Риманов электромагнетизм

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/04/EM.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит «концептуальные спойлеры»: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету «Ортогональной Вселенной», освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Три поляризации

В нашей Вселенной свет, движущийся в вакууме, представляет собой идеальную поперечную волну: электрическая и магнитная составляющие всегда осциллируют в направлениях, перпендикулярных направлению распространения самой волны.

В римановой Вселенной, как мы уже отмечали, говоря о векторных волнах, аналогичная разновидность волны в определенном смысле является поперечной и по отношению к направлению распространения: четырехмерный вектор A, описывающий колеблющееся поле, будет перпендикулярен четырехмерному волновому вектору k. Если волна имеет вид:

\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}),

то должно соблюдаться условие k · A0 = 0. В контексте этого условия вектор A0 может располагаться вдоль одного из трех независимых направлений. Предположим, к примеру, что волновой вектор k находится в плоскости xt, как на диаграмме ниже. Тогда если A0 будет направлен вдоль оси y, вдоль оси z или будет лежать в самой плоскости xt, образуя прямой угол с k, то три перечисленных направления будут ортогональны как друг другу, так и вектору k. (Второй вариант на диаграмме не показан, так как мы опустили ось z, чтобы показать ось t.)

ortnt_04_01

Если же все эти векторы спроецировать в трехмерное пространство, то первые два будут по-прежнему ортогональны направлению движения волны, в то время как третий окажется ему параллелен (или антипараллелен). В этом смысле риманов аналог света может включать в себя продольную моду, при которой направление колебаний поля совпадает с направлением движения волны. (На диаграмме представлены проекции на плоскость xy. Поскольку используемые нами векторы в любом случае лишены компоненты z, результат совпадает с проекцией в трехмерное пространство.)

Важно отметить, что три упомянутых состояния поляризации — два из которых выглядят, как поперечные моды, а третье, как продольная — становятся полностью идентичными друг другу, если рассмотреть свет сам по себе, в виде плоской волны в 4-пространстве. В каждом случае векторы k и A0 ортогональны друг другу. Продольная поляризация приобретает смысл только после того, как мы выберем конкретное направление в качестве временной оси и станем различать по отношению к ней направления в 4-пространстве. В свете сказанного такое поведение принципиально отличается от ситуации с двумя поляризациями, которую мы наблюдаем в нашей Вселенной. Если риманов аналог поляризационного фильтра подавляет одну из поперечных компонент света, то на выходе пары «перекрещенных фильтров» — полностью блокирующей свет в нашей Вселенной  — от света со случайной поляризацией останется продольная компонента.

Эффект Доплера

Эффект Доплера — это хорошо известное явление, при котором частота и длина световой волны, измеряемые некоторым наблюдателем, меняются в зависимости от его движения.

На следующей диаграмме показана одна и та же последовательность волновых фронтов, движущихся мимо трех различных наблюдателей в лоренцевой Вселенной; свет движется с правой стороны. Под «эталонным наблюдателем» подразумевается наблюдатель, находящийся в состоянии покоя по отношению к источнику света, в то время как два других соответственно приближаются к источнику и удаляются от него.

ortnt_04_02

Измерив интервал между соседними фронтами, эталонный наблюдатель получит в качестве периода волны величину OR. В случае наблюдателя, приближающегося к источнику света, столкновению с фронтами будут соответствовать события O и F, однако евклидова длина отрезка OF, которую мы видим на диаграмме, не совпадает с интервалом времени, зафиксированным этим наблюдателем, так как последний вычисляется согласно лоренцевой версии теоремы Пифагора. Для простоты сравнения мы воспользовались гиперболой — которая в лоренцевой Вселенной является кривой постоянного собственного времени по аналогии с дугой окружности, представляющей собой кривую постоянного расстояния в евклидовом пространстве — чтобы отразить соответствующий интервал на мировой линии эталонного наблюдателя. Теперь мы однозначно видим, что OF’ короче OR, то есть наблюдатель, движущийся вперед, получит меньшее значение периода и, соответственно, большее значение частоты. Это явление называется синим смещением, поскольку синий цвет располагается в высокочастотной области видимого спектра.

Аналогичным образом, для наблюдателя, движущегося назад, столкновение с волновыми фронтами придется на события  O и B; в целях сравнения мы отобразили этот интервал в OB’, который, очевидно, длиннее OR. Таким образом, наблюдатель, движущийся в противоположном направлении, в соответствии с собственными измерениями получит больший период и меньшую частоту. Это так называемое красное смещение.

Предположим, что событие F имеет координаты (xF, tF). Если наблюдатель движется со скоростью v, то xF = v tF. Период световой волны с точки зрения эталонного наблюдателя, то есть OR, обозначим τR. Поскольку в нашей системе единиц волновой фронт преодолевает интервал от F до R со скоростью 1, то:

\tau_R = t_F + x_F = t_F(1 + v)
t_F = \cfrac{\tau_R}{1 + v}

Тогда период световой волны, согласно измерениям приближающегося наблюдателя, можно вычислить, используя лоренцеву версию теоремы Пифагора:

\tau_F = \sqrt{t_F^2 - x_F^2} = t_F \sqrt{1 - v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 - v^2}}{1 + v} = \tau_R \sqrt{\cfrac{1 - v}{1 + v}}

Отношение частот в случае лоренцева синего смещения обратно отношению соответствующих периодов:

\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \sqrt{\cfrac{1 + v}{1 - v}}

Коэффициент лоренцева синего смещения не зависит от конкретной частоты света. Предположим, что скорость источника v = 0.6, то есть составляет 60% скорости света. В этом случае коэффициент синего смещения равен двум, и наблюдаемая частота света, который движется в вашу сторону под прямым углом, увеличится вдвое по сравнению с неподвижным наблюдателем. И наоборот, если свет удаляется от вас, то его частота покажется вам вдвое меньшей.

В римановой Вселенной все обстоит немного сложнее, поэтому вначале мы рассмотрим идентичный сценарий, при котором один наблюдатель приближается к источнику света, а другой, наоборот, от него удаляется — причем оба движутся медленнее самого света.

В данном случае, как легко видеть на диаграмме, OF’, период световой волны с точки зрения приближающегося наблюдателя, будет больше OR, в то время как OB’, то есть период с точки зрения удаляющегося наблюдателя, — меньше OR.

ortnt_04_03

Означает ли это, что наблюдатель, приближающийся к источнику света, увидит «красное смещение»? Здесь нам придется сделать паузу и задаться вопросом, каким именно языком мы собираемся пользоваться для описания видимого спектра в римановой Вселенной. Речь не идет о философских сомнениях в том, что инопланетяне из альтернативной Вселенной способны испытывать то же невыразимое ощущение «красноты» или «синевы», что и мы сами; их цветовое восприятие мы могли бы перевести на свой язык так, как нам заблагорассудится — при условии, что будем последовательны в своем выборе. Но каким бы образом ни воспринимали свет обитатели римановой Вселенной, мы в любом случае не сможем придумать идеальное соответствие, полностью учитывающее объективные, физические свойства света. В нашей Вселенной красный свет обладает большей длиной волны и большим периодом, чем синий. Но в римановой Вселенной нет такого света, который бы одновременно имел и большую длину волны, и больший период по сравнению с каким-либо другим светом. Соотношение между этими величинами носит обратный характер: большей длине волны всегда соответствует меньший период.

Иначе говоря, нам придется сделать выбор. Конкретное решение может быть совершенно произвольным, однако в трилогии «Ортогональная Вселенная» подразумевается, что «синий/фиолетовый» свет соответствует наиболее коротким длинам волн видимого света, поэтому термин «синее смещение» в данном случае означает смещение в сторону «более коротких длин волн».

Определившись с терминологией, сделаем шаг вперед и рассчитаем наиболее простую величину, роль которой опять-таки играет не отношение длин волн, а отношение периодов или частот. Если скорость света в системе отсчета эталонного наблюдателя равна c, то волновые фронты будут двигаться со скоростью 1/c в направлении, противоположном волновому вектору, поскольку наклон линии, перпендикулярной прямой с наклоном c, равен –1/c. Воспроизведя наши предыдущие расчеты в римановой версии, получим:

\tau_R = t_F - \cfrac{x_F}{1/c} = t_F(1 - vc)
t_F = \cfrac{\tau_R}{1 - vc}
\tau_F = \sqrt{t_F^2 + x_F^2} = t_F \sqrt{1 + v^2} = \cfrac{\tau_R \sqrt{1 + v^2}}{1 - vc}

Таким образом, мы имеем дело с римановой версией “синего смещения”, связанной с уменьшением наблюдаемой частоты с точки зрения наблюдателя, приближающегося к источнику света:

\cfrac{\nu_F}{\nu_R} = \cfrac{\tau_R}{\tau_F} = \cfrac{1 - vc}{\sqrt{1 + v^2}}

Когда скорость наблюдателя v достигает величины 1/c, наблюдаемая частота света падает до нуля. На диаграмме примером такого поведения служит наблюдатель с мировой линией OG. С точки зрения такого наблюдателя свет движется с бесконечной скоростью и обладает минимально возможной длиной волны.

