим приемом, известным как метод множителей Лагранжа. Предположим, что нам удалось решить уравнение G(x, y, z)=0 относительно одной из переменных – скажем, z. Тогда мы могли бы написать:

f(x, y) = F(x, y, z(x, y))

и стали бы искать минимум f(x, y), приравняв к нулю ее частные производные по x и y:

\partial_x f(x, y) = \partial_x F + \partial_z F \partial_x z = 0
\partial_y f(x, y) = \partial_y F + \partial_z F \partial_y z = 0

Кроме того, мы можем взять производные G(x, y, z(x, y)) по x и y, которые, разумеется, должны быть равны нулю, поскольку z=z(x, y) является решением уравнения G(x, y, z)=0.

\partial_x G + \partial_z G \partial_x z = 0
\partial_y G + \partial_z G \partial_y z = 0

В общей сложности это дает нам четыре уравнения. Выразив из последних двух равенств ∂xz и ∂yz и подставив результат в первую пару уравнений, имеем:

\partial_x F - \cfrac{\partial_z F}{\partial_z G} \partial_x G = 0
\partial_y F - \cfrac{\partial_z F}{\partial_z G} \partial_y G = 0

Однако тот же самый результат можно было бы получить из трех уравнений:

\partial_x F + \lambda \partial_x G = 0
\partial_y F + \lambda \partial_y G = 0
\partial_z F + \lambda \partial_z G = 0

решив последнее относительно λ, что в результате дало бы нам:

\lambda = - \cfrac{\partial_z F}{\partial_z G}

Таким образом, наша первоначальная задача эквивалентная нахождению точек, в которых производные функции

S(x, y, z, \lambda) = F(x, y, z) + \lambda G(x, y, z)

по x, y, z и λ одновременно обращаются в нуль, причем в случае производной по λ мы просто получаем наше исходное ограничение G(x, y, z)=0. Дополнительная переменная λ называется множителем Лагранжа.

Для более полного понимания данную ситуацию можно описать в геометрических терминах. Градиент функции F имеет вид ∇F=(∂xF, ∂yF, ∂zF) и представляет собой вектор, перпендикулярный «изоповерхностям» или «множествам уровня» функции F – то есть множествам точек пространства (x, y, z), в которых функция F принимает одно и то же значение. Градиент функции G аналогичным образом имеет вид ∇G=(∂xG, ∂yG, ∂zG) и направлен под прямым углом к множествам, в пределах которых G остается постоянной – включая, разумеется, и множество точек, удовлетворяющих уравнению G(x, y, z)=0. Приведенную выше тройку уравнений, связывающих между собой частные производные функций F и G, можно представить в виде единого соотношения, выраженного через соответствующие градиенты:

\nabla F = -\lambda \nabla G

Если некоторый путь начинается в точке множества, которое удовлетворяет ограничивающему уравнению, и не выходит за пределы этого множества, то касательные к нему будут перпендикулярны ∇G. Но если ∇F отличается от ∇G лишь множителем, тот же самый касательный вектор будет перпендикулярен и ∇F, а значит, при движении вдоль этого пути F будет сохранять постоянное значение. Следовательно, выполнение ограничения в такой точке гарантирует обращение в нуль производной F, как и должно быть в окрестности локального максимума или минимума.

Сказанное легко обобщается на любое количество ограничивающих функций G1, G2, G3, …, которые должны одновременно обращаться в нуль в некотором пространстве с любым числом переменных. Двигаясь вдоль пути, который начинается в точке, удовлетворяющей всем этим ограничениям, и одновременно перпендикулярен к ∇G1, ∇G2, ∇G3 … мы гарантируем выполнение всех ограничений и в остальных точках пути. Предположим теперь, что в некоторой точке множества, заданного набором ограничений, имеет место равенство:

\nabla F = -\lambda_1 \nabla G_1 - \lambda_2 \nabla G_2 -\lambda_3 \nabla G_3 - \dots

Поскольку касательная к любому пути, который проходит через такую точку и находится в множестве, удовлетворяющем данным ограничениям, будет перпендикулярна каждому из векторов ∇Gi, то та же самая касательная будет перпендикулярна и вектору ∇F. Отсюда следует, что производная F вдоль любого такого пути будет равна нулю, что делает соответствующую точку кандидатом на роль локального максимума или минимума F с учетом ограничений G1 = G2 = G3 … = 0.

Вернемся к исходной задаче. Наша цель – наложить ограничение:

\mathbf{p}''(t) \cdot \mathbf{p}''(t) - A^2 = 0

на всю траекторию преследующего москита. Если мы будем считать, что каждое значение t требует отдельного ограничения, то нам нужно «просуммировать» произведения индивидуальных множителей Лагранжа и соответствующего ограничения для всех моментов времени. Но в случае непрерывных значений такого рода сумма заменяется интегралом. Иными словами, мы записываем интеграл, который включает в себя как промежуток времени, затраченного на движение вдоль траектории (именно эту функцию мы хотим свести к минимуму), так и произведение множителя Лагранжа на нашу ограничивающую функцию с учетом того, что множитель Лагранжа теперь является функцией времени:

\displaystyle I(\mathbf{p}, \lambda) = \int \limits_0^{T(\mathbf{p})} (1 + \lambda(t)(\mathbf{p}''(t) \cdot \mathbf{p}''(t) - A^2)) dt

В данном случае интеграл от 1, взятый вдоль конкретной траектории, характеризует суммарные затраты времени. Верхний предел этого интеграла мы представили в виде T(p), чтобы подчеркнуть тот факт, что момент перехвата будет зависеть от выбора траектории. Фактическое значение T(p) совпадает с первым положительным решением уравнения:

\mathbf{p}(T) = \mathbf{r}(T)

Наша цель – определить траекторию pM(t), которая минимизирует время перехвата с учетом всех введенных нами ограничений, и для ее достижения мы найдем pM(t) вместе с соответствующим множителем Лагранжа λM(t), таким, что производная интеграла I(p, λ) относительно любой допустимой вариации в любой из функций равна нулю. Вариация считается допустимой, если она не нарушает соответствие траектории необходимым граничным условиям: новая траектория, во-первых, должна иметь те же самые начальные координаты и скорость, а во-вторых, должна пересечь траекторию корабля мятежников так, чтобы корабль героев оказался в той же точке и двигался с той же скоростью, что и преследуемый москит. Мы будем рассматривать траектории вида:

\mathbf{p}(t) = \mathbf{p}_M(t) + \varepsilon \mathbf{q}(t)

где для удовлетворения граничных условий при t=0 мы введем ограничения:

\mathbf{q}(0) = 0
\mathbf{q}'(0) = 0

Так как pM (по определению) характеризуется корректными координатами и скоростью, данные ограничения гарантируют, что то же самое верно и для pM + ε q. Мы требуем, чтобы в момент t=T:

\mathbf{p}_M(t) + \varepsilon \mathbf{q}(t) = \mathbf{r}(t)
\mathbf{p}'_M(t) + \varepsilon \mathbf{q}'(t) = \mathbf{r}'(t)

Имейте в виду, что T зависит от варьируемой траектории, поэтому первое уравнение не является ограничением q, а скорее, позволяет определить значение T, которое просто совпадает с его первым положительным решением.

Если мы продифференцируем эту пару уравнений по ε, а затем положим ε равным 0, то получим следующее соотношение (где TM – это сокращенное обозначение T(pM)):

\mathbf{q}'(T_M) = (\mathbf{r}'(T_M) - \mathbf{p}'_M(T_M)) \cfrac{dT}{d\varepsilon} \mid_{\varepsilon = 0} = 0

\mathbf{q}''(T_M) = (\mathbf{r}''(T_M) - \mathbf{p}''_M(T_M)) \cfrac{dT}{d\varepsilon} \mid_{\varepsilon = 0} = (\mathbf{a} - \mathbf{p}''_M(T_M)) \cfrac{dT}{d\varepsilon} \mid_{\varepsilon = 0}

Кроме того, мы будем варьировать и сам множитель Лагранжа, полагая:

\lambda(t) = \lambda_M(t) + \varepsilon \mu(t)

Теперь мы применим ограничение, в соответствии с которым производная нашего интеграла по ε равна нулю:

\cfrac{d}{d\varepsilon}I(\mathbf{p}_M + \varepsilon \mathbf{q}, \lambda_M + \varepsilon \mu) \mid_{\varepsilon = 0} = 0

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Так как pM по определению должно удовлетворять ограничению, требующему, чтобы модуль ускорения был всюду равен A, последнее равенство принимает вид:

\displaystyle \cfrac{dT}{d \varepsilon} \mid_{\varepsilon = 0} + 2 \int \limits_0^{T_M} \lambda_M(t) \mathbf{p}''_M(t) \cdot \mathbf{q}''(t) dt = 0

Данный интеграл можно преобразовать, используя правило интегрирования по частям, которое в общем случае имеет вид:

\displaystyle \int \limits_a^b u(t) v'(t) dt = u(t) v(t) \mid_a^b - \int \limits_a^b u'(t) v(t) dt

Дважды применяя это правило, чтобы перенести производные по t с q’’(t) на λM(tpM’’(t), имеем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Граничные условия для q требуют, чтобы q(0) = 0, q‘(0) = 0 и, кроме того, q(TM) = 0. Подставляя единственное отличное от нуля граничное условие q‘(TM) = [apM’’(TM)] (dT/dε)|ε=0, имеем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Это уравнение должно выполняться для любой вариации q. Как нетрудно заметить, данный интеграл можно обратить в нуль для любого q, если произведение ускорения соответствующей траектории на множитель Лагранжа удовлетворяет дифференциальному уравнению:

\cfrac{d^2}{dt^2}(\lambda_M(t) \mathbf{p}''_M(t)) = 0

Если это уравнение обратится в тождество, нам также потребуется проследить за тем, чтобы граничный член был равен нулю сам по себе. Самый простой способ убедиться в том, что это возможно – просто решить уравнение, получив в результате:

\lambda_M(t) \mathbf{p}''_M (t) = \mathbf{C} t + \mathbf{D}

где C и D – некоторые векторы. Поскольку модуль ускорения вдоль траектории pM равен постоянной величине A, то:

|\lambda_M(t)| |\mathbf{p}''_M(t)| = |\mathbf{C} t + \mathbf{D}|
|\lambda_M(t)| A = |\mathbf{C} t + \mathbf{D}|
|\lambda_M(t)| = \pm \cfrac{|\mathbf{C} t + \mathbf{D}|}{A}
\mathbf{p}''_M(t) = \pm \cfrac{A(\mathbf{C} t + \mathbf{D})}{|\mathbf{C} t + \mathbf{D}|}

Если для начала мы выберем конкретную пару векторов C и D, а затем умножим оба вектора на некоторую константу, то она сократится в выражении для pM’’(t) и, следовательно, никак не повлияет на возможность выбора траектории, удовлетворяющей конкретным требованиям задачи: совпадения положения и скорости преследующего москита с положением и скоростью корабля мятежников в точке перехвата. Если мы теперь подставим наше решение в выражение для граничного члена, опустив общий множитель (dT/dε)|ε=0, то:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если мы введем обозначение:

\mathbf{c} = \mathbf{C}T_M + \mathbf{D}

а затем сделаем подстановку c → α c, то граничный член примет вид:

1 + 2(\alpha \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} - \pm A |\alpha||\mathbf{c}|)

Если мы предположим, что α больше нуля, то граничный член можно обратить в нуль, положив:

\alpha = \cfrac{1}{2(\pm A |\mathbf{c}| - \mathbf{c} \cdot \mathbf{a})}

и выбрав подходящий знак (напомним, что от выбора знака зависит общее соотношение между ускорением траектории и направлением C t + D). Мы ожидаем, что в момент перехвата преследующий москит будет ускоряться примерно в том же самом направлении, что и корабль мятежников, поэтому знак «+» будет подходить в том случае, когда c · a положительно. Так как преследующий москит сможет догнать корабль мятежников только при условии A > |a|, знаменатель правой части должен быть больше нуля, откуда следует, что α, как и предполагалось, будет положительным. Если бы c · a было отрицательным, мы могли бы просто изменить направление изначально выбранных векторов C и D на противоположное.

Таким образом, мы можем обратить в нуль как граничный член, так и интеграл, при условии, что ускорение вдоль траектории имеет вид:

\mathbf{p}''_M(t) = \cfrac{A(\mathbf{C} t + \mathbf{D})}{|\mathbf{C} t + \mathbf{D}|}

Чтобы получить общее решение, мы вначале рассмотрим одно частное. (Следующие выкладки частично основаны на статье [2], посвященной задаче поиска пути, по которому должен двигаться раннер, обегающий базы во время бейсбольного матча, чтобы затратить на свой путь минимальное время.)

Функция гиперболического синуса, sh x, определяется следующим образом:

\mathrm{sh} x = \cfrac{e^x - e^{-x}}{2}

Обратную функцию, называемую ареасинусом, можно получить, решив квадратное уравнение относительно ex и прологарифмировав результат:

y = \mathrm{sh} x
2y = e^x - e^{-x}
(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0
\mathrm{arsh} y = x = \ln(y + \sqrt{1 + y^2})

Поскольку производная натурального логарифма – это функция, обращающая значение своего аргумента, то производная ареасинуса равна:

(\mathrm{arsh} y)' = \cfrac{1 + \cfrac{y}{\sqrt{1 + y^2}}}{y + \sqrt{1 + y^2}} = \cfrac{1}{\sqrt{1 + y^2}}

Благодаря этому, мы можем найти простую векторную функцию, первая производная которой имеет постоянный модуль A:

\mathbf{V}(t) = \mathbf{V}_0 + A \left( \mathrm{arsh} t, \sqrt{1 + t^2} \right)
\mathbf{V}'(t) = A \left( \cfrac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \cfrac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right) = \cfrac{A(1, t)}{|(1, t)|}
|\mathbf{V}'(t)| = A

Приложив еще немного усилий, можно взять интеграл от этой скорости:

\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}_0 + \mathbf{V}_0 t + A \left(t \mathrm{arsh} t - \sqrt{1 + t^2}, \cfrac{1}{2}\left(\mathrm{arsh} t + t \sqrt{1 + t^2} \right) \right)

Чтобы обобщить этот результат, мы можем сделать подстановку t → β t + γ, одновременно заменив A на A2, чтобы сохранить неизменным модуль ускорения. Кроме того, мы можем повернуть нашу систему координат на произвольный угол θ. В итоге у нас остается восемь параметров, значения которых можно варьировать: по два компонента векторов X0 и V0, а также величины β, γ, θ и время перехвата T. При этом должны удовлетворяться четыре уравнения в момент t=0 – чтобы положение и скорость преследующего москита в начальный момент соответствовали исходным данным, – и еще четыре в момент t=T – чтобы положение и скорость преследователей совпали с положением и скоростью корабля мятежников.

Решение этой системы уравнений можно найти численными методами. В результате получится кривая, которая и была приведена в романе – вдоль нее вектор ускорения сохраняет постоянный модуль, в то время как его направление меняется во времени.

Литература

  1. Bendersky. The Calculus of Variations. Lecture Notes, City University of New York
    http://math.hunter.cuny.edu/mbenders/cofv.pdf1
  2. Davide Carozza, Stewart Johnson and Frank Morgan. Baserunner’s Optimal Path. The Mathematical Intelligencer, October 2009
    http://web.williams.edu/Mathematics/fmorgan/Baserunner.pdf2

Стрелы времени. Глава 4

– Поздравляю с Днем прародителей! – поприветствовала свою мать Агата. – Ты идешь на праздник?

Чира посмотрела на нее с нескрываемой жалостью. – Я пришла, чтобы спросить, не хочешь ли ты вместе со мной навестить своего брата.

Агата освободила проход, чтобы Чира смогла подняться по входной лестнице. – Осторожно, тут книжный шкаф. – Беспорядочность и подчеркнутую бренность перемен в своей каюте Агата поддерживала даже спустя полтора года после торможения. – С чего ты взяла, что я захочу встречаться с Пио?

– Просто ради приличия.

Агата ощутила укол совести, но не поддалась. – Когда он был на свободе, мы только и делали, что спорили; вряд ли он сейчас скучает по моему обществу.

– Тебе нужно помириться с братом, – продолжала стоять на своем Чира. – Если ты думаешь, что ради тебя Медоро возьмет на себя обязанности Пио, то у его сестры на этот счет может быть другое мнение.

Агата поморщилась. – Медоро – мой друг! У тебя в голове есть хоть что-нибудь, кроме репродуктивных стратегий?

– Кому-то же нужно об этом думать. – Чира вперилась подозрительным взглядом в консоль Агаты, как если бы изображения фазовых потоков на ее мониторе могли каким-то образом выдать настоящую причину, стоящую за бескомпромиссным поведением ее дочери. – Если ты ценишь свою работу, то должна ценить и своего брата.

– Серьезно?

– А зачем я, по-твоему, родила сына? Не для себя, а ради твоего же блага.

Агата оцепенела. – Какими бы ни были мои разногласия с Пио, я, по крайней мере, не воспринимаю его как какую-то полезную машину.

– Ты можешь сколько угодно принимать холин, но это никогда не даст тебе полной уверенности, – сказала, не церемонясь Чира. – Зато среди женщин, прошедших через отторжение, не было ни одного случая деления. Если ты будешь растить ребенка в одиночку, потеряешь годы своих исследований. Для этого и нужны мужчины. Можешь сколько угодно спорить с Пио о политике, но порвав с ним все связи, ты навредишь самой себе.

– Он пытался остановить разворот, – сказала Ада. – Теперь дело не только в спорах о политике.

Чира развела руками в знак своей агностической позиции. – Улик, связывающих его с этим происшествием, так и не нашли. И вообще-то мне казалось, что вся эта затея с «превентивным лишением свободы» тебе вряд ли придется по душе.

Говоря по правде, Агата испытывала смешанные чувства. Тот факт, что Совет наделил себя правом заключать людей в тюрьму без суда, вызывал у нее беспокойство, но она почти убедила себя в том, что это решение оправдывалось уязвимость переходного состояние, в котором находилась Бесподобная. С Пио и прочими лидерами миграционистов обошлись довольно-таки неплохо; три года в благоустроенном жилье, с возможностью читать и учиться безо всяких ограничений, едва ли можно было назвать пыткой.