Что произойдет, если наблюдатель будет приближаться к источнику света со скоростью большей 1/c (как, например, в случае наблюдателя с мировой линией OH)? С точки зрения этого наблюдателя, волновой вектор, исходящий от источника, будет направлен назад во времени, поэтому при любом взаимодействии с таким светом наблюдатель будет воспринимать в качестве источника самого себя, считая, что волновой вектор направлен в противоположную сторону.

ortnt_04_04

Чтобы получить соотношение частот для наблюдателя, движущегося в обратном направлении, то есть удаляющегося от источника света, можно просто подставить в ту же самую формулу отрицательное значение v. Исходя из диаграммы, мы видим, что при v = –c происходит кое-что интересное: наблюдатель, мировая линия которого обозначена прямой OC, движется со скоростью света, а значит, его относительная скорость равна нулю. С точки зрения такого наблюдателя частота достигает максимального значения, совпадающего с νmax, то есть физическим максимумом частоты, поскольку наблюдатель движется под прямым углом к волновым фронтам.

Что произойдет, если наблюдатель обгонит свет и будет двигаться назад со сверхсветовой скоростью? Согласно нашей формуле, отношение частот будет положительным и в данном случае меньше максимального, поэтому свет по-прежнему должен быть виден. Но каким же образом можно принимать световой сигнал от источника, если вы удаляетесь от него быстрее самого света? Мы предполагаем, что свет генерируется на протяжении продолжительного отрезка времени (что справедливо, например, в отношении света звезд), поэтому речь не идет о гонке между наблюдателем и отдельным световым импульсом. Если наблюдатель движется быстрее, чем интересующий нас свет — как, например, наблюдатель с мировой линией OD, — то постепенно он будет догонять «старый» свет, который имел достаточно большую фору и просто поджидает его впереди. Причем наблюдателю будет казаться, что этот свет движется не в сторону источника, а в том же направлении, что и сам наблюдатель.

Исходя из геометрии описанной ситуации, можно сделать вывод, что помимо эффекта Доплера, влияющего на частоту света, имеет место и так называемый эффект аберрации, который заключается в том, что величины углов между световыми лучами будут различными в случае движущегося и эталонного наблюдателя. В римановом случае понять поведение света в случае эффекта Доплера и аберрации нам поможет обычная евклидова геометрия.

Предположим, что эталонный наблюдатель воспринимает свет определенного оттенка от множества источников, равномерно распределенных в небе.В 4-пространстве входящие лучи свет образуют конус, ось которого совпадает с мировой линией наблюдателя. Если мы спроецируем все волновые векторы в собственное пространство наблюдателя, они расположатся в виде круга, поделенного на равные сектора (на диаграмме ниже они показаны серым).

Наблюдатель, который находится в том же месте, но движется вправо с некоторой скоростью v, увидит, что направление света соответствует проекции тех же самых лучей, составляющих конус, в его собственное пространство — наклоненное по отношение к собственному пространству эталонного наблюдателя. Это приведет к двум эффектам: во-первых, изменится длина проекций волновых векторов; во-вторых, изменятся углы между проекциями. Длина проекции волнового вектора в собственное пространство наблюдателя пропорциональна пространственной частоте света (мы обсуждали это, когда впервые затронули тему волн), а значит, более длинная проекция соответствует более короткой длине волны.

Результат при различных скоростях наблюдателя показан на диаграмме ниже в предположении, что скорость падающего света в системе отсчета эталонного наблюдателя составляет 0.75. Изображенные цвета соответствуют правилам перевода видимых оттенков, принятым в романе; ультрафиолетовый и инфракрасный свет обозначены пунктирными линиями.

027

В первом случае, когда v = 0.25, свет, движущийся навстречу наблюдателю, претерпевает синее смещение, а его источники в небе выглядят так, будто сближаются друг с другом. Свет, движущийся в противоположном направлении, подвергается красному смещению и рассредоточивается по небу. В такой формулировке — когда красное и синее смещения относятся не к частоте света, а к длине его волны — данный вывод в точности совпадает со своей лоренцевой версией.

Когда v становится равной c, наблюдателю начинает казаться, что источник света находится впереди него. При v=1/c=4/3 (не показано), лучи, приходящие из точек впереди наблюдателя, будут двигаться назад во времени и, следовательно, станут невидимыми; по той же причине при v=2, исчезнет значительная часть конуса.

В случае v=2 мы имеем дело с необычным явлением, которое совершенно невозможно в лоренцевой физике: два луча разных цветов, которые выглядят так, будто движутся в одном направлении, хотя в действительности создаются различными источниками. Там, где лучи красного, желтого и зеленого цвета перемешиваются с ультрафиолетом, источник более красного света в действительности находится позади (с точки зрения эталонного наблюдателя), однако движущемуся наблюдателю из-за наклона системы отсчета кажется, что источник света, наоборот, расположен перед ним, а созданные им лучи накладываются на свет, который действительно движется ему навстречу.

В случае v=∞ источник света, который с точки эталонного наблюдателя движется навстречу, теперь располагается в будущем движущегося наблюдателя, поэтому созданный им свет становится невидимым. Наблюдатель сможет увидеть только свет, который достигает его сзади; при этом весь свет будет сосредоточен в секторе неба, угловая величина которого совпадает с углом при вершине конуса падающих лучей.

Следует иметь в виду, что все сказанное относится к свету, который с точки зрения эталонного наблюдателя содержит один конкретный цвет. Даже с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно среднего движения звезд, сами звезды в римановой Вселенной он будет воспринимать в виде разноцветных шлейфов, так как в промежутке между временем излучения красного света, который в данный момент достигает наблюдателя, и более поздним моментом излучения синего света, который, обладая большей скоростью, добирается до наблюдателя одновременной с красным, звезда успевает переместиться на небольшое расстояние. Влияние эффекта Доплера и аберраций на вид звездных шлейфов обсуждается в первой части трилогии. Иллюстрации этого явления можно увидеть в анонсе книги, а также в  учебных видеоматериалах, посвященных данной теме.

Риманово электромагнитное поле

До этого момента мы говорили об «осциллирующем поле» A, не уточняя, что именно оно из себя представляет. Оказывается, что всю теорию риманова электромагнетизма можно построить по аналогии с лоренцевым электромагнетизмом, действующим в нашей собственной Вселенной. Это, в частности, относится к векторным полям, которые можно вполне обоснованно назвать электрическим и магнитным, а также определенному свойству материи, которое играет роль, аналогичную электрическому заряду, и позволяет ей вступать во взаимодействие с электромагнитными силами, а также становиться источником электромагнитных волн.

В данном контексте поле, которое мы обозначали как A, является так называемым 4-векторным потенциалом. По аналогии с электростатическим потенциалом, представляющим собой величину, скорость роста которой относительно пространства описывает электрическое поле, 4-векторный потенциал — это вектор, производные которого полностью описывают электромагнитное поле. Если говорить конкретнее, компоненты электромагнитного поля F имеют вид:

F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i,

где i и j пробегают x, y, z и t. Иначе говоря, F — это матрица размера 4×4, выражающаяся через 4-векторный потенциал A.

Какой смысл несет эта матрица? Представим себе частицу с зарядом q; пусть u — единичный вектор, направленный по касательной к ее мировой линии, то есть 4-скорость частицы. Если мы умножим u на величину заряда q и матрицу F, то получим силу f, действующую на заряженную частицу:

\mathbf{f} = q F \mathbf{u}

В ньютоновской механике сила, конечно же, является трехмерным вектором, однако в релятивистской физике — как лоренцевой, так и римановой — более адекватным будет представление силы в виде 4-вектора. По аналогии со знаменитой формулой Ньютона

\mathbf{f} = m \mathbf{a}

(сила равна массе, умноженной на ускорение) 4-вектор силы f связан с 4-вектором ускорения a,… который, в свою очередь, выражается через 4-скорость:

\mathbf{a} = \partial_{\tau} \mathbf{u}

4-ускорение представляет собой скорость изменения 4-скорости по отношению к собственному времени τ, то есть времени, измеряемому вдоль мировой линии частицы. Если мы теперь сложим все эти кусочки воедино, то получим, что воздействие электромагнитного поля F на движение частицы с зарядом q и массой m описывается следующим образом:

\partial_{\tau} \mathbf{u} = \cfrac{q}{m} F \mathbf{u}

Длина 4-скорости u всегда равна 1. Любое изменение вектора u, параллельное самому u, изменит его длину, поэтому вектор, описывающий скорость его изменения, должен быть ортогонален u. Это означает, что F должна принадлежать особому классу матриц, таких, что при умножении любого вектора на F получается вектор, ортогональный исходному. Нетрудно показать, что этому условию удовлетворяет любая антисимметричная матрица — то есть матрица, равная транспонированной с обратным знаком: Fij = –Fji. Тогда, воспользовавшись соглашением Эйнштейна о суммировании, имеем:

\mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u}) = u^i F_{ij} u^j = u^i (-F_{ij}) u^j = -  \mathbf{u} \cdot (F \mathbf{u}),

откуда следует, что скалярное произведение должно быть равно нулю. Определение матрицы F в терминах A гарантирует ее антисимметричность.