– Даже если не станешь навещать Пио в тюрьме, ты все еще можешь поступить с ним по справедливости, – намекнула Чира.

– В смысле?

– Если ты родишь дочь, власти вряд ли станут скрывать ее от дяди.

Агата пришла в ужас. – Теперь ты хочешь, чтобы моя дочь росла в тюрьме?

– Только пару черед, – заверила ее Чира. – После этого у нас появятся основания для просьбы о его досрочном освобождении. Он ведь будет заботиться о ребенке – какой от него вред? Возможно, за ним продолжат наблюдать, но держать его в изоляции будет просто нелепо.

У Агаты уже раскалывалась голова. – Ты просто невыносима!

– Если окажешь ему эту любезность сейчас, – сказала в ответ Чира, – то он наверняка будет так благодарен, что с радостью позаботится и о твоем сыне. И тогда следующее поколение будет полным. Ты обязана предоставить своей дочери те же возможности, которые я предоставила тебе.

– Я иду на праздник, – сказала Агата. – Если хочешь, пойдем вместе –

– Ради того, чтобы приобщиться к нашим прародителям? – Чира издала презрительный рокот.

– Ради того, чтобы не забыть, в чем наша цель, – парировала Агата.

– Наша цель – выжить и укрепить свои позиции, – сказала Чира.

– То есть манипулировать друг другом и поддерживать статус кво?

– Во времена твоей бабушки законы были другими, – напомнила ей Чира. – Тогда постничество не было каким-то чудаковатым выбором; оно было обязанностью каждой женщины на Бесподобной. Если бы ты чаще к ней прислушивалась, то, возможно, не вела бы себя так беспечно.

– Если ты так боишься возвращения старых порядков, зачем вообще родила сына? Ты ведь прекрасно обошлась и без брата. Почему бы полностью не истребить своего врага, и дело с концом?

– Гораздо лучше сохранить им жизнь, не давая набраться сил, – ответила Чира, – чем пойти против самих себя и низвести часть женщин до роли мужчин.


На празднике Агата появилась позже, чем собиралась. По веревочным лестницам, соединявшим уровни Бесподобной, ей приходилось передвигаться каждый день, поэтому принять в расчет необходимое для этого время было не так уж сложно, но когда по дороге ей приходилось подниматься или опускаться по старым спиральным лестницам, потерь времени, как выяснилось, было не избежать. В течение шести поколений эти замысловатые желобы, вырезанные в толще горной породы, играли роль не более, чем оригинальных украшений, окаймляющих стены горизонтальных туннелей; теперь же идти по ним означало ступать по тем самым камням, которые в последний раз использовались еще при жизни Ялды. Заметив на одном из камней какой-нибудь дефект, Агате приходилось останавливаться, чтобы рассмотреть его при свете мха в надежде, что кто-то, однажды ступавший по родной планете – не важно, был ли он знаменитым или, наоборот, неприметным человеком – мог выгравировать на этих ступеньках свое имя.

Войдя в наблюдательный зал, она увидела, что здесь собралось не меньше шести дюжин человек. Свободного места почти не осталось, но точно такие же праздники проходили и во многих других каютах по периметру горы. Протиснувшись сквозь толпу, она бесцельно бродила по залу, пока ее кто-то не позвал.

– Агата! Сюда! – Это была сестра Медоро, Серена. Все семейство собралось вокруг стола, который располагался у края купола.

Агата подошла к ним, стараясь не отвлекаться на звездный пейзаж до того, как со всеми поздоровается. Свет в зале был приглушен, но ей все равно приходилось разглядывать небо в попытке убедить себя в том, что она его действительно видела – что отражения внутреннего пространства зала не создавали преграды ее зрению. Протяженные и упорядоченные шлейфы звезд, которые она видела с самого рождения, огромные меридиональные арки, в совокупности заполнявшие собой половину неба, сжались, превратившись в беспорядочную картину из крошечных разноцветных черточек, которые раньше она знала лишь как характерную особенность ортогонального скопления. Перед ней простиралось небо прародителей. Меньше, чем через курант гора окажется в состоянии покоя относительно родной планеты. Если не считать отличий в расположении ближайших звезд из-за смещения Бесподобной и отсутствия гремучих звезд вкупе с Геммой – их планетарной сестрой, превратившейся во второе солнце – именно такую картину неба должен был прямо в этот момент наблюдать любой житель планеты, оказавшийся на ее ночной стороне.

– Чира не пришла? – спросил Медоро с выражением напускного удивления.

Настроение Агаты не располагало к шуткам насчет ее семьи, и родственники Медоро, судя по всему, были с ней согласны – Жинето укоризненно стукнул своего племянника по руке, к приятному изумлению Серены. – Если он станет тебе докучать, сделай то же самое, не церемонься с ним, – посоветовала она Агате. – Мы его только так и терпим.

– Агате с ее матерью и так пришлось несладко, – сказала Вала. – Не мешай ей радоваться вечеринке.

Медоро умоляюще взглянул на Агату, как будто ожидая, что она встанет на его сторону.

– Не волнуйся, – сказала она, – Сегодня мое настроение испортить невозможно.

– Даже если по нам ударит гремучая звезда? – пошутил он.

Агата расставила руки в стороны и повернулась лицом к небу. – Мы тут, налетайте! – Пару дней они будут так же уязвимы, как и их прародители – но это казалось, скорее, жестом солидарности, чем реальной угрозой.

– И даже если откажут двигатели? – не унимался Медоро.

– Наш выхлоп будет направлен в будущее звездного скопления родной планеты, – ответила Агата. – Это ничем не отличается от ламп, которые зажигают наши прародители, или звезд, светящихся в скоплении их планеты. Нет никакого волшебного термодинамического проклятия, которое могло бы помешать нам совершить разворот. Или ты думаешь, что когда стрела времени гремучих звезд была направлен на запад, Ялда и ее друзья не могли двигаться на восток?

– И тем не менее, они позаботились о том, чтобы не запускать ракету против этой стрелы, – заметил Медоро.

– За что мы должны быть им благодарны, – заявила Агата. – Благодаря этому, у нас была возможность наблюдать за ортогональным скоплением в течение шести поколений, прежде чем оно исчезло из вида. Это лучше, чем сюрприз, который поджидал бы нас после поворота.

– Хмм. – У Медоро закончились идеи для подколок.

Серена указала на стоявший перед ним стол с едой. – Мы тут ели за обе щеки, так что не стесняйся наверстать упущенное. – Агата взяла со стола пряный каравай. Она не смогла поесть в одной каюте с Чирой; каждый кусочек, откушенный в присутствии матери, заставлял ее чувствовать себя так, будто она предает свою покойную изголодавшуюся бабушку – которая в действительности голодала не так уж долго, не говоря уж о том, что в воспитании дочери, рожденной при помощи машины, ей помогал ее ко.

Вала спросила у Агаты, как продвигаются ее исследования.

– Все еще медленно, – призналась Агата.

Жинето сочувственно пророкотал. – А чем именно ты занимаешься? Медоро пытался нам объяснить, но мне кажется, он и сам в этом не разбирается.

– Я всего лишь скромный конструктор инструментов, – сказал Медоро. – Мне даже азы ее теории не понять – сам понимаешь.

Агата не стала обращать внимания на его подколки, но Жинето, похоже, было и правда любопытно. А даже если и нет, он вел себя слишком вежливо, чтобы от него можно было отделаться одной фразой «это сложно объяснить».

– Вы знаете о теории Лилы? – спросила она.

– В общих чертах, – ответил Жинето. – Кажется, она нашла способ описать гравитацию в рамках вращательной физики?

– Именно. Закон тяготения Витторио подразумевал абсолютность времени. Ялда, скорее всего, знала, что он не обладает вращательной инвариантностью, но на тот момент этой проблеме придавали особого значения. Люди и так были достаточно заняты изучением природы света.

– Так… в чем разница? – спросил Жинето. – Во что превращается закон обратных квадратов Витторио?

– Все не так просто, – предупредила его Агата. – В теории Лилы гравитация вообще не является силой в традиционном понимании; она представляет собой результат искривления четырехмерного пространства. Знаете, как сходятся в одну точку меридианы на глобусе? Вблизи экватора они параллельны, но по мере удаления начинают сближаться.

– Верно, – неуверенно согласился Жинето. В геометрии, которую она описала, не было никакой эзотерики, однако он не вполне понимал, где здесь связь.

– В теории Лилы гравитационное притяжение является эффектом того же рода, – объяснила Агата. – Если два массивных тела изначально покоятся друг относительно друга – то есть их истории параллельны – то со временем расстояние между ними меняется, они начинают ускоряться, приближаясь друг к другу. Но никакой силы для этого не требуется; все, что нужно, – это искривленное пространство.

Жинето прожужжал: теперь ему стало ясно. – Довольно элегантная идея. А астрономы ее уже проверяли?

– В этом главная сложность, – призналась Агата. – Математика прекрасна, но все по-настоящему массивные тела от нас так далеки, что придумать подходящий эксперимент практически невозможно.

– Идеальным объектом для изучения была бы планета, обращающаяся вблизи своей звезды, – вмешался Медоро. – Вроде ближайшей к Солнцу планеты в нашей родной звездной системе. Как там она называлась? Паоло? Пелео? Все время забываю.

– Теория Лилы предсказывает, что низкая эллиптическая орбита будет испытывать «апсидальную прецессию»: точки минимального и максимального удаления будут двигаться вокруг звезды вместо того, чтобы стоять на месте. Поэтому тщательные наблюдения подобной системы позволили бы отличить ее теорию от теории Витторио. – Она сделала набросок у себя на груди.

– Все становится сложнее, если в звездной системе есть и другие планеты, – добавила она. – Их взаимное притяжение также будет вызывать прецессию, поэтому различные составляющие общего эффекта нужно отделять друг от друга. Если бы у нас были копии всех астрономических измерений, накопленных прародителями, то мы могли бы поискать в них какие-либо признаки Лилиной прецессии, но никто не подумал о том, чтобы включить эти данные в нашу библиотеку.

– А как с этим соотносится твоя собственная работа? – стал допытываться Жинето.

– Моя работа связана с изучением энтропии в контексте теории Лилы, – ответила Агата. – По словам Лилы, кривизна 4-пространства зависит как от количества имеющейся в нем материи, так и от характера ее движения. Если в одном случае траектории всех частиц выстроены в виде аккуратных прямых линий, а в другом частицы движутся случайным образом, то кривизна в каждом случае будет разной.

– И в чем будет отличие?

– Упорядоченная материя создает положительную кривизну вдоль своей временной оси, поэтому тела, которые изначально находятся в покое, в дальнейшем будут притягиваться друг к другу. Но если хаотичность материи достаточно высока, то кривизна окажется отрицательной и параллельные истории со временем будут отдаляться. – Она проиллюстрировала свои слова рисунком.

– Но при каких условиях сложится именно второй вариант? – недоуменно спросил Жинето. – Если речь идет о горячем газе, разве он не должен рассеяться в пустоте и дойти до такого разреженного состояния, что оно уже ни на что не повлияет? Разве за большую часть гравитационного притяжения звезды отвечает не камень, находящийся под огненной поверхностью – твердая часть, которая по сути стоит на месте?

– Разумеется, все так и есть. – Агата недооценила его, решив, что он, вероятно, просто хотел поддержать разговор. – Фактически Лила доказала, что газ, обладающий положительной температурой, не способен оставаться единым целым за счет собственной гравитации – если бы звезды не состояли по большей части из твердых минералов, они бы просто рассыпались в пыль! Тем не менее, существует вероятность, что неупорядоченное состояние, обладающее существенной силой тяготения, существует в достаточно больших масштабах Вселенной. Наше скопление движется в одну сторону, ортогональное – в другую…, и если бы мы взглянули на них с достаточно большого расстояния, то, вполне возможно, увидели бы множество скоплений, движущихся во всевозможных направлениях четырехмерного пространства. Поэтому нельзя исключать вариант, что решающий вклад в общую кривизну космоса вносит нечто вроде гигантского облака горячего газа, в котором роль частиц играют звездные скопления.

– Ждать осталось недолго, – сказала Серена.

Все, кто пришел на торжество, как раз поворачивались лицами к экрану, установленному наверху внутренней стены зала; на нем демонстрировался анимационный ролик в виде старинных механических часов, стрелки которых подбирались к шести склянкам. Позади часов, в темноте висела картина, на которой художник изобразил родную планету путешественников. Медоро поймал взгляд Агаты; ему не обязательно было говорить, чтобы донести до нее циничную мысль, которая крутилась в его голове – Совет просто играл на их эмоциях. Сомневаться на этот счет не приходилось, хотя справедливости ради следовало бы добавить, что Советники не стали помещать на картину гремучие звезды, готовые насквозь пронзить их горячо любимую планету.

Когда паузная стрелка на часах приблизилась к двенадцати, в зале наступила тишина. Агате казалось, что движение стрелки замедлилось, что каждый ее тик длится дольше предыдущего. Но затем она достигла заветной отметки, и комната взорвалась восторженными овациями. Вся семья Медоро оглушительно щебетала – и сам Медоро старался как никто другой. Чувствуя, как гудит ее тимпан, Агата знала, что разделяет всеобщее веселье, но шум толпы был настолько всепоглощающим, что у нее не было ни единого шанса распознать в этом гвалте свой собственный голос.

Преодолев дюжину вастопропастей пустоты, Бесподобная достигла дальней точки своего пути и, на мгновение остановившись, повернула обратно. Они больше не убегали; теперь они возвращались домой. Для прародителей с момента запуска прошло всего два года, и если путешественникам будет сопутствовать удача, то еще через два года они, наконец, достигнут своей цели.

Агата верила, что они вернутся вовремя, что по прибытии не станут свидетелями мира, объятого пламенем. Бесподобная исполнит свою миссию – и жизнь целых поколений, которые выдержали годы изоляции внутри горы, пережили голод и неурядицы, трудились не покладая рук и ушли из жизни, не получив никакой награды, не будет потрачена даром.

Поддавшись эмоциям, она упала на колени, склонив лицо и закрыв задние глаза. Она видела небо прародителей, она недвижимо стояла рядом с ними. На что еще она могла надеяться в оставшейся жизни?

Но этим моментам единения не суждено повториться. Ей оставалась лишь отдаленная перспектива обещанного воссоединения, которая была для нее столь же далекой, как и момент запуска Бесподобной.

Кто-то прикоснулся к ее плечу. Агата подняла глаза, ожидая увидеть руку Медоро, но это была его мать. При таком шуме от речи по-прежнему не было никакого толка, но лицо Валы говорило само за себя – ее наполняли те же смешанные чувства.

Агата поднялась на ноги, надеясь, что не поставила друзей в чересчур неловкое положение, но многие из присутствовавших были в смятении, разрываясь между чувством торжества и потери.

Медоро встал рядом и обнял ее одной рукой. – Этого достаточно, – сказал он. – Должно быть достаточно.

– Конечно. – Агате хотелось убедить в этом саму себя.

– Я знаю, что ты не хочешь внуков, – поддразнивая произнес он, – но ты всегда сможешь рассказать свои истории детям моей племянницы.

Истории о торможении, необычной гравитации, сжавшихся звездах. Всю свою жизнь ей до боли хотелось пережить эти осязаемые признаки того, что однажды путешествие действительно подойдет к концу. Но теперь боль был сильна как никогда. Когда пол ее каюты снова занял горизонтальное положение, когда гигантские лестничные пролеты превратились в туннели, а звездные шлейфы, втиснувшись в полнеба, стали длинными разноцветными нитями – о чем еще ей было мечтать?

Серена примкнула к ним, встав рядом со своим братом. – Как ты себя чувствуешь? – спросила ее Агата.

– Я счастлива как никогда! – Серена раскинула руки в стороны. – Я понимаю, все на эмоциях, все сбиты с толку…, но что тут скажешь? Восьмеруйте меня, если хотите: мы летим домой!

Агате стало стыдно. Сколько людей продолжали бороться, не видя конца пути? У нее по-прежнему была работа, были друзья, а воспоминания об этом дне останутся с ней до конца жизни. Чего еще ей хотелось?

– Мы летим домой, – согласилась она. – И этого достаточно.

Стрелы времени. Глава 3

Грета повернулась к Рамиро. – Приступай к остановке вращения, – сказала она.

По какой-то необъяснимой причине Рамиро замешкался. Он уже несколько дней беспокоился из-за того, что прямо в этот момент какая-то незаметная, непредусмотренная им мелочь все испортит и тем самым даст о себе знать – однако не предусмотренная планом задержка не столько предотвратила бы нависшую над ним угрозу унижения, сколько превратила бы его страхи в самосбывающееся пророчество.

В тот самый момент, когда выражение сдержанного ожидания на лице Греты уже было готово дать осечку – дав всем очевидцам понять, что задержка была не просто неожиданной, а вообще не имела какого-либо объяснения – паралич Рамиро прошел, и он, наконец, щелкнул переключателем. Единственный крошечный когерер в расположенной перед ним панели направил луч света в лабиринт нижележащей фотонной схемы, и система, сборкой, проверкой и совершенствованием которой Рамиро занимался последние шесть лет, начала очень медленно приводить гору в движение.

Весь Совет, собравшийся в пультовой, теперь развернулся к главному навигационному экрану, подвешенному высоко на стене. По настоянию Греты Рамиро запрограммировал хитроумную анимацию, которая создавала впечатление, будто данные от сенсоров, подтверждающие успешный запуск контрвращательных двигателей, приходили постепенно, по частям. – Не настолько медленно, чтобы они начали беспокоиться, – советовала она, – но и не настолько быстро, чтобы испортить кульминационный момент.

– А если случится сбой? – спросил он. – О нем как прикажешь сообщить?

Грета тщательно обдумала вопрос. – Пусть задержка будет достаточно большой, чтобы казалось, будто до определенного момента все работает безо нареканий. Но не настолько большой, чтобы кто-то решил, что мы пытаемся скрыть неисправность.

Неприметный монитор самого Рамиро показывал данные в реальном времени; пока что новости были обнадеживающими. Помимо того, что двигатели сообщали о безупречной работе, акселерометры и звездные датчики показывали, что вращение Бесподобной действительно стало замедляться. Если все сложится удачно, то меньше, чем через три дня гора полностью остановится.

Впервые за последние шесть поколений в каютах, примыкающих к поверхности Бесподобной, воцарится такая же невесомость, как и на ее оси, и в течение череды фермеры вместе со целой армией помощников будут заниматься реорганизацией полей, перенося почву с бесполезных центробежных полов на поверхности, которые когда-то играли роль стен. Когда работа будет окончена, гора совершит медленный кувырок, и когда ее основание поменяется местами с вершиной, Бесподобная будет готова к главному действу.

Перечень достижений, появляющихся на навигационном экране, наконец, достиг того же результата, который был получен в реальном времени. – Мои поздравления! – демонстративно воскликнула Советник Марина. – На более гладкий старт мы и надеяться не могли. – Рамиро мельком взглянул на нее задними глазами, но ее слова были адресованы исключительно Грете.

Грета склонила голову в знак благодарности.

– Выглядит многообещающе, – признала Советник Приска, – но настоящее испытание еще впереди.

– Разумеется, – согласилась Грета, хотя Рамиро видел, как она изо всех сил сопротивлялась желанию прибавить несколько слов, чтобы выставить их сегодняшнее достижение в более выгодном свете. Для придания горе вращения использовались гигантские куски солярита, которые выбрасывали пламя в пустоту и контролировались с помощью сжатого воздуха и часовых механизмов. Теперь вращение замедлялось за счет одного только света – света, перетекающего как между переключателями и сенсорами, так и внутри самих двигателей. Если это не считалось настоящим испытанием, то им всем следовало хранит молчание и скромно дожидаться того момента, когда удастся сдвинуть с орбиты саму планету, на которой жили их предки.

На навигационном экране открылась врезка. – Я сняла показания шести маяков и произвела оценку торможения Бесподобной, – сообщила Тарквиния, которая находилась в обсерватории на вершине горы. – Все результаты в пределах нормы.

Рамиро поблагодарил ее, и Тарквиния оборвала связь. При всей избыточности, встроенной в его собственную систему, независимая ручная проверка всегда приветствовалась как доказательство того, что программное обеспечение адекватно сообщало о реальном положении дел.

Советники друг за другом покинули пультовую; следом за ними вышла Грета. Рамиро откинулся на свою страховочную привязь и расправил плечи, тихо щебеча от облегчения. Всю остальную работу программа, управляющая фотоникой, в принципе могла выполнить безо всякого вмешательства с их стороны: остановить вращение, развернуть гору так, чтобы огромные двигатели, расположенные у ее подножия, были направлены в нужную сторону, затем запустить эти двигатели и следить за тем, чтобы они излучали свет в точности необходимой мощности и частоты, пока скорость горы относительно их родной планеты не поменяется на полностью противоположную. Рамиро представлял себе, как он день за днем сидит перед своей консолью, наблюдая за рызыгрывающимся сценарий. И если надеяться на то, что Бесподобная действительно сможет самостоятельно управлять своим полетом в течение ближайших трех лет было чересчур оптимистично, его вполне устроит и расклад, при котором программа сумеет обнаружить и описать любые проблемы, с которыми не смогла справиться своими силами.

– Рамиро?

Он поднял глаза; Тарквиния снова появилась на навигационном экране.

– В чем дело? – спросил он, удивившись, что она так быстро вернулась с новостями.

– Без паники, – сказала она. – Торможение идет без нареканий.

– Но?

– Я только что видела последний снимок ореола.

Беспокойство Рамиро усилилось. Навигаторы использовали ультрафиолетовые снимки окружающего Объекта пространства для измерения плотности межзвездного газа, следы которого можно было увидеть, благодаря их аннигиляции в результате столкновения частиц газа с пылевым ореолом ортогонального астероида.

Тарквиния прочла выражение на его лице и тихо прожужжала. – Плотность газа не увеличилась; коридор и сейчас должен быть безопасным. Но на снимке было кое-что неожиданное. Мне кажется, это был москит, улетающий от Станции.

Рамиро попытался осмыслить ее слова. – Я слышал, там остался один из москитов; в последней смене не хватило пилотов, чтобы вернуть все корабли. Его должны были привязать, но, я думаю, там вполне могла произойти утечка воздуха, которая оттолкнула его от Станции –

– Я не имела в виду, что он дрейфует в космосе, – перебила его Тарквиния. – Он летел с работающими двигателями. Часть вспышки была направлена в нашу сторону – и это единственная причина, по которой москит попал на снимок.

– Но ведь на Станции никого нет. Оттуда всех эвакуировали.

Тарквиния знала, что именно она видела. – Как думаешь, кто-нибудь мог запрограммировать москит? – спросила она. – Чтобы он взлетел сам по себе, после того, как ответственные за это покинут Станцию?

– Это возможно, – неохотно согласился Рамиро. – Но с какой стати им это делать?

– Понятия не имею. Но либо так, либо кто-то умудрился остаться.

– На что ты намекаешь? Какие-то разочарованные избиратели из числа сторонников Пио решили, что они все-таки добьются своего… на Станции? – Рамиро не знал, удивляться ему или хвататься за голову от ужаса. Подобные амбиции казались забавными, но если на Бесподобной действительно нашлись уклонисты, которые решили, что безопаснее всего их детям будет жить на заброшенной исследовательской базе, то когда они заморят себя голодом, станет уже не до смеха.

– На этом снимке изображен москит с работающими двигателями, – сказала в ответ Тарквиния. – Я не собираюсь строить догадки о том, есть ли внутри него люди – и тем более, какими мотивами они могли руководствоваться.

– Хочешь, чтобы я разыскал Советников? – Рамиро не знал, кто был обязан следить за тем, чтобы все до единого пассажиры находились внутри Бесподобной до начала остановки вращения, но он был рад, что эта задача никоим образом не входила в сферу его ответственности.

– Думаю, стоит так и сделать, – ответила Тарквиния.

Рамиро ослабил свою страховочную привязь. – Если бы у нас были камеры в каждом коридоре, – задумчиво произнес он, – и программы для распознавания инвариантной анатомии…

– То мы могли бы провести автоматическую перепись до запуска двигателей? – предположила Тарквиния.

– А, хорошая мысль. – Сам Рамиро мыслил не столь масштабно. – Я просто думал над тем, как доставить сообщение людям, пока они сами бродят по Бесподобной. – Однако ни Грета, ни ее гости не могли уйти далеко. – Ты уверена, что это не ложная тревога?

– Нет, – призналась Тарквиния. – Но хочешь ли ты взять на себя ответственность за людей, которые могут остаться снаружи, когда мы запустим главные двигатели?

– Я разыщу Советников, – сказал Рамиро.


Рамиро проснулся от звуков разноголосого перезвона, автором которого был он сам; перепутать его с чем-то другим было просто невозможно. Такое пробуждение было не из приятных, однако Рамиро на собственном опыте убедился в том, что менее навязчивые звуки были просто не в состоянии пробиться сквозь его сон. Выбравшись из-под брезента, он добрался до устройства связи. Красное свечение мха, которым были покрыты стены, не причиняло неудобств его глазам, но включив монитор, он ощутил боль от резкой вспышки яркого света.

– Ты потребуешься мне снаружи, – сказала Грета.

– Зачем? – недоуменно спросил Рамиро. – Кто-то ждет в коридоре?

– Я не о твоей каюте говорю.

Рамиро помассировал череп, надеясь, что в его голове родится третья интерпретация происходящего.

– Пришли результаты переписи, – сказала Грета. – Никто не числится пропавшим.

– Отлично! Значит, мы можем с чистой совестью запускать главные двигатели.

Грета нетерпеливо зарокотала. – Обсерватории следят за москитом, но мы по-прежнему не имеем понятия, чем именно он занят.

– А не все ли равно? – Отчасти Рамиро было любопытно, но погоня за движущейся целью в открытом космосе – при том, что жизням людей ничего не угрожало, а место действия этого странного розыгрыша вскоре останется далеко позади – казалась ему малость несоразмерной.

– Кто лучше тебя разбирается в автоматике? – сказала Грета.

– Взывая к моему честолюбию, ты ничего не добьешься.

– Это был не риторический вопрос, – резко возразила она. – Москиты для такого не предназначены. Но выглядит все так, будто кто-то, помимо тебя, достаточно хорошо разбирается в твоей специальности, чтобы провернуть подобный трюк.

– Такую модификацию сделать очень просто, – безучастно заявил Рамиро. – Если хочешь меня заинтересовать, придется потрудиться.

Грета замолчала.

– Что? – надавил он. – Значит, доверить мне автоматизацию разворота ты можешь, а поделиться параноидальной теорией Совета насчет беспилотного москита – нет?

– Мы считаем, есть вероятность, что ответственные за это люди собираются использовать Объект в качестве некоего оружия, – призналась она.

Рамиро ощутил на своей коже странное покалывание. Сам он никогда не был вблизи Объекта, но еще в детстве слышал истории о Карле и Иво, которым спуск к поверхности Объекта едва не стоил жизни – тогда для возгорания породы, над которой они пролетали, хватило даже слабого ветерка из охладительных мешков.

– Мы всегда можем запустить главные двигатели раньше срока, – предложил он. – Прежде чем этот москит успеет закончить начатое.

– А с фермами как быть?

– Часть почвы осыплется со стен и окажется как раз там, куда мы ее переносим.

– Незасеянными на время перестройки оставили только пшеничные поля, – сказала Грета. – А еще есть насаждения строевого леса, медицинские сады и дюжина различных сельхозкультур, из которых мы получаем волокна и смолы – и все они требуют аккуратной пересадки.

Рамиро сомневался, что кто-то стал бы беспокоиться о нескольких опрокинутых деревьях, когда на кону была вся Бесподобная. Но если перед лицом неопределенной угрозы цена сельского хозяйства казалась слишком высокой, достичь определенности можно было и другими путями.

– Почему бы просто не уничтожить москит? – предложил он. – Это же не сложно?

– Совет хочет, чтобы его перехватили, не нанеся урона, – настаивала Грета. – Нам нужно исследовать систему навигации и выяснить, в чем именно заключался план.

– Так отправьте за ним вашего лучшего пилота, и я с удовольствием вскрою всю систему в удобной лаборатории с подходящим оснащением.

– Это было бы идеально, – согласилась Грета. – Но такого шанса у нас может и не быть.

Рамиро насмешливо пророкотал. – Это всего лишь москит с модифицированной системой навигации. Внутри нет никого, кто мог бы его защитить. Как только ваш пилот окажется на борту и перережет несколько фотонных кабелей, корабль превратится в самый обычный груз. К нему можно будет привязать веревку и отбускировать на Бесподобную.

– Когда Станцию освободили, в ее лабораториях осталось несколько дюжин образцов, взятых с Объекта. Если кто-то получил доступ к москиту в тот момент, когда по Станции можно было свободно разгуливать, практически не опасаясь проверок, кто знает, ограничился ли этот человек простым перепрограммирование навигационной системы?

Рамиро посмотрел на нее изумленным взглядом, но быстро понял, что увильнуть не получится. Единственное, о чем он не мог попросить ни одного пилота – это доставить на Бесподобную машину, которая вполне могла оказаться заминированной фрагментами антивещества.


– Пристегнись, – посоветовала Тарквиния. – Дорога обещает быть веселой.

Рамиро последовал ее совету и стал возиться с ремнями в неуклюжих, чересчур свободных перчатках своего охладительного мешка. Пока их москит неподвижно висел снаружи Бесподобной, длинная плоская кушетка, к которой он прижимался спиной, располагалась вертикально, на манер своеобразной укрепляющей шины, которая помогала ему держать осанку.

Он уже летал на моските, но этот отличался по конструкции, и в нем было место только для пилота с пассажиром и складского отсека, который располагался между кушетками и системой охлаждения. Хрусталитовый купол, простиравшийся над их головами, был так близко, что к нему можно было прикоснуться. – Тебе разрешили поговорить с семьей? – спросил он у Тарквинии. Рамиро не сомневался в ее навыках пилота, но все же подозревал, что выбрали ее в том числе и с той целью, чтобы ограничить число людей, осведомленных о случившемся.

– Грета настаивала на том, что миссию нужно держать в секрете, – ответила она. – Но я все равно рассказала своему брату.

– Правильно сделала. – С одной стороны, Рамиро возмущала та ответственность, которую на него возлагала необходимость держать все в тайне, но с другой – был рад, что у него есть повод не рассказывать о своей миссии другим. Он даже не представлял, как смог бы объяснить о стоящей перед ним задаче, не обеспокоив своей семьи, а прямо сейчас он меньше всего нуждался в дядюшкиной лекции о долге перед детьми, которых только предстояло отторгнуть его сестре. Если все пройдет успешно, он вернется задолго до того, как его успеют хватиться.

Он указал на навигационную консоль. – Ты уже обновила локальные карты? – Никто не рассчитывал отправляться в полет после того, как вращение горы пойдет на спад, а помимо изменившейся скорости движения склонов существовала небольшая проблема маневрирования между лучами контвращательных двигателей.

– Нет, я решила оставить все как есть и посмотреть, что из этого выйдет, – с сарказмом ответила Тарквиния.

Рамиро было непреклонен. – Если ты будешь обижаться на любые мои придирки по поводу того, что может нас убить…

– Хорошо! – лицо Тарквинии смягчилось. – Взаимный свербеж мне в любом случае по душе. Все лучше, чем уснуть на работе.

– Не искушай меня.

– Мы готовы, – сказала она. Это не было вопросом. Она щелкнула переключателем на панели, и москит, оторвавшись от горы, полетел в пустоту.

Недомогание, которое Рамиро испытал из-за внезапной потери веса, быстро сменилось ощущением восторга. Он уже и забыл, как прекрасно может быть снаружи Бесподобной; после шести лет, проведенных среди экранов и светящегося мха, приглушенные оттенки скал, распростершихся над ним в свете звезд, создавали ощущение настоящей свободы. Пока гора отступала вдаль, он опустил взгляд на яркую линию перемешанных цветов, разделившую небо на две половины. Справа длинные шлейфы звезд, принадлежавших скоплению их родной планеты, достигали максимальной яркости на этой границе, а затем бесследно исчезали. Заглянуть дальше означало бы увидеть будущее этих звезд – однако их свет не излучался назад во времени, против их собственных термодинамических стрел. Слева небо было в полном распоряжении ортогонального скопления, усеявшего свои владения короткими и аккуратными шлейфами всех цветов спектра.

– Запускаю двигатели, – предупредила Тарквиния.

Рамиро резко вдавило в кушетку, и ощущение, будто он стоит, моментально прошло. Он ожидал, что вертикаль поменяет свое направление, но давление доставляло его телу заметно больший дискомфорт, чем можно было судить по прошлому опыту. После нескольких пауз недоумения, сможем ли он удержать внутри свой недавний обед и ужин, Рамиро удалось придать части туловища твердость костной ткани, обеспечив своему телу более подходящую опору в условиях непривычного веса и, таким образом, избавив себя от риска выдавить наружу содержимое своего пищеварительного тракта.

Когда москит начал стремительно удаляться от горы, сохранять чувство ориентировки стало проще, благодаря очевидной асимметрии неба, однако для оценки пройденного пути Рамиро все равно приходилось сверяться с навигационной консолью. Когда он, наконец, снова оглянулся на Бесподобную, она уже превратилась в бледно-серый треугольник, напоминающий слабый силуэт на фоне звезд. Двигатели, кропотливо тормозящие ее вращение, не оставляли после себя никаких видимых следов; даже если разреженная пыль, поднимавшаяся со склонов, немного рассеивала свет их выхлопов, он все равно находился в области глубокого ультрафиолета.

– До Станции мы должны добраться примерно за три с половиной склянки, – сделала прогноз Тарквиния.

– А разве обычно не шесть? – спросил Рамиро. Неудивительно, что он чувствовал гораздо большую тяжесть, чем во время своего последнего полета.

– Этот москит предназначен для буксировки грузов, – объяснила Тарквиния. – Я сама на нем летала, когда в последний раз модернизировали Станцию. Я везла на нем целый жилой модуль блочной сборки, но обратно летела уже без внешнего груза. – Она соединила кончики шести пальцев, облаченных в перчатки, а затем, махнула рукой вперед, разводя их в стороны.

Тарквиния прокрутила карту на экране консоли, отобразив непримечательную пометку вдали от Станции. Корабль мятежников удалился на приличное расстояние и от своего места старта, и от Объекта; он двигался без какой-либо очевидной цели, хотя последние наблюдения показывали, что его скорость стала снижаться. Учитывая, что двигатели москита теперь были направлены в противоположную сторону относительно своего первоначального расположения, их выхлоп больше не достигал Бесподобной; если бы астрономы не знали, как москит двигался до этого, то никогда бы его не нашли. Рамиро бы с удовольствием взял на себя программирование второго беспилотного москита, который должен был разыскать первый и, врезавшись в него на максимально возможной скорости, уничтожить и себя, и врага, в то время как менее радикальное решение потребовало бы гораздо больших усилий и, исходя из его теперешней перспективы, оказалось бы куда менее приятным.

Рамиро не хотел, чтобы Тарквиния снова восприняла его слова как оскорбление, и поэтому сдержал настойчивое желание спросить ее о запасе воздуха для охлаждения. Чудесные устройства отдачи, созданные Карлой, не нуждались в топливе, поскольку единственным источником кинетической энергии москита был излучаемый свет, но в основе этого фокуса лежал частотный сдвиг, а отвечавшие за него зеркала все равно генерировали избыточное тепло. Чем выше мощность двигателя, тем больше воздуха требовалось, чтобы отвести это тепло в пустоту.

– О чем они только думали? – устало произнес он.

– Кто?

– Я о сторонниках Пио. Сначала мы слышим убежденные речи о страхе за наших потомков, а потом они неожиданно пытаются… сделать что? Провернуть какой-то обманный маневр с помощью Объекта?

– Обманный маневр? – Тарквиния задумалась над его словами. – Какую бы цель они не ставили, перепрограммируя москит, отозвать его, насколько я понимаю, они уже не смогут, даже если бы сами захотели.

Рамиро понял, что она имеет в виду; развертывание на поверхности горы системы коммуникации, способной установить связь с таким отдаленным объектом, явно выходило за рамки возможностей недовольного меньшинства. – С другой стороны, у них, возможно, есть код отмены, который они могли бы нам предложить, – сказал он. – Что-то, что мы могли бы передать вместо них.