Как будет выглядеть мировая линия частицы, движущейся в постоянном электромагнитном поле? В простейшем случае матрица F принимает следующий несложный вид:

F_{ij} = b_i c_j - b_j c_i,

где b и c — произвольные векторы, не параллельные друг другу. (Если b отличается от c только скалярным множителем, то правая часть обращается в нуль.) Для краткости мы будем использовать обозначение:

F = \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}

Символ “∧” называется “внешним произведением”. В данном случае матричное произведение F на вектор u можно выразить через b и c:

F \mathbf{u} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{c}

Очевидно, что результатом такой операции всегда будет вектор, лежащий в плоскости, проходящей через векторы b и c. Кроме того, он будет зависеть только от проекции u на ту же самую плоскость; если же u ортогонален этой плоскости (иначе говоря, если b · u = c · u = 0), то F u будет равно нулю.

Полученный результат в общем случае будет соответствовать следующей диаграмме. Если u не лежит в плоскости, проходящей через векторы b и c и при этом не образует с ней прямой угол, частица будет продолжать движение перпендикулярно плоскости, сохраняя вдоль этого направления постоянную скорость, в то время как ее проекция на плоскость будет двигаться по кругу. В целом мировая линия частицы будет представлять собой винтовую линию.

ortnt_04_06

Если векторы, через которые проходит плоскость, с вашей точки зрения соответствуют направлениям в пространстве (другими словами, эта плоскость перпендикулярна вашей мировой линии), то круговая часть движения покажется вам движением в пространстве: частица будет либо двигаться по кругу в некоторой фиксированной плоскости, либо будет перемещаться в пространстве вдоль винтовой линии. Именно такое поведение в нашей Вселенной ассоциируется с магнитным полем. К примеру, в циклотроне — немного устаревшей разновидности ускорителя частиц — постоянное магнитное поле используется для того, чтобы заставить частицы подобным образом двигаться по кругу. В соответствии с соглашениями, применяемыми для описания магнитного поля, в качестве его направление выбирается перпендикуляр к плоскости движения частицы.

Если же плоскость содержит направление, которое вы считаете осью времени, то ускорение частицы в другом, пространственном, направлении той же плоскости будет описываться кривизной ее мировой линии. Когда заряженная частица подобным образом движется с ускорением в нашей Вселенной, мы считаем ее движение результатом воздействия электрического поля. В лоренцевой физике мировая линия ускоряющейся частицы представляет собой дугу гиперболы, а не окружности, но во всех прочих отношениях эффект остается тем же самым. Мы приписываем электрическому полю вектор, лежащий в той же плоскости.

Таким образом, простое электромагнитное поле вида F = bc можно воспринимать как:

  • магнитное поле, перпендикулярное обоим векторам b и c, если и b, и c представляют собой направления в пространстве;
  • электрическое поле с пространственным направлением, лежащим в плоскости, проходящей через векторы b и c, если эта плоскость содержит вашу ось времени.

Если плоскость нельзя однозначно отнести ни к одной из этих категорий, F будет восприниматься как комбинация электрического и магнитного полей.

Воспользуемся этими описаниями, чтобы понять, что именно происходит с поперечными и продольными модами риманова света. В общем случае, если:

\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}),

то электромагнитное поле описывается матрицей F вида:

\mathrm{F} (\mathbf{x}) = (\mathbf{k} \wedge \mathbf{A}_0) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})

Предположим, что волновой вектор света зафиксирован в плоскости xt, а скорость света в направлении оси x равна 1, т.е. k = ex + et. (На самом деле, эту сумму нужно домножить на некий коэффициент, чтобы удовлетворить условию |k| = ωm, но в дальнейших рассуждениях значение ωm не играет роли.)

Для начала рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как поперечную моду с A0 = ey. Плоскость, проходящая через векторы k и A0 не является полностью пространственной и при этом не содержит нашу ось времени et, поэтому волна будет представлять собой смесь электрического и магнитного полей. Тем не менее, мы можем разделить F на две части, которые соответствуют электрическому и магнитному полям в нашей системе координат:

F(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge \mathbf{e}_y) \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = (\mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) + (\mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_y) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})

Первое слагаемое лежит в плоскости, проходящей через ex и ey, и представляет собой осциллирующее магнитное поле, направленное вдоль оси z. Второе слагаемое, лежащее в плоскости et и ey, — это электрическое поле, направленное вдоль оси y. Эта ситуация довольно сильно напоминает поведение света в нашей Вселенной: электрическое поле, магнитное поле и направление движения волны взаимно перпендикулярны друг другу.

Теперь рассмотрим волну, которую мы воспринимаем как продольную с A0 = exet.

\mathrm{F}(\mathbf{x}) = ((\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_t) \wedge (\mathbf{e}_x - \mathbf{e}_t)) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = 2 \mathbf{e}_t \wedge \mathbf{e}_x \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})

Для упрощения внешних произведений мы воспользовались тем, что внешнее произведение любого вектора на самого себя равно нулю, а bc = –cb. Результатом является осциллирующее, чисто электрическое поле, направленное вдоль оси x, параллельно движению самого света.

Гребенчатая сила Кулона

Уравнение римановой векторной волны описывает 4-векторный потенциал A электромагнитного поля в вакууме — то есть в отсутствие какой-либо заряженной материи, которая могла бы породить соответствующее поле сама по себе. Однако РВВ-уравнение можно легко расширить, добавив в него “источник” — слагаемое, описывающее распределение зарядов:

\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} + \mathbf{j} = \mathbf{0} (ВРВИ)

Четырехмерный вектор j, который мы только что добавили в уравнение, в данном случае несет очень простой смысл. Предположим, что в интересующей нас области пространства находится некая заряженная материя, причем плотность заряда с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно этой материи, равна ρ. Если 4-скорость заряженной материи равна u, то мы по определению считаем, что:

\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}

Напомним, что u — это единичный вектор, направленный по касательной к мировой линии тела. Однако в каждой точке мировой линии имеется два таких вектора, направленных в противоположные стороны? Как нам выбрать правильный? В одном из направлений —  с точки зрения наблюдателя, выбравшего u в качестве своей временной оси — материя будет иметь положительный заряд; в другом направлении тот же самый заряд будет казаться отрицательным. При переходе от одного варианта к другом ρ и u умножаются на -1, поэтому итоговый результат остается без изменений. Иными словами, выбор конкретного варианта не имеет значения.

Вектор j мы будем называть 4-током. Наблюдатель, который попытается измерить компоненты j, находясь в движении относительно заряженной материи, обнаружит как плотность заряда, jt, так и плотность тока, с компонентами jx, jy и jz, описывающими движение зарядов.

Одним из простейших и наиболее важных решений данного уравнения является так называемый кулоновский потенциал. Таким потенциалом обладает точечный заряд q, находящийся в покое относительно некой системы координат. Это, разумеется, идеализация, которая ко всему прочему отличается неприятной особенностью с точки зрения математики: плотность заряда вдоль мировой линии частицы равна бесконечности. Тем не менее, найти решение не так уж сложно. Подробности вывода этого решения можно найти в дополнительных материалах; здесь же мы просто воспользуемся готовым результатом. Если r — расстояние до частицы, то 4-векторный потенциал имеет вид:

\mathbf{A}(r) = \cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r) \mathbf{e}_t

Когда A, как и этот вектор, содержит только t-компоненту и при этом не меняется во времени, проще забыть о полном 4-векторном потенциале и ограничиться электрическим потенциалом φ, который равен At, взятому с обратным знаком.

Кулоновский потенциал

\varphi(r) = -\cfrac{q}{4 \pi r} \cos(\omega_m r) (Риманов)
\varphi(r) = \cfrac{q}{4 \pi r} (Лоренцев)

Электрический потенциал равен потенциальной энергии “пробной частицы” с единичным положительным зарядом — и, как и любая потенциальная энергия, меняющаяся от точки к точке, является источником силы. Проекция силы на любое из направлений равна скорости роста потенциала φ в этом же направлении, взятой с обратным знаком (частица будет ускоряться в направлении, противоположном росту потенциальной энергии, подобно камню, который скользит вниз по склону холма):

\mathbf{f} = -(\partial_x \varphi \mathbf{e}_x + \partial_y \varphi \mathbf{e}_y + \partial_z \varphi \mathbf{e}_z),

что можно записать короче, воспользовавшись символом градиента “∇”:

\mathbf{f} = -\nabla \varphi

Чтобы проверить приведенное выше простое соотношение между φ и At достаточно убедиться в том, что оба потенциала порождают одну и ту же силу, действующую на пробную частицу.

Как выглядит φ? На верхней диаграмме показан электрический потенциал вокруг положительного заряда — в римановой и лоренцевой версии электромагнетизма. Нижняя диаграмма отображает аналогичный потенциал отрицательного заряда.

ortnt_04_07

ortnt_04_08

Между римановым и лоренцевым потенциалами есть два существенных отличия. В нашей Вселенной, как известно, разноименные заряды притягиваются, в то время как одноименные — отталкиваются. Однако в римановой Вселенной положительный заряд окружен не барьером, а потенциальной ямой, поэтому два одноименных заряда, находящихся достаточно близко друг к другу, будут притягиваться. Разноименные заряды на достаточно близком расстоянии будут, наоборот, отталкиваться.