– Это возможно, – согласилась Тарквиния. – Либо они могли бы предложить нам непосредственно план полета. Эту штуку мы заметили по чистой случайности; возможно, они считали, что у них еще будут рычаги для ведения переговоров.

Рамиро прнебрежительно прожужжал. – Некоторые люди совсем не умеют проигрывать.

– Вряд ли дело в этом, – сказала Тарквиния. – Дело не только в их гордости; мне кажется, они и правда напуганы. Я и сама не знаю, что бы сделала, если бы искренне верила в то, что все вокруг меня только что проголосовали за безумное предприятие, которое в буквальном смысле будет стоить нам жизни.

– Если бы ты искренне в это верила, у тебя были бы веские причины, – возразил Рамиро. – Ты бы попыталась убедить остальных, не забывая при этом, что и сама можешь ошибаться. Не было бы нужды применять силу.

Тарквинию его слова не убедили. – Мы оказались в необычной ситуации. Сейчас у нас есть самые разные идеи о взаимодействии термодинамических стрел: какие-то из них обоснованы лучше, какие-то – хуже, но ни одна не дает однозначного ответа. А если нам не удастся привести к общему знаменателю все эти интуитивные представления – что тогда считать идеальным решением? Даже если бы мы добросовестно выслушали доводы друг друга, кто-все равно может решить, что впереди нас ждет тотальное уничтожение – а к тому моменту, когда доказательства не будут вызывать сомнений, времени на отступление уже не останется.


– У нас есть теория, – сообщила Грета.

Рамиро напряженно вслушивался в ее слова; такого шума, как в канале УФ-связи с Бесподобной, ему еще нигде встречать не доводилось.

– Пока что неподконтрольный нам корабль просто двигался по прямой линии. – сказала она. – Вначале он удалялся от станции с максимальным ускорением, затем перешел на максимальное торможение, совершенно не отклоняясь от курса. Мы уже знаем, где он остановится, если не поменяет характер движения – но там ничего нет. Это не точка назначения, а только промежуточный пункт.

– Значит, после этого он развернется и направится к Бесподобной? – предположила Тарквиния. – Те, кто запрограммировали корабль, собираются объявить, что в сторону горы движется москит, начиненный антиматерией – но при этом удалили его от Станции на достаточное расстояние, чтобы решить, будто мы не имеем понятия, где его искать.

– Это один из вариантов, – ответила Грета. – Но, возможно, они даже не станут пытаться идти на сделку. Зачем начинать переговоры, если достичь своей цели можно напрямую?

Рамиро почувствовал приступ тошноты. – Ты думаешь, они попытаются уничтожить двигатели, без предупреждения? – Если москит врежется в основание горы – и достигнет своей цели, имея на борту достаточное количество антиматерии, либо за счет одной только кинетической энергии, – то удар, вполне вероятно, унесет жизни половины населения Бесподобной.

Голос Греты затрещал.

– Что-что? – переспросила Тарквиния.

– Не двигатели. Коридор.

Рамиро с трудом мог разобрать последовавшие за этим слова, но в итоге теория Греты стала ясна. Она считала, что корабль мятежников просто дает себе разгон – удаляется от Станции, чтобы затем развернуться и направиться обратно – набрав как можно большую скорость. Его целью была не Бесподобная. Это была Станция.

Учитывая угол подлета, столкновение должно было направить Станцию по настильной траектории относительно Объекта. Когда опустевшие лаборатории и жилые помещения начнут тормозить о поверхность астероида, произойдет взрыв, который выбросит в космос струю антивещества – а геометрия удара гарантированно приведет к тому, что эта струя вызовет загрязнение той самой области пространства, которую Беподобной предстояло пересечь в случае разворота.

Прежде, чем опасная зона рассеется, пройдет целое поколение. Если они попытаются провести Бесподобную сквозь эти обломки, система, защищавшая гору от обычных поверхностных столкновений с крошечными частичками антиматерии, будет безнадежно перегружена – и ее отказы приведут не к досадным точечным пожарам, а к настоящим взрывам, которые пробьют в толще породы глубокие дыры и создадут угрозу возгорания всей Бесподобной.

– А мы можем передвинуть Станцию? – спросил Рамиро. Двигатели самой базы не обладали нужной мощностью и предназначались лишь для стабилизации ее орбиты относительно Объекта, не более того; но если уж москит мятежников мог сместить ее, накопив достаточную мощность за несколько склянок, то их собственный, послушный корабль наверняка смог бы за то же самое время аккуратно отбуксировать ее в безопасное место?

– На это уйдет слишком много времени, – ответила Тарквиния. – При таком массивном грузе ограничивающим фактором станут не наши двигатели, а прочность буксировочных тросов.

– Верно. – Рамиро недоумевал, почему корабль мятежников просто не отбуксировал Станцию к месту столкновения, однако если оставить в стороне вопрос о том, какой из подходов окажется более простым в плане автоматизации, то самый незаметный и сложный в предотвращении вариант «отлететь подальше – разогнаться – врезаться» по сути позволил бы достичь той же цели за меньшее время.

– У нас есть только один выход – перехватить мятежный корабль, – сказала Грета.

– А ты не могла все это продумать до того, как мы улетели, – недовольно произнес Рамиро. Если москит мятежников возвращался прямиком к Станции, то изучать навигационную систему было бессмысленно. Им с самого начала нужно было просто попытаться его уничтожить.

Консоль издала гретоподобные звуки, после чего связь окончательно прервалась.

Тарквиния повернулась к Рамиро. – Не волнуйся, – сказала она. – Если предсказать его движение настолько легко, как нам говорят, мы без проблем выйдем на ту же самую траекторию.

– Это не тебе придется лезть на борт, чтобы его отключить.

– На случай проблем у нас есть и другие варианты. – Тарквиния указала на складской отсек, расположенный позади их кушеток. – Взрывчатка с часовым механизмом. Нам останется только закрепить одну из них на корабле и убраться подальше.

Худшего утешения для Рамиро и придумать было нельзя. – Обломки, летящие в пустоте на огромной скорости – да еще и, вполне вероятно, приправленные антивеществом. Ты действительно хочешь лететь прямо сквозь них?

– Если мы дадим себе достаточно времени, риск будет пренебрежимо мал.

– А сколько времени мы можем себе позволить?

Тарквиния повернулась к навигационной консоли, отдавая ей команды с помощью фотонного корсета, который обхватывал ее туловище под охладительным мешком. Когда она закончила, на экране появился план полета.

– Если теория Греты верна, – сказала Тарквиния, – то мы сможем выйти на ту же самую траекторию через пять с небольшим склянок – примерно за полсклянки до столкновения. Если мы установим таймер взрывчатки на три куранта, то еще три куранта останется на разлет осколков – этого достаточно, чтобы большая их часть миновала Станцию. А за три куранта мы сможем удалиться от взрыва на расстояние почти в три пропасти. Корабль мятежников по-прежнему будет приближаться к Станции с максимальным ускорением, так что если мы будем улепетывать в противоположном направлении, то оба двигателя сработают нам на руку.

Рамиро немного успокоился. В масштабе этой карты три пропасти были не так уж велики, но это расстояние в шесть с лишним гроссов раз превосходило высоту Бесподобной. Шрапнель, от которой они будут убегать, никогда не сбавит скорости, но с увеличением дистанции будет встречаться все реже и реже.

– Так Грета права или нет? – спросил он. Они потеряли связь с Бесподобной, поэтому больше не получали новостей о фактическом поведении мятежного корабля.

Тарквиния щелкнула переключателем на своей консоли; мгновение спустя связь была восстановлена.

– Что ты сделала? – спросил Рамиро.

– Продула воздух через отдушину рядом с фотоприемником, – объяснила Тарквиния. – Иногда он просто становится грязным от пыли.

– Вы меня слышите? – с тревогой в голосе спросила Грета.

– Громко и четко, – ответила Тарквиния.

– Три маха назад корабль мятежников остановился, после чего сразу же сделал разворот. Он направляется прямиком к Станции.

– Поняла, – весело отозвалась Тарквиния. Хотя Рамиро и не заметил никаких движений с ее стороны, Тарквиния, судя по всему, передала команду с помощью своего корсета, поскольку план полета на экране поменял цвет с серого на красный – превратившись из гипотетической закорючки в набор строгих инструкций. Небо над куполом повернулось на четверть оборота вслед за москитом, который разворачивался, чтобы направить свои двигатели в нужную сторону.

– Мы что, и правда собираемся это сделать? – упавшим голосом спросил Рамиро. Отчасти он надеялся, что корабль мятежников все-таки направится к Бесподобной; получив предупреждение, люди, стоящие на защите горы, смогут запустить против него сколько угодно беспилотных москитов, так что реальные шансы на столкновение с Бесподобной были бы исчезающе малы. – Что, если вместо этого мы запрограммируем столкновение? – предложил он. – Мы покинем корабль и будем ждать, пока нас не спасут. – В таком случае им, конечно, пришлось бы провести в пустоте полдня, но их охладительные мешки были снабжены маячками, а из своего москита они могли взять запасные баллоны с воздухом.

– Исключено! – воскликнула Грета.

Тарквиния обдумала его предложение. – Мы не настолько точно знаем траекторию корабля мятежников, чтобы гарантировать столкновение, но, думаю, мы могли бы воспользоваться взрывчаткой, чтобы добиться почти такого же результата, даже если наш корабль немного промахнется. Есть только одна проблема… кораблю мятежников достаточно немного поменять курс, и весь план полетит под откос. Даже если ты перепрограммируешь нашу систему навигации, чтобы траекторию корабля можно было корректировать с Бесподобной, взрывчатка не настолько высокотехнологична: как только мы установим время взрыва, поменять его удаленно будет уже нельзя.

Рамиро был готов согласиться с этим доводом, но Грета сочла необходимым упомянуть и свои собственные причины. – Совет все равно хочет провести анализ навигационной системы корабля, – добавила она. – Теперь его траектория, может, и очевидна, но изучив работу, которую проделали преступники, мы вполне могли бы узнать о них что-то новое.

– Ага, они наверняка вписали в программу свои имена. – Рамиро не сомневался в существовании такой штуки, как стиль программирования, но мысль об опознании саботажника на основе столь расплывчатого понятия казалась ему просто нелепой. – Я буду рад, если нам удастся предотвратить столкновение со Станцией, но как только исход будет решен, я не стану рисковать жизнь ради того, чтобы ублажить Советников.

Грета ничего не ответила; она прекрасно понимала, что сейчас давить на него не стоит.

– Итак… мы приступаем к перехвату? – тактично спросила Тарквиния.

Рамиро разглядывал план полета – карту их будущего на ближайшие пять склянок. Насколько ему было известно, во всех остальных случаях встреча москитов в пустоте достигалось совместными усилиями пилотов, а их основные двигатели на время сближения были выключены. И в то же время прямо перед его глазами была картинка с двумя идеально сходящимися траекториями.

– А почему бы и нет? – сказал он. – Разве что-то может пойти не так?


По просьбе Рамиро Тарквиния показала ему план полета, на котором были отмечены векторы ускорения. Возможно, для нее самой соотнести стандартную карту с окружающей звездной пустотой и было привычным делом, но Рамиро не смог бы сохранить ориентацию в пространстве, не зная, где, с его точки зрения, будет находиться «верх» на разных этапах пути.

На своем пути от Бесподобной они уже набрали заметную скорость в направлении Станции и теперь отклонялись в сторону, приближаясь к траектории корабля мятежников. Однако через склянку с четвертью они начнут разворачивать двигатели, пока их корабль не устремится на всех порах в прямо противоположную сторону. Рамиро казалось крайне странным то, что они смогли бы догнать москит гораздо раньше, если бы он улетал от них, а не летел навстречу: необходимость сравняться со своей целью в скорости не вынудила бы их тратить время на движение в обратном направлении.

– У тебя в инструментах есть перестраиваемый когерер? – спросил он у Тарквинии.

– Конечно. А что?

– Я думаю, нам придется сжечь бесконтактные датчики, пока мы не подлетели слишком близко. – Если для дальней навигации москиты использовали сигналы маяков, то стыковка осуществлялась за счет считывания отражений окружающих объектов в инфракрасном свете. У москита мятежников не было и шанса заметить их приближение с такого расстояния, но как только они попытаются подкрасться к нему сбоку, он поймет, что рядом есть другой корабль.

– Возможностей для уклонения у него будет не так уже много; если он слишком сильно задержится, Станция успеет сместиться по орбите, – сказала Тарквиния. – А восполнить потерю времени ему уже не удастся; двигатели и так работают в полную мощность.

– Но он все равно сможет двигаться из стороны в сторону с помощью верньерных двигателей, – предположил Рамиро. – После таких маневров он всегда сможет восстановить свой курс – и этого будет достаточно, чтобы свести на нет все наши усилия. – Как только они окажутся рядом с кораблем мятежников, любое резко изменение тяги основных двигателей приведет к тому, что москит моментально исчезнет из поля зрения; к тому же абордажный трос лопнет даже при малейшем отклонении от курса.

– Это правда, – неохотно согласилась Тарквиния. – Но нам придется совместить когерер с чем-то вроде оптического прицела.

Отсоединив фотонный кабель от своего корсета, она забралась в складской отсек. Пока она искала нужные запчасти, Рамиро разглядывал ее пустую кушетку и оставшуюся без присмотра консоль. До этого он с радостью представлял себе Бесподобную, самостоятельно управляющую своим полетом на протяжении нескольких лет – но в этой хрупкой посудине, которая стремительно неслась навстречу чуть ли не столкновению с другим кораблем, ему становилось не по себе даже от того, что пилот совсем ненадолго оставил свой пост.

– Как насчет этого? – Тарквиния передала ему прицел, три зажима и когерер. – Радиус действия датчиков около одной проминки. Этого тебе должно хватить, чтобы увеличить расстояние вдвое.

– Нам нужно будет откалибровать расположение прицела.

– Само собой. Собирай свой агрегат, а потом я достану оптическую скамью.

– У тебя есть оптическая скамья?

– Маленькая.

Несмотря на то, что скамья была размером всего в половину его туловища, с ее помощью Рамиро смог измерить угол между осью прицела и лучом когерера. Когда грубое подобие оружия было откалибровано, он взглянул сквозь купол и понял, что снова не заметил, как москит успел поменять направление. Теперь двигатели увлекали корабль назад, придавая их траектории форму, напоминающую параболу, вдоль которой под действием силы тяготения движется брошенный мяч; правда, игра в данном случае была довольно странной – мастерство в ней определялось не столько самим броском, сколько способностью контролировать направление силы на всем протяжении пути.

– У тебя есть дети? – спросил он у Тарквинии.

– Нет.

– Так что ответил твой брат, когда ты ему обо всем рассказала?

– Пожелал мне счастливого пути, – ответила Тарквиния.

– Если бы я рассказал своему дяде, – сказал Рамиро, – то меня здесь, наверное, бы не было.

– Хмм. – Тарквиния, судя по голосу, ему сочувствовала, но принимать чью-либо сторону не хотела. – Значит, будем надеяться, что никто из нас не будет поступать опрометчиво, – сказала она. – Если мы все сделаем как надо, твоей семье даже необязательно будет знать, что ты здесь был.


Москит достиг вершины своей параболы и начал падать в сторону Станции. Рамиро бросил взгляд на навигационную консоль, не в силах отделаться от навязчивого интуитивного ощущения, что это событие должно было как-то себя проявить, но пейзаж по ту сторону купола совершенно не изменился.

Бесподобная продолжала отслеживать движение мятежного корабля и передавать новые данные; до цели, расположенной левее и «ниже» Рамиро, оставалось пять дюжин пропастей – под «низом» имелось в виду направление, в котором его тело толкали двигатели и которое было противоположностью «низа» в его аналогии с подброшенным мячиком. Выдвинув голову за край кушетки, он оглядел небо задними глазами, прекрасно зная, что увидеть там он все равно ничего бы не смог. Даже если бы он надел ультрафиолетовые очки, которые Тарквиния выдала ему из своего запаса гаджетов, двигатели мятежного москита были направлены в противоположную сторону. Пассажир преследуемого корабля, располагая таким же снаряжением, мог заметить ультрафиолетовый выхлоп летящего впереди москита, но Рамиро надеялся на то, что у саботажников не было возможности установить дополнительное оборудование на свой корабль.

– Сейчас нам надо поесть, – сообщила Тарквиния, потянув за крышку складского отсека рядом со своей кушеткиой.

– У меня как-то плоховато с аппетитом, – возразил Рамиро.

– Это не имеет значения, – категорично заявила Тарквиния. – Ты спал всего полночи, а это задание требует сосредоточенности. На переваривание караваев уйдет около склянки, так что сейчас у нас обеденный перерыв.

Рамиро прожужжал в ответ на ее бесцеремонность. – Да, дядюшка.

– Я твой пилот, это еще хуже. Разве дядюшка может выкинуть тебя в космос?

Он взял из ее рук каравай и прилежно впился в него зубами. Проталкивать пережеванный хлеб по пищеводу было непросто; половина плоти, которая обычно помогала ему глотать, сейчас была твердой, как кость.

Покончив с едой, Рамиро смахнул крошки со своих перчаток. – Что будет, если мы допустим ошибку? – спросил он. – Если мы напугаем корабль мятежников, и он, пытаясь уклониться, совершит маневр, который изменит его траекторию, но не помешает ему врезаться в Станцию…, не приведет ли это к тому, что мишенью взрывной струи станет сама Бесподобная?

Тарквиния уже обдумала этот вариант. – При этой скорости любой удар сообщит Станции такое количество энергии, что на нее перестанет влиять гравитация Объекта: она не станет носиться по вытянутой орбите, а будет двигаться практически по прямой. Так что даже если траектория Станции изменится, она либо упадет с той стороны, где и должна была упасть изначально, либо просто промахнется и улетит в космос.

– Значит, в худшем случае саботажники просто добьются своего – разворот будет отсрочен. – Их двоих мог ждать и более печальный исход, но Рамиро пытался успокоиться перед предстоящей миссией, а не найти повод идти на попятную.

– Насколько я понимаю – да, – сказала Тарквиния. – Но проблема в том, как на это отреагируют люди.