Второе отличие заключается в том, что заряды могут притягиваться или отталкиваться в зависимости от расстояния между ними. Если в лоренцевой Вселенной электростатическая сила просто уменьшается с расстоянием, то в римановой Вселенной ее направление, помимо прочего, в зависимости от расстояния осциллирует между плюсом и минусом. Исходя из формы нашего решения φ, мы видим, что пространственная частота этих осцилляций совпадает с максимальной частотой света νmax (так как ωm = 2 π νmax). Или, что то же самое, длина волны, соответствующая этим осцилляциям, равна минимальной длине световой волны: λmin = 1 / νmax.

В том, что наше решение A удовлетворяет уравнению ВРВИ, убедиться несложно; к тому же в осцилляциях потенциала нет ничего неожиданного, поскольку мы уже знаем, что плоской волне в ультрафиолетовом пределе также соответствует электромагнитное поле, которое, оставаясь неизменным во времени, осциллирует с пространственной частотой, равной νmax. Уравнение требует, чтобы сумма квадратов частот во всех направлениях была постоянной, поэтому любое статическое поле, не меняющееся во времени, должно осциллировать в пространстве.

Но почему мы уверены в том, что уравнение соответствует действительности? Если мы изменим знак j в нашем уравнении, то получим аналогичное решение, взятое с обратным знаком — при этом одноименные заряды на близком расстоянии будут отталкиваться друг от друга. Что мешает нам отказаться от исходного предположения и допустить, что законы электромагнетизма в римановой Вселенной устроены именно так?

Простейший ответ — вспомнить то, что мы обсуждали в заметках об энергии и импульсе, когда выяснили, что полная релятивистская энергия в римановой Вселенной по своему смыслу противоположна потенциальной и кинетической. В лоренцевой Вселенной электрическое и магнитное поля обладают энергией, пропорциональной квадрату их напряженности. При наличии положительного и отрицательного заряда энергия поля будет падать по мере уменьшения расстояния между зарядами, поскольку их поля будут все лучше компенсировать друг друга. Однако в римановой Вселенной минимизация потенциальной энергии означает максимизацию энергии поля. Если два одноименных заряда находятся достаточно близко друг к другу, дальнейшее сближение приведет ко все более точному наложению полей, имеющих практически одинаковую форму, тем самым, уменьшая их взаимную компенсацию и увеличивая общую энергию поля.

Непопулярная электроника

В нашей Вселенной крошечные электрические поля, окружающие заряженные частицы — например, электроны, — могут легко усиливать друг друга вплоть до того, что их воздействие начинает приобретать видимый эффект. Стоит с десяток раз потереть пластмассовой ручкой о подходящую ткань, и она приобретет избыточный заряд, который, в свою очередь, создаст электрическое поле, достаточно сильное, чтобы поднять клочок бумаги, преодолев действующую на него силу тяготения. (Суммарный заряд самой бумаги равен нулю, однако под действием электрического поля ручки на поверхности бумаги происходит разделение зарядов.) Точное распределение зарядов по поверхности ручки особой роли не играет; пока имеется избыток заряд, все его составляющие будут усиливать друг друга, увеличивая тем самым электрическое поле вокруг ручки — причем это поле будет устойчивым как во времени, так и в пространстве, а его направление в достаточно протяженной области пространства будет оставаться более или менее постоянным и не изменится до тех пор, пока заряд медленно не утечет наружу.

В римановой Вселенной, вследствие пространственных осцилляций кулоновского потенциала, наличие избыточного заряда приводит к совершенно иному эффекту. Если у нас имеется большое число одинаковых частиц, расположенных случайным образом, то на небольшом расстоянии их вклад в потенциал окружающего поля будет как положительным, так и отрицательным, поэтому заряды в значительной степени скомпенсируют друг друга. Компенсация, конечно, будет неидеальной, но так или иначе остаточное поле будет представлять собой последовательность плотно расположенных «гор» и «долин», в отличие от монотонного неосциллирующего поля, которое мы наблюдаем в лоренцевой Вселенной.

ortnt_04_09

Если заряды образуют упорядоченную структуру (как на следующей диаграмме), их взаимная компенсация может оказаться меньше, чем при случайном расположении, однако соответствующий ей потенциальный ландшафт по-прежнему будет осциллировать в пространстве. Ситуация, при которой пробная частица с положительным зарядом будет отталкиваться от подобного набора зарядов, изначально находясь справа от них в состоянии покоя, вполне возможна, однако воспроизвести этот эффект будет не так просто, как в случае его аналога в лоренцевой физике. Более того, любое тело, помещенное в такое поле, состоящее не из одной, а из нескольких частиц, будет испытывать на себе воздействие суммы отдельных сил, которые зависят от состояния поля во множестве различных точек пространства, что, в свою очередь, будет только усиливать взаимную компенсацию зарядов.

ortnt_04_10

Таким образом, электромагнитные явления в римановой Вселенной, будут проявлять чувствительность к детальным, микроскопическим особенностям распределения зарядов, и в общем случае их обнаружение и применение на практике будет сопряжено с большими трудностями, чем в нашей собственной Вселенной.

Аналогичными свойствами будет обладать и магнитное поле. В нашем мире взаимного усиления полей, созданных огромным числом микроскопических магнитных диполей, можно добиться просто за счет расположения их в одном и том же направлении; именно так устроены постоянные магниты. Однако в римановой Вселенной даже в случае параллельного расположения диполей каждый из них, в зависимости от расстояния, будет постоянно переключаться между двумя взаимно противоположными направлениями, поэтому в любой конкретной точке будет наблюдаться взаимная компенсация полей, созданных различными диполями на слегка различающихся расстояниях.

С другой стороны, несмотря на то, что описанные проблемы исключают простые и низкотехнологичные эксперименты, аналогичные тем, что дали нам первые подсказки насчет природы электромагнитного поля, их нельзя назвать непреодолимым препятствием. По мере того, как в дело вступают колебания во времени, сверхкороткие волны, при которых поля становятся такими капризными и проявляют склонность к взаимной компенсации, постепенно уступают место волнам большей длины. Изготовление электронных блоков, способных работать в схемах постоянного тока, потребует чрезвычайно высокой точности, в то время как аналогичные блоки, предназначенные для схем переменного тока с достаточно высокой частотой, будут обладать гораздо большей устойчивостью к дефектам.

Но какая частота является «достаточно большой»? Чтобы достичь длины волны, превышающей минимальную  в десять раз, необходима частота не меньше 0.995 ωm, поэтому в качестве платы за практически полезную устойчивость к пространственным дефектам обитателям риманового мира придется по сути иметь дело с самым высокочастотным электромагнитным излучением, какое только можно встретить в их Вселенной. Эта задача сама по себе потребует решения определенных технических проблем — но эти проблемы будут несколько иного рода, нежели трудности, с которыми сопряжено использование высокочастотного излучения в нашей собственной Вселенной и которые отчасти связаны не столько с частотой, сколько с длиной электромагнитных волн.


Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Риманова термодинамика

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/05/Thermodynamics.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит «концептуальные спойлеры»: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету «Ортогональной Вселенной», освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Горячее бесконечно горячего

Сколько различных состояний частицы могут соответствовать заданному уровню энергии E? Выбирая конкретное значение энергии частицы, мы фиксируем модуль p соответствующего вектора импульса p, однако направление этого вектора может произвольным образом меняться в трехмерном пространстве, поэтому его конец может лежать в любой точке на поверхности сферы. Если мы не знаем точное значение энергии, а знаем только, что оно заключено между E и EE, где δE — некоторая малая величина, то p будет заключен между p и pp, зависящими от этих энергий, в то время как вектор импульса будет заключен внутри сферической оболочки. Внутри такой оболочки, понятное дело, находится бесконечно много векторов, поэтому вопрос «сколько» в отношении состояний, энергия которых заключена в заданном интервале, не вполне уместен — во всяком случае, если речь идет о классической механике; в квантовой механике ситуация меняется таким образом, что множество возможных состояний действительно становится дискретным. В классической же физике, как выясняется, более полезной величиной является объем области пространства, в которой находится частица — будь то объем в пространстве импульсов, обычном пространстве, или их комбинация.

ortnt_05_01Если мы представим состояние частицы в виде точки некоторого абстрактного пространства, которое называется фазовым и в качестве координат точки содержит как ее расположение, так и импульс в трех измерениях, то зная, что энергия частицы заключена в интервале от E до EE, мы можем сделать вывод об области фазового пространства, в пределах которой лежит состояние системы. Если мы предположим, что в обычном пространстве частица ограничена фиксированным объемом, не зависящим от ее энергии, то соответствующий ей объем в фазовом пространстве будет зависеть от набора векторов импульса, допустимых в заданном интервале энергий — то есть заключенных внутри описанной выше сферической оболочки.