– Ты имеешь в виду… месть? – Рамиро не заглядывал так далеко вперед. – Миграционистов ждут неприятности за одну только попытку провернуть подобный фокус – вне зависимости от того, достигнут они своей цели или нет.

– Мне кажется, если разворот действительно придется отложить на целое поколение, многих людей это разозлит куда сильнее, чем одна лишь наглость мятежников, решившихся пойти на саботаж. – Судя по голосу, Тарквиния была озадачена: разве Рамиро не потратил треть своей жизни на подготовку к этому событию.

– Я буду разочарован, – признался он. – Но даже в этом случае мои труды не пропадут даром. Даже если задержка продлится так долго, что текущую систему решат полностью заменить на более современную версию, в ход все равно пойдут многие из моих идей.

– Хмм. – Тарквиния была удивлена, но пытаться его разубеждать не собиралась. – Но многие люди уже давно и с нетерпением дожидались этого события – и для тех, кто не смог внести в него непосредственный вклад, решающее значение имела сама возможность пережить разворот. Ты можешь получить удовлетворение от того, что сделал разворот возможным – и не важно, когда именно он произойдет. Но остальные просто лишатся самого значимого события, которое рассчитывали увидеть за всю свою жизнь.

– Три года жесткой гравитации и кое-какие изменения в облике звезд?

– Дело не в новизне или зрелищности, – ответила Тарквиния. – А в доказательстве того, что наша жизнь прожита не зря. В том, чтобы увидеть, как гора отправится в обратный путь к родной планете – увидеть, как наш план, наконец-то перестает быть просто обещанием и начинает воплощаться в жизнь. Мы не сможем встретиться с прародителями, но целое поколение хранило верность надежде, что мы, по крайней мере, станем свидетелями разворота.

– Мне кажется, ты слегка преувеличиваешь роль целесообразности. – Рамиро не хотелось ее обижать, но мысль о том, что чувство собственной значимости каждого человека низводилось до простой роли очевидца, наблюдающего за свершением Великого Проекта, лишь навевала на него тоску. – Я надеюсь, что наши потомки смогут помочь прародителям. Но почему смысл всего, что мы делаем, должен обязательно выводиться из этого посыла?

Тарквиния недоверчиво прожужжала. – То есть причины нашего разворота тебя не заботят?

– Этого я не говорил, – возразил Рамиро. – Я считаю, что разворот станет всеобщим благом. В противном случае я бы встал на сторону миграционистов. Но в повседневной жизни? Я просто люблю решать задачи и хорошо делать свою работу. Этого достаточно. Во всем этом грандиозном фразерстве нет никакой необходимости.

Тарквиния замолчала. Рамиро стало совестно – фразой «грандиозное фразерство» он, пожалуй, немного перегнул палку.

– А вообще, не бери в голову, – сказал он. – Мы же не налажаем, так что любые последствия могут быть только гипотетическими.

– Некоторые – да, – допустила Тарквиния. – Но не забывай и об остальных.

– Об остальных?

– Большинство путешественников будут рады, если мы добьемся успеха, – сказала она, – и я надеюсь, что они простят миграционистов просто из чувства облегчения, что те потерпели неудачу.

– Но? – Рамиро беспокойно шевельнулся в своем охладительном мешке, надеясь, что еда не станет проситься наружу.

– Те, кто за стоит за саботажем, от своего не отступятся, – сказала Тарквиния. – Если они уверены, что впереди Бесподобную ждет лишь забвение, то что еще им остается, кроме как снова и снова пытаться нас спасти?


За полкуранта до ожидаемого сближения Рамиро надел ультрафиолетовые очки. Астрономы Бесподобной не могли определить местоположение мятежного корабля с точностью до последней проминки, поэтому Тарквиния решила, что единственным надежным способом синхронизации следующего этапа миссии было дать москиту их перегнать. Очки не лишали Рамиро возможности видеть – образы УФ-вспышек, попадавших в поле зрения, фотоника пыталась наложить на изображение, видимое в оптическом диапазоне – однако получавшаяся картинка была результатом несовершенного компромисса, и Рамиро понимал, отчего Тарквинии не хотелось даже пытаться считывать данные с навигационной консоли, пока на ней были надеты такие же очки.

– После этого случая во все москиты будут встраивать ультрафиолетовые камеры, – предсказал он.

– Значит, нам повезло, что раньше их не считали необходимыми. – Тарквиния отрывисто пророкотала, выражая досаду. – А дальше что? Встроенное вооружение? Теперь все наши творения будут создаваться с расчетом на худшее?

Рамиро поправил ремешки своих очков. Он не собирался беспокоиться о гипотетической эскалации конфликта. Прямо сейчас перед ними стояла проблема, требующая решения; именно на ней им и нужно было сосредоточить свои усилия.

– Осталось три маха, – сообщила Тарквиния.

Рамиро напрягся, стараясь сохранить бдительность усилием воли. Он слегка повернулся влево. Если бы корабль мятежников появился позже, чем они рассчитывали, то действуя в строгом соответствии с планом полета, они бы никогда не дали ему вырваться вперед. Только полностью заглушив двигатели, они могли гарантировать, что москит пролетит мимо них, выдав свое местоположение свечением реактивной струи.

– Два маха.

Рамиро запечатлел в своей памяти расположение звезд, обращая внимание на неестественные белые продолжения звездных шлейфов, следовавшие за привычным фиолетовым цветом. Москит мог пролететь мимо их корабля на некотором расстоянии, и Рамиро не хотел допустить ошибку, увидев в небе тусклую белую полосу.

– Один мах. – Немного подождав, Тарквиния стала отсчитывать последние паузы. – Пять. Четыре. Три. Два. Один.

– Пусто, – сказал Рамиро. – Теперь он находился в невесомости; двигатели отключились автоматически. Он напряг зрение, задумавшись, не могли ли траектории москитов разойтись настолько, что корабль мятежников уже пролетел мимо, так и не попавшись им на глаза.

Что-то метнулось на границе его зрения; прежде, чем он успел повернуться в нужную сторону, перед ним вспыхнул свет, который затем исчез где-то вдалеке. – Давай! – прокричал он. Тарквиния перезапустила двигатели на малой тяге, которая предназначалась для того, чтобы сравняться с ускорением их цели.

Белая точка, как по волшебству, остановилась и больше не меркла.

– Не движется, – удивленно произнес Рамиро. Среди всех этих кубических пропастей пустоты – и еще трех дополнительных измерений скорости, в которых можно было бы заблудиться – они и правда сумели не только найти своего противника, но и угнаться за ним, не отставая ни на шаг.

Тарквиния немного увеличила ускорение; точка стала ярче и сместилась в сторону. – Он уходит влево, – предупредил ее Рамиро. Тарквиния убавила тягу, на несколько пауз едва заметно изменила направление москита, после чего повернула корабль обратно. Теперь, насколько мог судить Рамиро, корабль находился строго впереди них.

Действуя методом проб и ошибок, они постепенно приближался к кораблю мятежников. Сокращая дистанцию, Тарквиния проявляла осторожность; если бы они обогнали своего противника, его двигатели стали бы невидимыми. Но яркость выхлопа, к счастью, росла – в какой-то момент Рамиро даже пришлось понизить коэффициент усиления очков.

– Я уже вижу его корпус, – сказала Тарквиния.

Рамиро снял очки и дождался, пока его глаза не адаптируются к свету. Впереди и чуть левее них в свете звезд сверкал купол второго москита, возвышавшийся над его серым твердолитовым корпусом. В видимом свете ослепительно яркий маяк, за которым следил Рамиро, превратился в черное пятно на задней части корпуса.

Тарквиния подлетела ближе. – Сейчас я сброшу давление, – сказала она. Когда воздух начал с шипением выходить из кабины, Рамиро открыл клапан на баллоне, соединенном с его охладительным мешком. Тарквиния надела шлем, но Рамиро решил с этим повременить; целиться когерером с закрытым лицом было бы неудобно, а поскольку охладительный мешок и так справлялся с отведение тепла от большей части его тела, какое-то время он сможет прекрасно обойтись без шлема.

Когда корабль мятежников неподвижно завис на расстоянии пары проминок, Рамиро отстегнул страховочную привязь, нашел слева от себя под куполом отжимную рукоятку и потянул на себя дверцу люка. Он стал ползти по кушетке, пока его лицо не оказалось напротив выхода. Тарквиния передала ему когерер. Рамиро поднес прицел к своему глазу; сейчас между ним и кораблем мятежников не было ничего, кроме пустоты. Он стал осматривать корпус москита, пытаясь отыскать два темных кружка бесконтактных датчиков; их примерное местоположение Рамиро знал, но ему все равно потребовалось трижды пробежаться взглядом, прежде чем их найти.

Рамиро поднял руку и, переключив когерер в голубой режим, – достаточно далеко от инфракрасной части спектра, чтобы его свет не вызвал срабатывание датчика – убедился в том, что светящееся пятно попадает на его первую мишень. Затем он передвинул регулятор дальше, до уровня, который заблаговременно пометил кусочком клейкой смолы; ультрафиолетовый свет, излучаемый когерером на этой частоте, должен был вызвать необратимые повреждения в решетчатой структуре фотодетектора.

На вид темный кружок никак не изменился, но Рамиро ничего подобного и не ожидал. Ему оставалось лишь довериться физике. Он переключил внимание на второй датчик.

Покончив с ним, Рамиро выпрямился, не вставая с кушетки. Согласно прогнозу навигационной консоли, до столкновения со Станцией оставалось меньше четырех курантов.

Он надел шлем. – Использовать взрывчатку уже поздно, да?

Из переговорного устройства раздался голос Тарквинии, хотя в приглушенном виде ее слова доносились до него через саму кушетку. – Извини, – сказала она. – Чтобы его догнать, мне потребовалось больше времени, чем я рассчитывала.

– Не переживай. – В общем и целом Рамиро чувствовал облегчение; вся эта затея напоминала опасную авантюру.

Теперь расстояние между ними и кораблем мятежников сокращалось; с помощью верньерных двигателей Тарквиния придавала их москиту боковое движение. Рамиро ждал, что мятежный корабль начнет вести себя непредсказуемо, но их присутствие никак на нем не сказалось. Либо они и правда сожгли бесконтактные датчики, либо саботажники даже не попытались ими воспользоваться.

Рамиро перебрался в страховочную привязь, соединенную с коротким тросом. Тарквиния довела расстояние между двумя москитами примерно до трех долговязей; теперь Рамиро мог заглянуть внутрь кабины второго корабля, прямо сквозь его купол. Будь он в невесомости, с удовольствием бы попытался прыгнуть прямо на корпус москита, но при таком ускорении Рамиро сомневался, что сумеет преодолеть даже четверть разделявшего их расстояния.

Высунув ноги из люка, он дотянулся правой ступней до панели, за которой находился абордажный трос. Отодвинув ее в сторону, он нащупал крюк на конце троса. Рамиро выбрал охладительный мешок, в котором его ноги оставались открытыми – благодаря этому он мог легко придать им форму кистей. Ухватившись за крюк, он отпустил стопор и отмотал чуть больше троса, чем ему, как он сам думал, требовалось.

Усевшись на край люка, Рамиро свесил ноги в пустоту и, слегка наклонившись – так, чтобы у него была возможность следить за своими движениями сквозь купол корабля, – бросил крюк. Когда крюк ударился о купол второго москита, Рамиро поежился, ожидая худшего; если программное обеспечение москита отслеживало звуки в кабине, то сейчас был самый подходящий момент пресечь попытку абордажа.

Второй москит оставался на месте. Рамиро был озадачен, но уже начал подозревать, что саботажники отказались от попыток запрограммировать реакцию на любую непредвиденную ситуацию. В первую очередь они должны были позаботиться о том, чтобы их москит придерживался курса и не выбивался из графика; при том, что Бесподобная находилась так далеко, а на Станции не было людей, вмешательство извне им, скорее всего, не грозило, а любые дополнительные усложнения в программном обеспечении, предназначенные для решения подобной проблемы, несли в себе риск борьбы с несуществующей угрозой. Им просто не повезло, что их план был так быстро раскрыт; если бы Рамиро с Тарквинией отбыли с Бесподобной на полсклянки позже, контакт с кораблем мятежников был бы невозможен.

Рамиро собрал трос и сделал еще одну попытку. На четвертый раз крюк зацепился за расположенное у люка кольцо. Абордажный трос тянулся вниз, в пустоту; Рамиро не хотел натягивать его до такой степени, чтобы он порвался от случайного подрагивания двигателей, но наклон несущего троса и без того выглядел пугающе крутым. Он стал наматывать трос на барабан, пока провисающая в центре часть не уменьшилась до пары поступей.

– Сколько у нас времени? – спросил он у Тарквинии.

– Чуть больше трех курантов.

Рамиро снял страховочную привязь. Трос, соединявший ее с внутренней частью кабины, не дотянулся бы до второго корабля, но если бы Рамиро заменил его на более длинный, то столкнулся бы с риском промахнуться и попасть прямиком в ультрафиолетовый выхлоп корабля. Не имея опыта полетов с реактивным ранцем, он решил, что громоздкое устройство станет рискованной обузой. Если он сорвется, либо абордажный трос лопнет или отцепится от корабля, то самым безопасным выходом будет упасть вниз, подальше от обоих москитов, и дожидаться помощи.

– Будь осторожен, – сказала Тарквиния.

– Постараюсь. – Выбравшись из люка, Рамиро ухватился за абордажный трос и закинул ноги вверх, чтобы сбалансировать нагрузку. Он больше привык пользоваться веревками в условиях низкой гравитации – когда они служили, скорее, средством противодействия дрейфу, а не полноценной опорой – но когда в дело вступали сразу четыре конечности, держаться оказалось не так уж сложно. Задними глазами он разглядывал расположившиеся под ним звезды; если бесконечное падение будет таким неприятным, то лучше свалиться туда прямо сейчас, чем на середине пути. Но несмотря на нервирующую его пустоту, Рамиро не паниковал и не был парализован страхом. Долгое падение могло навредить ему лишь в одном случае – если внизу находилось нечто твердое, обо что можно было удариться головой. Для мягкого приземления не было более подходящего места, чем отсутствие земли как таковой.

Чем дальше Рамиро продвигался вдоль троса, тем больше крепла его уверенность. Он не сорвется безо всякой причины; к тому же оба москита двигались с идеальной синхронностью, а двигатели работали так плавно, что большего он не мог и желать. Рамиро мысленно переключился на решение стоящей перед ним задачи. До столкновения оставалось меньше трех курантов, а значит, для спасения Станции уже недостаточно просто заглушить двигатели москита. Накопленного импульса будет достаточно, чтобы корабль долетел до места столкновения с опозданием всего на несколько пауз – слишком мало, чтобы Станция успела покинуть опасную зону за счет орбитального движения. Но саботажники, вполне вероятно, приняли меры, затруднив простое изменение программы полета, так что самым надежным вариантом было бы подключить свой корсет непосредственно к блоку управления двигателем. Это был не самый разумный способ управления москитом, если речь шла о полете к конкретному месту назначения, но Рамиро нужно было всего лишь обеспечить достаточно сильное отклонение от первоначального курса, чтобы не попасть ни в Станцию, ни в Объект. Как только корабль минует оба препятствия, можно будет заглушить двигатели и ждать, когда Тарквиния его догонит и найдет.

Когда его ноги приблизились к кораблю мятежников, Рамиро встревожился, заметив, что трос наклонился. Он смотрел вверх, на звездные шлейфы, но теперь поднял голову; до люка оставалось всего несколько поступей. Забираться в кабину вверх ногами будет неудобно, но ему казалось, что разворот тела в пространстве не оправдает затраченных усилий. Когда люк оказался в пределах досягаемости, он убрал свою правую ступню с троса и протянул ее к рукоятке.

Его нога дернулась еще до того, как он понял, в чем дело; последовавшая за этим боль вытеснила из его сознания все прочие мысли. Он стал обожженной плотью и ревущим тимпаном, пригвожденным к нескончаемому, невыносимому настоящему и тщетно молящим об облегчении.

– Рамиро? – Тарквиния повторила его имя с полдюжины раз, прежде чем он смог ей ответить.

– Я обжегся, – сказал он.

– Скорее всего, они вывели из строя систему охлаждения, – немного помолчав, заключила Тарквиния. – Мне тебя забрать?

Глаза Рамиро были закрыты; открыв их, он понял, что сумел удержать трос, несмотря на шок. – Нет. – Поврежденная нога была бесполезна, но три работоспособных конечности у него еще остались. – Мы можем прокачать через него часть нашего воздуха?

– На это нет времени, – категорично ответила Тарквиния.

– Верно. – Не меньше куранта пришлось бы потратить на подготовку и подключение шлангов, не говоря уже о времени, необходимом, чтобы воздух дал хоть какой-то эффект.

– Я попытаюсь подтолкнуть второй корабль, корпус к корпусу, – сообщила Тарквиния. – Сколько времени тебе нужно, чтобы вернуться?

– Не знаю. Дай-ка попробую.

Собравшись с силами, Рамиро приступил к делу. Даже когда его раненая нога ни к чему не прикасалась, тело жаловалось на движение и чрезмерную нагрузку; ему хотелось свернуться калачиком прямо на месте. Рамиро попытался подкупить его образами безопасной кабины; корабль мятежников был смертельно опасен, трос – ненадежен, но добравшись до кабины, он смог бы отдохнуть.

Рамиро направился обратно; на полпути он почувствовал, как по его ступне разливается приятное онемение. Глянув вниз, он увидел рой крошечных желтых капелек, вытекавших их поврежденной ткани – падая в пустоту, они светились, как искры старинной лампы.

– Тарквиния?

– Нужна помощь?

Он мог бы попросить ее принести нож и ампутировать ступню, но это заняло бы слишком много времени. – Рана нестабильна, – сказал он. – Мне не стоит возвращаться в кабину.

– В смысле – нестабильна?

– Ожог денатурировал ткань до состояния потенциальной взрывчатки. Тебе лучше приступить к маневру, а я останусь здесь.

– Так нельзя, Рамиро. – Тарквиния вынесла свой вердикт тоном, не терпящим возражений.

– Я тебе доверяю, – сказал он. – Я знаю, что если выживу, ты за мной обязательно вернешься.

– Ты мог бы положиться на меня, если бы впереди не было никаких препятствий, – сказала Тарквиния. – Но если ты сейчас отпустишь трос, то я уже не успею разобраться с кораблем мятежников и забрать тебя до того, как ты попадешь в беду.

Рамиро почувствовал, как хмурится, не веря ее словам; мозг, сбитый с толку ощущением боли, подсовывал ему видения, в которых Рамиро кубарем летел в безопасные просторы космоса. Раз внизу не было никаких камней, чего ему бояться? Но если он собирался всерьез учитывать как систему отчета двух москитов, так и ее воображаемую силу тяготения, то для полной картины ему нужно было принять во внимание еще две детали, расположенные у него над головой – Станцию и Объект, которые падали прямо на него. Переход в свободное падение ему никак не поможет – ведь эти исполинские тараны уже успели набрать слишком большую скорость. Превратив свой баллон с воздухом в импровизированный реактивный двигатель, он, вероятно, смог бы избежать столкновения со Станцией, но Объект был слишком большим, а его собственная меткость не внушала особого доверия.

Он взглянул на искры, которые струились из его ступни. – Может быть, я и не взорвусь – но если это все-таки произойдет, я не хочу, чтобы ты погибла вместе со мной.

– Так оставайся на месте! – настойчиво воскликнула Тарквиния. – Людей, оказавшихся поблизости, убивает ударная волна в воздухе; в случае взрыва меня защитит купол и окружающий вакуум. Слушай, у нас нет времени на споры! Прямо сейчас я собираюсь приступить к маневру. Если возникнут проблемы, кричи.

– Хорошо, – согласился Рамиро.

Он поудобнее ухватился за трос, воспользовавшись шансом дать одной из своих рук передохнуть хотя бы мах. Химичить с охладительным мешком, чтобы освободить место для еще одной пары конечностей, ему казалось не лучшей идеей, но если его хватка и правда начнет слабеть от усталости, можно будет попробовать обвязать вокруг троса фотонный кабель, соединенный с корсетом.

По мере сближения москитов центр троса провисал все сильнее, постепенно подбираясь к двигателям. Рамиро стал перебираться на сторону Тарквинии, с тревогой отметив, насколько сложно стало двигаться по тросу под более крутым углом. Тарквиния просунула голову в люк, затем протянула руку к тросу и стала скручивать его в бухту; Рамиро видел, с каким напряжением она пыталась сместить его вес, хотя в действительно ее заслуга была куда больше, чем избавить его от необходимости взбираться наверх. Чем короче был трос, тем более пологим становился его наклон; Тарквиния тем временем продолжала втягивать трос в кабину, пока он не стал почти горизонтальным.

Затем она вернулась в кабину, и расстояние между москитами снова сократилось.

Рамиро цеплялся за трос, стараясь не обращать внимание на возобновившиеся пульсации в ноге. Все думали, что корабль мятежников будет обороняться при помощи антиматерии или хитроумного ПО, призванного справиться с непрошенными гостями. Но обстоятельство, из-за которого он потерпел неудачу, в действительности могло и не быть результатом продуманной стратегии: тот, кто незадолго до закрытия Станции перепрограммировал систему навигации, вполне вероятно, просто не имел возможности пополнить запас воздуха, служившего теплоносителем на списанном моските. Может оказаться, что в этот самый момент мятежники переживают, что из-за перегрева их оружия все до единой фотонные решетки могли потрескаться, а зеркала в устройствах отдачи – рассыпаться на кусочки.

Тарквиния развернула москит так, чтобы нижние части двух кораблей были направлены друг к другу. Рамиро вскарабкался подальше от находившихся под ним двигателей и приближающейся к нему глыбы раскаленного камня. Когда Тарквиния добилась касания москитов, Рамиро обнаружил, что висит на полдюжины поступей ниже того самого люка, через который он выбрался из кабины. Опираясь одним боком на гладкий серый минерал, из которого состоял корпус корабля, он чувствовал, как теплеет его поверхность, получавшая тепло от второго москита. Но прежде, чем поддаться панике, Рамиро заметил, что поток воздуха в каналах теплоносителя ускорился. Москит Тарквинии был рассчитан на мощность втрое большую текущей; лишняя нагрузка не нанесла бы ему непоправимого вреда.

– Сколько осталось до столкновения? – спросил Рамиро.

– Полтора куранта, – спокойно ответила Тарквиния. – Сейчас я начну применять силу; возможно, нас начнет трясти, но ты постарайся не упасть.

– Хорошо.

Рамиро обхватил трос. Непосредственный эффект Тарквининых толчков был незаметен, но вскоре корабль мятежников должен был заметить отклонение от курса и непременно отреагировать – для этого вмешательства саботажников не требовалось. Система навигации должна была скорректировать мощность отдельных устройств отдачи и, изменив направление реактивной тяги основного двигателя, попытаться скомпенсировать отклонение корабля.

Наверху по-прежнему были видны только звезды. Неужели так сложно промахнуться мимо цели, если она настолько мала, что ее даже не разглядеть? Рамиро неожиданно вздрогнул, и его зубы заныли от чудовищной вибрации. Мгновение спустя все закончилось, но в голове продолжало звенеть. Судя по всему, один из кораблей испытал резкое падение тяги из-за трения о корпус своего соседа.

Он успокоился и покрепче схватился за трос. Движения он по-прежнему не чувствовал; закрыв глаза, он мог представить, что цепляется за стену где-нибудь недалеко от края Бесподобной. Теперь же, когда Тарквиния перестала просто имитировать траекторию мятежного корабля, о спокойном подражании можно было забыть: инструменты, отвечавшие за обнаружение ее толчков, были не настолько совершенны и стандартизированы, чтобы их реакцию можно было предсказать и учесть наперед. Корабль мятежников даже не пытался их сбросить – его бесконтактные датчики были выведены из строя, и теперь он считал, что движется в пустоте без каких-либо помех, сражаясь лишь с собственными ошибками.

Рамиро завопил от ужаса прежде, чем успел осознать, в чем дело: расстояние между москитами стало расти. – Я поняла, поняла! – раздался голос Тарквинии. – Разрыв начал сокращаться, и поверхности кораблей, издав отвратительное скрежетание, снова коснулись друг друга.

Рамиро колотила дрожь. Если москиты отдалятся друг от друга, и трос порвется не на той стороне, то он должен быть готовым выпустить его из рук, чтобы не удариться о перегретый корпус второго корабля. Лучше уж налететь на стены Станции, чем отдать все свое тело на истязание огню.

Он посмотрел на израненную ногу. Она снова онемела, но светящиеся частички продолжали струиться с прежней силой. За все время с момента запуска Бесподобной лишь три человека погибли, отдавшись свету; объяснения самого явления, которые Рамиро доводилось читать, не вызывали у него особого интереса; единственное, что запечатлелось в его памяти – это необходимость бежать со всех ног, если только он увидит, как из чьей-то раны сочится светящаяся жидкость. Все, что ему оставалось – это дожидаться, когда Тарквиния завершит маневр и сможет передать ему нож. Взглянув в направлении зенита, он, наконец, заметил на фоне звездных шлейфов крошечный бледный овал.

– Как дела с курсом? – спросил он. Тарквиния осторожно подталкивала второй корабль – пусть не настолько осторожно, чтобы двигаться безо всякого сопротивления, но небольшой шанс склонить чашу весов в свою сторону у них все-таки должен был иметься.

– Так себе, – призналась Тарквиния. – Мы все еще летим к Станции.

Рамиро постарался отнестись к этой новости спокойно. – Какие еще у тебя есть варианты? Дай мне нож и пару махов, и тогда мы сможем улететь. – Он все еще мог выжить: нужно было просто перерезать трос со стороны корабля мятежников, прежде чем приниматься за свою ногу.

– Я собираюсь разбалансировать главный двигатель, – сказала Тарквиния.

Дрожь Рамиро усилилась. – Вручную?

– Да, – подтвердила она.

Верньерные двигатели сообщали кораблю небольшое ускорение, которым опытный пилот мог пользоваться вручную, для стыковки. Если исключить главные двигатели из цепи обратной связи с акселерометрами и гироскопами, которые должны были поддерживать идеальную симметрию их тяги, а затем вызвать намеренную ассимметрию в попытке сбить своего соседа с намеченного курса, то скорость и сила взаимодействий двух кораблей возрастет на целый порядок. Тарквиния располагала более мощными двигателями – но москиты могли запросто разнести друг друга на кусочки, не дав победить ни одной из сторон.

– Пусть этим займется автоматика, – сказал он.

– Рамиро, до столкновения осталось восемь махов. Нам некогда переписывать систему навигации.

– Для моего плана поменять придется совсем немного.

– У нас нет времени! – повторила Тарквиния.

Рамиро силился подобрать слова, которые бы склонили Тарквинию на его сторону. – Ты доверяешь работе, которую я проделал для Бесподобной? Большей часть своих приемов я научился у женщины, которая занималась программированием москитов. Код их навигационного ПО я знаю вдоль и поперек – и постоянно обдумываю его с того самого момента, как Грета отправила меня на это задание.

– Ты думаешь, мне это не по силам?

– Как пилоту я бы доверил тебе свою жизнь, – заверил ее Рамиро, – но ни у кого нет такой быстрой реакции, которая нам сейчас необходима. Все, что надо сделать – это ввести в один из регистров несимметричное целевое значение, и вместо отключения датчиков системы наведения мы заставим их сыграть нам на руку – обеспечить выверенную силу толчка в ответ на каждое действие второго корабля, не больше и не меньше. Все, что обычно помогает тебе держаться прямого курса теперь послужит новой цели. Ты действительно сможешь лучше справиться с этой задачей, полагаясь только на свои инстинкты?

В наступившей тишине Рамиро мельком взглянул на Объект. Он по-прежнему казался до смешного крошечным, но настоящий размер этой мишени Рамиро предстояло оценить всего через несколько махов. Тарквиния, похоже, была парализована нерешительностью; если сейчас он бросит трос, то еще сможет попытать счастья, воспользовавшись воздушным баллоном, в надежде, что Тарквиния придет в чувство и просто улетит подальше от второго корабля, пока не стало поздно.

– Как нам это сделать? – спросила Тарквиния.

Рамиро был растерян. – Сделать что? – Разрешить спор до того, как они погибнут?

– Как заставить автоматику сбить корабль с курса? – с нетерпением спросила она. Тарквиния была согласна с его планом.

Рамиро описал команды для навигационной системы, изображая рельефные символы на своей коже прямо по ходу объяснения и представляя, как они воспроизводятся на теле Тарквинии, вооруженной искусственным зрением собственного фотонного корсета.

Когда Тарквиния продублировала ему последнюю команду, оба противоборствующих корабля охватила тряска, сопровождавшаяся пронзительным скрежетом. Из-за вибрации уцелевшая нога Рамиро сорвалась с троса; второй ногой он ударился о корпус корабля. Удара он почти не почувствовал, но взглянув вниз, увидел целый рой сверкающих желтых крупинок, который падая в пустоту, неустанно пополнялся за счет распадавшейся ткани. Энергетический баланс, державший под контролем химические реакции в его теле, подходил к концу; поврежденная ткань производила все больше света, уничтожая все до единой системы, тщательнейшим образом приспособленные для контроля этого процесса. Выжить он мог только в одном случае – ампутировав поврежденную ногу, но в этом дрожащем хаосе Рамиро сомневался даже в том, что сможет взять нож из руки Тарквинии, не говоря уже о том, чтобы его применить.

Корабль мятежников неожиданно подался назад, проехавшись по корпусу их москита наподобие булыжника, скользящего под уклон. Увидев, как под ним натягивается свободный конец троса, Рамиро приготовился к падению в пустоту – но затем движение резко прекратилось.

Он понял, в чем было дело: пытаясь сохранить курс – но не имея при этом запаса мощности, – корабль мятежников мог сместить свой баланс, лишь отключив часть устройств отдачи и уменьшив тем самым прямую тягу. Тарквиния изо всех сил старалась не отставать от своего соседа – а его неуклюжее решение, как минимум, избавило ее от необходимости одновременно контролировать каждый шаг бокового маневрирования – но придать настоящую устойчивость их конфигурации было невозможно из-за ее сложности; еще немного – и удача от них отвернется.

Оперевшись раненой ногой на трос, Рамиро обвил его вокруг своей конечности. Ему удалось сделать полный виток, но петля была слишком низко, чуть выше щиколотки. Он вытянул руки вниз на целую поступь, чтобы опустить свое туловище и, одновременно дергая ногой, добился того, чтобы петля оказалась на уровне колена. После этого он сделал еще два витка.

Подняв глаза, Рамиро увидел надвигавшийся на него Объект; красно-бурая поверхность астероида была испещрена кратерами и расщелинами, в свете звезд украшенными витиеватыми тенями. Затем на переднем плане он увидел Станцию – прямо сейчас она была куда меньше астероида, но быстро росла и вскоре должна была закрыть его целиком; целая гроздь каменных ящиков, комнат и лабораторий, слепленных друг с другом в состоянии невесомой анархии, жадно неслась навстречу паре соревнующихся москитов.

Рамиро инстинктивно выпустил трос из рук, поверив на мгновение, что это поможет ему спастись. Он упал вниз головой и повис на обмотанном вокруг колена тросе, лицом к небу; в этот самый момент невыразительная тень мельком накрыла звезды и тут же исчезла.

Он мысленно подготовился ко второй, более серьезной угрозе: покрытому кратерами ландшафту антивещества, который несся мимо него так близко, что к нему можно было прикоснуться – или же возносился в небо, где ему предстояло встретить свой конец вместе с самим Рамиро. Этот суровый и жуткий образ застыл в его воображении. Но сам Объект так и не появился.

Рамиро не хватало сил, чтобы выпрямиться, но он поднял голову достаточно высоко, чтобы посмотреть в сторону зенита. Сейчас впереди москитов не было ничего, кроме длинных, цветастых шлейфов, принадлежавших звездному скоплению их предков. Тень, которую он по ошибке принял за пролетавшую мимо Станцию, оказалась Объектом; первая цель, которую они все-таки не задели, пронеслась мимо так быстро, что ее просто никто не заметил.

Он все еще щебетал от восторга, радуясь близкому промаху, когда, наконец, заметил, падающие вокруг него желтые искры. Теперь вся его нога ниже колена источала яркое сияние и была готова взорваться во вспышке света.

– Тяни! – умоляюще воскликнул он, обращаясь к Тарквинии.

Он увидел, как из люка выглянул ее шлем.

– Постой, – сказала она. На мгновение она исчезал, а затем снова появилась, держа в руках страховочную привязь.

– На это нет времени! – возразил Рамиро. Впрочем, он понимал, зачем Тарквиния идет на этот риск: если он упадет вместе с ампутированной ногой, то все еще может погибнуть.

Тарквиния бросила страховку. Рамиро протянул к ней руку, но трос был слишком коротким; страховочная привязь повисла в пустоте рядом с коленом раненой ноги. Он попытался приподнять свое туловище, но в итоге его тело просто стало раскачиваться из стороны в сторону.

– Хватай ее второй ногой, – поторопила его Тарквиния.

Рамиро попытался, но один из предыдущих ударов о твердолит, судя по всему, повредил его ступню, лишив ее хватательной способности. Рамиро просунул ступню между двумя лямками страховки, затем протолкнул между ними оставшуюся часть ноги и согнул ее в колене.

– Давай! – взмолился он, хотя в этом не было нужды: москиты уже начали отдаляться друг от друга. Он уже видел свет звезд, проникавший между корпусами кораблей.

Когда Тарквиния исчезла в кабине, Рамиро ощутил натяжение веревки, но затем сдавленная плоть потеряла всякую чувствительность. Из обрубка его ступни брызнуло тягучее желтое пламя. Сияние стало нестерпимо ярким, и Рамиро выбросил вперед руки, чтобы закрыть ими шлем.

Неожиданно весь его вес сместился на здоровое колено, чуть не оторвав Рамиро от страховочной привязи. Свет над головой исчез; опустив задние глаза, Рамиро увидел свою отрубленную ногу, которая, кувыркаясь, летела сквозь пустоту вместе с куском лопнувшего абордажного троса. Прямо у него на глазах плоть полностью перешла в жидкое состояние, затем раздулась, превратившись в огненный шар, который осветил очертания второго корабля на фоне окружавшей их тьмы. Мгновение спустя он почувствовал, как его охладительный мешок пронзил слабый порыв теплого ветра, а затем что-то острое укололо его в плечо. Он ощупал рану рукой в перчатке; прикосновение было болезненным, но повреждение кожи было слишком мало, чтобы почувствовать его наощупь. Вероятно, его просто зацепило осколком кости.

Когда огненный шар погас, Тарквиния заглушила двигатели. Мятежный корабль устремился вперед и пролетел мимо их москита, не пытаясь ликвидировать последствия своего провала. Но даже если это был всего лишь отвлекающий маневр – и даже если корабль мятежников не перегреется и не рассыплется на части из-за недостатка воздуха в системе охлаждения – ему все равно потребуется одиннадцать склянок только для того, чтобы затормозить и вернуться обратно, и вдвое больше – чтобы попытаться повторить исходный план. Этого времени вполне хватит для того, чтобы еще полдюжины москитов добрались сюда от Бесподобной и приступили к буксировке Станции.

Лишившись точки опоры, Рамиро вытянул руки и ухватился за страховочную привязь. Какое-то время он цеплялся за нее, не в силах двинуться дальше, после чего Тарквиния принялся втягивать трос обратно в кабину.

Общая теория относительности в римановой Вселенной [Дополнение]

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/06/GRExtra.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит “концептуальные спойлеры”: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету “Ортогональной Вселенной”, освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Данная статья ориентирована на читателей, уже имеющих некоторое представление о терминологии и результатах общей теории относительности в применении к нашей Вселенной. Если вы хотите быстро освоить ключевые аспекты этой темы, попробуйте обратиться к очеркам о специальной и общей теории относительности из цикла Foundations. Если же вы просто хотите ознакомиться с кратким обзором релятивистских явлений, отличающих риманову Вселенную от нашей, обратитесь к основной части этой статьи.