Почему, кстати говоря, нас должен интересовать именно объем в фазовом пространстве, а не какое-то другое описание состояния частицы? Причина заключается в одном утверждении из области прикладной математики, которое называется теоремой Лиувилля и описывает изменение во времени вероятности обнаружить систему в заданной точке фазового пространства. Используя теорему Лиувилля, можно показать, что если в нашем распоряжении имеется огромное число версий некоторой системы и их состояния равномерно распределены в фазовом пространстве, то с течением времени и по мере движения точек, соответствующих различных системам, их равномерное распределение будет оставаться неизменным. Если бы мы выбрали любое из предыдущих описаний состояний системы, то это свойство бы не соблюдалось; оно выполняется лишь в силу особых математических свойств, отличающих движение состояний в фазовом пространстве.

Это становится важным, если мы хотим изучить статистические свойства системы. Если мы производим какое-либо действие над сложной системой, состоящей из миллиардов частиц — например, приводим раскаленный газ в контакт с холодным твердым телом — а затем ждем,  когда в системе не прекратятся изменения и она не окажется в состоянии равновесия, мы не рассчитываем отследить положение и импульс каждой частицы. Но как только система приходит к равновесию, теорема Лиувилля позволяет нам считать, что система может с равной вероятностью находиться в любом месте фазового пространства, при условии, что оно не противоречит известной нам информации об этой системе. Если это утверждение кажется вам очевидным, задумайтесь о многочисленных альтернативах, которые тоже «выглядят очевидными», но при этом ложны: например, вероятность обнаружить систему в состоянии с произвольной энергией из допустимого диапазона, как правило, распределена неравномерно.

Возвращаясь к примеру с одной частицей, давайте рассчитаем объем области фазового пространства, в которой должна находиться частица, если ее энергия лежит в интервале от E до EE, а положение ограничено некоторой областью пространства с объемом V.

В лоренцевой физике полная энергия свободной частицы не может быть меньше ее массы покоя m, а соотношение между энергией и импульсом имеет вид:

p^2 = E^2 - m^2,

откуда следует, что

\cfrac{dp}{dE} = \cfrac{E}{p} = \cfrac{E}{\sqrt{E^2 - m^2}}

Если энергия частицы заключена в малом интервале значений от E до EE, то объем области фазового пространства, в котором должна находиться эта частица, равен:

\Omega_{Lorentzian} = 4 \pi p^2 \delta p V = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{E^2 - m^2} E \delta E V

В римановой физике полная энергия свободной частицы заключена между нулем и ее массой покоя, причем:

p^2 = m^2 - E^2
\cfrac{dp}{dE} = -\cfrac{E}{p} = -\cfrac{E}{\sqrt{m^2 - E^2}}

Тот факт, что  импульс уменьшается с ростом энергии, важен и сам по себе, но для того, чтобы найти объем фазового пространства нам достаточно взять абсолютное значение δp = (dp/dE) δE:

\Omega_{Riemannian} = 4 \pi p^2 \cfrac{dp}{dE} \delta E V = 4 \pi \sqrt{m^2 - E^2} E \delta E V

ortnt_05_02

Графики Ω наглядно демонстрируют принципиальное различием между этими функциями. Тем не менее, стоит заметить, что если энергия частицы близка к массе покоя, m, оба графика являются практически зеркальными отражениями друг друга. Объясняется это тем, что при низких скоростях частицы в обеих Вселенных по сути подчиняются законам обычной ньютоновской физики; единственная особенность римановой Вселенной заключается в том, что полная энергия уменьшается с ростом кинетической.

Наиболее явное отличие состоит в том, что ΩLorentzian всегда возрастает с увеличением энергии. Какова бы ни была энергия частицы, добавив к ней еще чуть-чуть, мы всегда получим больший объем доступного фазового пространства. В случае с ΩRiemannian, напротив, объем фазового пространства, доступного частице с определенным уровнем энергии, ограничен некоторым максимальным значением. Рассчитав в каждом из двух случаев скорость роста фазового объема относительно энергии, мы получим:

\cfrac{d\Omega_{Lorentzian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (2E^2 - m^2)} {\sqrt{E^2 - m^2}}
\cfrac{d\Omega_{Riemannian}}{dE} = \cfrac{4 \pi \delta E V (m^2 - 2E^2)} {\sqrt{m^2 - E^2}}

Таким образом, объем фазового пространства в римановой модели достигает максимума при E = m/√2. Может показаться, что максимальный объем фазового пространства должен соответствовать максимальному значению импульса, p=m, которое достигается при E = 0. Но несмотря на то, что при этом обеспечивается максимальный радиус сферической оболочки в пространстве импульсов, мы не должны забывать о ее переменной толщине. При E = 0, dp/dE обращается в нуль, поэтому δp, то есть толщина оболочки, также равна нулю. В действительности максимальный объем достигается в результате компромисса между радиусом и толщиной оболочки.

Какое значение имеет характер зависимости между объемом фазового пространства и энергией? Чтобы разобраться в этом, предположим, что у нас имеются две системы, и нам известны как их энергии, E1 и E2, так и зависимости между объемом соответствующего фазового пространства и энергией системы, Ω1(E1) и Ω2(E2). Если мы объединим две системы в одну, то сможем определить новое фазовое пространство, содержащее позиционные и импульсные координаты всех частиц в обеих исходных системах. В этом случае объем, который занимает объединенная система в своем фазовом пространстве представляет собой обычное произведение объемов, соответствующих исходным системам:

\Omega(E_1, E_2) = \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2)

Предположим теперь, что мы допускаем передачу энергии между системами. Полная энергия E1 + E2 должна оставаться постоянной, однако энергии отдельных систем могут меняться. Если система 1 передает системе 2 количество энергии, равное Q, то:

\Omega(E_1 - Q, E_2 + Q) = \Omega_1(E_1 - Q) \Omega_2(E_2 + Q),

а соответствующее влияние на полный объем фазового пространства описывается величиной

\cfrac{d\Omega(E_1, E_2)}{dQ} = -cfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 + \Omega_1 \cfrac{d\Omega_2}{dE_2},

где мы воспользовались правилом, согласно которому для дифференцирования произведения нужно продифференцировать каждый сомножитель и сложить результаты.

Что происходит с полным объемом фазового пространства Ω, когда энергия переходит от системы 1 к системе 2: увеличивается ли он, уменьшается или остается неизменным? Ответить на этот вопрос будет проще, если для каждой из подсистем мы введем новую величину — ее температуру T:

T_1 = \cfrac{\Omega_1}{\frac{d\Omega_1}{dE_1}}
T_2 = \cfrac{\Omega_2}{\frac{d\Omega_2}{dE_2}}

Если нам известно соотношение между T1 и T2, то домножив обе его части на производные, стоящие в знаменателях, мы сможем определить знак величины dΩ / dQ. Предположим для начала, что dΩ1 / dE1 и dΩ2 / dE2 положительны; поскольку объем Ω сам по себе всегда положителен, отсюда следует и положительность обеих температур  T1 и T2. В этом случае имеет место один из следующих вариантов:

  • Если T1 > T2 > 0, то Ω1 (dΩ2 / dE2) > Ω2 (dΩ1 / dE1) и dΩ / dQ положительна.
  • Если T2 > T1 > 0, то Ω1 (dΩ2 / dE2) < Ω2 (dΩ1 / dE1) и dΩ / dQ отрицательна.
  • Если T1 = T2, то Ω1 (dΩ2 / dE2) = Ω2 (dΩ1 / dE1) и dΩ / dQ равна нулю.

На язык физики эти утверждения можно перевести следующим образом:

  • Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более горячей системы к более холодной, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, увеличивается.
  • Если температура обеих систем положительна, и энергия передается от более холодной системы к более горячей, то общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему, уменьшается.
  • Если системы имеют одинаковую температуру, то в процессе передачи энергии между ними общий объем области фазового пространства, содержащего объединенную систему,  не меняется.

При взгляде на эти утверждения возникает желание объявить с беззаботным видом, что «энергия передается от горячего тела к холодному», однако по размышлении все оказывается не так просто, поскольку вне зависимости от выбора конкретного направления в качестве оси времени мы в равной степени имеем право выбрать направление, противоположное ему…, а сделанный нами вывод не может быть справедлив в обоих направлениях сразу! Иначе говоря, нам нужно прояснить следующий момент: интуитивно ожидая, что комбинированная система с течение времени «сбежит» из меньшей области фазового пространства в большую, мы исходим из существования четко определенной стрелы времени, вдоль которой энтропия увеличивается по мере движения в выбранном нами направлении будущего.

Итак, давайте будем придерживаться этого предположения, которое точно выполняется в нашей мире и вполне может быть справедливым в отношении некоторых областей римановой Вселенной. Это дает нам право утверждать, что мы смогли ввести некое полезное свойство, называемое температурой, и что при контакте двух систем, обладающих положительной температурой, перенос энергии будет осуществляться от системы с большей температурой к системе с меньшей температурой.

Если речь об обычных системах в лоренцевой Вселенной, то ни что другое рассчитывать не приходится. Тем не менее, ряд экзотических систем в нашей Вселенной в действительности обладают отрицательной температурой…, а в римановой Вселенной отрицательные температуры в определенном смысле являются нормой, так как возникают в тех случаях, когда частицы движутся со вполне заурядными скоростями, заключенными между нулем и — в случае единственной частицы — скоростью v0, при которой полная энергия становится равной m/√2 (т. е. энергии, при которой система достигает максимального объема в фазовом пространстве):

E = \cfrac{m}{\sqrt(1 + v_0^2)} = \cfrac{m}{\sqrt{2}}
v_0 = 1

Вероятно, вам доводилось слышать, что температура представляет собой «эмерджентное свойство», которое имеет смысл только в отношении систем, состоящих из огромного числа частиц, хотя, строго говоря это не так; наше определение температуры имеет смысл для любой системы, даже если эта система состоит всего лишь из одной частицы. Большое количество частиц гарантирует лишь близкую к 100% вероятность того, что перенос энергии будет происходить именно в том направлении, которое мы ожидаем, исходя из разницы в температуре. Если в результате взаимодействия двух отдельных частиц более горячая случайно заберет энергию у более холодной, в этом не будет ничего удивительного. С другой стороны, вероятность того, что перенос энергии от холодного тела к горячему произойдет в системе, состоящей из 1023 частиц, астрономически мала.

К каким последствиям приводит наличие отрицательных температур? Наши рассуждения относительно направления передачи энергии для случая систем с положительной температурой были основаны на умножении связывающего их неравенства на (dΩ1 / dE1) (dΩ2 / dE2). Если температура обеих систем отрицательна, произведение двух производных также будет положительным, поэтому наш аргумент остается в силе.

Это означает, что если T2 < T1 < 0, то мы ожидаем, что энергия будет передаваться от системы 1 к системе 2.В римановой Вселенной газ, состоящий из относительно медленных частиц будет иметь отрицательную температуру, превышающую (т. е. более близкую к нулю) температуру газ с чуть более быстрыми частицами, поэтому энергия будет передаваться от более медленных частиц к более быстрым. В данном случае речь идет о полной энергии, которая по своему смыслу противоположна кинетической. Таким образом, теряя полную энергию, более медленные частицы будут приобретать кинетическую энергию за счет чуть более быстрых. Другими словами, перемещение энергии будет точно таким же, как и в нашей Вселенной.

Если же газ состоит из частиц, движущихся  с достаточно большой скоростью, то его температура в соответствии с римановым определением окажется положительной, а значит, независимо от принятого нами способа определения энергий будет явно противоположна температуре обычного газа. Каким образом будет происходить перенос энергии, если эти системы войдут друг с другом в контакт? На этот раз произведение производных (dΩ1 / dE1) (dΩ2 / dE2) окажется отрицательным, поэтому при умножении на него обеих частей соотношения между температурами знак неравенства поменяется на противоположный. Оказывается, что если T1 < 0 < T2, то dΩ / dQ будет положительной величиной — поэтому мы ожидаем, что энергия будет перемещаться от системы с отрицательной температурой к системе с положительной температурой. Иными словами, можно сказать, что система с отрицательной температурой горячее бесконечного горячего: она будет отдавать энергию любой системе с положительной температурой, насколько бы горячей та ни была.

Здесь мы опять-таки имеем в виду полную энергию, в то время как перенос кинетической энергии в римановой Вселенной будет происходить в противоположном направлении: система с отрицательной температурой будет получать кинетическую энергию от любой другой системы, при условии, что ее температура положительна. Это приводит нас к более, чем логичному результату: газ, частицы которого движутся настолько быстро, что придают ему положительную температуру, всегда будет отдавать кинетическую энергию газа, состоящему из более медленных частиц.

Таким образом, температурная шкала в римановой Вселенной такова, что газ, состоящий из медленных частиц, имеет температуру чуть ниже абсолютного нуля. По мере ускорения частиц температура понижается, достигает минус бесконечности на релятивистских скоростях, перескакивает на большие положительные значения, а затем, по мере того, как скорость частицы приближается к бесконечности, температура стремится к абсолютному нулю — на этот раз сверху.

ortnt_05_03

На всем протяжении этого дважды-бесконечного диапазона температур по-прежнему мы по-прежнему имеем дело с совершенно нормальным поведением: газ, состоящий из более быстрых частиц, будет отдавать теплоту в пользу газа, состоящего из более медленных частиц. Может показаться, что эта ситуация ничем не отличается от поведения, характерного для нашей Вселенной, а деление температур на положительные и отрицательные — не более, чем математическая абстракция. Однако физические системы — как в нашей, так и в римановой Вселенной, вовсе не ограничиваются газами, состоящими из фиксированного количества частиц. Если система может свободно создавать свет, то мы можем задаться вопросом о температуре соответствующего «фотонного газа» при том, что количество составляющих его частиц может меняться со временем. Ответом будет именно положительная температура. С интуитивной точки зрения понять это несложно. Преобразование энергии в новую частицу предположительно должно увеличивать количество доступных возможностей, позволяя системе расширить область, занимаемую в фазовом пространстве. Это указывает на то, что dΩ/dE будет больше нуля, т е. положительную температуру.

В римановой Вселенной невозможно тепловое равновесие между светом и обычной системой вроде газа, состоящего из фиксированного количества медленных частиц. Имея отрицательную температуру, обычная система всегда будет проявлять склонность к передаче полной энергии в пользу света с положительной температурой и, следовательно, к увеличению собственной кинетической энергии.

Именно поэтому способность создавать свет представляет собой такую опасность в римановой Вселенной. Если этого можно добиться контролируемым способом, то свет вовсе не обязан находиться в тепловом равновесии со своим источником; температурное свечение горячего тела, возникающее из-за случайного обмена энергией с фотонами, — не единственный способ создания света. Но если процесс выходит из-под контроля и превращается именно в такой случайный обмен, то источник света сам по себе рискует разогреться до положительной температуры — что в римановой Вселенной приводит к распаду с образованием релятивистского газа.


Читатели, не возражающие против чуть более сложной математики, могут также ознакомиться с дополнительными материалами по данной теме.

Геометрия и волны

Оригинал статьи:
http://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/03/Waves.html

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕРЫ! Эта страница содержит «концептуальные спойлеры»: несмотря на то, что в статье нет отсылок к сюжету «Ортогональной Вселенной», освещаемые здесь научные вопросы в романах серии излагаются лишь по ходу повествования

Плоские волны

Представим себе идеальную световую волну, которая движется в нашей лоренцевой Вселенной — бесконечно длинную синусоиду, характеризуемую единственной, строго определенной частотой. Эту частоту принято обозначать ν (греческая буква «ню»). Пока что мы оставим в стороне вопрос поляризации и величину волны будем описывать единственным числом A.

Предположим, что в нашей системе координат волна движется вдоль оси x. Если единицы измерения выбраны таким образом, что скорость света равна 1, то математическое представление такой волны будем иметь вид:

A(x, y, z, t) = A_0 \sin(2 \pi \nu (x - t))

Величина, обратная частоте, представляет собой период волны, τ — время, необходимое на одно полное колебание. Поскольку синус в точности повторяет свое значение, если его аргумент увеличивается или уменьшается на 2π, то наша световая волна A(x, y, z, t) будет повторяться, когда t увеличивается или уменьшается на τ = 1/ν:

A(x, y, z, t \pm \tau) = A(x, y, z, t)

Если скорость света в выбранных единицах измерения равна 1, то длина световой волны будет совпадать с ее периодом: λ = 1/ν. Значения нашей волны A(x, y, z, t) будут повторяться всякий раз, когда x увеличивается или уменьшается на длину волны:

A(x \pm \lambda, y, z, t) = A(x, y, z, t)

Предположим теперь, что мы определили изотропный вектор k, компоненты которого в нашей системе координат выражаются следующим образом:

k^x = 2 \pi \nu
k^y = 0
k^z = 0
k^t = 2 \pi \nu

Мы будем называть его волновым вектором нашей световой волны. Амплитуду волны в этом случае можно выразить так:

A(x, y, z, t) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z - k^t t)

Выражение kx x + ky y + kz zkt t, содержащее произведения компонент волнового вектора k на соответствующие компоненты x = (x, y, z, t), напоминает скалярное произведение, которое мы определили для задач римановой геометрии; единственная разница — знак «-» у произведения t-компонент. По сути это точный лоренцев аналог выражения k · x; значение данной величины будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя лоренцевой Вселенной, вне зависимости от характера его движения.

Это наводит на мысль о том, что в римановой Вселенной уравнение волны, движущейся в вакууме, должно иметь вид:

A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}),

где используется риманово скалярное произведение. В римановой Вселенной не существует изотропных векторов; все направления в 4-пространстве в сущности эквивалентны. Так что вектор k, на первый взгляд, может быть совершенно произвольным.