Риманово решение Шварцшильда

Уравнение Эйнштейна, связывающее кривизну пространства-времени с содержащейся в нем материей, имеет вид:

G + \Lambda g = 8 \pi T,

где:

Мы прибегнем к сложившейся в общей теории относительности практике и воспользуемся системой мер, при которой в одних и тех же единицах измеряются не только время и пространство, но также и масса, а сами единицы измерения выбраны таким образом, что гравитационная постоянная (которая часто обозначается символом G, что может вызвать путаницу, поскольку точно так же обозначается и тензор Эйнштейна) становится равной 1.

Нет причин считать, что при переходе в риманову Вселенную это уравнение должно каким-либо образом поменяться. В римановой Вселенной соотношение между величиной силы тяготения и другими типами взаимодействий может отличаться от нашего, но поскольку выбранные нами единицы измерения уже включают в себя величину гравитационной постоянной – независимо от ее конкретного значения, – больше мы ничего с этим фактом поделать не можем. Наиболее важное свойство уравнения Эйнштейна заключается в том, что дивергенция тензора Эйнштейна обязательно должна быть равна нулю; то же самое верно и в отношении метрики, умноженной на произвольную константу. Это дает нам основания приравнять сумму данных величин к тензору энергии-импульса, домноженному на константу, поскольку дивергенция этого тензора также должна быть равна нулю – в противном случае не будут выполняться локальные законы сохранения энергии и импульса. Все это будет в равной степени верно и в равной степени применимо в отношении римановой Вселенной.

Таким образом, различие по сути заключается лишь в том, что мы рассматриваем только решения уравнений Эйнштейна, для которых метрика g имеет сигнатуру (++++) – иначе говоря, решения, в которых все измерения являются пространственноподобными.

Существует, конечно, одно допустимое изменение, которое мы могли бы внести, сохранив нулевую дивергенцию левой части уравнения: мы могли бы потребовать, чтобы гравитационная постоянная была отрицательной и, следовательно, даже если ее абсолютное значение принимается равным 1 в силу выбора единиц измерения, в правой части уравнения будет стоять знак “минус”. Но, как выяснится в дальнейшем, если мы хотим, чтобы при медленном движении тел гравитация в римановой Вселенной в общем и целом не отличалась по своему поведению от ньютоновской, то правильным выбором будет положительная гравитационная постоянная.

Во многих случаях космологическую константу в нашей собственной Вселенной можно считать равной нулю, но мы постараемся сохранить максимальную общность рассуждений, включив ее в наши выкладки и принимая равной нулю только для получения ряда конкретных результатов. Поэтому наше исследование гравитации мы начнем с описания “метрики Шварцшильда-Коттлера”[1], которая представляет собой обобщение метрики Шварцшильда на случай ненулевой космологической постоянной.

Метрика Шварцшильда-Коттлера
r, θ, φ – полярные координаты; начало отсчета совмещено с телом массы M

g = \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right) (по Риману)
g = - \left( 1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) dt^2 + \cfrac{1}{1 - \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 \right) (по Лоренцу)

Данная метрика описывает геометрию вакуума вокруг сферически симметричного тела массы M. Пока что мы не станем делать каких-либо предположений о конкретном значении, или даже знаке, величины Λ в римановой Вселенной, но будем считать, что |Λ| достаточно мало, чтобы в интересующей нас области выражение 1+2M/r–Λr2/3 сохраняло положительный знак.

Одно из наиболее заметных отличий между лоренцевой и римановой метриками заключается в том, что в римановом случае все радиальные расстояния, измеренные вдоль линий с постоянными значениями t, θ и φ, являются конечными. При Λ=0 мы можем даже получить явное выражение для расстояния от центра координат (в предположении, что решение справедливо вплоть до r=0):

\mathrm{dist}(r) = \sqrt{r (r + 2M)} - 2M \mathrm{arsh} \sqrt{\cfrac{r}{2M}}

В контексте этой метрики площадь изоповерхности, соответствующей заданному значению r, совпадает с 4 π r2, однако значение dist(r) всегда меньше самого r, поэтому для своего радиуса эти сферы имеют большую площадь поверхности, чем в случае евклидовой геометрии. Это характерная особенность пространства с отрицательной кривизной.

В случае лоренцевой метрики Шварцшильда все обстоит иначе: радиальные расстояния являются пространственноподобными лишь при r > 2 M, причем в этом случае они всегда превышают разницу по координате r.

Интегралы движения и эффективный потенциал

Нам бы хотелось понять, как с учетом этой метрики будет двигаться небольшая “пробная частица” – движущееся по орбите (или не падающее) тело достаточно малого размера, чтобы его собственное влияние на геометрию пространства было пренебрежимо малым. Общий метод, которым мы будем пользоваться, аналогичен изложенному Мизнером, Торном и Уилером[2] в их описании тела, движущегося в условиях обычной геометрии Шварцшильда.

Мировая линия нашей пробной частицы будет геодезической, и для обозначения ее 4-скорости, т. е. единичного вектора, направленного по касательной к мировой линии, мы воспользуемся символом u. Компоненты вектора u в нашей системе отсчета совпадают со скоростью изменения соответствующих координат относительно собственного времени τ, измеренного вдоль геодезической:

u^t = \partial_{\tau} t
u^r = \partial_{\tau} r
u^{\varphi} = \partial_{\varphi} y
u^{\theta} = \partial_{\theta} z

Поскольку данная геометрия обладает сферической симметрией, мы всегда можем выбрать координаты таким образом, чтобы мировая линия пробной частицы лежала в “экваториальной плоскости” θ=π/2; при этом uθ = ∂τ θ = 0.

Поскольку наша метрика не зависит от координат t и φ, координатные векторные поля ∂t и ∂φ являются полями Киллинга – иначе говоря, они описывают такие “движения” тела в рамках заданной геометрии, при которых остаются неизменными его форма и размер; аналогичным образом мы можем мысленно увеличить долготу каждой точки некоего острова на 5 градусов, не искажая его географии. (В качестве неформального обсуждения векторных полей Киллинга вы можете обратиться к этой статье; хотя она и начинается цитатой из другого моего романа “Накал“, знакомства с самой книгой в данном случае не требуется.)

Поскольку ∂t и ∂φ являются векторными полями Киллинга, их скалярное произведение на касательный вектор к любой геодезической будет постоянным на всем протяжении этой геодезической. Отсюда следует, что для всей мировой линии нашей пробной частицы:

\mathbf{u} \cdot \partial_t = u_t  = E
\mathbf{u} \cdot \partial_{\varphi} = u_{\varphi}  = L

где E и L – некоторые константы. Компоненты ut и uφ, помеченные нижними индексами, являются компонентами дуального вектора, соответствующего u. Тот факт, что u, как и его дуальный вектор, имеет единичную длину, в терминах дуальных компонент выражается следующим образом:

g^{ij} u_i u_j = 1

где мы воспользовались эйнштейновым соглашение о суммировании. В силу диагональности метрики компоненты метрического тензора с верхними индексами gij обратны компонентам с нижними индексами, которые мы привели в определении метрики Шварцшильда-Коттлера, поэтому:

Rendered by QuickLaTeX.com

Выразив ur через ur = ∂τ r, имеем:

u_r = g_{rr} u^r = \cfrac{\partial_{\tau} r}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}

Следовательно:

\cfrac{E^2 + (\partial_{\tau} r)^2}{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}} + \cfrac{L^2}{r^2} = 1

или:

(1)   \begin{equation*} (\partial_{\tau} r)^2 = \left( 1 - \cfrac{L^2}{r^2} \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3} \right) - E^2 \end{equation*}

Таким образом, у нас есть уравнение, связывающее скорость изменения r относительно времени τ, измеренного пробной частицей, с самой координатой r. Продифференцировав его по τ (с последующим делением обеих частей уравнения на 2 ∂τ r), мы получаем вторую производную:

(2)   \begin{equation*} \partial_{\tau, \tau} r = \cfrac{L^2 (r + 3M)}{r^4} - \cfrac{M}{r^2} - \cfrac{\Lambda r}{3} \end{equation*}

Первое слагаемое описывает центробежное ускорение – отталкивание, которое при заданном моменте импульса L убывает примерно по закону обратных кубов. В лоренцевой версии числитель имеет вид r–3M, поэтому при r=3M соответствующее слагаемое меняет знак – именно этим объясняется тот факт, что на более близких расстояниях существование орбит вокруг черной дыры невозможно. Здесь же центробежная сила не только остается центробежной на любых расстояниях, но и всегда превышает соответствующую силу в лоренцевом и ньютоновом случаях.

Второе слагаемое – это обычное обратноквадратичное гравитационное притяжение, которое показывает, что выбор знака M соответствует поведению гравитации в ньютоновском пределе.

Наконец, третье слагаемое описывает силу притяжения или отталкивания, зависящую от космологической постоянной, которая в зависимости от знака Λ может как усиливать, так и ослаблять гравитацию в достаточно больших масштабах.

На следующем рисунке показаны графики эффективного потенциала для радиального движения пробной частицы в случае Λ=0, для ряда значений L. Функция:

V(r) = \left( \cfrac{L^2}{r^2} - 1 \right) \left( 1 + \cfrac{2M}{r} \right)

определяет характер радиального движения посредством уравнения (1), принимающего вид:

(\partial_{\tau} r)^2 + V(r) = -E^2

При любом отличном от нуля значении L эффективный потенциал имеет минимальное значение < –1. Это означает, что любая частица с E > 1 и L≠0 будет двигаться по устойчивой, замкнутой орбите, совершая колебания между значениями r, при которых ∂τr = 0, или V(r) = –E2. Пример для случая E2 = 1.3, L = M показан на рисунке красной пунктирной линией.

Если E < 1, то гравитация не сможет удержать частицу, и она улетит на бесконечность, причем минимальное сближение будет достигнуто при V(r) = –E2. Пример для случая E2 = 0.5, L = 4M показан на рисунке синим пунктиром. E – это отношение полной энергии частицы к ее массе покоя, измеренной на бесконечном расстоянии в системе отсчете, относительно которой покоится центральная масса. В лоренцевой физике частица оказывается связанной, если ее энергии меньше массы покоя, что соответствует случаю E < 1, однако в римановой физике действует обратная закономерность: связанная частица обладает большей энергией, чем свободная.

Круговые орбиты

Предположим, что пробная частица движется вокруг центрального тела по круговой орбите. Тогда r=R является постоянной величиной, а значит его первая и вторая производная обращаются в нуль, что дает нам два уравнения, выражающих L2 и E2 через радиус орбиты R. Решив эти уравнения и подставив результат в выражение 4-скорости u, мы сможем определить орбитальную скорость пробной частицы с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии от центрального тела. Результат выглядит так:

v^2 = \cfrac{3M + \Lambda R^3}{3R + 6M - \Lambda R^3}

В случае Λ=0 это выражение принимает вид:

v^2 = \cfrac{M}{R + 2M}

Если R велико, а Λ=0, мы получаем ньютоновский предел, при котором кинетическая энергия равна половине модуля отрицательной потенциальной энергии гравитационного поля.

В ньютоновской физике скорость обращающегося тела неограниченно возрастает по мере его приближения к центральной массе. Однако в случае римановых орбит v2 при уменьшении R всегда стремится к 1/2. Поскольку центробежная сила больше по величине (меняется обратно пропорционально четвертой степени расстояния при малых r), 1/√2 – это максимальная скорость тела, при которой возможен его захват гравитационным полем с выходом на круговую орбиту (по крайней мере, вблизи центральной массы).

Если космологическая постоянная отлична от нуля, орбиты достаточно большого радиуса претерпевают ряд изменений. При положительной Λ гравитация на больших масштабах становится сильнее, и после падения до минимального значения v2 начинает неограниченно возрастать. Если же Λ отрицательна, то космологический член служит источником отталкивания, которое приводит к тому, что начиная с некоторого расстояния движение тела по орбите за счет силы тяготения становится невозможным.

Радиальное движение и вторая космическая скорость

Предположим, что наша пробная частица движется непосредственно в сторону центрального тела или, наоборот, непосредственно от него. Тогда L = 0, и мы можем выразить значение второго интеграла движения, E2, через скорость частицы, соответствующую конкретному расстоянию r (с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на том же расстоянии).

E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r} - \cfrac{\Lambda r^2}{3}}{1 + v^2}

При Λ=0 имеем:

E^2 = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2}

Если Λ=0, то минимальное значение E2, при котором частица сможет улететь на бесконечность, достигается при v→0, когда r→∞, и, следовательно, равно 1. Таким образом, вторая космическая скорость частицы определяется соотношением:

v_{\mathrm{esc}}^2 = \cfrac{2M}{r}

Это выражение совпадает с ньютоновской формулой для второй космической скорости – из него очевидным образом следует, что преодоление гравитационного поля возможно на любом расстоянии.

В более общем случае, когда Λ≠0, понятие “второй космической скорости” становится не вполне корректным, поскольку на больших расстояниях на частицу будет действовать сила притяжения/отталкивания, обусловленная космологическим членом. Но вне зависимости от того, что происходит в космологических масштабах, возможность преодолеть непосредственную гравитацию центрального тела сохраняется и в этом случае. В римановой Вселенной не бывает черных дыр.

Гравитационное синее смещение и замедление времени

Если пучок света, находящийся на очень большом расстоянии от центральной массы, приближается к ней со скоростью v, то (в предположении Λ=0, так как иначе поведение системы может оказаться неопределенным при r→∞), достигнув расстояния r, он, очевидно, будет двигаться быстрее:

\cfrac{1}{1 + v_{\infty}^2} = \cfrac{1 + \cfrac{2M}{r}}{1 + v^2(r)}

v^2(r) = \left(1 +\cfrac{2M}{r} \right) v_{\infty}^2 + \cfrac{2M}{r}

Более быстрый свет характеризуется меньшей длиной волны, что на языке Ортогональной Вселенной описывается как синее смещение. Но в отличие от лоренцева случая, уменьшение длины волны будет сопровождаться увеличением периода τ, поэтому вблизи массивного тела измерения покажут, что каждое колебание света занимает больший промежуток времени. А именно:

\tau(r) = \tau_{\infty} \sqrt{1 + \cfrac{2M}{r}}

Получается, что с точки зрения путешественника, который движется в космосе по обходному пути, проходящему вблизи массивного тела, путь в целом потребует больше времени, чем с точки зрения путешественника, который летит напрямую. Как и в случае с другими проявлениями эффекта замедления времени, вызванными движением в 4-пространстве, гравитационное замедление времени в римановой Вселенной приводит к тому, что путешественник тратит не меньше, а, наоборот, больше времени.

Гравитационное рассеяние

В гравитационной физике Ньютона пробная частиц, которая приближается к массивному телу с большого расстояния — и при этом достаточно смещена в сторону, чтобы избежать столкновения — будет двигаться по гиперболической траектории, изогнутой в сторону центральной массы. Когда частица снова уйдет на бесконечность, направление ее движения изменится. В этом случае мы говорим, что частица испытала рассеяние на определенный угол, обозначаемый δ.

В лоренцевой гравитации подобные траектории являются нормой, но в экстремальном случае черной дыры частица может сделать несколько разворотов вокруг центральной массы, прежде чем ее захватит гравитационное поле, либо она снова улетит на бесконечность.

В римановой Вселенной нет черных дыр, но если во взаимодействии участвуют компактные и массивные тела или частицы, движущиеся с большой скоростью, траектория будет отклоняться не в сторону центрального тела, а наоборот, от него.

На следующих графиках показаны траектории пробных частиц с различными начальными скоростями v и двумя вариантами прицельного параметра b, который определяется как боковое отклонение траектории относительно центрального соударения (измеряемое в предположении, что частица находится на бесконечности). Кривые красного и оранжевого цвета – соответствующие сравнительно медленным частицам, которые пролетают на достаточно большом расстоянии от массивного тела – напоминают ньютоновские гиперболы, кривая желтого цвета незначительно отклоняется от первоначального пути, а все остальные траектории изгибаются, удаляясь от центральной массы.

За отбрасывание этих части отвечает неньютоновская центробежная сила. Как мы уже видели в случае уравнения (2), при малых r центробежное ускорение для заданной величины момента импульса L будет убывать примерно как единица, деленная на в четвертой степени, в отличие от ньютоновской физики, характеризуемой законом обратных кубов.

Космология

Кривизна и энтропия

Взяв за основу уравнение Эйнштейна, мы можем получить полезное выражение тензора Риччи через тензор энергии-импульса. Тензор Эйнштейна G определяется через тензор Риччи R и метрику g:

E = R - \cfrac{1}{2}R_c{}^c g

где для вычисления следа тензора Риччи мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Если мы запишем уравнение Эйнштейна в компонентной форме, то получим:

Rendered by QuickLaTeX.com

Таким образом, след тензора энергии-импульса можно представить в виде:

8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - \cfrac{1}{2} R_c{}^c g_e{}^e + \Lambda g_e{}^e

След gee в случае римановой метрики совпадает с размерностью пространства, т. е. равен 4. Следовательно:

8 \pi T_e{}^e = R_e{}^e - 2 R_c{}^c + 4 \Lambda = - R_e{}^e + 4 \Lambda

[В случае 4-мерного лоренцева пространства gee, разумеется, равно 2, в соответствии с договоренностью о выборе сигнатуры (– + + +). Таким образом, приведенное выше уравнение и его следствия неприменимы в лоренцевой Вселенной.]