Мы однако же всегда можем выбрать систему координат таким образом, чтобы вектор k оказался в плоскости xt. В этом случае ky = kz = 0 и, следовательно:

A(x, y, z, t) = A_0 \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^t t)

Волновые фронты, или “гребни” данной волны определяются соотношением sin(k · x) = 1, или k · x = π/2 + 2nπ, n — целое число. Если мы найдем одну точку, в которой k · x принимает такое значение, то в 4-пространстве можно будет указать три направления, перпендикулярных k вдоль которых k · x остается без изменений, а значит, волновые фронты будут представлять собой последовательность равноотстоящих трехмерных областей, перпендикулярных вектору k. На наших диаграммах представлен двумерный срез 4-пространства, а упомянутые области внутри такого среза выглядят как последовательность прямых линий.

Чему будут равны длина λ и период τ такой волны? Нетрудно показать, что:

A(x \pm \cfrac{2 \pi}{k^x}, y, z, t) = A(x, y, z, t)
A(x, y, z, t \pm \cfrac{2 \pi}{k^t}) = A(x, y, z, t),

поэтому длина и период волны равны соответственно

\lambda = \cfrac{2 \pi}{k^x}
\tau = \cfrac{2 \pi}{k^t}

Величину, обратную длине волны, мы будем называть пространственной частотой, κ (греческая буква «каппа»); она является точным аналогом временной частоты ν и показывает, сколько колебаний волны укладывается в единице длины. Теперь компоненты волнового вектора k можно записать следующим образом:

k^x = \cfrac{2 \pi}{\lambda} = 2 \pi \kappa
k^y = 0
k^z = 0
k^t = \cfrac{2 \pi}{\tau} = 2 \pi \nu

При этом пространственная частота κ, временная частота ν и модуль волнового вектора |k| будут связаны следующим соотношением:

|\mathbf{k}|^2 = (k^x)^2 + (k^t)^2 = (2 \pi \kappa)^2 + (2 \pi \nu)^2

и, следовательно:

\kappa ^2 + \nu ^2 = \cfrac{|\mathbf{k}|^2}{4 \pi ^ 2}

Заметим теперь, что наблюдатели, движущиеся с различными скоростями в римановой Вселенной, не будут испытывать разногласий по поводу величины |k|, т. е. модуля волнового вектора, точно так же, как любой наблюдатель в лоренцевой Вселенной согласится с тем, что волновой вектор, соответствующий световой волне, является изотропным. Исходя из этого, мы сделаем предположение, что конкретное физическое явление, играющее роль света в римановой Вселенной, будет состоять из волн, характеризуемых одним и тем же значением |k|.

Геометрически постоянство |k| означает, что расстояние между соседними волновыми фронтами всегда одинаково — при условии, что измеряется оно не в произвольном направлении, выбранном каким-либо наблюдателем, а по перпендикуляру к самим фронтам, т. е. вдоль волнового вектора. В римановом пространстве это расстояние всегда будет равно 2 π / |k|.

(Как мы увидим впоследствии, значение |k| зависит от массы покоя частицы, соответствующей данной волне в ее квантовомеханическом описании, поэтому предполагая, что «любой свет характеризуется одной и той же величиной |k|», мы по сути настаиваем на выборе конкретной частицы в качестве аналога наших фотонов. Фотон не имеет массы покоя, однако в римановой Вселенной из-за отсутствия изотропных векторов частицы с нулевой массой покоя не существуют, поэтому мы вынуждены остановить свой выбор на некотором ненулевом значении.)

При фиксированном |k| становится понятно, что рост пространственной частоты κ сопровождается уменьшением временной частоты ν, и наоборот — причем происходит это таким образом, чтобы сумма их квадратов оставалась постоянной. Если одна из этих частот равна нулю, то другая достигает максимально возможного значения, которое мы обозначим νmax. Эта частота пропорциональна |k|.

\nu_{max} = \cfrac{|\mathbf{k}|}{2 \pi}

Соотношение между κ и ν принимает вид:

\kappa^2 + \nu^2 =  \nu_{max}^2

Как мы уже убедились при разборе дуальной теоремы Пифагора, именно такое соотношение мы ожидаем получить, когда речь идет о пространственных частотах, измеряемых вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. В римановой Вселенной временная частота ничем не отличается от частоты, измеренной в любом другом направлении, поэтому ее математическое свойства оказываются точно такими же. Частота νmax — это просто количество колебаний волны, приходящихся на единицу длины и измеренных самым непосредственным образом — по перпендикуляру к волновым фронтам в 4-пространстве.

Если теперь предположить, что мировая линия светового импульса направлена вдоль его волнового вектора, то окажется, что скорость света v, будет равна отношению x- и t-компонент вектора k:

v = \cfrac{k^x}{k^t} = \cfrac{\kappa}{\nu}

Самый медленный свет, для которого v = 0, имеет бесконечную длину волны λ = ∞. Это случай мы назовем «инфракрасным пределом». Временная частота такого света будет равна νmax.

Самый быстрый свет, для которого v = ∞, будет обладать минимально возможной длиной волны λ = 1 / νmax. Этот случай мы будем называть «ультрафиолетовым пределом». Временная частота такого света будет равна нулю, поэтому его период выражается бесконечностью.

ortnt_03_01

ortnt_03_02

ortnt_03_03

ortnt_03_04

ortnt_03_05

ortnt_03_06

Но почему мы решили, что мировая линия светового импульса должна быть направлена вдоль соответствующего волнового вектора?

Волны, которые мы описывали до настоящего момента, являются плоскими: их фронты имеют вид бесконечных плоскостей в пространстве и представляют собой срезы четырехмерных гиперплоскостей в 4-пространстве. Они очень просты с математической точки зрения, но при этом, понятное дело, крайне идеализированны — к тому же амплитуда плоской волны никоим образом не похожа на четкую мировую линию, параллельную волновому вектору. Яркие полосы максимальной амплитуды на приведенной ниже диаграмме перпендикулярны волновому вектору, который направлен против движения соответствующих волновых фронтов во времени!

0071

Сказанное, впрочем, относится к бесконечным волнам, занимающим все 4-пространство. Если же мы хотим получить локализованную волну, нужно скомбинировать друг с другом волны различной частоты. Точка, в которой эти волны взаимно усиливают друг друга, будет перемещаться с иной скоростью, нежели любой из фронтов волн-слагаемых; ее скорость будет совпадать с групповой скоростью системы в целом, в отличие от фазовой скорости волновых фронтов.

Чтобы вычислить групповую скорость комбинации волн, можно воспользоваться соотношением между x и t, благодаря которому две плоских волны со слегка отличающимися частотами будут совпадать по фазе. Если пространственная и временная  частоты первой волны равны соответственно κ и ν, а второй — соответственно κ+Δκ и ν+Δν, и фазы обеих волн должны совпадать, то:

\kappa x + \nu t = (\kappa + \Delta \kappa)x + (\nu + \Delta \nu)t
x = -t \cfrac{\Delta \nu}{\Delta \kappa}

Следовательно,

v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa}

Применив этот результат к известному нам соотношению между ν и κ, имеем:

\nu = \sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}
v_{group} = -\cfrac{d \nu}{d \kappa} = \cfrac{\kappa}{\sqrt{\nu _{max} ^2 - \kappa ^2}} = \cfrac{\kappa}{\nu}

Это согласуется со скоростью kx / kt, полученной непосредственно из волнового вектора.

Следующее изображение, полученное сложением 61 плоской волны (часть стрелок, отображающих соответствующие волновые векторы, слишком бледные, поэтому на картинке их не видно), дает вполне адекватное представление об истории светового импульса в римановой Вселенной. Более реалистичная модель подразумевает комбинацию континуума плоских волн вместо их конечного числа.

0081

Результат в общем и целом параллелен усредненному волновому вектору, хотя и определенно отличается от идеально тонкой мировой линии — или даже «мировой трубки» или «мировой ленты» постоянной ширины. Однако видимое распределение импульса во времени — это именно то, что мы ожидаем: в Римановой Вселенной скорость света меняется в зависимости от его частоты, поэтому любая локализованная волна, состоящая из множества различных частот, будет постепенно рассеиваться подобным образом.


Скалярные волны

В предыдущем разделе мы рассмотрели математические выражения, описывающие ряд  довольно простых волн, однако в действительности нам бы хотелось получить уравнение, которому будут удовлетворять все волны, движущиеся в вакууме римановой Вселенной, независимо от своей формы.

В нашей собственной Вселенной волны описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, которые выражаются некую взаимосвязь между скоростями изменения амплитуды в различных направлениях. Если величина A зависит от нескольких переменных — например, координат, приписанных определенной области 4-пространства, x, y, z и t, — то частная производная A по одной из переменных представляет собой просто скорость изменения A при условии, что интересующую нас переменную мы можем варьировать, в то время как все остальные переменные сохраняют фиксированные значения.

Рассмотрим, к примеру, плоскую риманову волну с волновым вектором k:

A = A_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = A_0 \sin(k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)

Если мы зафиксируем y, z и t и будем менять x, то A примет вид синусоидальной волны. Скорость изменения синуса относительно своего аргумента совпадает с косинусом того же аргумента, но поскольку в данном случае аргумент синуса представляет собой x, умноженный на kx, скорость изменения A домножается на тот же коэффициент; это один из примеров простого правила, которое применяется в дифференциальном исчислении и называется также формулой сложной производной.

Для обозначения частной производной некоторой величины A по переменной x, мы будем использовать запись ∂xA. Это обозначения может показаться немного устрашающим, если вы не пользовались им раньше, однако его смысл очень прост: нужно просто представить в пространстве прямую линию, все координаты которой, кроме x, фиксированы, после чего задуматься, как дифференцируемая вами величина меняется вдоль этой прямой, не обращая внимания на ее поведение во всех остальных направлениях. Используя данную нотацию, можно записать:

\partial _x A = k^x A_0 \cos (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t)

Что произойдет, если мы вычислим скорость изменения этой величины относительно x? Скорость изменения косинуса по отношению к его аргументу равна синуса того же аргумента, взятому с противоположным знаком; кроме того, в силу цепного правила мы снова получаем дополнительный множитель kx. Обозначим вторую частую производную ∂x2A, имеем:

\partial _x ^2 A = -(k^x)^2 A_0 \sin (k^x x + k^y y + k^z z + k^t t) = -(k^x)^2 A

Далее, вторые частные производные по оставшимся координатам равны соответственно:

\partial _y ^2 A = -(k^y)^2 A
\partial _z ^2 A = -(k^z)^2 A
\partial _t ^2 A = -(k^t)^2 A

Сложив все четыре выражения, получаем:

\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A = -((k^x)^2 + (k^y)^2 + (k^z)^2 + (k^t)^2) A = - |\mathbf{k}|^2 A

В данном случае мы с помощью операции взятия вторичной скорости роста A по направлению каждой из координатных осей умножили исходную функцию волны на некой число, пропорциональное квадрату ее частоты вдоль соответствующей оси. Сложив после этого все вторичные скорости роста, мы получаем сумму квадратов, равную |k|2, то есть множитель, который никоим образом не зависит от конкретного направления волнового вектора

Далее, |k| = 2πνmax, однако для краткости (чтобы избежать постоянного упоминания множителя 2π) мы введем понятие “угловой частоты”, которая обозначается символом ω и представляет собой обычную частоту ν, домноженную на 2π. При этом |k| = 2 π νmax = ωm, и последнее уравнение можно записать в виде:

\partial _x ^2 A + \partial _y ^2 A + \partial _z ^2 A + \partial _t ^2 A + \omega_m^2 A = 0 (СРВ)

В данном уравнение нет каких-либо отсылок к особенностям исходной плоской волны. В нем упоминается лишь некоторая величина A, значение которой меняется в 4-пространстве, и число ωm, не зависящее от формы волны.

Приведенное выше уравнение мы будем называть уравнением скалярной римановой волны (СРВ). Термин “скалярный” всего лишь указывает на некое число, определенное в любой точке 4-пространства, и не меняющееся при переходе от одного наблюдателя к другому — в  отличие, скажем, от компонент вектора, которые зависят от выбора системы координат. Данное уравнение представляет собой четырехмерную версию так называемого уравнения Гельмгольца, которое имеет место в нашей собственной физике.

Вычисление скорости роста — линейная операция: если s — постоянная величина, а A и B — функции переменной x:

\partial_x(sA) = s\partial_x A
\partial_x(A + B) = \partial_x A + \partial_x B

То же самое касается и вторичных скоростей роста, и, разумеется, операции умножения на константу — например, ωm2. Иными словами, уравнение СРВ является линейным: если мы сложим два его решения друг с другом или умножим решение на константу, то в результате снова получим решение исходного уравнения. Поскольку все плоские римановы волны, характеризуемые одним и тем же значением ωm, удовлетворяют уравнению СРВ, то волна, представляющая собой произвольную сумму таких плоских волн, также будет его решением. К Так, решением уравнения СРВ будет волна, описанная в конце предыдущего параграфа и полученная в результате суммирования 61 плоской волны.

Уравнение СРВ содержит одну — в потенциале катастрофическую — проблему. Рассмотрим следующую волну:

A = \sin\left(\cfrac{5}{4} \omega_m x \right) \exp \left( \cfrac{3}{4} \omega_m t \right)

Скорость роста экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией, а вычисление вторичной скорости роста дает в итоге исходную функцию, домноженную на некоторое положительное число — в отличие от отрицательного множителя, который мы получали для синусов и косинусов. Таким образом,

\partial _x ^2 A = -\cfrac{25}{16}\omega_m^2 A
\partial _y ^2 A = 0
\partial _z ^2 A = 0
\partial _t ^2 A = \cfrac{9}{16}\omega_m^2 A

Складывая эти выражения, можно убедиться в том, что представленная здесь волна удовлетворяет уравнению СРВ. Однако амплитуда такой волны экспоненциально возрастает во времени! Экспоненциальный множитель допустим в силу того, что положительный знак соответствующей ему вторичной скорости роста уравновешивается пространственной частотой, которая по другой координате превышает величину νmax: обратите внимание на угловую частоту (5/4) ωm в sin[(5/4) ωm x]. От того, что мы просто назовем “νmax максимально возможной частотой” она таковой не станет, а гарантировать это условие с помощью одного лишь уравнения СРВ нельзя. Если же мы допускаем подобные волны, то любое изначально крошечное возмущение с достаточно высокой частотой быстро разрастется по амплитуде и перевесит все остальное.

Существует способ избежать этой проблемы, но его открытие составляет важную часть романа, поэтому я не стану раскрывать сюжет книги, обсуждая его в этих заметках.


Векторные волны

Свет в нашей Вселенной представляет собой разновидность электромагнитной волны. При этом электромагнитное поле характеризуется не числом, меняющимся от точки к точке, а вектором. Таким образом, мы хотим понять, какого рода векторные волны имеют смысл в контексте римановой Вселенной.

Предположим, что в нашей системе координат задан фиксированный вектор A0 с компонентами A0x, A0y, A0z и A0t . В этом случае мы можем рассмотреть векторную волну вида:

\mathbf{A}(x, y, z, t) = \mathbf{A}_0 \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})

Это уравнение очень похоже на рассмотренные выше плоские скалярные волны. По сути каждая отдельная компонента вектора A в нашей системе координат удовлетворяет уравнению СРВ при условии, что |k| = ωm. Эти компоненты, конечно же, меняются при переходе в другую систему координат…, но если они являются решением СРВ в одной системе, то останутся решением и в любой другой. (Заметим, что речь в данном случае идет только о прямоугольных координатах, в отличие от, скажем, сферических.)

Все это довольно просто, но есть один нюанс, который нам придется затронуть. Несмотря на то, что компоненты A, то есть Ax, Ay, Az и At, меняются при переходе к другой системе координат, на основе записанной выше векторной волны можно построить скалярную:

D(x, y, z, t) = \mathbf{k} \cdot \mathbf{A}(x, y, z, t) = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x})

Это настоящая скалярная волна — в том смысле, что ее значение будет одинаковым с точки зрения любого наблюдателя, независимо от выбранной им системы координат. Это может показаться не столь важным, однако, как подсказывает опыт взаимодействия с нашей собственной физической Вселенной, скалярные и векторные волны ассоциируются с явлениями различной природы. В квантовой механике скалярные волны соответствуют частицам с нулевым спином, в то время как векторные волны соответствуют частицам, спин которых отличен от нуля – таким, как фотоны. Таким образом, мы ожидаем, что аналог света в римановой Вселенной будет представлять собой чисто векторную волну, без сопровождающей ее скалярной волны наподобие D.

По этой причине мы наложим на векторную волну типа A дополнительное ограничение k · A0 = 0. Это условие означает, что вектор, описывающий собственно волну, перпендикулярен волновому вектору, а значит, A0 должен находиться в трехмерном подпространстве, ортогональном k. Поскольку это пространство содержит три измерения, риманов свет будет обладать тремя направлениями поляризации, в отличие от двух направлений, характерных для света в нашей Вселенной. Чуть более подробно мы рассмотрим этот вопрос в статье, посвященной риманову электромагнетизму.

Нам нужно переформулировать условие “безскалярности” таким образом, чтобы его можно было применить к произвольной векторной функции A(x, y, z, t). В случае плоской волны A(x, y, z, t) = A0 sin(k · x), где данное условие имеет вид k · A0 = 0, мы видим, что:

(1)   \begin{equation*} \begin{aligned} \partial _x  A + \partial _y A + \partial _z A + \partial _t A = \\ = (A_0^x k^x + A_0^y k^y + A_0^z k^z + A_0^t k^t) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0) \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}) = \\ = 0 \end{aligned} \end{equation*}

Итак, следующую пару уравнений мы будем называть уравнениями векторной римановой волны (ВРВ):

\partial _x ^2 \mathbf{A} + \partial _y ^2 \mathbf{A} + \partial _z ^2 \mathbf{A} + \partial _t ^2 \mathbf{A} + \omega_m^2 \mathbf{A} = \mathbf{0} (ВРВ)
\partial _x  A^x + \partial _y A^y + \partial _z A^z + \partial _t A^t = 0 (Поперечное
условие)

где первое уравнение говорит нам о том, что все четыре компоненты A удовлетворяют уравнению СРВ, а поперечное условие гарантирует чистоту вектора A.