Воспользовавшись этим фактом, можно записать:

8 \pi (T_{ab} - \cfrac{1}{2}T_e{}^e g_{ab}) = 8 \pi T_{ab} + \left(\cfrac{1}{2} R_e{}^e - 2 \Lambda \right) g_{ab}

Подставляя сюда выражение 8 π Tab из уравнения Эйнштейна, имеем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Это позволяет нам выразить тензор Риччи через тензор энергии-импульса и метрику:

(3)   \begin{equation*} R_{ab} = 8 \pi \left(T_{ab} - \cfrac{1}{2} T_e{}^e g_{ab} \right) + \Lambda g_{ab} \end{equation*}

Преобразуем полученный ранее результат, связывающий следы тензора Риччи и тензора энергии и импульса:

(4)   \begin{equation*} R_c{}^c = - 8 \pi T_c{}^c + 4 \Lambda \end{equation*}

Помимо следа тензора Риччи, нас также будут интересовать отдельные элементы, стоящие на его диагонали. Если мы имеем дело с локально ортонормированными координатами и, следовательно, gaa = 1 для любого a, то (по парам повторяющихся нижних индексов суммирование не производится):

(5)   \begin{equation*} R_{aa} = 8 \pi \left(T_{aa} - \cfrac{1}{2} T_c{}^c \right) + \Lambda \end{equation*}

Величина Raa показывает нам, как будет сближаться или, наоборот, расходиться пучок геодезических, изначально расположенных вдоль направления a – в том смысле, что вторая производная объема, заключенного внутри этого пучка (и ограниченного гиперповерхностью, ортогональной направлению a) может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Точнее:

\cfrac{\partial_a \partial_a V}{V} = -R_{aa}

Теперь мы можем в общем и целом разделить материю римановой Вселенной на две большие категории. Если речь идет о состоянии с низкой энтропией, которое характеризуется тем, что материя движется в более или менее едином направлении (твердое тело, газ с низкой отрицательной температурой или система гравитационно связанных тел), то расположив нашу ось времени t вдоль мировых линии материальных частиц, мы получим, что компонент Ttt тензора энергии-импульса имеет большое значение, в то время как его прочие компоненты пренебрежимо малы. Примером такого состояния может служить облако пыли с плотностью ρ и пренебрежимо малым давлением:

T = \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}

причем в ортонормированной системе отсчета, относительно которой облако покоится, Ttt = ρ, а все остальные компоненты тензора равны нулю. В этом случае:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ=0, то Rtt > 0 и, следовательно, объем, заключенный внутри пучка геодезических, ориентированных вдоль оси t, будет уменьшаться. Другими словами, в случае скоплений пробных частиц, которые изначально покоятся относительно пылевого облака, гравитация будет действовать, как сила притяжения, сближающая частицы друг с другом. При этом Rxx и прочие компоненты тензора будут отрицательными, поэтому скопления пробных частиц, движущихся сквозь пылевое облако с бесконечной скоростью, будут, наоборот, рассеиваться. След тензора Риччи, также называемый скалярной кривизной, будет меньше нуля.

При достаточно большом положительном значении Λ скалярная кривизна окажется больше нуля, и скопления пробных частиц будут сжиматься вне зависимости от направления движения; при достаточно большом по модулю отрицательном Λ результат меняется на противоположный.

Что, если материя находится в состоянии с высокой энтропией, при котором ее мировые линии могут быть с равной вероятностью ориентированы вдоль произвольного направления в 4-пространстве? В этом случае:

T_{tt} = T_{xx} = T_{yy} = T_{zz} = \rho

В римановой Вселенной материя, находящаяся в состоянии высокой энтропии, действует в точности так же, как и космологическая постоянная: ее тензор энергии-импульса пропорционален метрике. Учитывая влияние как ρ, так и Λ, получаем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Если Λ равно нулю, то скалярная кривизна, так же, как и все компоненты вида Raa, будет отрицательной, поэтому пучки геодезических будут расходиться вне зависимости от своей ориентации в 4-пространстве. Если ρ постоянна во всем 4-пространстве, то риманова Вселенная будет иметь вид четырехмерного гиперболического многообразия.

Если космологическая постоянная Λ имеет достаточно большое положительное значение, она перекроет влияние ρ, и кривизна окажется больше нуля, в то время как отрицательные значения Λ по своему эффекту будут аналогичны увеличению ρ и приведут к усилению отрицательной кривизны.

Простые модели

Модели с большим взрывом

Риманова космология, по-видимому, допускает существование сингулярности, описывающей Большой взрыв. Но в отличие от лоренцевой физики (где сингулярность, судя по всему, неизбежна), это происходит только в тех случаях, когда распределение материи во Вселенной подчиняется определенной симметрии.

Если мы представим идеально однородную и изотропную пространственную Вселенную в виде трехмерной сферы, евклидова пространства или гиперболического пространства с зависящим от времени масштабом длины a(t) (как показано Мизнером, Торном и Уилером[3] для лоренцева случая), уравнение Эйнштейна преобразуется в дифференциальное уравнение относительно a(t):

Динамика однородной и изотропной Вселенной
k = 1 для трехмерной сферы
k = 0 для евклидового пространства
k = –1 для гиперболического пространства

\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} - \cfrac{3k}{a^2(t)} + \Lambda = 8 \pi \rho(a(t)) (по Риману)
\cfrac{3 a'^2(t)}{a^2(t)} + \cfrac{3k}{a^2(t)} - \Lambda = 8 \pi \rho(a(t)) (по Лоренцу)

Здесь ρ(a(t)) – плотность массы-энергии как функция масштаба длины a(t).

Обратите внимание, что риманова версия уравнения отличается от лоренцевой тем, что Λ и k входят в него с обратным знаком. Забудем на время о влиянии Λ и предположим, что космологическая постоянная равна нулю. Одно из наиболее известных следствий лоренцевой физики состоит в том, что если пространственная часть Вселенной представляет собой трехмерную сферу, то она будет расширяться до некоторого предела, после чего снова начнет сжиматься, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная будет расширяться вечно. Поскольку в римановой версии уравнения k имеет противоположный знак, то при прочих равных верным будет противоположное утверждение: Вселенная, пространственная часть которой имеет форму трехмерной сферы, будут расширяться вечно, в то время как плоская или гиперболическая Вселенная начнет сжиматься после того, как ее расширение дойдет до некоторого максимального размера.

Есть ли какие-либо отличия в форме, которую плотность энергии приняла бы в римановой Вселенной? В лоренцевом случае одним из стандартных грубых приближений является представление плотности ρ в виде двух слагаемых, характеризующих распределение “материи” и “излучения”. Считается, что давление материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, а ее плотность меняется в соответствии с масштабом длин согласно уравнению:

\rho_m a^3 = \mathrm{const}

Другими словами, материя, заключенная в любой заданной области пространства (границы которой описываются угловыми координатами на 3-сфере, либо – в иных сценариях – их аналогами), имеет постоянную массу и по мере сжатия или расширения этой области просто приобретает большую или меньшую плотность. Давление изотропного излучения всегда втрое меньше соответствующей плотности энергии, откуда следует, что при расширении области пространства с объемом V излучение совершает работу и теряет энергию:

\cfrac{d (\rho_r V)}{d \tau} = - p_r \cfrac{d V}{d \tau} = - \cfrac{1}{3} \rho_r \cfrac{d V}{d \tau}

Если V = a3, то это соотношение удовлетворяется при:

\rho_r a^4 = \mathrm{const}

Таким образом, при малых a плотность энергии излучения будет преобладать. А по мере того, как a приближается к нулю, обе составляющие плотности энергии, очевидно, будут стремиться к бесконечности.

Поскольку в римановой физике нет изотропных векторов, в ней нет и столь принципиального различия между веществом и излучением. Тем не менее, полезно отличать состояния с низкой и высокой энтропией, которые мы описывали в предыдущем параграфе. Давление низкоэнтропийной материи пренебрежимо мало по сравнению с ее массой покоя, поэтому с точки зрения вклада в плотность энергии она играет ту же самую роль, что и ρm для лоренцева случая. Давление высокоэнтропийной материи сравнимо с ее массой покоя – этим она напоминает лоренцево излучение, но есть два важных отличия. Во-первых, отсутствует множитель 1/3; в состоянии истинной SO(4)-инвариантности, которую мы видели на примере разреженного газа с бесконечной температурой, давление во всех трех пространственных направлениях совпадает с плотностью энергии. Во-вторых, работа, совершаемая, за счет расширения под давлением, в римановом случае имеет противоположный знак (например, риманова система, расширяющаяся при наличии давления со стороны поршня, придает поршню кинетическую энергию, откуда следует, что полная энергия самой системы увеличивается). Таким образом:

\cfrac{d (\rho_h V)}{d \tau} = p_h \cfrac{d V}{d \tau} = \rho_h \cfrac{d V}{d \tau}

что достигается при

\rho_h = \mathrm{const}

Таким образом, плотность энергии, соответствующей высокоэнтропийной материи, остается постоянной! Если задуматься, этот результат не так уж удивителен: у материи такого рода нет предпочтительных направлений в 4-пространстве, выбор конкретного направления в качестве оси времени t на нее никоим образом не влияет.

Если теперь представить риманову Вселенную, равномерно заполненную низкоэнтропийной материей, все мировые линии которой ортогональны 3-сфере или другой гиперповерхности, которую мы (в силу ее однородности) решили выбрать в качестве “пространства в конкретный момент времени”, то проследовав по этим мировым линиям в прошлое, то есть в сторону их сближения, мы обнаружим, что плотность данной материи будет стремиться к бесконечности точно так же, как плотность спиц на идеализированном велосипедном колесе стремится к бесконечности по мере приближения к точке их пересечения. Но если в лоренцевом случае сингулярность, как было показано, является неизбежным следствием ряда вполне обоснованных допущений[4], то в римановом случае условие схождения мировых линий к единственному событию – в силу отсутствия световых конусов, которые могли бы ограничить их направление – является не жестким требованием, а всего лишь одним из возможных вариантов – и ко всему прочему довольно-таки надуманным. Очевидно, что можно легко привести примеры однородных римановых Вселенных, в которых нет ни одной сингулярности.

Модели без сингулярностей

Рассмотрим однородную Вселенную, заполненную материей, которая в космологических масштабах находится в SO(4)-инвариантном состоянии, характеризующемся высокой энтропией. Это не исключает существования локализованных градиентов энтропии и стрел времени, однако в масштабе 4-пространства всей Вселенной пучки параллельных мировых линий будут ориентированы случайным образом.

К этой модели можно применить метод, изложенный в предыдущем параграфе. Мы должны иметь возможность разрезать 4-пространство на однородные гиперповерхности, которые являются либо трехмерными сферами, либо гиперповерхностями с евклидовой или гиперболической геометрией. Плотность энергии будет равна некоторой константе ρ. В этом случае зависимость масштабного коэффициента a(t) от временной координаты t, измеренной вдоль оси, перпендикулярной выбранным нами гиперповерхностям, должна удовлетворять уравнению:

(6)   \begin{equation*} a'^2(t) - k = \pm K^2 a^2(t) \end{equation*}

где положительная вещественная константа K определяется таким образом, что:

\pm K^2 = \cfrac{8 \pi \rho - \Lambda}{3}

Эта величина описывает суммарное влияние материи и космологической постоянной, в то время как параметр k определяет вид однородных гиперповерхностей, с которыми мы имеем дело:

  • k = 1 для трехмерной сферы
  • k = 0 для евклидова пространства
  • k = –1 для гиперболического пространства

Каковы возможные решения уравнения (6)?

  1. 8 π ρ – Λ > 0Четырехмерное гиперболическое пространство.
    Скалярная кривизна Риччи: Rcc = –12 K2.
    Если k = 1, то a(t) = sinh(K t) / K; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых увеличивается от 0: сначала линейно по t, затем – по экспоненциальному закону.
    Если k = 0, то a(t) = exp(K t); срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей, масштаб которых зависит от t по экспоненциальному закону.
    Если k = –1, то a(t) = (1/2)[exp(K t) + exp(–K t)/K2]; срезы пространства имеют вид гиперболических гиперповерхностей, масштаб которых растет по экспоненциальному закону относительно t и –t.
  2. 8 π ρ – Λ = 0Плоское четырехмерное евклидово пространство.
    Скалярная кривизна Риччи: Rcc = 0.
    Если k = 1, то a(t) = t; срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых с увеличением t линейно возрастает, начиная с 0 (иначе говоря, t представляет собой радиальную координату полярной системы).
    Если k = 0, то a(t) = 1; срезы пространства имеют вид плоских гиперповерхностей фиксированного масштаба (другими словами, t в этом случае является декартовой координатой).
    При k = –1 решений нет.
  3. 8 π ρ – Λ < 0Четырехмерная сфера S4.
    Скалярная кривизна Риччи: Rcc = 12 K2.
    Если k = 1, то a(t) = sin(K t) / K, и срезы пространства имеют вид 3-сфер, радиус которых возрастает от 0, достигает максимума, после чего уменьшается.
    При k = 0 или –1 решений нет.

Таким образом, геометрия четырехмерного пространства может относиться к одному из трех типов: гиперболическому, плоскому или сферическому. Существует множество способов нарезки этих 4-пространств на однородные трехмерные гиперповерхности, однако на само 4-пространство выбор конкретного способа никак не влияет. И если Вселенная в начальный или конечный момент характеризуется нулевым масштабным коэффициентом, это еще не говорит о наличии в ней сингулярности! Плостность энергии ρ остается постоянной, а те области, в которых масштабный коэффициент обращается в нуль, являются всего лишь следствием выбранного способа нарезки 4-пространства на гиперповерхности.

У нас, как уже обсуждалось ранее, есть основания сделать выбор в пользу конечного 4-пространства, и сказанное в данной статье этого не исключает. В случае положительной кривизны 4-пространство в целом обязательно должно быть конечным, что следует из теоремы Майерса. Однако положительная кривизна несовместима с рядом топологий; на торе, к примеру, нельзя ввести метрику, которая бы обладала положительной скалярной кривизной.[5]

В случае нулевой и отрицательной кривизны 4-пространство может быть как конечным, так и бесконечным; например, всюду плоскую метрику можно ввести и на R4 (бесконечное 4-пространство), и на T4 (четырехмерный тор). Тем не менее, некоторые ограничения на возможные топологии существуют и в этом случае. Из теоремы Адамара-Картана следует, что однородное и изотропное пространство отрицательной кривизны не может обладать топологией четырехмерной сферы.

Гравитационные волны

Стандартное описание гравитационных волн[6] в виде малых возмущений плоской метрики применимо в римановой версии ОТО точно так же, как и в лоренцевой. Получаемые в итоге уравнения (в предположении Λ=0) имеют вид:

Уравнения гравитационной волны, Λ=0

Rendered by QuickLaTeX.com (по Риману)
Rendered by QuickLaTeX.com (по Лоренцу)
\partial_x w^{ax} + \partial_y w^{ay} + \partial_z w^{az} + \partial_t w^{at} = 0 (поперечное условие)

Первым идет утверждение о том, что компоненты метрики gab в выбранной нами системе координат совпадают с компонентами символа Кронекера (δab = 1, когда a=b, и 0, когда ab, что дает компоненты плоской метрики в евклидовом пространстве с декартовой системой координат) с добавлением некоторого малого возмущения hab, которое, как и сама метрика, будет представлять собой симметричный тензор.

В лоренцевой версии мы используем метрику Минковского ηab, для которой ηtt=–1, а все остальные компоненты совпадают с соответствующими компонентами δab.

Далее мы вводим новый симметричный тензор wab, который равен hab за вычетом половины следа h, домноженного на соответствующую метрику плоского пространства: δ в римановом случае, η – в лоренцевом. [В таких случаях обычно используется обозначение в виде горизонтальной черты над исходным возмущением h, но на веб-странице этого добиться сложно] Поднимая один из индексов тензора hab, чтобы вычислить его след, мы используем δ или η вместо полной метрики, поскольку нас интересует лишь вклад членов первого порядка h. По этой же причине мы используем метрику плоского пространства при манипуляциях с индексами wab.

Смысл этих определений сводится к тому, что в каждом случае уравнение Эйнштейна с точностью до первого порядка возмущения и его производных принимает вид простого волнового уравнения относительно возмущения w, как показано выше, при условии, что w, помимо прочего, удовлетворяет поперечному условию – по аналогии с векторными римановыми волнами.

В римановом случае это “волновое уравнение” имеет вид уравнения Лапласа, поэтому при T=0 любое, отличное от константы, решение будет неограниченным. Сумма вторых производных w должна быть равна нулю, так что если решение в одном направлении ведет себя как периодическая функция (и ее вторая производная совпадает с самой функцией, домноженной на некоторое отрицательное число), то в другом она будет расти по экспоненте (а ее вторая производная будет равна исходной функции, домноженной на положительное число). При наложении граничных условий – например, требования, что риманова Вселенная должна иметь вид T4, – мы выясним, что удовлетворить им посредством экспоненциальных решений нельзя, и допустимыми будут лишь решения вида w = const.

Таким образом, в отсутствие космологической постоянной и в предположении, что для римановой Вселенной справедливы граничные условия, необходимые для устранения экспоненциальных решений в случае электромагнитных волн, существование гравитационных волн становится невозможным. Более того, если речь идет об осциллирующем источнике, то с увеличением расстояния от него соответствующие решения будут затухать экспоненциально; происходит это по сути в силу тех же самых причин, по которым поле вокруг проводника с переменным током экспоненциально падает с расстоянием, когда частота тока превышает максимальную  частоту νmax при выполнении граничных условий T4 – только в данном случае максимальная частота равна нулю!

Что произойдет, если космологическая постоянная отлична от нуля? Может показаться, что при таком изменении уравнение гравитационной волны из тензорного варианта уравнения Лапласа превратится в нечто, больше напоминающее уравнение Гельмгольца – то есть приобретет дополнительное слагаемое в виде волны, домноженной на некоторую константу, по аналогии с членом ωm2 в уравнении векторной римановой волны, что при подходящем знаке Λ позволило бы получить периодические решения с частотой, ограниченной сверху некоторым максимальным значением.

Но оказывается, что это не так. Детальный анализ довольно сложен, но если для заданного Λ рассмотреть возмущение метрики относительно решения в вакууме, то слагаемые, имеющие отношение к кривизне пространства (и, следовательно, зависящие от Λ) войдут в уравнение возмущения несколько раз – не считая очевидного присутствия Λ в самом уравнении Эйнштейна. В конечном счете все эти слагаемые компенсируют друг друга, и членов, которые бы отличались от искомой волны только постоянным множителем, в итоговом уравнении не возникает.

Таким образом, граничные условия, необходимые для усмирения электромагнитных волн, судя по всему, полностью исключают существование волн гравитационных.

Литература

[1] Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. – Cambridge University Press, Cambridge, 2003 (параграф 15.4).

[2] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация: в 3 т. – М.: Мир, 1977 (параграфы 25.2, 25.3).

[3] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., глава 27.

[4] С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. – М.: Мир, 1977, глава 10.

[5] R. Schoen, S. T. Yau. On the structure of manifolds with positive scalar curvature. Manuscripta Mathematica, 1979, т. 28, изд. 1-3, стр. 159 – 183.

[6] Мизнер, Торн, Уилер, указ. соч., главы 18 и 35.